CATÉGORIES ET COHOMOLOGIE DES FAISCEAUX

par: Julien Page et Roy McDonagh sous la direction de Joel Merker

INTRODUCTION

Les catégories fournissent un langage unificateur entre différents domaines des mathématiques. Outre la vision d’ensemble qu’elles permettent, elles favorisent l’obtention de résultats par transport d’un domaine à un autre. Nous en donnerons les bases puis présenterons quelques unes de leurs application à la cohomologie des faisceaux.

1. CATÉGORIES.

1.1. CATÉGORIES: Une catégorie C est la donnée d’une collection d’objets Ob(C), et, pour tous A,B dans Ob(C), d’un ensemble de flèches (ou morphismes) noté Hom_{C}(A, B) tels que (A, B) ≠ (A′, B′) ⇒ Hom_{C}(A′, B′) ∩ Hom_{C}(A, B) = ∅. L’ensemble des flèches est muni d’une loi produit (qui à tous u : A → B et v : B → C associe vu : A → C) associative telle que chaque Hom(A, A) possède un élement neutre 1_{A}. Ex.:Catégorie des ensembles(Flèches=applications),des groupes(Flèche Ex.:Catégorie des ensembles(Flèches=applications),des groupes(Flèches=morphismes).

1.2. NOYAUX ET CONOYAUX: Soient u, v dans Hom(A, B), k : K → A est un noyau de (u, v) ssi (i) uk = vk (ii) ∀x : X → A tq ux = vx, ∃!x′ : X → K tq x = kx′. On note k = Ker(u, v). c : B → C est un conoyau de (u, v) ssi (i) cu = cv (ii)∀x : B → X tq xu = xv, ∃!x′ : C → X tq x = x′c. On note c = Cok(u, v).

1.3. : f : A → B est un monomorphisme(resp.épimorphisme) ssi ∀u, v : Z → A(resp. B → C) fu = fv (resp.uf = vf) ⇒ u = v.

1.4. FONCTEURS: Un foncteur F dit covariant(resp. contravariant) d’une catégorie A dans une catégorie B associe à tout A ∈ Ob(A) un F (A) ∈ Ob(B), à tout u ∈ Hom_{A}(A, B) un F (u) ∈ Hom_{B}(F (A), F (B)) (resp. F (u) ∈ Hom_{B}(F (B), F (A)) ) tq (i) F (1_{A}) = 1_{F (A)} (ii) F (uv) = F (u)F (v) (resp.F (v)F (u)).

Ex.Groupe fondamental:Π_{1}:Espaces topologiques pointés→Groupes.

1.5. : Soient F, G deux foncteurs de A dans B. Un morphisme Φ de F dans G associe à tout objet X de A une flèche Φ_{X} : F (X) → G(X) tq ∀u : A → B, Φ_{B}F (u) = G(u)Φ_{A}.

1.6.PROBLÈMES UNIVERSELS: Soient D : B → A un foncteur et A ∈ Ob(A).On appelle solution relative à l’objet A du problème universel posé par D,la donnée d’un objet B et d’une flèche π : A → D(B) tq ∀Y ∈ Ob(B) l’application Hom_{B}(B, Y) → Hom_{A}(A, D(B)) est bijective. Ex. A=Catégorie des espaces métriques.B=Catégorie des espaces métriques complets.D=Foncteur d’inclusion.Alors B=complété de Cauchy de A,π=injection canonique.

2.CATÉGORIES EXACTES.HOMOLOGIE DES COMPLEXES.

2.1. CATÉGORIES EXACTES :

Une catégorie exacte est une catégorie avec des objets nuls 0 (=objets tq ∀X, Hom(0, X) et Hom(X, 0) sont réduits à un élement noté 0), des noyaux,des conoyaux tq ∀f : A → B, sa factorisation A → Coimf →^{f′} Imf → B est tq f′ est un isomorphisme.

(NB. Kerf := Ker(0, f), Cokf := Cok(0, f), Imf := KerCokf, Coimf := CokKerf).

2.2. COMPLEXES: Un complexe est une suite C^{∗} = (C^{n}, ∂^{n})_{n∈ℤ} où ∂^{n} : C^{n} → C^{n+1} tq ∂^{n+1}∂^{n} = 0.

Un morphisme de complexes f : C^{∗} → D^{∗} est une suite (f_{n})_{n∈ℤ}f_{n} : C^{n} → D^{n} tq ∀n ∈ ℤ f^{n+1}∂^{n} = ∂^{n}f^{n}.

2.3. H^{n}(C^{∗}) = Ker∂^{n}/Im∂^{n−1} := Cok (Im∂^{n−1} → Ker∂^{n}) est appelé le n-ième objet d’homologie de C^{∗}. Tout f:C^{∗} →D^{∗} induit des morphismes H^{n}(f):H^{n}(C^{∗}) →H^{n}(D^{∗})(∀n∈ ℤ).

2.4. THÉORÈME (Iversen, p.7). De toute suite exacte 0 → P^{∗} →^{f} Q^{∗} →^{g} R^{∗} → 0 (i.e.

∀n ∈ ℤ, 0 → P^{n} →^{f^{n}} Q^{n} →^{g^{n}} R^{n} → 0 exacte. NB A →^{f} B →^{g} C est dite exacte ssi Kerg ≅ Imf),

on déduit des morphismes de connexion c^{n} : H^{n}(R^{∗}) → H^{n+1}(P^{∗}) qui induisent une suite exacte longue de cohomologie:

[figure: ⋯; H^{n}(P^{∗}); H^{n}(f); H^{n}(Q^{∗}); H^{n}(g); H^{n}(R^{∗}); c^{n}; H^{n+1}(P^{∗}); H^{n+1}(f); H^{n+1}(Q^{∗}); · · · .]

2.5. CATÉGORIES ADDITIVES:

Une catégorie est additive ssi chaque Hom(A, B) est un groupe additif abélien rendant la composition bilinéaire et si elle admet des objets nuls et des sommes directes finies. (NB:Une famille d’objets (A_{i})_{i∈I} admet S pour somme directe ssi ∃(s_{i} : A_{i} → S)_{i∈I} tq ∀(x_{i} : A_{i} → X)_{i∈I} ∃!x : S → X tq x_{i} = xs_{i}(∀i ∈ I). On note alors S = ⨁_{i∈I} A_{i}).

2.6. CATÉGORIES ABÉLIENNES: Une catégorie est dite abélienne ssi elle est additive et exacte.

2.7. OBJETS INJECTIFS: Soit A une catégorie abélienne. I ∈ Ob(A) est dit injectif ssi pour tout monomorphisme f : X → Y et tout morphisme X → I ∃y : Y → I tq x = yf.

On dit que A a suffisament d’injectifs ssi pour tout objet M de A, il existe un monomorphisme de M dans un injectif I : M → I.

2.8. THÉORÈME: Dans une catégorie admettant suffisament d’injectifs,tout objet X admet une résolution injective. ie:∃ I^{∗}=(I^{n}, ∂^{n})_{n≥0} complexe d’injectifs et 0→X→I^{0} →I^{1} →...suite exacte. (cf Iversen p.40).

3. THEORIE DES FAISCEAUX.

3.1. PRÉFAISCEAUX: Soit X un espace topologique.Un préfaisceau sur X est la donnée pour tout ouvert U de X d’un groupe abélien des “sections de F sur U” noté F (U) ou Γ(U, F).Et pour chaque paire d’ouverts U ⊇ V d’un morphisme r_{V,U} : F (U) → F (V) la “réstriction de U à V” tq r_{W,V}r_{V,U} = r_{W,V} et r_{U,U} = 1 ∀U ⊇ V ⊇ W.

Notation : Si s est une section de F sur U un ouvert de X et V ⊆ U un autre ouvert, on note s_{|V} la réstriction de s à V.

Un morphisme ϕ du préfaisceau F dans le préfaisceau G est la donnée de morphismes ϕ(U) : F (U) → G(U) tq ∀U ⊆ V, ϕ(U)r_{U,V}^{F} = r_{U,V}^{G}ϕ(V).

3.2. FIBRES: Soit x ∈ X.On note I_{x} l’ensemble des ouverts en x.On définit alors la fibre de F en x F_{x} = ⨁_{V∈I_{X}} F (V)/{t − r_{V,U}(s), t ∈ F (U), s ∈ F (V), U ⊇ V}. On note f_{U}^{x} : F (U) :→ F_{x} la projection canonique.

Tout morphisme f : F → G induit alors f_{x} : F_{x} → G_{x}.

3.3. PROPRIÉTÉ: F →^{f} G →^{g} H est exacte ssi ∀x ∈ X, F_{x} →^{f_{x}} G_{x} →^{g_{x}} H_{x} est exacte.

3.4. FAISCEAUX: Un préfaisceau F sur X est un faisceau ssi ∀(U_{i})_{i∈I} famille d’ouverts de X et ∀(s_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} F (U_{i}) tq ∀i, j ∈ I r_{U_{i}∩U_{j},U_{i}}(s_{i}) = r_{U_{i}∩U_{j},U_{j}}(s_{j}) ∃!s ∈ U(U = ⋃_{i∈I} U_{i}) tq ∀i ∈ Ir_{U_{i},U}(s) = s_{i}

Ex.Faisceaux des fonctions continues avec la réstriction traditionnelle.

3.5. THÉORÈME: La catégorie Sh(X) des faisceaux sur X est abélienne. (On définit f+ g(U) = f(U) + g(U), (F ⨁ G)(U) = F (U) ⨁ G(U), Ker(f)(U) = Ker(f(U)), Coker(f)(U) = Coker(f(U)).) (cf Iversen p.87).

3.6. THÉORÈME: La catégorie Sh(X) a suffisament d’injectifs. (cf Iversen p.91). preuve: -La catégorie des groupes abéliens a suffisament d’injectifs.(G injectif ↔ G divi-

sible). -A toute famille de groupes abéliens,on associe le faisceau D tq Γ(U, D) = ∏_{x∈U} D_{x}. -On a alors un isomorphisme Hom(F, D) → ∏_{x∈X} Hom(F_{x}, D_{x}).Et donc, (D_{x}) divisibles ⇒ D injectif.

3.7. COHOMOLOGIE DES FAISCEAUX:

A tout faisceau F sur X on peut associer une résolution injective:F → I^{∗} (cf 2.8 et 3.6.). On définit alors le n-ième groupe de cohomologie de X à coefficients dans F : H^{n}(X, F) =

H^{n}Γ(X, I^{∗}). (NB:définition indépendante de la résolution injective choisie).

3.8.IMAGES INVERSES DE FAISCEAUX: Soit f : X → Y une fonction continue. A tout faisceau G sur Y on associe f^{⋆}G (image inverse de G par f) faisceau sur X par Γ(U, f^{⋆}G) = {s ∈ ∏_{z∈U} G_{f(z)}/∀x ∈ U, ∃W ∈ I_{x}, ∃V ouvert contenant f(W) ∃t ∈ Γ(V, G)/ ∀w ∈ W, pr_{w}(s) = f_{V}^{f(w)}(t)}.

3.9. IMAGES DIRECTES DE FAISCEAUX: A tout faisceau F sur X Soient A et B deux sous espaces fermés(ou deux ouverts) de X. Tout faisceau F sur X induit une suite exacte longue: ...H^{p}(A ∪ B, F) → H^{p}(A, F) ⨁ H^{p}(B, F) → H^{p}(A ∩ B, F) → H^{p+1}(A ∪ B, F) →... appelée suite de Mayer-Vietoris.(cf Iversen p. 103)

4. COHOMOLOGIE A SUPPORT COMPACT

4.1. RAPPELS ET DÉFINITIONS:

- Soit U un voisinage ouvert d’un point x ∈ X et F un faisceau sur X. Notons f_{U}: F (U) → F_{x} l’application canonique de but la fibre de F en x. Si s ∈ F (U) est une section de F sur U on note s_{x} = f_{U}(s) et on appelle germe de s en x l’image de s dans F_{x}. - Soit s une section de F sur un ouvert U de X. On définit le support de s: supp(s) = {x ∈ U/s_{x} ≠ 0}.

Définition: Soit F un faisceau sur X un epace topologique localement compact. On appelle groupe des sections de F à support compact et on note

Γ_{c}(X, F) = {s ∈ Γ(X, F); supp(s) est compact }

.

Définition: Le i-éme groupe de cohomologie à support compact est: H_{c}^{n}(X, F).

Remarque: On rappelle que pour le calculer il faut prendre une résolution injective I^{•} de F dans Sh(X). On a alors H_{c}^{n}(X, F) = H^{n}Γ_{c}(X, I^{•}).

- Soit f : X → Y une application continue et propre et G un faisceau sur Y. Alors f^{⋆} transforme une section de G à support compact en section à support compact. On a donc une application:

a(V) : Γ_{c}(V, G) → Γ_{c}(f^{−1}(V), f^{⋆}G)
t ↦ (t_{f(x)})_{x∈V}

où V est un ouvert de X. Soit G un faisceau sur Y et J^{•} une résolution injective de g dans Sh(Y). Soit aussi I^{•} une résolution injective de f^{⋆}G dans Sh(Y). Rappellons que f^{⋆} transforme injectif en injectif: il s’en suit que f^{⋆}G → I^{•} est une résolution injective de f^{⋆}G . Le morphisme:

Γ_{c}(Y, J^{•}) → Γ_{c}(X, f^{⋆}J^{•}) → Γ_{c}(X, I^{•})

induit le morphisme f^{⋆}: H_{c}^{•}(Y, G) → H_{c}^{•}(X, f^{⋆}G).

Sous espaces fermés: Soit i:Z ↪X l’inclusion d’un sous espace fermé de X. On définit les sections à support compact d’un faisceau F sur X sur Z par: Γ_{c}(Z, F) = Γ_{c}(Z, i^{⋆}F). On peut étendre cette définition aux groupes de cohomologie à support compact de F.

4.2. FAISCEAUX MOUS :

(a) Faisceaux flasques

Soit X un espace localement compact.

Définition:On dit qu’un faisceau F sur X est Γ_{c}(X, −) acyclique si H_{c}^{p}(X, F) = 0 ∀p ⩾ 1.

Définition: Un faisceau F sur X est dit flasque si ∀U ouvert de X la réstriction Γ(X, F) → Γ(U, F) est surjective.

Propriété: Un faisceau flasque F sur X est Γ_{c}(X, −) acyclique.

Propriété: Un faisceau injectif dans Sh(X) est flasque.

(b) Faisceaux mous

X est toujours supposé localement compact

Définition: Un faisceau M sur X est dit mou si étant donnés: Un sous espace compact K ⊆ X, Un ouvert U ⊇ K et Une section s de M sur U,il existe une section t de M surX telle que t et s aient la même réstriction à un voisinage ouvert de K contenu dans U.

Thèoréme: Soit i:Z ↪ X l’inclusion d’un sous espace compact dans X un espace localement compact. Alors pour tout faisceau F sur X on a l’isomorphisme:

\underrightarrow{lim} Γ(U, F) → Γ(Z, F)
s̄ ↦ (s_{x})_{x∈Z}

oú U parcourt les voisinages ouverts de Z dans X (la définition de \underrightarrow{lim} Γ(U, F) étant la même que celle de la fibre d’un faisceau (cf.3.2) à ceci près que les voisinages U sont des voisinages de Z et non plus d’un point).

preuve: prouvons la surjectivité , l’injectivité étant évidente. Soit s une section de i^{⋆}F sur Z. Pour chaque z ∈ Z soit K^{z} un voisinage compact de z , U^{z} un voisinage ouvert de K^{z} et s^{z} ∈ Γ(U^{z}, F) telle que (s^{z})_{x} = s_{x} pour tout x de K^{z}. Un nombre fini de U^{z} suffit à recouvrir Z: on est donc raménés au problème suivant: étant donnés K, L deux compacts de X et s (resp. t) une section de F sur K (resp.L) tels que s_{x} = t_{x} ∀x ∈ K ∩ L trouver une section w de F sur K ∪ L telle que w_{|K} = s et w_{|L} = t. Soit W un voisinage ouvert de K ∩ L dans X tel que s et t aient la même réstriction à W. Soit U et V deux ouverts de X tels que U ⊃ L\W et V ⊃ K\W. D’après la définition d’un faisceau on peut donc trouver une section de F sur U ⋃ V ⋃ W ⊃ K ⋃ L qui prolonge s et t . On en déduit un corollaire important:

Corollaire: Un faisceau M sur X est mou si et seulement si pour tout compact K ⊂ X la réstriction Γ(X, M) → Γ(K, M) est surjective.

Propriété (recollement de sections): Soient Z et W deux fermés de X et F un faisceau sur X . Pour s ∈ Γ(Z, F) et t ∈ Γ(W, F) tels que s_{|Z∩W} = t_{|Z∩W} il existe une unique section r de F sur Z ⋃ W tel que r_{|Z} = s et t_{|W} = t.

preuve: il suffit d’appliquer la suite de Mayer-Vietoris pour les fermés décrite ci dessus. Propriété (prolongement par O): Soit Z ⊂ X un sous espace fermé et F un faisceau

sur X. Alors ∀s ∈ Γ(Z, F), s_{|∂Z} = 0, il existe t ∈ Γ(X, F) prolongeant s et tel que t_{|X\Z} ≡ 0. preuve: {int(Z),X\supp(s) } constitue un recouvrement ouvert de X. Par la définition d’un faisceau on peut recoller s_{|int(Z)} et 0_{|X\supp(s)} pour obtenir une section globale de F sur X prolongeant s.

corollaire: soit i:Z ↪ X l’inclusion d’un sous espace fermé dans X et F un faisceau sur X. Alors la réstriction Γ_{c}(X, F) → Γ_{c}(Z, F) est surjective.

Preuve : Soit s ∈ Γ_{c}(Z, i^{⋆}F) et L un voisinage compact de supp(s). Soit s̄ la section de F sur ∂L ⋃(Z ⋂ L) obtenue par recollement de s_{|Z∩L} et 0_{|∂L}. On prolonge alors s̄ par 0 à L puis à X tout entier.

Théorème: Un faisceau mou M sur X (localement compact) est Γ_{c}(X, −) acyclique i.e. H_{c}^{n}(X, M) = 0, ∀n ≥ 1.

Prouvons d’abord le lemme suivant dont on aura besoin:

Lemme:Soit

[figure: 0; E; e; F; f; G; 0]

une suite exacte courte de faisceaux sur X avec E mou. Alors la projection: Γ_{c}(X, F) → Γ_{c}(X, G) est surjective.

preuve: Soit s ∈ Γ_{c}(X, G). Supposons d’abord que X est compact et soient K et L deux compacts de X, u ∈ Γ(K, F) et v ∈ Γ(L, F) tels que f_{|K}(u) = s_{|K} et f_{|L}(v) = s_{|L}. Posons x = u_{|K∩L} − v_{|K∩L}. On a x ∈ ker f_{|K∩L} = Im (e_{|K∩L}) (puisque la suite est exacte). Soit w ∈ Γ(K ⋂ L) tel que x = e_{|K∩L}(w). On peut prolonger w par 0 en w̃ ∈ Γ_{c}(L, E). On recolle alors u ∈ Γ(K, F) et v + e_{|L}(w̃) pour obtenir ŵ ∈ Γ_{c}(L ⋃ K, F) telle que f_{|K∪L}(ŵ) = s_{|K∪L}. Comme X est compact on peut recouvrir X par des compacts et procèder de proche en proche comme indiqué. Si X n’est pas compact on considère K un voisinage compact de supp(s) dans X . Si t ∈ Γ(K, F) tel que f_{|K}(t) = s_{|K} on peut se ramener au cas où t_{|∂K} = 0. On prolonge alors t par 0 en dehors de K pour obtenir une section globale de F se projettant sur s.

preuve du théorème: D’après le lemme on a: F mou ⇒ G mou. Soit alors

0 → M → I → T → 0

une suite exacte de faisceaux avec I injectif. Comme I est injectif I est flasque et donc acyclique. On a la suite longue suivante induite sur la cohomologie:

[figure: ⋯; H_{c}^{0}(X, I); ϕ; H_{c}^{0}(X, T); ψ; H_{c}^{1}(X, M); H_{c}^{1}(X, I); ⋯]

Or comme I est acyclique le dernier groupe de la suite est nul donc ψ est surjective. D’après le lemme ϕ est surjective. Comme la suite est exacte on en deduit que H_{c}^{1}(X, M) = 0. Par induction sur p on montre que H_{c}^{p}(X, M) = 0 ∀p ⩾ 1.

4.3. FAISCEAUX MOUS SUR ℝ^{n}

(a) Le faisceau C^{∞}(ℝ^{n})

On considère le faisceau C^{∞}(ℝ^{n}) des fonctions C^{∞}:ℝ^{n} → ℝ avec pour réstriction la réstriction usuelle des fonctions.

Lemme: Soit K un compact de ℝ^{n} et N un voisinage compact de K .Alors il existe une application C^{∞} ϕ : ℝ^{n} → ℝ telle que ϕ_{|ℝ^{n}\N} = 0 et ϕ_{|V} = 1 où V est un voisinage ouvert de K contenu dans N.

Théorème: Le faisceau C^{∞}(ℝ^{n}) est mou.

preuve: Soit K un compact de ℝ^{n} et s une section de C^{∞} sur U avec U un voisinage ouvert de K. Soit N un voisinage compact de K contenu dans U. On prend ϕ comme dans le lemme, alors (ϕs)_{|K} = s_{|K}, (ϕs)_{|ℝ^{n}\N} = 0 et on a prolongé s en une section globale.

(b) Faisceaux de modules Soit X un espace topologique localement compact muni d’un faisceau d’anneaux commutatifs A. Un faisceau E sur X est dit faisceau de A modules si pour tout ouvert U de X, Γ(U, E) est un Γ(U, A) module.

Propriété(admise): Soit A un faisceau mou d’anneaux sur X. Alors tout faisceau de A modules sur X est mou.

Corollaire: Le faisceau C^{(p)}(ℝ^{n}) des foctions p fois continuement dérivables est mou. preuve: pour p ∈ ℕ C^{(p)} est un faisceau de C^{∞} modules. La propriété prècedente permet de conclure.

Corollaire: Le faisceau des p-formes differentielles sur une varieté M est mou.

preuve: Il s’agit du faisceau E^{p}(M) dont les sections sur un ouvert U de M sont les p-formes sur U et qui est un faisceau de C^{∞}(M) modules.

Remarque: La cohomologie associée au faisceau E^{p}(M) est la cohomologie de de Rahm.

(c) Exemple: considerons le faisceau ℝ̃ des applications localement constantes à valeurs dans ℝ. Ce faisceau admet la résolution suivante:

[figure: 0; ℝ̃; C^{1}; D; C; 0 (1)]

où D est la dérivation habituelle. Pour calculer la cohomologie de ℝ̃ on considère la suite exacte courte évidente

[figure: 0; Γ_{c}(ℝ, C^{1}); D; Γ_{c}(ℝ, C); ∫; ℝ; 0]

On identifiant cette dernière suite avec la suite exacte induite par (1) sur la cohomologie on obtient que H_{c}^{1}(ℝ, ℝ̃) = ℝ. On utilise ensuite le fait que C^{1} et C sont mous pour conclure que H_{c}^{p}(ℝ, ℝ̃) = 0 pour p ≠ 1.

Bibliographie

(1) Jaffard, Poitou: Introduction aux Catégories et aux problèmes universels.

(2) Iversen: Cohomology of Sheaves.

(3) Schapira, Kashiwara: Sheaves on Manifolds