Analyse fine de la vitesse de convergence vers l’équilibre pour divers modèles cinétiques

Renaud Durand et Christophe Giraud

1 Introduction

1.1 De l’équation de Boltzmann

L’évolution de l’état d’un gaz dilué est modelisée par l’équation de Boltzmann. Si on note f(x, v, t) la densité de particules au temps t ∈ R^{+}, au point x ∈ R^{n}, qui se déplacent à la vitesse v ∈ R^{n}, cette fonction obéit à l’équation :

\frac{∂f}{∂t} + v · ∇_{x}f = Q_{0}(f, f),  (1)

où Q_{0} est un opérateur de collision quadratique modélisant les interactions entre les particules :

Q_{0}(f, f) = ∫_{R^{n}} dv_{∗} ∫_{S^{n−1}} dω {f(v′)f(v′_{∗}) − f(v)f(v_{∗})} B(v − v_{∗}, ω),

avec v′ = v − (v − v_{∗}, ω)ω, v′_{∗} = v_{∗} + (v − v_{∗}, ω)ω , paramétrisation des solutions du système

\{{v′ + v′_{∗} = v + v_{∗} \atop v′^{2} + v′_{∗}^{2} = v^{2} + v_{∗}^{2}}

et B ≥ 0, et B(z, ω) dépendant seulement de |z| et |(z, ω)|.

1.2 Position du problème

La difficulté de la résolution mathématique de cette équation justifie la recherche de modèles alternatifs correspondants à diverses hypothèses simplificatrices.

Un de ces modèles est l’équation de Fokker-Planck, où le terme de collision s’écrit :

Q(f, f) = γ ∑_{k=1}^{n} \{\frac{∂^{2}f}{∂v_{k}^{2}} + \frac{1}{θ} \frac{∂}{∂v_{k}} [(v_{k} − u_{k})f]\}.  (2)

où γ, θ et u représentent respectivement une constante de friction pour le mouvement d’une particule brownienne, la température locale, et la vitesse moyenne du gaz.

Ce modèle, issu de l’étude du mouvement d’une particule brownienne, est applicable dans une forme plus générale à des plasmas, et fournit une bonne description d’un gaz dans le cas de collisions rasantes. En particulier, la masse, et les vitesse et température moyennes du gaz sont conservées au cours du temps.

Un des problèmes les plus importants liés à l’équation de Boltzmann est le calcul de la vitesse de convergence de la solution vers l’équilibre dans le cas spatialement homogène. En effet, l’unité de temps appropriée à l’étude de l’équation (1) est le temps moyen entre deux collisions. Cette échelle de temps étant beaucoup plus petite que celle régissant les transports macroscopiques, il est communément admis que l’équation de Boltzmann homogène commande la vitesse de convergence vers un équilibre local, même dans le cas inhomogène. Ce qui est important pour calculer par exemple les coefficients de transport dans un gaz.

Cet exposé va commencer par décrire la méthode qu’utilise Toscani pour calculer la vitesse de convergence exponentielle des solutions de l’équation de Fokker-Planck dans le cas homogène (ie ne dépendant pas de x) en utilisant des fonctionelles auxiliaires issues de la théorie de l’information.

2 Fonctions auxiliaires et notations

On introduit les fonctionelles H (entropie) :

H(f) = ∫_{R^{n}} f log (f)dv,

et L (information de Fisher) :

L(f) = a ∫_{R^{n}} |∇f^{\frac{1}{2}} (v)|^{2}dv = ∫_{R^{n}} |∇ log f(v)|^{2}f(v)dv,

ainsi que les fonctions maxwelliennes, qui sont les seules fonctions annulant la dérivée dH/dt ≤ 0 de l’entropie (Lemme de Gibbs) :

M^{f}(x, v, t) = ρ(x, t)[2πθ(x, t)]^{−n/2} exp \{\frac{−|v − u(x, t)|^{2}}{2θ(x, t)} \},

où ρ , u, et T = θ/R représentant respectivement la densité massique, la vitesse moyenne, et la température locale du gaz.

Muni de ces notions, nous allons pouvoir étudier la convergence des solutions de l’équation de Fokker-Planck vers des maxwelliennes locales grâce aux fonctions réduites : entropie relative

D(f) = ∫_{R^{n}} [\frac{f}{M^{f}} ] log [\frac{f}{M^{f}} ]M^{f}dv = H(f) − H(M^{f}) ≥ 0,

et information de Fisher relative

J(f) = 4 ∫_{R^{n}} |∇[\frac{f(v)}{M^{f}(v)}]^{1/2}|^{2}M^{f}dv = L(f) − L(M^{f}) ≥ 0.

L’évolution dans le temps des solutions de l’équation de Fokker-Planck se déroulant avec conservation de la masse et des vitesse et température moyennes, il est alors possible de se ramener, en utilisant un changement d’échelle approprié, à un problème normalisé avec

ρ = 1, u = 0 et θ = 1,  (3)

dont on ne changera pas la notation des variables par souci de clarté. On est donc amené à résoudre l’équation

\frac{∂f(t)}{∂t} = ∑_{k=1}^{n} \{\frac{∂^{2}f}{∂v_{k}^{2}} + \frac{∂}{∂v_{k}} (v_{k}f)\},  (4)

où f est une densité de probabilité, à l’aide de la maxwellienne :

M(v) = (2π)^{−n/2} exp \{ − \frac{v^{2}}{2} \}.

3 Convergence de la solution en entropie relative

3.1 Inégalité de Csiszar-Kullback

La fonctionelle H nous donnent un moyen de mesurer le taux de convergence de la solution de l’équation de Fokker-Planck avec la condition initiale f_{|t=0} = ϕ.

En effet, H(f(t)) étant décroissante avec le temps, il est naturel de vouloir évaluer la proximité de f et M à l’aide de la fonction D. Cette intuition est alors justifiée par la fameuse inégalité de Csiszar-Kullback que nous allons démontrer rapidement :

||f − M||_{L^{1}(R^{n})}^{2} ≤ 2D(f).  (5)

Il suffira dès lors d’étudier la convergence de l’entropie relative vers 0 pour résoudre le problème que l’on s’est fixé.

Démonstration : On veut montrer que

\frac{1}{2}||f − M||_{L^{1}}^{2} ≤ ∫ \frac{f}{M} ( ln \frac{f}{M} )Mdv.

ce qui est strictement équivalent à :

\frac{1}{2}||h − 1||_{L^{1}}^{2} ≤ ∫ h( ln h)dμ (avec dμ = Mdx et h = f/M).

On pose alors h = 1 + g (ce qui donne 1 = ∫ h = 1 + ∫ g d’où ∫ g = 0). Il est donc équivalent de démontrer que

\frac{1}{2}||g||_{L^{1}}^{2} ≤ ∫ (1 + g) log(1 + g)dμ.

Etudions pour cela le signe de

Ψ(t) = \frac{t^{2}}{2} ( ∫ |g|dμ)^{2} − ∫ ϕ(tu)dμ ( avec ϕ = (1 + x) log(1 + x)).

La dérivée première de Ψ est nulle en t = 0. Il faudrait alors que la dérivée seconde soit négative :

( ∫ |g|dμ)^{2} − ( ∫ \frac{g^{2}}{1 + tg} dμ) ≤ 0.

Or d’après Cauchy-Schwartz :

( ∫ |g|dμ)^{2} ≤ ( ∫ \frac{g^{2}}{1 + tg} dμ)( ∫ (1 + tg)dμ),

avec 1 + tg ≥ 0 et ∫ tg = ∫ g = 0. L’inégalité est donc vérifiée.

3.2 Inégalité de Sobolev logarithmique

Une inégalité de Sobolev indépendante de la dimension s’écrit :

∀g tq ∫_{R^{n}} |g|^{2}Mdv = 1,  ∫_{R^{n}} |g|^{2} log |g|^{2}Mdv ≤ 2 ∫_{R^{n}} |∇g|^{2}Mdv.  (6)

En posant g^{2} = h/M avec h densité de probabilité vérifiant les conditions (3), on peut la réécrire :

D(h) ≤ \frac{1}{2}J(h).  (7)

3.3 Convergence en entropie

Soit ϕ une densité de probabilité vérifant les conditions (3) et X et W des variables aléatoires de densité ϕ et M. Alors Z_{t} = e^{−t}X + (1 − e^{−2t})^{1/2}W est de densité f(v, t), avec f solution de l’équation de Fokker-Planck réduite (4). En posant de plus

∀α > 0, f_{α}(v) = α^{−n/2}f(α^{−1/2}v),

α(t) = e^{−2t}, β(t) = 1 − e^{−2t}, et ν(t) = \frac{α(t)}{β(t)} = e^{2t} − 1,

il vient que

f(v, t) = ϕ_{α(t)} ⋆ M_{β(t)} = α(t)^{−n/2} ∫ ϕ(ξ)M_{ν(t)}(\frac{v}{α^{1/2}(t)} − ξ)dξ.

Le calcul montre que :

H(f(t)) = H(ϕ ⋆ M_{ν(t)}) + nt,  (8)

et

L(f(t)) = α^{−1}(t)L(ϕ ⋆ M_{ν(t)}).  (9)

Comme on a

L(f ⋆ M_{α}) = −2\frac{dH(f ⋆ M_{α})}{dα},

on obtient, en différentiant (8) par rapport au temps,

\frac{dH(f(t))}{dt} = \frac{dD(f(t))}{dt} = −L(f(t)) + n = −J(f(t)),  (10)

ce qui donne grâce à l’inégalité (7) :

\frac{dD(f(t))}{dt} ≤ −2D(f(t)).  (11)

On a donc montré le :

Théorème 3.1 Soit f(v, t) solution de l’équation de Fokker-Planck dont la valeur initiale ϕ(v) satisfait les conditions (3) et a une entropie finie. Alors, f(v, t) converge en entropie relative vers M(v), et D(f(t)) ≤ e^{−2t}D(ϕ).

Corollaire 3.1 Dans ces conditions,

||f − M||_{L^{1}(R^{n})}^{2} ≤ 2e^{−2t}D(ϕ).

4 Convergence en entropie de Fisher de la solution

4.1 Lemme de McKean-Toscani

Nous avons calculé dans la partie précédente le taux de convergence des solutions de l’équation de Fokker-Planck grâce à l’inégalité de Sobolev logarithmique. Il est cependant possible de démontrer un résultat analogue sans passer par cette inégalité, en calculant explicitement la dérivée de l’information de Fisher.

Nous verrons par la suite qu’il est possible d’en déduire une preuve élémentaire de l’inégalité de Sobolev logarithmique.

Pour ce faire, nous allons démontrer le Lemme de McKean-Toscani

Lemme 4.1 Soit f une densité de probabilité, telle que ∂_{t}f = Δf + ∇ · (f v), alors L(f(t)) est décroissante par rapport au temps et :

\frac{dJ(f(t))}{dt} ≤ −2J(f(t)).

Démonstration : On calcule donc la quantité :

\frac{1}{2} \frac{dL(f(t))}{dt} = \underbrace{∑_{i,j} ∫ \frac{1}{f} ∂_{i}f ∂_{iij}f dv − ∑_{i,j} ∫ \frac{1}{2f^{2}} ∂_{ii}f (∂_{j}f)^{2}dv}_{contribution du terme laplacien} + ∑_{i} ∫ \frac{(∂_{i}f)^{2}}{f} dv.

Par intégration par partie, la contribution du terme laplacien s’écrit :

∑_{i,j} \{ \underbrace{− ∫ \frac{1}{f} (∂_{ij}f)^{2} dv + ∫ \frac{1}{f^{2}} ∂_{i}f ∂_{j}f ∂_{ij}f dv}_{premier terme} + \underbrace{∫ \frac{1}{f^{2}} ∂_{i}f ∂_{j}f ∂_{ij}f dv − ∫ \frac{1}{f^{3}} (∂_{i}f)^{2}(∂_{j}f)^{2} dv}_{deuxième terme} \}

= − ∑_{i,j} ∫ (\frac{1}{f} ∂_{ij}f − \frac{1}{f^{2}} ∂_{i}f ∂_{j}f)^{2}f dv ≤ 0.

Il suffit alors de décomposer la quantité :

0 ≤ ∑_{i,j} ∫ (\frac{1}{f} ∂_{ij}f − \frac{1}{f^{2}} ∂_{i} f∂_{j}f + δ_{ij})^{2}f dv  (12)

= ∑_{i,j} ∫ (\frac{1}{f} ∂_{ij}f − \frac{1}{f^{2}} ∂_{i} f∂_{j}f)^{2}f dv + ∑_{i} ∫ δ_{ii}f dv − 2 ∑_{i} ∫ \frac{(∂_{i}f)^{2}}{f} dv + n

= \underbrace{∑_{ij} ∫ (\frac{1}{f} ∂_{ij}f − \frac{1}{f^{2}} ∂_{i} f∂_{j}f)^{2}f dv − ∑_{i} ∫ \frac{(∂_{i}f)^{2}}{f} dv}_{− \frac{1}{2} dL/dt} − \underbrace{( ∑_{i} ∫ \frac{(∂_{i}f)^{2}}{f} dv − n)}_{J(f(t))}

ce qui donne le résultat, et nous permet d’énoncer le

Théorème 4.1 Soit f(v, t) solution de l’équation de Fokker-Planck dont la valeur initiale ϕ(v) satisfait les conditions (3) et a une entropie de Fisher finie. Alors, f(v, t) converge en entropie de Fisher relative vers M(v), et J(f(t)) ≤ e^{−2t}J(ϕ).

Corollaire 4.1 Dans ces conditions,

||f − M||_{L^{1}(R^{n})}^{2} ≤ e^{−2t}J(ϕ).

4.2 Une nouvelle preuve de l’inégalité de Sobolev logarithmique

Reprenons l’égalité (10). Lorsque l’on ajoute la quantité (12) à chacun des membres, on obtient l’identité :

−\frac{dH(f(t))}{dt} + (12) = −\frac{1}{2} \frac{dL(f(t))}{dt}

qu’il est possible d’intégrer par rapport au temps grâce au théorème (4.1). On établi alors le

Théorème 4.2 Soit ϕ densité sur R^{n} satisfaisant les conditions (3) et telle que L(ϕ) soit fini. Alors H(ϕ) est fini, et

D(ϕ) + R(ϕ) = \frac{1}{2}J(ϕ)

où R(ϕ) est l’intégrale de 0 à +∞ de la quantité (12), est positive, et ne s’annule que pour f = M.

5 Equation de Boltzmann et théorème central limite

5.1 position du problème

Revenons au cas général et intéressons nous dorénavant à l’étude de l’équation de Boltzmann dans le cas où B = b = C^{te} et n=3. Elle s’écrit alors en notant f(v, t) = f_{t}(v) :

\frac{∂f_{t}(v)}{∂t} = b(f_{t}(v) ∘ f_{t}(v) − f_{t}(v))  (13)

avec

f ∘ g(v) = ∫_{S^{2}} dω ∫_{R^{3}} dv_{∗}f(v′)g(v′_{∗}) (convolution de Wild).

Quitte à renormaliser le problème on supposera dans la suite que u = 0 et θ = 1. De même que pour l’équation de Fokker-Planck, on va prouver la convergence en entropie relative des solutions de l’équation (13) vers une fonction maxwellienne.

5.2 Analogie avec le théorème central limite

Considérons (V_{i})_{i} une suite de variables aléatoires à valeur dans R^{3} indépendantes, centrées, de variance unité et de loi f_{0}. Alors

f_{n}(v) = f_{n−1} ⋆ f_{n−1}(v) = ∫_{R^{3}} f_{n−1} (\frac{v + v_{∗}}{\sqrt{2}} ) f_{n−1} (\frac{v − v_{∗}}{\sqrt{2}} ) d^{3}v_{∗}

est la densité de la loi de ∑_{i=1}^{2^{n}} \frac{V_{i}}{\sqrt{2}^{n}} et vérifie une version discrète de (13) :

f_{n+1} − f_{n} = f_{n} ⋆ f_{n} − f_{n}

ainsi que

lim_{n→∞} f_{n}(v) = (2π)^{−3/2} exp(−v^{2}/2)

au moins faiblement d’après le théorème central limite. Il y a donc une analogie évidente avec l’équation de Boltzmann.

Pour montrer que lim_{n→∞} D(f_{n}) = 0, Carlen et Soffer ont prouvé que pour une certaine classe de fonctions f, H(f ⋆ f) − H(f) ≤ −ϕ(D(f)) avec ϕ strictement croissante à partir de zéro.

Pour établir ce résultat, ils ont majoré la création d’entropie de Fisher afin d’obtenir une majoration plus fine de la création d’entropie relative. Ce raisonnement a été repris par Carlen et Carvalho afin d’établir que

\frac{d D(f_{t})}{dt} ≤ −ϕ(D(f_{t}))

et donc que lim_{t→∞} D(f_{t}) = 0. Détaillons un peu cette méthode.

6 controle de la dissipation d’entropies

6.1 majoration de la dissipation d’entropie

Nous savons par les travaux de Wild et DiBlasio que l’équation (13) avec condition initiale f_{0} ∈ L^{1}(R^{3}, (1 + |v|^{2})d^{3}v) admet une unique solution dérivable en t dans L^{1}(R^{3}, (1 + |v|^{2})d^{3}v).

Théorème 6.1 Soit f_{0} ∈ L^{1}(R^{3}, (1 + |v|^{2})dv), et tel que H(f_{0}) < ∞, alors t ↦ H(f_{t}) est dérivable

sur R^{+} avec :

\frac{dH(f_{t})}{dt} ≤ b [H(f_{t} ∘ f_{t}) − H(f_{t})] ≤ 0

et avec égalité si et seulement si f = M^{f}.

Démonstration :

La démonstration repose sur les propriétés du semi groupe régularisant adjoint de Ornstein Uhlenbeck :

P_{λ}f(v) = ∫_{R^{3}} \frac{e^{−3λ}}{(4π^{2}(1 − e^{−2λ}))^{3/2}} exp (\frac{−|y′|^{2}}{2\sqrt{1 − e^{−2λ}}} ) f(e^{−λ}(y − y′)) dy′

qui est la densité de la loi de (1−e^{−2λ})^{1/2} X+e^{−λ} Y où X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de densité respective M^{f} et f. De ce fait P_{λ}f(v) vérifie lim_{λ→0} P_{λ}f = f, lim_{λ→∞} P_{λ}f = M^{f} et P_{λ}f_{t} est solution de (13) avec condition initiale P_{λ}f_{0}. L’intérêt de cette interpolation entre f et M^{f} est qu’elle conserve θ = 1 et u = 0.

De plus P_{λ}f_{t} possède la propriété suivante, fondammentale pour nous :

Lemme 6.1 Il existe A_{λ} ne dépendant que de λ tel que

| log(P_{λ}f(v))| ≤ A_{λ}(1 + |v|^{2}).

Il vient alors que

\frac{dH(P_{λ}f_{t})}{dt} = b ∫_{R^{3}} log(P_{λ}f_{t}(v))[P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}(v) − P_{λ}f_{t}(v)]dv

existe. Afin d’exploiter la convexité de H on étudie k(s) = e^{−bs}P_{λ}f_{t} + (1 − e^{−bs}) (P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}). Ayant

k′(0) = \frac{dP_{λ}f_{t}}{dt}

il vient que :

\frac{dH(P_{λ}f_{t})}{dt} = \frac{dH(k(s))}{ds}|_{s=0}

et donc :

\frac{dH(P_{λ}f_{t})}{dt} = lim_{s→0} \frac{1}{s} \{H [e^{−bs}P_{λ}f_{t} + (1 − e^{−bs})P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}] − H [P_{λ}f_{t}]\}

d’où par convexité de H:

\frac{dH(P_{λ}f_{t})}{dt} ≤ lim_{s→0} \frac{1}{s} \{e^{−bs}H(P_{λ}f_{t}) + (1 − e^{−bs})H(P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}) − H(P_{λ}f_{t})\}

= b {H(P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}) − H(P_{λ}f_{t})} ≤ 0

car H(f ∘ f) ≤ H(f) et égale zéro si et seulement si f = M^{f}, en vertu d’une inégalité analogue à celle de Shannon-Stam. Le théorème de convergence dominée associé à la continuité de l’application λ ↦ H(P_{λ}f) permet de conclure en faisant λ → 0 dans l’inégalité

H(P_{λ}f_{t_{2}}) − H(P_{λ}f_{t_{1}}) ≤ b ∫_{t_{1}}^{t_{2}}(H (P_{λ}f_{t} ∘ P_{λ}f_{t}) − H(P_{λ}f_{t})) dt.

6.2 majoration de la dissipation de l’entropie de Fisher

L’intérêt de l’entropie de Fisher réside pour nous dans sa relation avec l’entropie exprimée par l’identité :

\frac{dH(P_{λ}f)}{dλ} = −J(P_{λ}f).

On note dorénavant χ_{f}(k) = H(f) − H(P_{k}f) = ∫_{0}^{k} J(P_{λ}f)dλ ≥ 0 et égal à zéro ssi f = M^{f}.

Théorème 6.2 La fonction t ↦ χ_{f_{t}}(k) est dérivable sur R^{+} et vérifie :

\frac{∂χ_{f_{t}}(k)}{∂t} ≤ b[χ_{f_{t}∘f_{t}} − χ_{f_{t}}](k) ≤ 0

avec égalité ssi f_{t} = M^{f_{0}}. Si de plus J(f_{0}) est fini alors on a de même :

\frac{d}{dt}J(f_{t}) ≤ b[J(f_{t} ∘ f_{t}) − J(f_{t})] ≤ 0

avec égalité ssi f_{t} = M^{f_{0}}.

Démonstration : Il s’agit de la même preuve que précédemment où on remplace la convexité de H par la convexité de l’application f ↦ χ_{f}(k) et en utilisant pour la seconde partie du théorème la relation :

J(f) = lim_{k→0} \frac{1}{k} χ_{f}(k).

7 Convergence vers l’équilibre de la solution de l’équation de Boltzmann

Théorème 7.1 Soit f_{0} tel que H(f_{0}) < ∞ et tel qu’il existe un p > 2 pour lequel le moment d’ordre p, m_{p} = ∫_{R^{3}} |v|^{p}f_{0}(v)d^{3}v soit fini, alors il existe Θ décroissante vers zéro quand t → ∞ ne dépendant que de χ_{f_{0}} et de m_{p} tel que :

∥ f_{t} − M^{f_{0}} ∥_{L^{1}(R^{3})}^{2}≤ 2D(f_{t}) ≤ Θ(t).

Démonstration : On sait déjà que χ_{f_{t}} ≤ χ_{f_{0}} = χ. De plus Elmroth a montré qu’en posant ψ_{f}(R) = ∫_{|v|^{2}≥R} |v|^{2}f(v)d^{3}v, on avait ψ_{f_{t}}(R) ≤ C(m_{p})R^{2−p} = ψ(R) avec C ne dépendant que de m_{p}.

Lemme 7.1 On montre que :

∀ε > 0, ∃δ > 0, (χ_{f} ≤ χ, ψ_{f} ≤ ψ, D(f) > ε) ⇒ (D(f) − D(f ∘ f) ≥ δ > 0).

Démonstration du lemme : On a la relation :

D(f) − D(f ∘ f) = D(P_{k}f) − D(P_{k}f ∘ P_{k}f) + ∫_{0}^{k}(J(P_{λ}f) − J(P_{λ}f ∘ P_{λ}f))dλ

où l’expression intégrale est positive ou nulle car J(f) ≥ J(f ∘ f) pour tout f. L’ensemble C_{k,ψ} = {P_{k}f/ψ_{f} ≤ ψ} étant relativement compact dans L^{1}(R^{3}, (1 + |v|^{2})d^{3}v) et D étant continue sur Adh(C_{k,ψ}), la borne

inf {D(P_{k}f) − D(P_{k}f ∘ P_{k}f) /ψ_{f} ≤ ψ, χ_{f} ≤ χ, D(f) ≥ ε}

est atteinte sur Adh(C_{k,ψ}) en g_{0} ≠ M^{f}, car D(g_{0}) > ε/2 quitte à prendre k suffisamment petit, d’où :

D(f) − D(f ∘ f) ≥ D(g_{0}) − D(g_{0} ∘ g_{0}) = δ > 0.

Par le lemme on a l’existence de ϕ_{χ,ψ} positive srictement croissante à partir de zéro telle que :

\frac{d}{dt}D(f_{t}) ≤ b[D(f_{t} ∘ f_{t}) − D(f_{t})] ≤ −ϕ_{χ,ψ}(D(f_{t})).

D’où l’existence de la fonction Θ recherchée.

Remarque 1 On peut étendre ce résultat dans le cas où B vérifie :

b_{0} = inf {B(t, θ)/ t ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π} > 0.

On a alors pour tout ψ décroissante vers zéro et χ croissante à partir de zéro, ϕ_{χ,ψ} strictement croissante à partir de zéro telle que :

ψ_{f} ≤ ψ et χ_{f} ≤ χ ⇒ ∫_{R^{3}} log f Q(f, f)dv ≤ −ϕ_{χ,ψ}(D(f)).

En effet, notant Q_{1} et Q_{2} les opérateurs de collision associés respectivement à B − b_{0} et b_{0}, on a :

∫_{R^{3}} ln f Q(f, f)dv = ∫_{R^{3}} ln f Q_{1}(f, f)dv + ∫_{R^{3}} ln f Q_{2}(f, f)dv.

Le premier terme intégral est positif d’après le lemme de Gibbs et le lemme précédent appliqué au second terme permet de conclure.

Remarque 2 En général Θ n’est pas à décroissance exponentielle, car ϕ n’est pas linéaire au voisinage de zéro. On sait d’ailleurs qu’ il n’existe pas de τ > 0 tel que :

\frac{dD(f_{t})}{dt} ≤ −τD(f_{t}).

On sait cependant calculer une fonction Θ convenable donc une minoration de taux de décroissance de l’entropie relative.

Références

[1] Cercinagni ”The mathematical theories of dilute gases”, Springer Verlag.

[2] Mac Kean ”Speed of approach to equilibrium for Kac’s caricature of a Maxwellian gas”,Arch. Rational Mech. Anal. 21.

[3] Marsu ”Quelques problèmes de la théorie cinétique autour de l’équation de Boltzmann”, Mémoire de magistère, 1995.

[4] Carlen et Carvalho ”Strict entropy production bounds and stability of rate of convergence to equilibrium for the Boltzmann equation”, J. Stat. Phys. 67.

[5] Carlen et Soffer ”Entropy production by block variable summation and central limit theorem”, Commun. Math. Phys. 140.

[6] Toscani ”Entropy production and the rate of convergence to equilibrium for the Fokker-Planck equation”, Preprint.

[7] Toscani et Bobylev ”On the generalization of the Boltzmann H-theorem for a spacially homogeneous maxwell gas”, J. Math. Phys. 33.