CODES, RESEAUX, GROUPES SIMPLES

BENOÎT COLLINS et FABRICE ORGOGOZO

1. Introduction

Le but de cet exposé est de construire le réseau de Leech (un sous-groupe discret de ℝ^{24}), dont les applications sont multiples:

• Il permet de réaliser des empilements de sphères très denses en dimension ⩽ 24.

• Son groupe d’automorphismes contient un grand nombre (12) de groupes simples ”sporadiques” parmi les premiers découverts. Nous étudierons l’un d’entre eux en détail. Pour ce faire, nous aurons besoin d’introduire trois objets qui ont leur propre intérêt mathématique et historique, le groupe de Mathieu, le Code de Golay et les systèmes de Steiner.

2. Le groupe de Mathieu M_{24}

Dans toute la suite, on notera Ω la droite projective P_{1}(𝔽_{23}) et Ω′ = Ω \ {∞}. Q désignera l’ensemble des carrés dans Ω′, et N son complémentaire dans Ω.

2.1. Définition de M_{24} et propriétés.

2.1.1. Définition. On définit M_{24} comme le sous-groupe de S_{24} (vu comme le groupe symétrique sur Ω) engendré par les permutations α, β, γ, δ, où:

1. α : x ↦ x + 1

2. β : x ↦ 2x

3. γ : x ↦ −x^{−1}

4. δ : x ↦ \{ \begin{matrix}x^{3}/9 & si x ∈ Q \\ 9x^{3} & sinon \end{matrix}

2.1.2. Remarques. Les trois permutations α, β et γ engendrent le groupe P SL_{2}(23) (car 2 engendre Q). On vérifie aussi que α, β et δ^{2}γ engendrent M_{24} (cf annexe), et que α, β, γ et δ sont des permutations paires, d’où M_{24} ⩽ A_{24}.

On dit qu’un groupe G agit n fois transitivement sur un ensemble X si l’action induite sur l’ensemble des arrangements à n éléments de X est transitive. Dans la suite de l’exposé, on dira qu’une permutation est de type i_{1}.i_{2}...i_{n} si ses orbites sont de longueur i_{1},...,i_{n}. On a alors le très important

2.1.3. Théorème. M_{24} agit cinq fois transitivement sur Ω.

// A partir des générateurs, on peut obtenir des permutations de formes 1.23, 1^{2}.11^{2}, 1^{3}.7^{3}, 1^{4}.5^{4}, 2^{12}, 1^{8}.2^{8} et 4^{6} (e.g. α, β, α^{2}δ, δ, γ, (δα)^{3} et (δ^{2}γα^{13})^{3}) . Les formes 1.23 et 2^{12} montrent que M_{24} est transitif, et que le stabilisateur d’un point doit avoir une permutation de la forme 1.23, si bien qu’il est transitif sur les points restants. En utilisant les permutations de la forme 1^{2}.11^{2} et 1^{3}.7^{3}, on voit que le stabilisateur de deux points quelconques est transitif sur les 22 points restants. le stabilisateur de trois points est transitif sur les 21 restants (utiliser 1^{3}.7^{3} et 1^{4}.5^{4}), si bien que M_{24} est 4 fois transitif. Le groupe qui fixe un ensemble à 4 éléments dans son ensemble possède les permutations 4^{6} et 1^{4}.5^{4}, donc il est transitif sur les 20 points restants. le groupe fixant globalement un 5-ensemble possède des permutations du type 1^{4}.5^{4} et 1^{8}.2^{8} qui induisent des permutations du type 5 et 1^{3}.2, donc engendrent tout le groupe S_{5}, d’où la quintuple transitivité de M_{24}. //

Date: 29 Mai 1996 .

Sujet proposé par Arnaud Beauville .

On peut maintenant définir M_{24−k} (k ⩽ 5) comme le stabilisateur point par point d’un sous ensemble A de cardinal k de Ω. Cette définition est indépendante du choix de A car M_{24} est cinq fois transitif et deux sous-groupes de type M_{24−k} (k ⩽ 5) sont conjugués dans M_{24}, donc isomorphes. On a alors le théorème

2.1.4. Théorème. M_{24}, M_{23} et M_{22} sont simples.

// Le lecteur en trouvera la preuve dans [4], p. 292. //

2.2. Le code de Golay. Nous allons maintenant nous intéresser à un sous-ensemble de l’ensemble des parties de Ω, P(Ω), laissé stable par l’action de M_{24}. On munit P(Ω) d’une structure de 𝔽_{2}-espace vectoriel en l’identifiant à 𝔽_{2}^{Ω}. Notant N_{i} = {n − i, n ∈ N} si i ∈ Ω, N_{∞} = Ω + N = Q, et si S ⊂ Ω,

N_{S} = Σ_{i∈S}N_{i}. On pose

2.2.1. Définition. Le Code de Golay C est le 𝔽_{2}-espace vectoriel engendré par les (N_{i})_{(i∈Ω)}.

2.2.2. Théorème. dim(C) ⩽ 12.

// On vérifie que N_{Ω} = N_{N} = 0, d’où N_{N_{i}} = 0 pour tout i ∈ Ω, donc pour tout C ∈ C. Soit k la dimension de C, on a au moins k relations indépendantes lineaires entre les ensembles N_{i} qui l’engendrent, donc k ⩽ 24 − k. //

2.2.3. Théorème. dim(C) = 12.

// Un calcul montre que N_{{−2,0,2,3}} = {0, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12}. Il s’agit d’un vecteur de C, noté A. Les 11 vecteurs α^{−i}A (0 ⩽ i ⩽ 10) engendrent clairement un sous-espace vectoriel de C de dimension 11 et il existe un vecteur de C contenant ∞ qui n’est pas dans le précédent espace vectoriel, ce qui termine la preuve. //

Observons une pause afin d’expliquer la terminologie ”Code de Golay”. Supposons qu’on veuille transmettre une suite s de 12 bits que l’on peut envisager comme un élément de 𝔽_{2}^{12}. Soit ϕ un isomorphisme d’espaces vectoriels de 𝔽_{2}^{12} dans C. On transmet alors l’élément ϕ(s) de 𝔽_{2}^{24}. l’erreur E (E ⊂ Ω) intervient à la transmission si ϕ(s) est remplacé par ϕ(s) + E (c’est-à-dire que si le i-ème bit de E vaut 1, la transmission du i-ème bit de ϕ(s) est erronnée). Le code est transmis sans erreur si E = ∅ et avec n erreurs si card(E) = n. On a le

2.2.4. Théorème. Soit A ⊂ Ω. De deux choses l’une: soit il existe un unique ensemble E à trois éléments au plus, congru à A modulo C, soit A est congru à six sous-ensembles disjoints de Ω de cardinal 4.

Donc, si on a la certitude que au plus trois erreurs interviennent dans la transmission, on peut récupérer ϕ(s), donc s en ajoutant E au message transmis. On a donc un code correcteur de 3 erreurs et détecteur de 4 erreurs. En fait, on peut aussi établir ce résultat en montrant que tout élément non-nul de C a au moins 8 éléments. En effet, la fonction qui à (A, B) associe Card(A + B) est une distance sur P(Ω) appelée distance de Hamming, invariante par l’action de S_{24}. On montre dans la suite que la distance entre deux éléments distincts de C est ⩾ 8, ce qui prouve que le code peut corriger 3 erreurs.

2.2.5. Théorème. M_{24} préserve C

// Il est clair que αN_{i} = N_{i−1}, βN_{i} = N_{2i}, et on peut vérifier les équations δ^{2}γN_{0} = N_{∞}, δ^{2}γN_{∞} = N_{0}, δ^{2}γN_{1} = N_{{−1,0,1,3}}, δ^{2}γN_{−1} = N_{{3,12,21}}, d’où on peut déduire que δ^{2}γN_{i} ∈ C pour tout i, en utilisant δ^{2}γN_{2i} = δ^{2}γβN_{i} = β^{2}δ^{2}γN_{i}. //

3. Les systèmes de Steiner

3.0.6. Définition. On appelle système de Steiner S(p, q, r) associé aux nombres p, q, r un sous ensemble de P([[1, r]]) vérifiant les propriétés suivantes:

1. pour tout A ∈ S(p, q, r), card(A) = q

2. pour tout B ⊂ [[1, r]] de cardinal p, il existe un et un seul A ∈ S(p, q, r) tel que B ⊂ A

Il est clair que dans ce cas, le cardinal de S(p, q, r) est (_{p}^{r})/(_{p}^{q}). Par exemple pour q puissance d’un nombre premier, la géométrie affine (resp. la géométrie projective) fournit le système de Steiner S(2, q, q^{n}) (resp. S(2, q + 1, 1 + q + ... + q^{n})). Interprétation: par deux points distincts d’un espace affine (resp. projectif) passe une et une seule droite. On a alors le

3.0.7. Théorème. Il existe un système de Steiner S(5, 8, 24) vu comme un sous-ensemble de P(Ω), laissé stable par M_{24}. On le note S, et c’est exactement les vecteurs à 8 éléments de C. De plus, M_{24} agit transitivement sur S.

On appelle les éléments de S les octades .

// Nous avons déjà trouvé une octade de S, à savoir {0, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12} ∈ C. Comme M_{24} est 5 fois transitif, tout ensemble à 5 éléments est contenu dans au moins une octade. Si un ensemble à 5 éléments est contenu dans deux octades distinctes, leur différence symétrique est un vecteur V de C de cardinal ∈ [[1, 6]], ce qui est impossible. En effet, si card(V) = 6, notant V′ une octade contenant 5 de ses éléments, on obtient par addition un vecteur de cardinal ∈ [[2, 4]], si bien que dans tous les cas, on obtient un vecteur de cardinal k ∈ [[1, 5]] dans C. Par la quintuple transitivité, tous les ensembles de cardinal k sont dans C, donc tous ceux de cardinal 2, ce qui contredit le calcul de la dimension de C. Cela prouve que S est bien un système de Steiner, la transitivité de l’action de M_{24} dessus, et montre que les vecteurs non-nuls de C ont au moins 8 éléments. //

Donc M_{24} est un sous-groupe du groupe des automorphismes de S (i.e. le sous-groupe de S_{24} des permutations qui envoient une octade de S sur une octade de S). On peut en profiter pour citer les théorèmes

3.0.8. Théorème. (Witt) S est unique, i.e. étant donnés deux systèmes de Steiner S(5, 8, 24) S_{1} et S_{2} vus comme sous ensembles de P (Ω), il existe une permutation σ de Ω telle que S_{1} = σS_{2}σ^{−1}.

3.0.9. Théorème. M_{24} = Aut(S).

3.0.10. Remarque. Ceci est une conséquence directe du théorème ci-dessous. On en déduit que M_{23} = Aut(S(4, 7, 23)) et que M_{23} = Aut(S(3, 6, 22)).

3.1. Calcul de l’ordre de M_{24}. M_{24} est d’ordre 244 823 040. Il est nécessaire de disposer de ce résultat pour pouvoir calculer l’ordre du groupe des automorphismes du réseau de Leech. On a le

3.1.1. Théorème. M_{24} = Aut(S)) et M_{24} est d’ordre 244 823 040.

// Plus précisément, on va montrer que si M_{24} ⩽ F ⩽ Aut(S), on a: Le sous-groupe G de F qui laisse stable dans son ensemble une octade est un groupe du type (ℤ/2ℤ)^{4} ⋉ P SL_{4}(𝔽_{2}). F a pour ordre exactement 244 823 040 et contient toutes les permutations de Ω qui préservent le code de Golay C. Ceci prouvera le théorème. Pour ce faire, on considère le sous-groupe H de G qui en plus de fixer l’octade {a, b, c, d, e, f, g, h} globalement, fixe le point i. Dans un premier temps, on étudie G. M_{24} contient des permutations du type 1.3.5.15 et 1^{2}.2.4.8^{2} (e.g. α^{11}δ et α^{5}δ). Dans le premier cas, l’octade contenant le 5-cycle ne peut être que l’union du 5-cycle et du 3-cycle, et dans le deuxième cas, l’octade contenant le 4-cycle et un point fixe doit être l’union des 4-, 2- et 1-cycles. On peut donc supposer que M_{24} contient la permutation (abcde)(fgh)(i)(jkl...x) et une permutation de type 1^{8}.2^{8} de points fixes l’octade {a, b, c, d, e, f, g, h}. on en déduit facilement que G est transitif sur {i, ..., x} (donc que [G : H] = 16) et que H est transitif sur l’octade. Comme {a, b, c, d, e, f, g, h, i} contient exactement un vecteur de C non vide, les vecteurs de C disjoints de {a, b, c, d, e, f, g, h, i} forment un espace vectoriel V de dimension 4. Cet espace est constitué de 15 octades et de l’ensemble vide. Chaque élément non-trivial de H agit non-trivialement sur V (par un argument combinatoire, un élément de H qui laisse fixe chaque vecteur de V fixe point par point i,...,x, et ne peut être que l’identité). Donc H ⩽ P SL_{4}(𝔽_{2}). D’autre part, le groupe de permutations de a, b, c, d, e, f, g, h induit par H est transitif et contient le 3-cycle (hgf) = λ^{5}, donc est le groupe alterné A_{8}, ce qui établit l’isomorphisme H ≈ A_{8} ≈ P SL_{4}(𝔽_{2}), par égalité de cardinaux. Le sous-groupe J de M_{24} fixant a, b, c, d, e, f, g, h individuellement est distingué dans G et isomorphe à (ℤ/2ℤ)^{4} (en effet, il a 16 éléments tous d’ordre 2 car du type 1^{8}.2^{8}) donc G = J ⋉ H. Donc l’ordre de M_{24} est exactement 244 823 040 = 759 · 16 · 20 160. //

3.1.2. Remarque. De l’ordre de M_{24} et de la quintuple transitivité, on déduit celui de M_{23} et M_{22}, respectivement 10 200 960 et 443 520.

3.1.3. Théorème. C a 4 096 = 1 + 759 + 2 576 + 759 + 1 ensembles de cardinal 0, 8, 12, 16 et 24 respectivement.

// Les octades engendrent le code de Golay (cf le calcul exact de C) et deux octades s’intersectent en 0, 2, 4 ou 8 points (voir annexe). Le théorème en découle moyennant le fait que Ω ∈ C (donc que C est stable par complémentation). //

3.1.4. Remarque. On peut profiter de la connaissance de la structure de C pour définir le groupe de Mathieu M_{12} comme le groupe des automorphismes des dodécades (i.e. les vecteurs à 12 éléments de C). Miller a montré en 1899 que M_{12} est simple. ([4] p. 292).

4. Le réseau de Leech

4.1. Définition, propriétés. Soit {v_{i} | i ∈ Ω} une base orthonormale de ℝ^{24}. Pour toute partie T ⊂ Ω′ et m ∈ ℤ, on définit [T, m] comme étant l’ensemble des vecteurs x à coordonnées entières x_{i} telles que ∑ x_{i} = 4m et x_{i} ≡ m ou m + 2 (mod 4) suivant que i ∉ T ou i ∈ T. Pour tout T ⊂ Ω′, posons v_{T} = Σ_{i∈T}v_{i}. L’égalité [T, m] + [U, n] = [T + U, m + n] nous permet de poser la

4.1.1. Définition. Λ_{24} = ⋃[T, m], l’union étant faite sur tous les T ∈ C, m ∈ ℤ. C’est un réseau appelé réseau de Leech .

On a alors la

4.1.2. Proposition. Λ_{24} est engendré par les 759 vecteurs 2v_{T} avec T ∈ C_{8} et n’importe quel vecteur de Λ_{24} dont toutes les coordonnées sont impaires, e.g., le vecteur v_{Ω} − 4v_{∞}. Si v, w ∈ Λ_{24}, alors v · w est un multiple de 8 et v · v de 16.

// En effet, appelons X,Y et Z les réseaux engendrés respectivement par les vecteurs de la forme 2v_{K} (K ∈ C_{8}), 4v_{T} (T ∈ Ω_{4}), 4v_{i} − 4v_{j} (i, j ∈ Ω). Il est clair que Z = [∅, 0] et Y = [∅, 4ℤ]. Supposons que Y ⊂ X, alors X = [C, 4ℤ] puisque C_{8} engendre C. Ainsi, les 759 vecteurs générateurs de X engendrent, avec n’importe quel vecteur de Λ_{24} à coordonnées impaires,ce réseau. Montrons que Y ⊂ X pour achever la preuve. Soit T = T_{0} une tétrade (i.e. un élément de Ω_{4}, l’ensemble des parties de Ω de cardinal n). On sait qu’elle est contenue dans 5 octades que l’on peut écrire sous la forme T + T_{i} avec 1 ⩽ i ⩽ 5 et T_{i} ∈ Ω_{4}, disjoints. Comme T_{i} + T_{j} = (T + T_{i}) + (T + T_{j}), l’union de deux éléments quelconques de Ξ(T) = {T_{0}, …, T_{5}} est une octade. Si T, U, V sont trois membres distincts de Ξ(T) on a l’égalité: 4v_{T} = 2v_{T +U} + 2v_{T +V} − 2v_{U+V}. Le premier résultat en découle et il suffit de vérifier le second sur ces vecteurs. //

Notons Λ_{n} les éléments v de Λ_{24} tels que v · v = 16n. Λ_{n} est alors l’ensemble des vecteurs x à coordonnées entières x_{i} telles que:

1. Σx_{i} = 4m

2. Les x_{i} sont tous congrus à m modulo 4

3. L’ensemble des i pour lesquels x_{i} prend une valeur donnée modulo 4 est un élément de code de Golay

4. La somme des carrés de x_{i} est 16n

On montre alors sans difficulté que Λ_{1} est vide si bien que c’est Λ_{2}, dont on peut préciser maintenant la structure (cf annexe), qui va jouer un rôle primordial dans l’analyse de Λ_{24}.

4.2. Série Thêta associée. Suivant [5], auquel on renvoit le lecteur pour certaines démonstrations (et définitions!), on dit qu’un réseau Γ de ℝ^{n} est type II si:

1. Son dual Γ′ = {y ∈ ℝ^{n} | ∀x ∈ Γ x · y ∈ ℤ} est égal à Γ (Γ est dit unimodulaire)

2. On a x · x ∈ 2ℤ pour tout x ∈ Γ

Dans ce cas, on note r_{Γ}(m) le nombre d’éléments x de Γ tels que x · x = 2m. Comme r_{Γ}(m) = O(m^{n/2}), la série entière ∑_{m≥0}r_{Γ}(m)q^{m} converge pour |q| < 1, ce qui permet de définir

une fonction Θ_{Γ} sur le demi-plan H = {z | ℑz > 0} par:

Θ_{Γ}(z) = ∑_{m⩾0}r_{Γ}(m)q^{m} (où q = e^{2iπz})

4.2.1. Proposition. Sous ces hypothèses, n est divisible par 8 et la fonction Θ_{Γ} est une forme modulaire de poids n/2.

// L’essentiel est de connaître la formule de Poisson, le principe de prolongement analytique et d’utiliser le fait que Γ est unimodulaire. //

Le ℂ − ev des formes modulaires de poids 12 est de dimension 2 et admet pour base:

E_{6} = 1 + \frac{65520}{691} ∑_{m⩾1}σ_{11}(m)q^{m}

F = (2π)^{−12}Δ = q ∏_{m⩾1}(1 − q^{m})^{24} = ∑_{m⩾1}τ(m)q^{m}

où τ est la fonction de Ramanujan. Si l’on considère, non pas Λ_{24} comme il a été défini, mais Λ_{24}/\sqrt{8}, noté ici Λ̃, on a un réseau de type II (voir [2]), en dimension 24. La fonction thêta associée à ce réseau s’écrit donc ΘΛ̃ = E_{6} +cΛ̃F. Sachant que Λ_{1} est vide, on en déduit le cardinal de Λ_{n} pour tout n grâce à la formule rΛ̃(m) = \frac{65 520}{691}(σ_{11}(m) − τ(m)) et la connaissance du facteur de ”normalisation” pour passer de Λ̃ à Λ_{24}. En particulier, on retrouve |Λ_{2}| = 196 560 et l’on a |Λ_{4}| = 398 034 000.

4.2.2. Remarques. Les premiers termes de la série thêta sont intéressants: si Θ_{Γ} = 1 + τq^{2ϱ^{2}} + ⋯ τ désigne le ”kissing number”, i.e. le nombre de points du réseau à distance minimale de l’origine et ϱ est le ”packing radius”. C’est précisément dans ce contexte (d’empilements de sphères) que le réseau de Leech est apparu. On peut caractériser Λ̃ par le fait qu’il est de type II et ne possède pas de vecteurs de norme \sqrt{2} (cf [2]). Ceci rend le réseau de Leech plus universel, malgré sa définition un peu parachutée... D’ailleurs:

1. Les meilleurs empilements connus de sphères obtenus par des réseaux en dimension inferieure à 24 sont des sections du réseau de Leech.

2. Bien que la réponse soit inconnue en de nombreuses ”petites” (e.g. 4) dimensions, on sait qu’en dimension 24 le ”kissing number” maximal est 196 560.

5. Les groupes ·0, N et ·1

5.0.3. Définition. On définit le groupe ·0 (ou Co_{0}) comme étant le sous-groupe de O_{24}(ℝ) qui stabilise Λ_{24}.

Quelques notations: Si π est une permutation de Ω on peut l’étendre de facon évidente à une isométrie de ℝ^{24}, encore notée π. Pour T ⊂ Ω on définit ε_{T} par ε_{T} v_{i} = ∓v_{i} suivant que i ∈ T ou non. Notons: Λ_{n}^{i} l’ensemble des éléments x ∈ Λ_{n} tels que max |x_{k}| = i E(x) l’ensemble des éléments de E orthogonaux à x

Voici deux résultats préliminaires pour mieux connaitre ·0.

5.0.4. Théorème. Les conditions suivantes sur λ ∈ ·0 sont équivalentes:

1. λv_{i} = ±v_{j} pour i, j ∈ Ω

2. λ = ε_{T} π pour un π ∈ M_{24} et un T ∈ C Ceux-ci forment un sous-groupe N = (ℤ/2ℤ)^{24} ⋉ M_{24} de ·0.

// La seconde implication est triviale, montrons donc la première. L’hypothèse montre que la i-ième colonne de la matrice de λ contient une seule valeur non nulle ±1 à la j-ième ligne. C’est la seule entrée non nulle de cette ligne par orthogonalité de λ. L’image de 4v_{i} + 4v_{k} par λ (k ≠ i) a donc une coordonnée égale à ±4 et est dans Λ_{2} si bien qu’il est dans Λ_{2}^{4} (cf annexe). (Les éléments de C sont de cardinal 0, 8, 12, 16 ou 24). Ainsi la k-ième colonne contient elle aussi seulement un ±1. λ = ε_{T} π pour une permutation π et un ensemble T. Mais si C ∈ C, les coordonnées non nulles de λ(2v_{C}) se trouvent dans πC donc π préserve C et est dans M_{24}. De même les coordonnées congruentes à 3 (mod 4) de λ(v_{Ω} − 4v_{∞}) sont dans T... //

5.0.5. Remarque. On montre facilement que N est transitif sur Λ_{2}^{2}, Λ_{2}^{3}, et Λ_{2}^{4}. (voir [6] pour les détails)

5.0.6. Théorème. Un élément λ de ·0 fixant globalement Λ_{2}^{4} est dans N.

// Soit H le sous-groupe de ·0 fixant globalement Λ_{2}^{4} et posons x = 4v_{i} + 4v_{j}. On peut supposer d’après la remarque précédente que λ ∈ H_{x}. N_{x} a deux orbites sur Λ_{2}^{4}(x): celle consistant en les deux vecteurs ±(4v_{i} − 4v_{j}) et les 924 vecteurs ±4v_{k} ± 4v_{l} pour lesquels i, j, k, l sont distincts. Puisque N ⩽ H les orbites de H_{x} sur Λ_{2}^{4}(x) sont leur union ou bien les mêmes. Le premier cas est impossible car alors H_{x} aurait une orbite de cardinal 926, mais on sait que l’on ne peut avoir d’éléments de ·0 d’ordre premier > 23 (et 463 l’est!). En effet, le polynôme minimal μ d’un tel endomorphisme est irréductible sur ℚ et a au moins une racine p-ième primitive de l’unité comme racine. Il s’agit donc du polynôme cyclotomique de degré φ(p) = p − 1 ⩽ 24 … On se trouve donc dans le second cas et H_{x} transforme 4v_{i} − 4v_{j} en lui même ou son opposé. Alors, soit λ fixe v_{i}, soit elle l’envoie sur v_{j}. Dans les deux cas λ ∈ N par le théorème précédent. //

5.0.7. Remarque. On montre de la même façon que ·0 ne contient pas d’élément d’ordre 13 · 23.

5.1. N < ·0.

5.1.1. Théorème. N est un sous-groupe propre de ·0

// Soit T ∈ Ω_{4}, et Ξ = Ξ(T) défini comme précédement. Posons η = η_{Ξ} l’isométrie envoyant v_{i} sur v_{i} − \frac{1}{2}v_{U} si i ∈ U ∈ Ξ. On va voir que ζ_{T} = ε_{T} η ∈ ·0 en regardant son action sur les vecteurs qui engendrent Λ_{24}. Ecrivons Ξ = {U, V, W, X, Y, Z} et supposons que K ∈ C_{8}. Comme deux octades s’intersectent en 0, 2, 4 ou 8 points. On se trouve donc, à permutation près, dans un des trois cas suivant:

1. K = U ∪ V

2. K intersecte U, V, W, X en deux points

3. K intersecte Z en trois points et U, V, W, X, Y en un point Si l’on pose y = ε_{Z}η(2v_{K}) on a respectivement: y = ε_{Z}(2v_{K} − 4v_{U+V}) = ε_{Z}(−2v_{K}) = −2v_{K} y = ε_{Z}(2v_{K} − 2v_{U+V +W +X}) = ε_{Z}(−2v_{K+U+V +W +X}) = −2v_{K+U+V +W +X} y = ε_{Z}(2v_{K} − 3v_{Z} − v_{Ω\Z}) = 2v_{K\Z} − 2v_{Z∩K} + 3v_{Z} − v_{Ω\Z} = ε_{K}(4v_{Z\K} − v_{Ω})

Ainsi y ∈ Λ_{24} dans chaque cas, et puisque Z + T ∈ C le vecteur y = ζ_{T} (2v_{K}) = ε_{Z+T} y est aussi dans Λ_{24}. Pour s’assurer du fait que ζ_{T} ∈ ·0, il faut vérifier son action sur un vecteur de Λ_{24} à coordonnées impaires, comme ce qui a déjà été traité grâce au troisième cas puisque c’est une involution. //

5.2. Calcul de l’ordre de ·0.

5.2.1. Théorème. L’ordre de ·0 est 8 315 553 613 086 720 000

// Plus précisément, on montre que ·0 agit transitivement sur Λ_{2}, Λ_{3} et Λ_{4}, qu’il est engendré par N et ζ_{T} et que l’indice de N dans ·0 est \frac{|Λ_{4}|}{48}. En effet, ζ_{T} envoie certains éléments de Λ_{2}^{2} sur Λ_{2}^{3} et si i, j sont dans deux tétrades distinctes de Ξ(T), ζ_{T} envoie 4v_{i} + 4v_{j} dans Λ_{2}^{2}. Ainsi < N, ζ_{T} > est transitif sur Λ_{2}. On montre par le même genre de petits calculs, qu’il en est de même de Λ_{3} et Λ_{4} (cf [2]). N envoie 8v_{∞} sur les 48 ±8v_{i} et tout élément de ·0 faisant de même est dans N. On en déduit les résultats énoncés et le théorème. //

5.3. Maximalité de N.

5.3.1. Théorème. N est un sous-groupe maximal de ·0.

Pour les besoins de la démonstration, on considère un sous-groupe H de ·0 contenant strictement N. On a alors les

5.3.2. Théorème. H agit transitivement sur Λ_{2}.

// Les orbites de N sur Λ_{2} sont les ensembles Λ_{2}^{i} (i =2, 3, 4), ainsi les orbites de H doivent être des réunions de celles-ci. L’orbite de H contenant Λ_{2}^{4} ne peut être réduite à cet ensemble par le théorème 5.0.7 pour des raisons de cardinalité, ni à Λ_{2}^{4} ∪ Λ_{2}^{2} ou Λ_{2}^{4} ∪ Λ_{2}^{3}, d’après la démonstration du même théorème, et doit donc être Λ_{2} tout entier. //

5.3.3. Théorème. H_{x} agit transitivement sur Λ_{2}(x) pour tout x ∈ Λ_{2}.

// Si l’on prend x = v_{Ω} − 4v_{∞}, ce que l’on peut supposer par transitivité, N_{x} et H_{x} contiennent α : v_{i} ↦ v_{i+1} qui est d’ordre 23 et ne fixe aucun élément de Λ_{2}(x), si bien que chaque orbite de Λ_{2}(x) suivant H_{x} est d’ordre divisible par 23. Par transitivité encore, il doit en être de même si on prend un autre x ∈ Λ_{2}, e.g. x = 4v_{i} + 4v_{j}. Dans ce cas, les orbites de N_{x} sur Λ_{2}(x) consistent en les:

2 points ±(4v_{i} − 4v_{j}) \binom{22}{2} · 2^{2} points ±4v_{h} ± 4v_{k} (h, i, j, k) distincts 330 · 2^{7} points ε_{C}(2v_{K}) (K ∈ C_{8}, {i, j} ∩ K = ∅, C ∈ C) 77 · 2^{6} points ε_{C}(2v_{K}) ({i, j} ⊂ K ∈ C_{8}, C ∈ C, |C ∩ {i, j}| = 1) 22 · 2^{11} points ε_{C}(4v_{k} − v_{Ω}) (k ∈ Ω \ {i, j}, C ∈ C, |C ∩ {i, j}|)

Les détails sont laissés au lecteur, qui pourra utiliser les tables de l’annexe, ou consulter [6]. Les orbites de H_{x} sur Λ_{2}(x) doivent être des unions de ces ensembles et être de cardinal divisible par 23. Puisque les nombres précédents sont congrus à 2, 4, 12, 6, 22 (mod 23) la seule possibilité est que H_{x} agisse transitivement. //

On est donc en mesure de prouver le théorème annoncé.

// Le cardinal de Λ_{2} est 196 560 et celui de Λ_{2}(x) est 93 150 pour tout x ∈ Λ_{2}, d’après la démonstration précédente, si bien que |H| = 196 560 · 93 150 · |H_{x,y}| pour toute paire orthogonale x, y ∈ Λ_{2}. Si l’on prend x = 4v_{i} + 4v_{j} et y = 4v_{i} − 4v_{j} alors, si λ fixe x et y elle fixe v_{i}, et se trouve donc dans N. Ainsi, dans ce cas, H_{x,y} = N_{x,y} qui est un groupe d’ordre 2^{10}|M_{22}|, car il s’agit de N_{v_{i},v_{j}}, lui même étant l’ensemble des ε_{C}π, où π ∈ M_{22} et C ∈ C ne contenant ni i, ni j. L’ordre de H ne dépend que du fait qu’il contient strictement N: c’est donc ·0, dont on retrouve l’ordre. //

5.4. Simplicité de ·1.

5.4.1. Théorème. Le centre de ·0 est d’ordre 2.

// Λ_{24}, vu comme ℂ[·0]-module, est irréductible. Donc, par le lemme de Schur, tout élément dans le centre de ·0 est une homothétie, qui ne peut être que ±id. //

5.4.2. Définition. On définit ·1 comme le groupe quotient de ·0 par son centre. On regarde l’action de ·1 sur Λ̄_{2}, l’ensemble des diamètres de Λ_{2}, i.e. les paires {x, −x} avec x ∈ Λ_{2}.

5.4.3. Théorème. ·0 agit transitivement sur les paires ordonnées de vecteurs de Λ_{2} de produit scalaire donné.

La preuve, facile mais longue, se trouve dans [6]. On en déduit que:

1. ·1 agit sur les 98 280 diamètres de Λ̄_{2} de telle sorte que le stabilisateur de chaque diamètre a des orbites d’ordre 1, 4 600, 47 104, 46 575. On peut en effet supposer que x = 4v_{i} + 4v_{j} et décrire explicitement les y ∈ Λ_{2} tels que ±x · y ∈ {0, 8, 16, 32}

2. ·1 agit primitivement sur Λ̄_{2}.

Comme ·0 est transitif sur Λ_{2}, ·1 l’est sur Λ̄_{2}. Les ensembles d’imprimitivité seraient tous de même cardinal m | 98 280. Soit x ∈ S, un de ces ensembles. Il existe y ∈ S dont l’orbite sous ·1_{x} a pour ordre 4 600, 47 104 ou 46 575. Donc m est supérieure à l’un de ces nombres qui ne divisent pas 98 280, si bien que m ⩾ 1 + 4 600 + 46 575 et S = Λ̄_{2}.

Nous sommes en mesure de prouver le

5.4.4. Théorème. ·1 est simple.

// Cela revient à montrer que ·0 n’a pas de sous groupe normal strict H contenant strictement {±id}. D’après le 2), un tel groupe doit agir transitivement sur Λ̄_{2} sur les orbites de H sur Λ̄_{2} sont globalement conservées par ·1. Donc 13 divise H. L’argument de Frattini montre que ·0 est le produit de H par le normalisateur d’un 13-sylow P de H. Comme 23 divise | · 0| = \frac{|N_{·0}(P)||H|}{|N_{·0}(P)∩H|}, 23 divise |N_{·0}(P)| ou |H|. Dans le premier cas, il existe λ ∈ N_{·0}(P) d’ordre 23, si bien que < λ > P est un sous-groupe de ·0 d’ordre 13 · 23, nécessairement cyclique, ce qui est impossible. Ainsi H a un élément d’ordre 23 et H ∩ N est un sous-groupe normal de N d’ordre divisible par 23 car 23 divise une seule fois l’ordre de ces deux groupes. M_{24}(H ∩ N) ⩽ N et, pour les mêmes raisons que précédement, 23 divise M_{24} ∩ H ∩ N, qui est distingué dans M_{24}. H ∩ N contient donc M_{24}. Grâce à la transitivité de M_{24} sur C_{8} et l’utilisation d’un Ξ(T), on montre que H = N, car N est maximal. Il suffit maintenant de voir que N n’est pas distingué dans ·0. En effet, considérons ζ_{T} comme au 5.1.2, et ϑ ∈ M_{24} envoyant T_{1} + T_{2} sur T_{3} + T_{4}. L’action de ζ_{T} ϑζ_{T}^{−1} sur 4v_{i} + 4v_{j} dès que i ∈ T_{1} et j ∈ T_{2} sont envoyés dans la même tétrade (c’est possible, cf [6]), nous donne la contradition souhaitée. QED //

6. Bibliographie

[1] J.H. Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000. in Bull. London Math. Soc.,1 (1969), 79-88.

[2] J.H. Conway, N.J. Sloane. Sphere packings, Lattices and Groups. Springer-Verlag, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, volume 290, 1988.

[3] D. Gorenstein. Finite Simple Groups: An introduction to their classification. Plenum Press, 1982.

[4] J.J. Rotman. An Introduction to the Theory of Groups. Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 148, 1994.

[5] J.P. Serre. Cours d’arithmétique. PUF, 1970.

[6] T.M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. The Carus Mathematical Monographs, Number twenty-one, 1983.

Annexe A.

Nous explicitons dans cette annexe quelques calculs et résultats qui nous ont servi dans différentes démonstrations.

•N = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18} •(γδ^{2})^{5} = γ et (γδ^{2})^{8} = δ, d’où la suffisance de 3 générateurs pour M_{24}.

• Un triangle fort utile...

Soit {a_{1}, a_{2}, ..., a_{8}} une octade. Le nombre d’octades intersectant {a_{1}, ..., a_{i}} en {a_{1}, ..., a_{j}} est la j + 1^{eme} entrée de la i + 1^{eme} ligne du tableau ci-dessous.

759

506 253
330 176 77
210 120 56 21
130 80 40 16 5
78 52 28 12 4 1
46 32 20 8 4 0 1
30 16 16 4 4 0 0 1
30 0 16 0 4 0 0 0 1

En effet, si {a_{1}, a_{2}, ..., a_{8}} est une octade, le nombre d’octades contenant {a_{1}, ..., a_{i}} est exactement 759 · \binom{8}{i}/\binom{24}{i} si i ⩽ 5, 0 sinon. Le reste du tableau s’en déduit car le tableau vérifie une propriété de ”triangle de Pascal”.

Annexe B.

Structure de Λ_{2}

Λ_{2}^{2} a 759 · 2^{7} vecteurs de la forme ((±2)^{8}, 0^{16}), où les coordonnées non nulles sont dans un élément de

C et ont un produit positif. Λ_{2}^{3} a 24 · 2^{12} vecteurs de la forme ((±3), (±1)^{23})), où les coordonnées congrues à 1 (mod 4) sont dans

un élément de C. Λ_{2}^{4} a \binom{24}{2} · 2^{2} vecteurs de la forme ((±4)^{2}, 0^{22}).