Introduction aux superalgèbres de Lie

J-F. Bony  S. Ribault

Sous la direction de M. Pierre Cartier

1 Définitions

1.1 Les algèbres de Lie

Une algèbre de Lie L est un espace vectoriel muni d’un produit [., .] bilinéaire vérifiant les axiomes :

– d’anticommutativité [x, y] = −[y, x]

– de Jacobi [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

Un idéal I de L est un sous-espace absorbant pour [., .]. {0} et L sont les deux idéaux triviaux de L. On dit que I est abélien si [., .] |_{I}= 0.

Pour x ∈ L on définit un endomorphisme linéaire ad_{x} de L par ad_{x}(y) = [x, y].

Si L est de dimension finie sa forme de Killing est l’application bilinéaire tr(ad_{x}ad_{y}).

L est dite simple si elle n’a pas d’idéal non trivial. L est dite semi-simple si l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

– Sa forme de Killing est non dégénérée.

– L n’a pas d’idéal abélien non nul.

1.2 Les algèbres graduées

Dans la suite K est un corps de caractéristique ≠ 2, 3.

Définition 1 – On appelle espace vectoriel Γ-gradué, où Γ est un groupe abélien, un K-espace vectoriel V = ⨁_{γ∈Γ} V_{γ}.

– Un élément x ∈ V est dit homogène de degré β ∈ Γ si x ∈ V_{β}. Alors on note β = |x|.

– Soit U ⊂ V un sous-espace. Il est dit Γ-gradué si U = ⨁_{γ∈Γ}(U ∩ V_{γ}), c’est-à-dire si les composantes homogènes d’un élément de U appartiennent à U.

– Soient V et W des espaces vectoriels Γ-gradués. Une application linéaire g : V → W est dite homogène de degré β ∈ Γ si ∀γ ∈ Γ g(V_{γ}) ⊂ W_{γ+β}.

Définition 2 – On appelle algèbre Γ-graduée un espace vectoriel Γ-gradué V muni d’un produit bilinéaire compatible avec la graduation (i.e. ∀α, β ∈ Γ V_{α}V_{β} ⊂ V_{α+β}).

– Soient V et W deux algèbres Γ-graduées. On dit que h : V → W est un morphisme d’algèbres Γ-graduées si h est une application linéaire homogène de degré 0 et si ∀x, y ∈ V h(xy) = h(x)h(y).

– Soit V une algèbre Γ-graduée et W ⊂ V. On dit que W est une sousalgèbre graduée (un idéal gradué) si W est une sous-algèbre (un idéal) et un sous-espace Γ-gradué .

Le noyau d’un morphisme d’algèbres Γ-graduées est un idéal Γ-gradué et son image est une sous-algèbre Γ-graduée .

L’algèbre tensorielle d’un K-espace A: T = ⨁_{n=0}^{n=∞} ⨂^{n} A (⨂^{0} A = K) est un exemple d’algèbre Z-graduée. On obtient d’autres algèbres Z-graduées en quotientant T par un idéal gradué :

– l’algèbre symétrique du K-espace A: S = T/I , I étant l’idéal engendré par les x ⊗ y − y ⊗ x.

– l’algèbre extérieure du K-espace A: Λ = T/I , I étant l’idéal engendré par les x ⊗ y + y ⊗ x (I est gradué car x ⊗ y + y ⊗ x est homogène).

Dorénavant on ne considèrera plus que des algèbres Z/2Z-graduées. Néanmoins on peut étendre les résultats pour tout groupe Γ possédant un sous-groupe d’indice 2 (i.e. muni d’un morphisme de groupe surjectif de Γ dans Z/2Z).

Définition 3 On appelle superalgèbre de Lie une algèbre Z/2Z-graduée L = L_{0} ⊕ L_{1} dont le produit vérifie

∀x, y homogènes [x, y] = −(−1)^{|x||y|}[y, x]  (1)
∀x, y, z homogènes [x, [y, z]] = [[x, y], z] + (−1)^{|x||y|}[y, [x, z]]  (2)

La première équation traduit la (super)anticommutativité du produit, alors que la seconde s’appelle l’identité de Jacobi. Il est clair que si L_{1} = 0, on retrouve la définition d’une algèbre de Lie.

1.3 Exemple fondamental

Soit G une algèbre Z/2Z-graduée associative. On la munit d’une structure de superalgèbre de Lie en posant ∀x, y homogènes [x, y] = xy − (−1)^{|x||y|}yx. Le crochet est alors clairement anticommutatif et la relation de Jacobi découle de l’associativité du produit.

En particulier, soit V un espace Z/2Z-gradué. On note End_{β}V l’ensemble des applications linéaires homogènes de degré β. Alors End′V = ⨁ End_{β}(V) est une superalgèbre de Lie pour la loi

∀y, z homogènes [y, z] = y ∘ z − (−1)^{|z||y|}z ∘ y  (3)

(Plus généralement si Γ est quelconque et V espace Γ-gradué on définit de même End′(V). Notons que End′(V) ≠ End(V), cette égalité est cependant vraie s’il existe une partie finie I de Γ telle que ∀α ∈ Γ α ∉ I → V_{α} = 0).

Définition 4 On appelle représentation d’une superalgèbre de Lie L dans un espace Z/2Z-gradué V de dimension finie, un morphisme de superalgèbres de Lie de L dans End′(V). On dit aussi que V est un L-module.

Une représentation injective est dite fidèle. Si V ne possède pas de sousespace stable par L, on dite que la représentation est simple. Si tout sousespace de V stable par L posséde un supplémentaire stable par L on dit que la représentation est semi-simple.

Soit L une superalgèbre de Lie. On pose pour x ∈ L: ad_{x}(y) = [x, y]. Alors ad : x → ad_{x} est une représentation de L dans L. On l’appelle la représentation adjointe de L.

Définition 5 Soit V une algèbre Z/2Z-graduée. On appelle dérivation de degré β ∈ Z/2Z une application linéaire D : V → V homogène de degré β vérifiant

∀y, z homogènes D(yz) = (Dy)z + (−1)^{β|y|}yDz  (4)

On note Der_{β}(V) l’ensemble des dérivations de degré β et Der(V) = ⨁_{β} Der_{β}(V)

Proposition 1 Soit L une superalgèbre de Lie, Der(L) est une sous-superalgèbre de Lie graduée de End′(L). Pour tout x ∈ L ad_{x} est une dérivation de L, homogène de degré β si x est homogène de degré β. En outre ad : x → ad_{x} est un morphisme de L dans Der(L). De plus l’image de L par ad est un idéal gradué de Der(L).

(L’image de L par ad est non seulement une sous-superalgèbre de Lie graduée mais aussi un idéal car si d est une dérivation de degré β et x homogène alors on montre par le calcul que [ad_{x}, d] = −(−1)^{β|x|}ad_{dx})

La définition suivante est donc justifiée : dans une superalgèbre de Lie L une dérivation D est dite intérieure si ∃x ∈ L ∀y ∈ L Dy = [x, y]. Sinon elle est dite extérieure.

1.4 Autre exemple

Soit M une variéte de classe C^{∞} , de dimension n. Ω(M) = ⨁ Ω^{i}(M) est une algèbre associative graduée pour le produit extérieur et on connaît les dérivations graduées i_{X}, L_{X}, d de degrés respectifs -1, 0, 1. Par ailleurs dans la superalgèbre de Lie des dérivations graduées on a [i_{X}, d] = L_{X} et [L_{X}, i_{Y}] = i_{[X,Y]}. Par ailleurs l’algèbre de cohomologie est une algèbre graduée, et en général on peut définir une algèbre de cohomologie à partir de toute dérivation graduée de carré nul.

2 Théorèmes de structure

Dans cette partie on considère une superalgèbre de Lie L = L_{0} ⊕ L_{1}.Nos résultats seront des généralisations de théorèmes consenant les algèbres de Lie.

2.1 L’algèbre enveloppante

Définition 6 Soit A une algèbre associative. Une α-application de L dans A est un morphisme de superalgèbres de Lie de L dans A (muni de sa structure canonique de superalgèbre de Lie).

Définition 7 On appelle algèbre enveloppante de L toute algèbre associative U vérifiant les deux propriétés :

– Il existe une α-application ϵ de L dans U (c’est-à-dire une application linèaire ϵ telle que pour x, y homogènes ϵ([x, y]) = ϵ(x)ϵ(y)−(−1)^{|x||y|}ϵ(y)ϵ(x)).

– Toute α-application f de L dans une algèbre associative A se factorise de manière unique par U et s’écrit f = g ∘ϵ, g étant un morphisme d’algèbres associatives.

Théorème 1 L’algèbre enveloppante existe et est unique (à isomorphisme près).

Prouvons l’unicité: soient (U,ϵ) et (V,ζ) deux algèbres enveloppantes. On peut écrire ζ = ϕ∘ϵ et ϵ = ψ ∘ζ. Mais alors l’α-application ϵ de L dans U admet deux factorisations par U: ϵ = I_{U} ∘ ϵ et ϵ = ψ ∘ ϕ ∘ ϵ. Par unicité d’une telle factorisation:ψ ∘ ϕ = I_{U}.

Construisons maintenant une algèbre enveloppante: on note T l’algèbre tensorielle de L et I l’idéal de T engendré par les x⊗y −(−1)^{|x||y|}y ⊗x−[x, y] pour x,y homogènes (ou x,y dans L_{0}∪L_{1}). On pose U = T/I et ϵ défini naturellement. On va vérifier successivement les deux propriétés de la définition.

– ϵ est une α-application par construction.

– Soit A une une algèbre associative et f une α-application de L dans A. f s’étend de manière unique en un morphisme d’algèbres associatives g de T dans A. Mais pour x, y homogènes g(x ⊗ y − (−1)^{|x||y|}y ⊗ x − [x, y]) = g(x)g(y) − (−1)^{|x||y|}g(y)g(x) − g([x, y]) = f(x)f(y) − (−1)^{|x||y|}f(y)f(x) − f([x, y]) = 0 car f est une α-application . Donc g se factorise en une unique application h de U dans A et il est clair que h ∘ ϵ = f.

Remarquons que ϵ(L) engendre U (en tant qu’algèbre).

2.2 Le théorème de Birkhoff-Witt

On se propose de préciser la structure de U dans le cas où L admet une base B = {x_{i}}_{i∈I} adaptée à la graduation, avec I bien ordonné et x_{i} ∈ L_{1}, j > i ⇒ x_{j} ∈ L_{1}.

On définit l’ensemble D (comme Dictionnaire) des mots M de I par

D = {M = (i_{1}, ... i_{m}), i_{1} ≤ i_{2} ≤ ... ≤ i_{m}, x_{i_{j}} ∈ L_{1} ⇒ i_{j} < i_{j+1}  (5)

(∀i ∈ I, M ∈ D) posons i ≤ M ⇔ i < i_{1} ou (i = i_{1} et x_{i_{1}} ∈ L_{0}). Alors on écrit iM = (i, i_{1}, ... i_{m}). On note a_{M} = ϵ(x_{i_{1}})... ϵ(x_{i_{m}}) ∈ U. On appelle a_{N}, N = (i_{1}, ... i_{n}) quelconque un monôme.

Théorème 2 de Birkhoff-Witt (version 1): Alors l’ensemble des ”mots” a_{M} est une base de U.

Corollaire 1 ϵ est injective.

2.3 Démonstration du théorème de Birkhoff-Witt

Les monômes engendrent U en tant qu’espace vectoriel puisque ϵ(L) engendre U en tant qu’algèbre. Reste à se contenter des seuls mots. Pour cela on écrit tout monôme comme combinaison linéaire de mots, en utilisant les égalités ϵ(x_{i_{j}})ϵ(x_{i_{j+1}}) = ±ϵ(x_{i_{j+1}})ϵ(x_{i_{j}}) + ϵ([x_{i_{j}}, x_{i_{j+1}}]) et si x_{i} ∈ L_{1} ϵ(x_{i})ϵ(x_{i}) = \frac{1}{2}ϵ([x_{i}, x_{i}]) , qui découlent du fait que ϵ est une α-application.

On vient de voir que la famille des mots est génératrice. Montrons qu’elle est libre.

Soit V un K-espace vectoriel de base D (on notera M′ un élément de D vu comme vecteur de V).

Lemme 2.1 Il existe une structure de L-module (i.e. une représentation de L) sur V telle que ∀i ∈ I, M ∈ D i ≤ M ⇒ x_{i}M′ = iM′.

Pour montrer ce lemme on définit x_{i}M′ par ”récurrence” sur |M| et i. L’hypothèse de récurrence est la suivante: ”(∀j ∈ I et |N| < m) et (∀j < i et |N| = m) x_{j}N′ est défini de telle sorte que j ≤ N ⇒ x_{j}N′ = jN′ et x_{j}N′ est une Kcombinaison linéaire de M′ tels que |M| ≤ |N|+1.” Le cas |M| = 0 (M = ∅) est trivial: on pose x_{i}∅′ = (i)′. Si maintenant on suppose l’hypothèse de récurrence on distingue les cas

– i ≤ M : alors on pose x_{i}M′ = iM′.

– M = jN, j < i: x_{i}M′ = (−1)^{|x_{i}||x_{j}|}x_{j}(x_{i}N′) + [x_{i}, x_{j}]N′.

– M = iiN, x_{i} ∈ L_{1} : x_{i}M′ = \frac{1}{2}[x_{i}, x_{i}]iN′.

Dans les deux derniers cas on s’est ramené à des situations connues en utilisant la définition d’un L-module, les égalités obtenues sont nécessaires. L’hypothèse de récurrence se conserve bien.

Il s’agit de vérifier que ceci définit bien une structure de L-module, c’est-à-dire x_{i}x_{j}M′ = (−1)^{|x_{i}||x_{j}|}x_{j}x_{i}M′ + [x_{i}, x_{j}]M′. On procède par récurrence sur |M| en écrivant M = kN, et les cas sont légion. En particulier, dans le cas x_{i}x_{i}(iM)′, x_{i} ∈ L_{1} on a besoin de [x_{i}, [x_{i}, x_{i}]] = 0 alors que l’identité de Jacobi donne 3[x_{i}, [x_{i}, x_{i}]] = 0. On suppose donc car(K ) ≠ 3.

Revenons à notre théorème: par définition de U l’α-application de L dans l’ensemble des opérateurs linéaires de V que nous venons de construire se factorise par U et V devient ainsi un U-module. Une récurrence sur |M| montre que a_{M}∅′ = M′ (a_{∅} = 1 et si M = iN (i ≤ N) alors a_{M}∅′ = x_{i}a_{N}∅′ = x_{i}N′ = M′). Si Σk_{M}a_{M} = 0 alors Σk_{M}M′ = 0 donc ∀M k_{M} = 0.

2.4 Une réincarnation du théorème de Birkhoff-Witt

Définition 8 Soit U^{n} le sous-espace de U engendré par les ϵ(x_{1})... ϵ(x_{m}) avec m ≤ n. Soit Gr_{n}U = U^{n}/U^{n−1}. Soit GrU = ⨁_{n=0}^{∞} Gr_{n}U.

On munit GrU d’une structure d’algèbre associative graduée absolument indépendante de la graduation de L par passage au quotient de la multiplication de U: ceci est possible car U^{n}U^{m} ⊂ U^{m+n}, ainsi si x ∈ U^{n}, y ∈ U^{m}, x = x′ mod U^{n−1} et y = y′ mod U^{m−1} alors xy − x′y′ = x(y − y′) − y′(x′ − x) ∈ U^{m+n−1}.

Quelques remarques:

– ϵ(L) = U^{1}

– De l’α-application ϵ de L dans U on déduit naturellement une α-application Grϵ de L dans GrU.

– De même que ϵ(L) engendre l’algèbre U, Grϵ(L) engendre GrU.

– ϵ est une α-application implique (x ou y ∈ L_{0}) ⇒ Grϵ(x) et Grϵ(y) commutent et (x et y ∈ L_{1}) ⇒ Grϵ(x) et Grϵ(y) anticommutent (en effet ϵ([x, y]) = ϵ(x)ϵ(y) − (−1)^{|x||y|}ϵ(y)ϵ(x) donc Grϵ(x)Grϵ(y) = (−1)^{|x||y|}Grϵ(y)Grϵ(x)).

On note S = S(L_{0}) l’algèbre symétrique sur L_{0} et Λ = Λ(L_{1}) l’algèbre extérieure sur L_{1}. Soit G = S ⊗ Λ. G est une algèbre associative pour la loi multiplicative construite canoniquement à partir des produits dans S et Λ. Étant donnée Grϵ de L dans GrU linéaire on en déduit par factorisation deux morphismes canoniques d’algèbres des algèbres tensorielles de L_{0} et L_{1} dans GrU. Or Grϵ(x)Grϵ(y) = (−1)^{|x||y|}Grϵ(y)Grϵ(x). Donc ces morphismes se factorisent canoniquement par S et Λ respectivement. On a donc un morphisme canonique d’algèbres associatives Φ de G dans GrU.

Théorème 3 de Birkhoff-Witt (version 2): Φ est un isomorphisme d’algèbres associatives entre G = S(L_{0}) ⊗ Λ(L_{1}) et GrU.

2.5 Preuve de cette nouvelle version

D’abord Φ est trivialement surjective, puisque GrU est engendrée par Grϵ(L) et que factoriser une application ne change rien à son caractère surjectif.

Pour prouver l’injectivité de Φ il suffit de montrer qu’il n’y a pas de relation de dépendance linéaire non triviale entre les images par Φ des éléments d’une famille génératrice de G. Considérons la famille génératrice {b_{M} = u(x_{i_{1}})... u(x_{i_{h}})⊗ v(x_{i_{h+1}})... v(x_{i_{m}}), M = (i_{1}, ... i_{m}) mot, avec j ≤ h ⇔ x_{i_{j}} ∈ L_{0} } (u et v sont les injections canoniques de L_{0} dans S et de L_{1} dans Λ). Si c_{M} désigne l’image de a_{M} dans GrU, on a Φ(b_{M}) = c_{M}. Supposons Σk_{M}c_{M} = 0. Soit n un entier non nul: Σ_{|M|=n}k_{M}a_{M} = 0 mod U^{n−1}. Mais U^{n−1} est engendré par des mots de longueur < n, donc il existe des coefficients l_{M,n} (|M| < n) dans K tels que Σ_{|M|=n}k_{M}a_{M} + Σ_{|M|<n}l_{M,n}a_{M} = 0. D’après la version 1 du théorème de Birkhoff-Witt: k_{M} = 0 pour |M| = n (et accessoirement l_{M,n} = 0)

3 Complications induites par la simplicité

3.1 Préliminaires

Définition 9 Soit L une superalgèbre de Lie, on dit que L est simple si elle ne possède pas d’autre idéal gradué que {0} et L et si [L, L] ≠ {0}.

Définition 10 Soit V = V_{0}⊕V_{1} un espace vectoriel gradué. Soit B_{0} = (e_{1}, ⋯, e_{n}) une base de V_{0} et B_{1} = (e_{n+1}, ⋯, e_{m+n}) une base de V_{1}. Soit B = B_{0} ∪ B_{1},

B est une base de V. Soit M = ( \begin{matrix}A & E \\ C & D \end{matrix} ) un endomorphisme de V, on pose

str(M) = tr(A) − tr(D) que l’on appelle super-trace de M.

La super-trace ne dépend pas du choix des bases B_{0} et B_{1}, elle est donc propre à l’endomorphisme que représente M.

Définition 11 Soit L une superalgèbre de Lie, on appelle super-forme de Killing sur L la forme bilinéaire f définie par ∀x, y ∈ L f(x, y) = str(ad_{x}ad_{y}).

3.2 Contre-exemple

Nous allons dans le domaine de la simplicité rencontrer pour la première fois des proprtétés différant sensiblement entre les algèbres de Lie et les superalgèbres de Lie. En effet seules les algèbres de Lie vérifient certaines propriétés élegantes liant simplicité et et formes de Killing.

Lemme 3.1 L’algèbre de Lie sl_{n}(R) est simple. Les seuls idéaux de l’algèbre de Lie (M_{n}(R), [., .]) sont {0}, RI_{n}, sl_{n}(R) et M_{n}(R).

Définition 12 Soit n ∈ N − {1, 0}. On définit une superalgèbre de Lie L = L_{0} ⊕ L_{1} par L_{0} = sl_{n}(R), L_{1} = sl_{n}(R) et pour x, y ∈ L homogènes: si au moins l’un des deux est dans L_{0}, [x, y] = xy − yx ∈ L_{|x||y|}, si les deux sont dans L_{1}, [x, y] = xy + yx − \frac{2}{n}tr(xy) ∈ L_{0}.

Proposition 2 L est une superalgèbre de Lie simple.

Soit I = I_{0} ⊕ I_{1} un idéal gradué de L, supposons que I ≠ L et I ≠ {0}.

Soit x ∈ L_{0} et i ∈ I_{0} on a alors [i, x] ∈ I_{0}. Donc I_{0} est un idéal de l’algèbre de Lie sl_{n}(R), donc I_{0} = {0} ou sl_{n}(R). De même I_{1} et un idéal de sl_{n}(R) (en effet si x ∈ L_{0} et i ∈ I_{1} alors [i, x] ∈ I_{1}).

Si I_{1} = {0} alors I_{0} = sl_{n}(R) donc [I_{0}, L_{1}] ⊂ I_{1} = {0}, donc [sl_{n}(R), sl_{n}(R)] = {0}. Absurde. Donc I_{1} = sl_{n}(R).

Si I_{0} = {0} alors [I_{1}, I_{1}] ⊂ I_{0} = {0}, ce que dément le contre-exemple qui suit :

x = ( \begin{matrix}−1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ I_{1} y = ( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ I_{1}

[x, y] = ( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ I_{0} et [x, y] ≠ 0.

Donc I_{0} = sl_{n}(R) soit I = L. Absurde.

Proposition 3 L possède une dérivation extérieure. En revanche dans une algèbre de Lie semi-simple toute dérivation est intérieure.

Exhibons une dérivation extérieure l sur L. On définit l sur L_{0} par ∀x ∈ L_{0} l(x) = 0 et ∀x ∈ L_{1} l(x) = x ∈ L_{0}. l est alors un endomorphisme homogène de degré 1. On vérifie par le calcul que pour x, y homogènes on a l([x, y]) = [l(x), y] + (−1)^{|x|}[x, l(y)]. Par linéarité l est une dérivation.

Supposons l = ad_{y}. soit x_{0} ∈ L_{0} quelconque, on a l(x_{0}) = 0 = [y_{1}, x_{0}] + [y_{0}, x_{0}], donc [y_{1}, x_{0}] = [y_{0}, x_{0}] = 0. Donc dans sl_{n}(R) ad_{y_{0}} = ad_{y_{1}} = 0. sln(R) est une algèbre de Lie simple donc Ker ad = {0}. Donc y_{0} = y_{1} = 0 et l = 0.

Définition 13 Soit l une lettre. On définit une superalgèbre de Lie L′ = L′_{0}⊕L′_{1} par L′_{0} = L_{0} ⊕ lR, L′_{1} = L_{1} et on étend le produit par ∀x ∈ L [l, x] = |x|x et [l, l] = 0.

Proposition 4 L est un idéal gradué de L’ mais L′ ne s’écrit pas L′ = L ⊕ A où A est un idéal de L′,comme ce serait le cas dans une algèbre de Lie.

En effet, supposons qu’il existe A = R(l + m) (m ∈ L) un idéal tel que L′ = L⊕A. Soit x_{0} ∈ L_{0}, on a [l, x_{0}] = 0 et [l+m, x_{0}] ∈ A, donc [m, x_{0}] ∈ A∩L, donc [m, x_{0}] = 0. Donc ad_{m} = 0 dans sl_{n}(R) donc m = 0. Donc A = Rl, mais pour x ∈ L_{1} − {0} on a [l, x] = x ∈ A. Absurde.

Proposition 5 Dans le cas n = 2 la super-forme de Killing de L est dégénérée. En revanche une algèbre de Lie L est semi-simple si et seulement si sa forme de Killing est non dégénérée.

Lemme 3.2 Soit L = L_{0}⊕L_{1} une superalgèbre de Lie. Soit x_{0} ∈ L_{0} et x_{1} ∈ L_{1}, alors str(ad_{x_{0}}ad_{x_{1}}) = 0.

En effet, y ∈ L_{0} ⇒ ad_{x_{0}}ad_{x_{1}}(y) ∈ L_{1} et y ∈ L_{1} ⇒ ad_{x_{0}}ad_{x_{1}}(y) ∈ L_{0}. Soient B_{0} et B_{1} des bases de L_{0} et L_{1}. on a Mat(ad_{x_{0}}ad_{x_{1}}, B_{0} ∪ B_{1}) =

( \begin{matrix}0 & ? \\ ? & 0 \end{matrix} ) . Donc str(ad_{x_{0}}ad_{x_{1}}) = 0.

Revenons au cas n = 2. On définit e_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ L_{0}, e_{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈

L_{0}, e_{3} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ L_{0}, e_{4} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ L_{1}, e_{5} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ L_{1} et e_{6} =

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ L_{1}. On pose B_{0} = (e_{1}, e_{2}, e_{3}), B_{1} = (e_{4}, e_{5}, e_{6}). et B = B_{0} ∪ B_{1},

ainsi B est une base de L adaptèe à L = L_{0} ⊕ L_{1}. Un calcul laissé au lecteur montre que :

Mat(ad_{e_{4}}, B) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −2 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Mat(ad_{e_{5}}, B) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ −2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Mat(ad_{e_{6}}, B) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Pour tout x_{1} dans L_{1} ad_{x_{1}} est combinaison linéaire de ad_{e_{4}}, ad_{e_{5}}, ad_{e_{6}} et on en déduit str(ad_{e_{4}}ad_{x_{1}}) = 0. Pour tout x_{0} dans L_{0}, d’aprés le lemme, str(ad_{e_{4}}ad_{x_{0}}) = 0. Donc la super-forme de Killing est dégénérée.

Remarque 1 Dans ce cas la super-forme de Killing de L est nulle.

4 Etude de la simplicité et des formes bilinéaires

4.1 Idéaux d’une superalgèbre de Lie simple

Remarque 2 Soit L une superalgèbre de Lie simple alors:

– Un idéal gradué à gauche ou à droite est automatiquement bilatère,

– [L, L] = L.

Proposition 6 Une superalgèbre de Lie simple n’a pas d’idéal à gauche (à droite) différent de {0} et L.

On définit γ : L → L linéaire telle que ∀x ∈ L homogène γ(x) = (−1)^{|x|}x. Soit J un idéal à gauche propre, alors γ(J) est un idéal à gauche de L. J ∩ γ(J) et J + γ(J) sont stables par γ, donc sont des idéaux gradués de L simple. Donc J ∩ γ(J) = {0} et J + γ(J) = L, d’où L = J ⊕ γ(J). On en déduit L_{0} = {j + (−1)^{0}γ(j); j ∈ J} et L_{1} = {j + (−1)^{1}γ(j); j ∈ J}. On définit τ : L → L linéaire sur L = J ⊕ γ(J) par ∀j ∈ J τ(j) = j et ∀j ∈ J τ(γ(j)) = γ(j). Alors τ est un endomorphisme homogène de degré 1 et on vérifie par le calcul que ∀x, y ∈ L τ([x, y]) = [x, τ(y)]. Ceci est en contradiction avec le lemme suivant.

Lemme 4.1 Soit L une superalgèbre de Lie simple, soit τ une application linéaire telle que :

1. τ est homogène de degré 1,

2. ∀x, y ∈ L τ([x, y]) = [x, τ(y)], alors τ = 0.

Soit K = Ker(τ), k ∈ K et l ∈ L, τ([l, k]) = [l, τ(k)] = 0. Donc K est idéal à gauche de L. Comme τ est homogéne K est gradué. De même I = Im(τ) est un idéal gradué de L, donc si τ ne satisfait pas la conclusion du lemme, on a τ bijectif. Soient x, y ∈ L_{0} on a alors [τ(x), τ(y)] = −τ^{2}([y, x]). Le terme de gauche de l’égalité est symétrique alors que celui de droite est antisymétrique en x, y ∈ L_{0}. Donc τ^{2}([y, x]) = 0, soit [x, y] = 0. De même ∀x, y ∈ L_{1} on a [x, y] = 0. Puis, soient x ∈ L_{0} et y ∈ L_{1}, alors τ(y) ∈ L_{0}, donc [x, τ(y)] = 0 = τ([x, y]), donc [x, y] = 0, d’où [L, L] = {0}, ce qui contredit la simplicité de L.

Proposition 7 Soit L une superalgèbre de Lie simple, alors :

1. [L_{0}, L_{1}] = L_{1},

2. si L_{1} ≠ {0} on a [L_{1}, L_{1}] = L_{0}

Proposition 8 Soit L une superalgèbre de Lie simple. Soit ρ : L → End(V) une représentation de dimension finie, alors ∀l ∈ L str(ρ(l)) = 0.

En effet, on a ρ(L) = ρ([L, L]) = [ρ(L), ρ(L)]. Or si x, y ∈ End(V), on a str([x, y]) = 0, d’où la proposition.

4.2 Formes bilinéaires

Définition 14 Soient L une superalgèbre de Lie et ϕ : L × L → K une application bilinéaire,

1. ϕ est dite non dégénérée si ψ : x → ϕ(x, .) est un isomorphisme linéaire de L sur L∗,

2. ϕ est invariante si ∀x, y, z ∈ L ϕ([x, y], z) = ϕ(x, [y, z]),

3. ϕ est supersymétrique si ∀x, y ∈ L homogènes ϕ(x, y) = (−1)^{|x||y|}ϕ(y, x),

4. ϕ est paire si ϕ(L_{0}, L_{1}) = {0},

5. ϕ est impaire si ϕ(L_{0}, L_{0}) = {0} et ϕ(L_{1}, L_{1}) = {0}.

Proposition 9 Soit L une superalgèbre de Lie simple,

1. Une forme bilinéaire invariante est soit nulle, soit non dégénérée,

2. Toute forme bilinéaire invariante est supersymétrique,

3. Toute forme bilinéaire invariante est soit paire, soit impaire.

Soit ϕ une forme bilinéaire invariante

1) Soit J = {x ∈ L; ∀y ∈ L ϕ(x, y) = 0}, J est un idéal à droite de L, donc J = {0} ou J = L, donc ϕ est nulle ou non dégénérée.

2) Soient x, y, z ∈ L homogènes, on a ϕ([x, y], z) = (−1)^{|[x,y]||z|}ϕ(z, [x, y]) en jouant sur l’anticommutativité du crochet et l’invariance de ϕ. Donc comme [L, L] = L, on a ∀x, y ∈ L homogènes ϕ(x, y) = (−1)^{|x||y|}ϕ(y, x).

3) On pose ψ_{0}(x, y) = ϕ(x_{0}, y_{0})+ϕ(x_{1}, y_{1}) et ψ_{1}(x, y) = ϕ(x_{0}, y_{1})+ϕ(x_{0}, y_{1}), donc ϕ = ψ_{0} + ψ_{1}. ψ_{0} est paire est ψ_{1} est impaire. Par le calcul on démontre que ψ_{0} et ψ_{1} sont invariantes. Si elles sont toutes les deux non nulles, elles sont non dégénérées, donc il existe τ : L → L isomorphisme linéaire telle que ∀x, y ∈ L ψ_{0}(x, y) = ψ_{1}(x, τ(y)). On montre que τ vérifie les hypothèses du lemme (4.1), donc τ est nulle, absurde. Si ψ_{0} ou ψ_{1} est nulle, alors ϕ est impaire ou paire.

Remarque 3 Soit L une superalgèbre de Lie telle que [L, L] = L, alors toute forme bilinéaire invariante est supersymétrique.

4.3 Forme bilinéaire d’une représentation

Théorème 4 Soit V = V_{0} ⊕ V_{1} un espace vectoriel gradué. Pour x et y dans End′(V), on pose f(x, y) = str(xy). f est paire, invariante et supersymétrique. De plus pour x et y dans End′(V) str([x, y]) = 0.

-f est paire: soient B_{0} et B_{1} des bases de V adaptées à la décomposition

V = V_{0} ⊕ V_{1}, soient x ∈ End_{0}(V) de matrice Mat(x, B_{0} ∪ B_{1}) = ( \begin{matrix}? & 0 \\ 0 & ? \end{matrix} ) et

y ∈ End_{1}(V) de matrice Mat(x, B_{0} ∪B_{1}) = ( \begin{matrix}0 & ? \\ ? & 0 \end{matrix} ), on a alors Mat(xy, B_{0} ∪

B_{1}) = ( \begin{matrix}0 & ? \\ ? & 0 \end{matrix} ), donc str(xy) = 0.

-f est supersymétrique : si x et y sont dans V_{0}, alors str([x, y]) = (−1)^{|x||y|}str([y, x]) car tr(ab) = tr(ba), si x ∈ V_{0} et y ∈ V_{1} (ou l’inverse) alors str([x, y]) = (−1)^{|x||y|}str([y, x]) par parité de f. Il reste le cas x et y dans V_{1} , on a recours au calcul dans la base B_{0} ∪ B_{1}.

-On a ∀x, y ∈ End(V) str([x, y]) = 0 : en effet supposons x et y homogènes, on a str([x, y]) = str(xy) − (−1)^{|x||y|}str(yx) = str(xy) − str(yx) = 0 par supersymétrie. D’où le résultat par linéarité.

-f est invariante : soit x, y, z ∈ End(V) homogènes, on a [y, xz] = [y, x]z + (−1)^{|x||y|}x[y, z] donc 0 = f([y, x], z) + (−1)^{|x||y|}f(x, [y, z]) d’où f([x, y], z) = f(x, [y, z]). On déduit le résultat par linéarité.

Définition 15 Soit L une superalgèbre de Lie, V = V_{0} ⊕ V_{1} un espace vectoriel gradué et ρ : L → End(V) une représentation. La forme bilinéaire associée à cette représentation est g(x, y) = str(ρ(x)ρ(y))

En particulier la forme de Killing est la forme bilinéaire associée à la représentation adjointe.

Corollaire 2 Soit L une superalgèbre de Lie, et V un L-module, alors la forme bilinéaire associée à cette représentation est supersymétrique, invariante et paire.

Corollaire 3 En particulier la super-forme de Killing est supersymétrique, invariante et paire.

4.4 Forme de Killing

Lemme 4.2 Soit L une superalgèbre de Lie et L′ un idéal gradué de L. Soit ϕ (resp. ϕ′) la forme de Killing de L (resp. L′), alors ϕ′ est la restriction de ϕ à L′.

Ceci se vérifie en regardant dans une base de L adaptée à la décomposition L = L′_{0} ⊕ M_{0} ⊕ L′_{1} ⊕ M_{1} où M_{i} est un supplémentaire dans L_{i} de L′_{i}.

Proposition 10 Soit L une superalgèbre dont la forme de Killing est non dégénérée, alors toute dérivation est intérieure.

La démonstration suivante n’a rien de spécifique aux superalgèbres de Lie et s’applique aussi aux algèbres de Lie.

On considère Der(L) muni de sa forme de Killing ψ. ad : L → Der(L) est un morphisme de superalgèbres de Lie injectif puisque la forme de Killing ϕ de L est non dégénérée. De plus l’image de ad est un idéal de Der(L): un calcul montre que ∀D ∈ Der(L) [D, ad_{x}] = ad_{D(x)}. A l’aide du lemme précédent on obtient: ψ_{|_{ad_{L}}} est la forme de Killing sur ad_{L}, qui coïncide avec la forme de Killing sur L. On a ∀D ∈ Der(L) ∀x, y ∈ L ψ(ad_{d(x)}, ad_{y}) = ψ(D, ad_{[x,y]}) car ψ est invariante. Posons J = {D ∈ Der(L) / ψ(D, ad_{L}) = {0}}, on a J = {0} d’après la relation précédente. Soit D une dérivation, alors il existe x ∈ L telle que ∀y ∈ L [x, y] = D(y), alors D = ad_{x}.

5 Autre vision d’une superalgèbre de Lie

5.1 Liens entre les superalgèbres et les représentations

On peut voir une superalgèbre de Lie L comme une algèbre de Lie L_{0} munie d’une représentation ad_{|_{L_{0}}} dans L_{1}. De plus L_{1} est muni d’un produit à valeurs dans L_{0} qui est symétrique et vérifie des relations de compatibilité.

Ainsi la connaissance de propriétés sur L induit des propriétés sur la représentation L_{1}:

Proposition 11 Soit L une superalgèbre de Lie simple tel que L_{1} ≠ {0} , alors {x ∈ L; [x, L_{1}] = {0}} = {0}. En particulier la représentation adjointe ad_{|_{L_{0}}} : L_{1} → L_{1} est fidèle.

Inversement la connaissance de la représentations L_{1} entraine celle de propriétés de L.

Proposition 12 Soit L une superalgèbre de Lie satisfaisant :

1. la représentation de L_{0} dans L_{1} est fidèle et simple,

2. [L_{1}, L_{1}] = L_{0},

3. L_{0} ≠ {0},

alors L est simple.

5.2 Etude du L_{0}-module L_{1}

Lemme 5.1 Soit L une superalgèbre de Lie simple. Supposons que:

L_{1} = ⨁_{i=1}^{r} L_{1}^{i}

où L_{1}^{i} est un sous espace de L_{1}, non nuls et L_{0}-invariant.Alors r = 1 ou 2 et dans le cas r = 2 on a [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}] = [L_{1}^{2}, L_{1}^{2}] = {0} et [L_{1}^{1}, L_{1}^{2}] = L_{0}.

Si r = 2, soit J = [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]⊕[L_{1}^{1}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]], J est un idéal gradué de L. En effet J est stable par L_{0} et par L_{1}^{1} (un petit calcul utilisant l’identité de Jacobi permet de s’en assurer). Montrons la stabilité de J par L_{1}^{2}. [L_{1}^{2}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]] ⊂ [L_{1}^{2}, L_{0}] ⊂ L_{1}^{2} et [L_{1}^{2}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]] ⊂ [L_{1}^{1}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{2}]] ⊂ [L_{1}^{1}, L_{0}] ⊂ L_{1}^{1}, donc [L_{1}^{2}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]] = {0}. De même [L_{1}^{2}, [L_{1}^{1}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]]] ⊂ [[L_{1}^{1}, L_{1}^{2}], [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]] + [[L_{1}^{2}, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]], L_{1}^{1}] ⊂ [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}]. Donc J est bien un idéal gradué. Comme J ≠ L, on a [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}] = {0}. De même [L_{1}^{2}, L_{1}^{2}] = {0}. donc d’après la proposition (7) ,on a [L_{1}^{1}, L_{1}^{2}] = L_{0}.

Si r ≥ 3, L_{1} = L_{1}^{s}⊕(⊕_{i≠s}L_{1}^{i}), donc [⊕_{i≠s}L_{1}^{i}, ⊕_{i≠s}L_{1}^{i}] = {0}, donc ∀i, j [L_{1}^{i}, L_{1}^{j}] = {0}, donc [L_{1}, L_{1}] = {0}, contadiction avec la proposition (7) (L_{1} ≠ {0}).

Proposition 13 Soit L une superalgèbre de Lie simple. Supposons que L_{1} = L_{1}^{1} + L_{1}^{2} où L_{1}^{i} sont deux sous-espaces de L_{1} tous deux L_{0}-invariants. Alors L_{1} = L_{1}^{1} ⊕ L_{1}^{2}, les L_{0}-modules L_{1}^{1} et L_{1}^{2} sont simples, [L_{1}^{1}, L_{1}^{1}] = [L_{1}^{2}, L_{1}^{2}] = {0} et [L_{1}^{1}, L_{1}^{2}] = L_{1}.

Corollaire 4 Soit L une superalgèbre de Lie simple, on a deux possibilités:

1. soit le L_{0}-module L_{1} est semi-simple et alors L_{1} se décompose en au plus deux composantes simples,

2. soit le L_{0}-module L_{1}n’est pas semi-simple. Dans ce cas il existe un unique sous-espace de L_{1}, stable par L_{0}, propre et contenant tous les L_{0}-sous-modules de L_{1}.

5.3 Superalgèbres classiques

Définition 16 Une algèbre de Lie est dite réductive si sa représentation adjointe est semi-simple.

Définition 17 Une superalgèbre de Lie simple est dite classique si le L_{0}- module L_{1} est semi-simple.

Théorème 5 Une superalgèbre de Lie simple est classique si et seulement si L_{0} est réductive.

L’implication directe est facile dans le cas L_{1} ≠ {0}: supposons L classique, alors L_{0} possède une représentation fidèle, semi-simple, de dimension finie, à savoir L_{1}. Donc L_{0} est réductive par un théorème classique.

La réciproque est beaucoup plus difficile.

Proposition 14 Soit L une superalgèbre de Lie, V une représentation et ϕ sa forme bilinéaire associée. Si ϕ est non dégénérée, alors L_{0} est réductive.

Corollaire 5 Soit L une superalgèbre de Lie dont la forme de Killing est non dégénérée, alors L est classique.

Théorème 6 La forme de Killing d’une superalgèbre de Lie est non dégénérée si et seulement si L est le produit de superalgèbres de Lie simples classiques dont la forme de Killing est non dégénérée.

On rapprochera ce théorème du théorème suivant valable dans les algèbres de Lie: la forme de Killing est non dégénérée si et seulement si L est produit d’algèbres de Lie simples (dont la forme de Killing est non dégénérée).

Bibliographie

[1] L. Corwin, Y. Ne’eman et S. Sternberg: Graded Lie algebras in mathematics and physics Rev. Mod. Phys. 47 pp 573-603 (1975).

[2] N. Bourbaki: Groupes et algèbres de Lie, chapitre 1.

[3] J.P. Serre: Lie algebras and Lie groups, Springer Lecture Notes in Math. no 1500 (1964).

[4] C. Chevalley: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Collected Works, Springer.

[5] M. Scheunert: An introduction to the theory of Lie superalgebras, Springer Lecture Notes in Math. (1979).

[6] V.G. Kac: Lie superalgebras, Adv. Math. (1977).

Sommaire

1 Définitions 1.1 Les algèbres de Lie 1.2 Les algèbres graduées 1.3 Exemple fondamental 1.4 Autre exemple 2 Théorèmes de structure 2.1 L’algèbre enveloppante 2.2 Le théorème de Birkhoff-Witt 2.3 Démonstration du théorème de Birkhoff-Witt 2.4 Une réincarnation du théorème de Birkhoff-Witt 2.5 Preuve de cette nouvelle version 3 Complications induites par la simplicité 3.1 Préliminaires 3.2 Contre-exemple 4 Etude de la simplicité et des formes bilinéaires 4.1 Idéaux d’une superalgèbre de Lie simple 4.2 Formes bilinéaires 4.3 Forme bilinéaire d’une représentation 4.4 Forme de Killing 5 Autre vision d’une superalgèbre de Lie 5.1 Lien entre les superalgèbres et les représentations 5.2 Etude du L_{0}-module L_{1} 5.3 Superalgèbres classiques