Exposé de maîtrise

Théorèmes de convexité

Gia-Vuong Nguyen-Chu Xavier Blanc

Mardi 27 Mai 1997

Introduction

L’objet de cet exposé est de démontrer quelques théorèmes de convexité. En particulier le théorème de Toeplitz-Hausdorff, dont nous donnerons les grandes lignes de la démonstration. Nous expliquerons ensuite comment utiliser ces idées pour démontrer d’autres théorèmes de convexité. Comme nous allons le voir, la démonstration de ces théorèmes s’appuie sur des théories très variées : géométrie symplectique, théorie de Morse, etc... Voici les principaux théorèmes de convexité que nous évoquerons :

Théorème 1 (Toeplitz-Hausdorff) L’image numérique d’une matrice est un convexe du plan complexe.

Où l’image numérique est définie comme suit :

Si A est une matrice complexe de taille n, son image numérique est l’ensemble {⟨Av, v⟩ v ∈ S^{2n−1}}.

Il est à noter que cette propriété reste également vraie dans un espace de Hilbert quelconque (voir [4]). Mais la démonstration qui suit ne permet pas cette généralisation ; elle utilise en particulier la compacité de la boule unité.

Théorème 2 (Schur et Horn) L’application qui, à une matrice hermitienne de taille n, associe sa diagonale envoie l’ensemble H_{Λ} des matrices hermitiennes de spectre (λ_{1}, …, λ_{n}) sur l’enveloppe convexe dans ℝ^{n} de l’ensemble :

{(λ_{σ(1)}, …, λ_{σ(n)}), σ ∈ 𝔖_{n}}.

1 Réduction du théorème de Toeplitz-Hausdorff

1.1 Des vecteurs unitaires à l’espace projectif

On s’intéresse dans le théorème 1 à l’application v ↦ ⟨Av, v⟩ définie sur la sphère unité S^{2n−1}. Cependant, la valeur de ⟨Av, v⟩ ne dépend que de la droite ℓ que le vecteur v engendre : si w = λv, avec w, v ∈ S^{2n−1}, on a :

⟨Aw, w⟩ = |λ|^{2}⟨Av, v⟩ = ⟨Av, v⟩.

Ainsi, notre application est en fait bien définie sur l’espace projectif P^{n−1}(ℂ), c’est-à-dire l’ensemble des droites vectorielles de ℂ^{n}, que l’on peut également décrire comme le quotient de S^{2n−1} par la relation d’équivalence :

v ∼ w ⇔ ∃λ ∈ ℂ tel que |λ| = 1 et w = λv.

On a ainsi une application

\begin{aligned}f_{A} : & P^{n−1}(ℂ) & ⟶ & ℂ \\ & ℓ & ⟼ & ⟨Av, v⟩ \end{aligned}

(où v est n’importe quel vecteur unitaire de ℓ).

1.2 De l’espace projectif aux matrices hermitiennes

Considérons maintenant un élément ℓ de P^{n−1}(ℂ), engendré par un vecteur v de S^{2n−1}. Etant donnés deux réels λ et μ, on construit un opérateur hermitien V : ℂ^{n} ⟶ ℂ^{n} de la façon suivante : on décompose ℂ^{n} en ℓ ⊕ ℓ^{⊥} et on définit V par V x = λx si x ∈ ℓ et V x = μx si x ∈ ℓ^{⊥}. On a ainsi un opérateur hermitien de spectre (λ, μ, …, μ). Pour λ = 1 et μ = 0, on obtient :

∀A ∈ H, ⟨Av, v⟩ = tr(AV).

Nous noterons H_{Λ} l’ensemble des matrices hermitiennes de spectre Λ = (λ_{1}, …, λ_{n}). Nous allons démontrer un résultat plus général, à savoir :

Théorème 3 L’image de l’application

\begin{aligned}f_{A} : & H_{Λ} & ⟶ & ℂ \\ & V & ⟼ & tr(AV) \end{aligned}

est un convexe de ℂ.

Nous voilà donc amenés à l’étude d’une fonction f_{A} définie sur H_{Λ}, à valeur dans ℂ. Ce qu’il faut montrer, c’est que l’image de cette fonction est un convexe du plan complexe.

Dans le cas particulier où A est normale, on obtient le théorème de Ginzburg, c’est-à-dire un résultat un peu plus général, mais très voisin :

Théorème 4 (Ginzburg) Si A est une matrice normale dont les valeurs propres sont a_{1}, …, a_{n}, l’image de H_{Λ} par f_{A} est l’enveloppe convexe des n! nombres complexes ∑_{j=1}^{n} a_{j}λ_{σ(j)}, où σ parcourt le groupe symétrique 𝔖_{n}.

1.3 De la connexité à la convexité

Nous allons ramener la démonstration des théorèmes de convexité à des études de connexité :

Nous voulons qu’un certain f(V) ⊂ ℝ^{n}, où V est un espace topologique et f une application continue, soit convexe. Or un sous-ensemble de ℝ^{n} est convexe si et seulement si son intersection avec toute droite affine est connexe. Il suffira donc que, pour toute application linéaire φ de ℝ^{n} dans ℝ^{n−1}, et pour tout u dans ℝ^{n−1}, (φ ∘ f)^{−1}(u) soit connexe, puisque

f(V) ∩ φ^{−1}(u) = f((φ ∘ f)^{−1}(u)).

On veut donc que tous les niveaux^{1} d’une certaine fonction soient connexes. Ce genre d’étude peut se faire par la théorie de Morse. En particulier, nous verrons qu’un changement de connexité des niveaux ne peut intervenir qu’aux points critiques de la fonction étudiée. Cependant, nous l’appliquerons ici dans un cadre particulier, celui de la géométrie symplectique, qui permet d’obtenir des résultats concernant les liens entre points critiques d’une application et points fixes d’une action de groupe (car ici, l’action du groupe unitaire sur H_{Λ} va jouer un rôle important.)

1. les niveaux de f sont les f^{−1}(v).

2 Géométrie symplectique

2.1 Actions de groupes et champs fondamentaux

Nous commençons par quelques rappels sur les actions de groupes sur des variétés. Nous considérerons un groupe de Lie G, d’algèbre de Lie G, qui agit sur une variété C^{∞} V par difféomorphismes. Une telle variété sera appelée G-variété.

Une application φ : W → V, avec W et V des G-variétés, sera dite équivariante si

∀x ∈ W, ∀g ∈ G, φ(g · x) = g · φ(x).

Si x ∈ V, son orbite sera désignée par G · x, son stabilisateur par G_{x}.

Pour tout x ∈ V, l’application f_{x} définie par :

\begin{aligned}f_{x} : & G & ⟶ & V \\ & g & ⟼ & g · x \end{aligned}

est appelée application d’orbite. C’est une application différentiable, dont la différentielle en 1 est l’application :

\begin{aligned}d_{1}f_{x} : & G & ⟶ & T_{x}V \\ & X & ⟼ & d_{1}f_{x}(X) = \underline{X}(x). \end{aligned}

Ce qui, si l’on fait maintenant varier x,donne pour tout X ∈ G un champ de vecteurs \underline{X} sur V, appelé champ fondamental de X.

Remarque. Le crochet de Lie de G est relié au crochet de champs de vecteurs par la formule : \underline{[X, Y]} = −[\underline{X}, \underline{Y}].

2.2 Variétés symplectiques

Nous allons définir la notion de variété symplectique.

Un tel espace est un ℝ-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire alternée non dégénérée ω. Une conséquence directe de cette propriété est l’existence d’une base symplectique, c’est-à-dire une base (e_{1}, …, e_{n}, f_{1}, …, f_{n}) telle que :

ω(e_{i}, f_{j}) = δ_{i,j}, et ω(e_{i}, e_{j}) = ω(f_{i}, f_{j}) = 0. Ceci a pour conséquence immédiate que la dimension de l’espace est paire.

Exemple. On considère ℂ^{n} muni de la forme ω(X, Y) = Im⟨X, Y ⟩, où ⟨X, Y ⟩ est le produit hermitien standard. Cette forme est bien bilinéaire, et elle est antisymétrique puisque ⟨X, Y ⟩ = \overline{⟨Y, X⟩}. Elle est également non dégénérée puisque ω(X, iX) = −⟨X, X⟩.

Définition 1 Une variété sera dite symplectique si elle est munie d’une 2-forme différentielle fermée non dégénérée.

Exemples.

1. L’espace ℂ^{n} est donc naturellement muni d’une structure de variété symplectique par la forme constante Σdp_{i} ∧ dq_{i}, où p_{i} et q_{i} désignent les parties réelles et imaginaires de la i^{eme} composante du vecteur.

2. L’exemple le plus important de l’exposé : H_{Λ} .

Considérons tout d’abord H: il est naturellement muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée (X, Y) ↦ tr(XY) (on voit qu’elle est non dégénérée en utilisant la base canonique de H).

Pour h ∈ H, on définit une forme alternée sur l’ensemble 𝔲(n) des matrices antihermitiennes par

∀X, Y ∈ 𝔲(n), ω_{h}(X, Y) = tr(i[X, Y]h).

Cette forme n’est pas non-dégénérée sur H. Cependant, on peut en tirer une forme non-dégénérée sur H_{Λ}.

On a : ω_{h}(X, Y) = tr(i[X, Y]h) = tr(i(XY h − Y Xh)) = tr(iX[Y, h]). Donc le noyau de ω_{h} est l’ensemble K_{h} = {Y ∈ 𝔲(n), [Y, h] = 0}. Cet ensemble est précisément l’algèbre de Lie du stabilisateur de h pour l’action de U(n) : en effet, si l’on dérive la relation ghg^{−1} = h, on obtient exactement la relation qui définit K_{h}. Et comme H_{Λ} est une orbite sous l’action de U(n), elle s’identifie au quotient de U(n) par son stabilisateur. Leurs espaces tangents s’identifient, et l’espace tangent T_{h}H_{Λ} à H_{Λ} en h est donc le quotient de 𝔲(n) par K_{h}:

T_{h}H_{Λ} = 𝔲(n)/K_{h} ≈ [𝔲(n), h].

Sur cet espace, ω_{h} est donc non dégénérée.

On a ainsi une 2-forme non dégénérée définie sur H_{Λ}. Reste à voir qu’elle est fermée :

\begin{aligned}dω(ξ, η, ζ) & = & ξ · ω(η, ζ) + η · ω(ζ, ξ) + ζ · ω(ξ, η) \\ & & −ω([ξ, η], ζ) − ω([η, ζ], ξ) − ω([ζ, ξ], η) \end{aligned}

Cette quantité doit être nulle, quels que soient les champs de vecteurs ξ, η et ζ. Or les champs fondamentaux engendrent l’espace tangent T H_{Λ}, il suffit donc de le vérifier pour de tels champs. Ces derniers sont de la forme ξ_{h} = [X, h], avec X ∈ 𝔲(n), et on obtient donc que le crochet de champs de vecteurs de [X, .] et de [Y, .] est égal à [X, [Y, .]] (ici, tous les crochets sont des crochets de matrices). Le fait que ω soit fermée découle alors de l’identité de Jacobi.

2.3 Champs de vecteurs hamiltoniens, variétés de Poisson

2.3.1 Champs hamiltoniens

Considérons une variété symplectique V : elle est munie d’une forme non-dégénérée ω, ce qui permet de définir une dualité entre espace cotangent et espace tangent de V. On définit le gradient symplectique X_{f} d’une fonction f : V → ℝ par :

i_{X_{f}} ω = df.

X_{f} sera également appelé le champ hamiltonien associé à f, et on dira que f est un hamiltonien pour X_{f}. Comme ω est non dégénérée, les points critiques de f sont exactement les zéros de son champ hamiltonien, ce qui nous servira par la suite.

Pour tout champ de vecteurs X sur V, on dira que X est hamiltonien s’il existe f : V → ℝ telle que X_{f} = X, c’est-à-dire si i_{X}ω est exacte. On dira que X est localement hamiltonien si cette forme est fermée. L’ensemble des champs hamiltoniens sur V seront notés H(V), celui des champs localement hamiltoniens H_{loc}(V).

Exemple. Si X ∈ H, iX ∈ 𝔲(n), et le champ fondamental associé à iX sur H (où U(n) opère par conjugaison sur H) est \underline{iX}_{h} = [iX, h], puisque la dérivée de l’application d’orbite est exactement le crochet de Lie. D’autre part, la fonction

\begin{aligned}f_{X} : & H_{Λ} & ⟶ & ℝ \\ & h & ⟼ & tr(iXh) \end{aligned}

est un hamiltonien pour \underline{iX}. En effet, la différentielle de f_{X} au point h envoie le vecteur tangent [h, Y], où Y ∈ 𝔲(n) sur tr(iX[h, Y]), puisque f_{X} est linéaire. Cette expression est égale à ω_{h}(iX, Y).

2.3.2 Variétés de Poisson

La notion de gradient symplectique donne une application de C^{∞}(V) dans χ(V), l’espace des champs de vecteurs sur V. Or, sur cet espace, on a une structure naturelle d’algèbre de Lie grâce au crochet de champs de vecteurs. Nous allons transporter cette structure sur l’espace des fonctions C^{∞} sur V.

Définition 2 Si (V, ω) est une variété symplectique, on définit le crochet de Poisson de f et g par :

{f, g} = ω(X_{f}, X_{g}).

Proposition 1 Le crochet de Poisson définit une structure d’algèbre de Lie sur C^{∞}(V).

Démonstration. Le crochet de Poisson est bien bilinéaire antisymétrique, par définition. Il n’y a donc qu’à montrer l’identité de Jacobi. Pour cela, on écrit que ω est fermée :

\begin{aligned}0 & = & X_{1} · ω(X_{2}, X_{3}) + X_{2} · ω(X_{3}, X_{1}) + X_{3} · ω(X_{1}, X_{2}) \\ & & −ω([X_{1}, X_{2}], X_{3}) − ω([X_{2}, X_{3}], X_{1}) − ω([X_{3}, X_{1}], X_{2}) \end{aligned}

Or, on a :

X_{1} · ω(X_{2}, X_{3}) = X_{1} · {f_{2}, f_{3}}
= {{f_{2}, f_{3}}, f_{1}}
= ω(X_{{f_{2},f_{3}}}, X_{1})
= ω(X_{1}, [X_{2}, X_{3}])

puisque X_{{f,g}} = −[X_{f}, X_{g}]. Ceci s’obtient en utilisant la formule de Cartan : en effet, si X et Y sont des champs hamiltoniens, on a :

i_{[X,Y]}ω = L_{X}i_{Y} ω − i_{Y} L_{X}ω = (di_{X} + i_{X}d)i_{Y} ω − i_{Y} (di_{X} + i_{X}d)ω = di_{X}i_{Y} ω

puisque ω, i_{X}ω et i_{Y} ω sont fermées. Ce qui prouve au passage que tout crochet de deux champs de vecteurs localement hamiltoniens est globalement hamiltonien. En faisant subir un traitement similaire aux trois membres de l’égalité ci-dessus, on obtient :

2({f_{1}, {f_{2}, f_{3}}} + {f_{2}, {f_{3}, f_{1}}} + {f_{3}, {f_{1}, f_{2}}}) = 0. □

Lorsque l’espace C^{∞}(V) est munie d’une structure d’algèbre de Lie (non nécessairement par la méthode ci-dessus) telle que ∀f ∈ C^{∞}(V), {f, .} soit une dérivation, V sera appelée variété de Poisson.

2.4 Opérations hamiltoniennes, application moment

Définition 3 Soient V une variété symplectique et G un groupe opérant sur V. On dira que l’opération de G sur V est symplectique si tout élément de G définit un difféomorphisme conservant ω.

Proposition 2 Si l’opération de G sur V est symplectique, les champs de vecteurs fondamentaux sont localement hamiltoniens.

Démonstration. Soit X ∈ G, et soit \underline{X} le champ fondamental associé. Si l’on note g_{t} le flot de \underline{X}, on a : g_{t} ⋆ ω = ω. Lorsqu’on dérive cette équation par rapport à t, on obtient : L\underline{X}ω = \frac{d}{dt}g_{t} ⋆ ω(t = 0) = 0. Et, grâce à la formule de Cartan et au fait que ω est exacte, il vient : i\underline{X}ω = 0. □

Considérons le diagramme :

C^{∞}(V)  G
↓  ↓
H(V) ↪ H_{loc}(V)

Définition 4 La variété V sera dite hamiltonienne si elle est munie d’un morphisme d’algèbres de Lie μ̃ de G dans C^{∞}(V) qui rend le diagramme ci-dessus commutatif.

Dans ce cas, on obtient une application μ de V dans G^{⋆} de la façon suivante : pour tout x de V et tout X de G, μ(x)(X) = μ̃(X)(x). Cette application est appelée l’application moment de l’action du groupe G.

Exemple. Si H : V → ℝ est une fonction et que le champ hamiltonien X_{H} est complet, son flot définit une action hamiltonienne de ℝ dont l’application moment est H. En effet, cette action est symplectique grâce à la dérivée de Lie. De plus, si X ∈ G^{∗} ≈ ℝ, μ̃(X)(x) = H(x)X, et donc d_{x}(μ̃(X))(Y) = Xd_{x}H(Y) = Xω_{x}(X_{H}(x), Y), ce qui signifie que le gradient symplectique de μ̃(X) est XX_{H}. Et on vérifie bien qu’il s’agit du champ fondamental de X, puisque f_{x}(t) est le flot de X: d_{0}f_{x}(X) = ∂_{t}(f_{x}(t))_{|t=0}X = XX_{H}(x).

Nous allons maintenant énoncer le théorème de Noether, qui nous permet d’établir le lien entre les niveaux de μ et l’action de G sur V.

Théorème 5 (de Noether) On considère une variété hamiltonienne V. Soit H une fonction invariante par l’action de G. Alors l’application moment μ est constante sur les trajectoires du champ hamiltonien X_{H}

Démonstration. Soit γ(t) une trajectoire de X_{H}. On peut écrire, pour tout X ∈ G:

\frac{d}{dt}⟨μ ∘ γ(t), X⟩ = d_{γ(t)}(μ̃(X)(X_{H}(γ(t)))
= ω_{γ(t)}(\underline{X}(γ(t)), X_{H}(γ(t)))
= −d_{γ(t)}H(\underline{X}(γ(t))).

Comme H est invariant et \underline{X} un champ fondamental de l’opération, on a : H(exp(sX)· γ(t)) = H(γ(t)). Expression dont la dérivée au point s = 0 donne :

d_{γ(t)}H(\underline{X}(γ(t))) = 0. □

On obtient donc en particulier : le champ X_{H} est tangent aux niveaux μ^{−1}(ξ) de l’application moment.

Remarque. Si x est un point fixe pour G, son application d’orbite est constante, et donc tous les champs fondamentaux s’y annulent.Comme la différentielle de μ̃(X) est égale à i\underline{X}ω, x est un point critique de μ̃(X), donc de μ. La réciproque n’est pas du tout acquise, mais elle est cependant vraie dans le cas où l’ensemble des exp(tX), où X ∈ G et t ∈ ℝ engendre un sous-groupe dense de G: en effet, en un point où la différentielle de μ est nulle, tous les champs fondamentaux sont nuls. Lorsqu’un g ∈ G s’écrit exp(X), X ∈ G, le flot de \underline{X} étant précisément égal à exp(tX) · x, on obtient g · x = x. Cette relation se propage ensuite par densité.

2.5 Théorie de Morse et application aux hamiltoniens

On considère dans cette partie une variété symplectique V munie d’une opération hamiltonienne d’un tore T. Dans ce cas, les points fixes de T correspondent à certains points critiques de μ. Pour pouvoir appliquer la remarque précédente, on introduit la notion de hamiltonien presque périodique :

Définition 5 Une fonction f : V → ℝ est un hamiltonien presque périodique si le flot de son gradient symplectique engendre un sous-groupe compact connexe du groupe des difféomorphismes de V.

2.5.1 Théorie de Morse

Nous allons commencer par énoncer les principaux résultats de la théorie de Morse, dont l’application aux hamiltoniens presque périodiques nous donnera les résultats voulus.

Proposition 3 Soit M une variété C^{∞}, f : M → ℝ et m ∈ M un point critique de f. Alors, si X et Y sont des champs de vecteurs sur M, X(Y (f))(m) ne dépend en X et Y que de X(m) et Y (m). De plus,

(X(m), Y (m)) ↦ X(Y (f))(m)

est une application bilinéaire symétrique sur T_{m}M.

Démonstration.On a :

(X(Y f))(m) − (Y (Xf))(m) = [X, Y]f(m) = d_{m}f([X, Y](m)) = 0,

puisque m est un point critique de f. De plus (X(Y f))(m) ne dépend que de X(m) et (Y (Xf))(m) ne dépend que de Y (m), donc (X(Y f))(m) ne dépend que de X(m) et de Y (m). □

Nous allons maintenant énoncer le lemme de Morse. Pour cela, nous avons d’abord besoin de quelques rappels d’algèbre bilinéaire.

Lemme 1 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, Q une forme bilinéaire symétrique définie sur E. On note G l’application de L(E) dans B(E) espace des formes bilinéaires symétriques sur E, définie par :

G(S)(x, y) = Q(Sx, Sy).

Alors, si Q est non dégénérée, dG est de rang maximal dans un voisinage de l’identité I.

Démonstration.Ceci sera simplement assuré par le fait que d_{I}G : L(E) → B(E) est surjective. Or

d_{I}G(S)(x, y) = Q(Sx, y) + Q(x, Sy).

Donc pour un certain C ∈ B(E), S = \frac{1}{2} Q̃^{−1}∘C̃ vérifie dG(S) = C, où Q̃ est l’isomorphisme de dualité de Q. □

Par application du théorème d’inversion locale, on obtient alors le corollaire suivant :

Corollaire 1 Sur un voisinage V de l’identité, il existe une application

J : B(E) → L(E)

telle que J soit C^{∞} et G ∘ J soit l’identité sur V.

Ceci nous permet alors de démontrer le lemme de Morse :

Théorème 6 (Lemme de Morse) Soient M une variété C^{∞} de dimension n et f : M → ℝ une application C^{∞} et m un point critique non dégénéré de f. Alors il existe une carte locale φ : U → M telle que :

f(φ(x)) = f(m) + x_{1}^{2} + … + x_{n−λ}^{2} − x_{n−λ+1}^{2} − … − x_{n}^{2}.

L’entier λ est appelé l’indice de m comme point critique de f.

Démonstration.Fixons une carte locale ψ : O → M en m. Il suffit de prouver le théorème pour g = f ∘ ψ, qui a un point critique à l’origine. Par changement de base, on peut supposer que la forme Hessienne d_{0}^{2}g de g en 0 est diagonale, avec uniquement des 1 et des −1 sur la diagonale. Soit alors :

B_{z}(x, y) = ∫_{0}^{1} d_{tz}^{2}g(x, y)dt

B_{z} est un élément de B(ℝ^{n}).Puisque 0 est un point critique de g, la formule de Taylor donne : g(z) = g(0) + B_{z}(z, z). Grâce au lemme 1, en posant Q = d_{0}^{2}g, on peut choisir J qui inverse G sur O (quitte à le restreindre). Posons alors η(z) = J(B_{z})(z). On obtient alors

B_{z}(z, z) = d_{0}^{2}g(η(z), η(z)).

Comme à l’origine, dη vaut l’identité, η est un difféomorphisme local en 0. Soit φ son inverse sur un voisinage suffisamment petit : alors

g(φ(x)) = g(0) + B_{φ(x)}(φ(x), φ(x)) = g(0) + d_{0}^{2}d(x, x).

Comme la forme Hessienne de g en 0 est exactement de la forme voulue, on obtient le résultat. □

Théorème 7 Si f^{−1}([a, b]) est compact et ne contient aucun points critiques de f, alors M^{a} = f^{−1}(] − ∞, a]) est difféomorphe à M^{b}.

Démonstration.Nous ne ferons pas une démonstration complète, mais donnerons seulement les idées générales de la preuve :

Si l’on fixe une géométrie riemannienne sur M, on a un champ de vecteurs sur M : le gradient de f. Ce champ est régulier entre les niveaux f^{−1}(a) et f^{−1}(b). On peut donc pousser M^{b} vers M^{a} le long de ces lignes de champ. □

Théorème 8 Soit f : M → ℝ une fonction qui a un point critique non dégénéré m d’indice λ, tel que f(m) = c. On suppose que pour un certain ε, f^{−1}([c − ε, c + ε]) est compact ne contient pas d’autre point critique que m. Alors M^{c+ε} a le même type homotopique que M^{c−ε} auquel on attacherait une boule de dimension λ.

Démonstration.Voir [5], page 14. □

2.5.2 Cas particulier des hamiltoniens

Considérons maintenant un hamiltonien presque périodique : l’ensemble Z de ses points critiques est exactement l’ensemble des points fixes pour l’action du groupe compact T qu’il engendre. Or un tel ensemble est une sous-variété de V (ce résultat de géométrie différentielle est démontré dans [2]).

La forme symplectique est invariante par T. A l’aide d’une métrique riemannienne T -invariante, on peut alors construire une structure complexe T -invariante sur les espaces tangents, c’est-à-dire une section J du fibré tangent End(T V) telle que en chaque point, J_{x}^{2} = −1, et que J soit une isométrie pour ω. Pour cette structure complexe, la différentielle seconde de H est une forme hermitienne :

Proposition 4 Si H est un hamiltonien presque périodique sur V, z un point critique de H, alors sa dérivée seconde en ce point est la forme hermitienne :

\frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} λ_{i}|v_{i}|^{2}.

Les v_{i} sont un système de coordonnées complexes sur V au voisinage de z et les λ_{i} sont des réels non nuls.

Démonstration.On remarque que le tore T opère sur l’espace tangent T_{z}V, par linéarisation de l’action (c’est-à-dire en différentiant l’action des éléments de T) et laisse la forme hermitienne invariante, ainsi que J. En particulier, T peut donc être considéré comme un sous-groupe de U(n). Son algèbre de Lie 𝔱 est donc un sous-espace de 𝔲(n), espace des matrices antihermitiennes. Ces matrices sont donc toutes diagonalisables. Il en va de même pour les éléments de T, et puisqu’il s’agit d’un groupe abélien, il existe une base qui les diagonalise tous. On peut donc écrire : T_{z}V = V_{0} ⊕ V_{1} ⊕ … ⊕ V_{k}, où V_{0} est le sous-espace des points fixes de T, c’est-à-dire l’espace T_{z}Z ⊂ T_{z}V, et chaque V_{i} est stable par T. Si maintenant on observe l’action de exp X_{H} sur chaque V_{i}, on constate qu’il s’agit de la multiplication par un scalaire exp iλ_{j}, où λ_{j} ∈ ℝ, λ_{j} = 0 si et seulement si i = 0. Donc, avec ces notations, la différentielle seconde de H prend exactement la forme voulue, avec v_{0}, …, v_{n} une base correspondant à la décomposition ci-dessus. Il ne reste plus qu’à ramener l’action du groupe de l’espace tangent sur la variété. Pour cela, on utilise a nouveau une métrique riemannienne, qui fournit un difféomorphisme de T_{z}V sur un voisinage de z dans V : l’exponentielle. Ce difféomorphisme est équivariant car la métrique correspondante est T -invariante (Pour plus de détails, voir [6]). □

Ceci implique plusieurs choses, en particulier que la forme différentielle seconde de H a en z un indice pair, et est non dégénérée dans les directions transverses. La différentielle n’a donc jamais un indice valant 1 ou n − 1.

Nous en arrivons donc enfin à l’énoncé de la propriété qui nous permettra d’obtenir les résultats voulus :

Théorème 9 (Atiyah) Soit V une variété connexe. Si f est une fonction sur V dont les points critiques forment une sous-variété de V telle que la différentielle seconde soit non-dégénérée dans les directions transverses à cette sous-variété, et si les points critiques de f ne sont jamais d’indice 1 ou n − 1, alors les niveaux de f sont vides ou connexes.

Démonstration.Cette démonstration utilise des notions de topologies que nous ne pouvons développer ici. Voir [1] pour une démonstration complète. L’idée est d’utiliser le théorème 8 pour obtenir une description précise des niveaux inférieurs (les f^{−1}(] − ∞, a]), a ∈ ℝ), et par là même celle des niveaux de f. □

Tout est maintenant en place pour pouvoir démontrer les théorèmes de convexité.

3 Démonstration des théorèmes de convexité

3.1 Théorème de Toeplitz-Hausdorff

On commence par la proposition suivante :

Proposition 5 Tous les niveaux de f_{X} sont vides ou connexes

Démonstration.En effet, la proposition 4 de la section précédente montre que dans un système de coordonnées locales, la dérivée seconde de f est de la forme \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} λ_{i}|z_{i}|^{2} et par conséquent la forme quadratique associée est de signature (2σ, 2ρ), en particulier jamais (n − 1, 1) ou (1, n − 1). Le résultat découle du théorème d’Atiyah. □

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1 : on écrit la matrice A sous la forme A = X + iY avec X et Y hermitiennes. On a donc : T r(AV) = T r(XV) + iT r(Y V), ainsi f_{A} = f_{X} + if_{Y}. Pour tout couple (α, β) ∈ ℝ, αX + βY est hermitienne et la proposition s’applique, ce qui nous donne : f_{αX+βY} n’admet que des niveaux vides ou connexes. Or f_{αX+βY} = φ ∘ f_{A} où φ : ℝ^{2} → ℝ définie par : (x, y) ↦ αx + βy. Ainsi, pour toute φ : ℝ^{2} → ℝ linéaire et tout u ∈ ℝ, (φ ∘ f_{A})^{−1}(u) est vide ou connexe, donc f_{A}(H_{Λ}) est convexe. □

3.2 Théorème de Ginzburg

Pour démontrer le théorème 4, remarquons d’abord que A est normale si et seulement si A commute avec son adjoint, ou encore si et seulement si X et Y communtent. Donc exp(itX) et exp(itY) engendrent un sous groupe abélien de U(n). Notons T l’adhérence de ce groupe. T est donc un tore (car abélien, connexe et compact). De façon analogue son action sur U(n) (par conjugaison, bien sûr) se linéarise près des points fixes comme on a vu. De cette façon, les deux composantes de f_{A} sont localement de la forme

(f_{X}(C) + ∑_{i=1}^{n} α_{i}|z_{i}|^{2}, f_{Y} (C) + ∑_{i=1}^{n} β_{i}|z_{i}|^{2})

α_{i} et β_{i} sont des nombres réels. On voit que l’image d’un voisinage d’un point fixe est un cône convexe. Cette propriété locale combinée avec la convexité globale montre que l’image par f_{A} de H_{Λ} est l’enveloppe convexe des f_{A}(C) où C parcourt l’ensemble des points fixes sous l’action de T. Il reste à identifier les points fixes de T. Ce sont les matrices C telles que exp(itA).C. exp(−itA) = C pour tout t i.e AC = CA. Or on sait que A est normale, ses parties hermitienne et antihermitienne X, iY commutent donc sont diagonalisables dans une même base unitaire, et A et C aussi. Quitte à faire un changement de bases on peut supposer que A = diag(a_{1}, …, a_{n}) et les C de spectre (λ_{1}, …, λ_{n}) deviennent diag(λ_{σ(1)}, …, λ_{σ(n)}), où σ parcourt le groupe symétrique 𝔖_{n}. En conclusion, les f_{A}(C) sont les éléments de l’ensemble {T r(AC) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}λ_{σ(i)}|σ ∈ 𝔖_{n}} . D’où le théorème de Ginzburg. □

Ces théorèmes sont en fait des cas particuliers de ce que nous avons démontré au début de l’exposé, à savoir que, sous les bonnes hypothèses, une application moment d’une variété symplectique a une image convexe. Mais si l’on utilise ces propriétés de façon maximale, on peut obtenir un théorème plus général :

Théorème 10 (Atiyah, Guillemin-Sternberg) Soit W une variété symplectique compacte. Soit T un tore de dimension r opérant sur W avec application moment

μ : W ⟶ ℝ^{r}.

Alors l’image de μ est un polytope convexe dans ℝ, l’enveloppe convexe des points fixes de l’opération du tore.

La démonstration se fait par récurrence sur la dimension du tore en utilisant la dualité convexité-connexité. Pour les détails voir par exemple [2].

Table des matières

1 Réduction du théorème de Toeplitz-Hausdorff 1 1.1 Des vecteurs unitaires à l’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 De l’espace projectif aux matrices hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 De la connexité à la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Géométrie symplectique 3 2.1 Actions de groupes et champs fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Champs de vecteurs hamiltoniens, variétés de Poisson . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Champs hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.2 Variétés de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Opérations hamiltoniennes, application moment . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5 Théorie de Morse et application aux hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.1 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5.2 Cas particulier des hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Démonstration des théorèmes de convexité 9 3.1 Théorème de Toeplitz-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Théorème de Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Références

[1] M. Atiyah. Convexity and commuting hamiltonians. Bull. London Math. Soc., 23:1–15, 1982.

[2] M. Audin. Opérations hamiltoniennes sur les variétés symplectiques (quelques méthodes topologiques). Institut de Recherche Mathématique Avancée Université Louis Pasteur, 1989.

[3] Sternberg Guillemin. Symplectic techniques in physics. Cambridge University Press, 1984.

[4] P. Halmos. A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1982.

[5] J. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press, 1963.

[6] M. Spivak. Differential geometry, Volume 1. Publish or Perish, 1970.

[7] S.P. Novikov V.I. Arnold. Dynamical systems, Volume 4. Springer-Verlag, 1990.