IDENTITÉ DE CAPELLI

Daniel Goujot Yolande Schuster avec Michel Duflo

29 Mai 1997

1 Présentation

Soit n un entier > 0. L’espace des matrices carrées d’ordre n est muni de ses n^{2} coordonnées x_{i}^{(j)} et des dérivées partielles correspondantes ∂_{i}^{(j)}. Soit E l’ensemble des opérateurs différentiels engendré par les x_{i}^{(j)} et les ∂_{i}^{(j)}. E est en fait l’ensemble des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux dans l’espace des polynômes à n^{2} variables.

On pose : X = (x_{i}^{(j)})_{1≤i,j≤n} , P = (∂_{i}^{(j)})_{1≤i,j≤n}, et H = ((n − i)δ_{ij})_{1≤i,j≤n}.

On définit l’opérateur de Capelli :

Capelli = Det(^{t}XP + H),

où on développe par rapport aux colonnes, les éléments ne commutant pas tous entre eux. Plus précisément, [∂_{i}^{(j)}, x_{i}^{(j)}] = 1 (Rappel : [a, b] = ab − ba). Capelli est un opérateur différentiel homogène d’ordre n qui appartient à E.

L’identité de Capelli est :

Capelli = |x_{i}^{(j)}|_{1≤i,j≤n}|∂_{i}^{(j)}|_{1≤i,j≤n},

c’est-à-dire :

Det(^{t}XP + H) = Det(X)Det(P).

Tous les déterminants seront développés ”par rapport aux colonnes”, c’est à dire que, si M = (m_{ij})_{1≤i,j≤n}, alors det(M) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)m_{σ(1)1} … m_{σ(n)n}, où i désigne le numéro de ligne, qui sera toujours mis avant le numéro de colonne. Ainsi on a |{a \atop c} {b \atop d}| = ad − cb, et non ad − bc.

La signature ε(σ) d’une application σ injective est −1 ou 1 selon que le nombre d’inversions card{(i, j)|i < j et σ(i) > σ(j)} est impair ou pair.

Généralisation : On peut généraliser au cas où :

X = (x_{i}^{(j)})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤m}} , P = (p_{i}^{(j)})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤m}} , H = (h(m − i)δ_{ij})_{1≤i,j≤m} et [p_{i}^{(j)}, x_{i}^{(j)}] = h.

L’identité devient alors :

Det(^{t}XP + H) = ∑_{I⊂{1,...,n}et|I|=m} Det(X)_{I}Det(P)_{I}

où, pour une matrice M, Det(M)_{I} représente le mineur extrait principal, dont les lignes ont pour indice les éléments de I. En particulier, pour m > n, on obtient Capelli = 0.

Le but de l’exposé est de présenter ici deux démonstrations de l’identité et deux applications (théorie des invariants et prolongement de fonctions holomorphes).

2 Démonstration analytique de l’identité de Capelli dans le cas où m = n

2.1 Notations et préliminaires

L’espace E des opérateurs différentiels sur ℝ^{n^{2}} est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires de monômes du type x_{k_{1}}^{(i_{1})} … x_{k_{a}}^{(i_{a})}∂_{l_{1}}^{(j_{1})} … ∂_{l_{b}}^{(j_{b})}. Soit D_{ij} la composition à gauche dans

E par l’opérateur ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)}. Soit Δ_{ij} ”l’introduction” de D_{ij} dans les dérivations, dont voici la définition sur les monômes :

x_{k_{1}}^{(i_{1})} … x_{k_{a}}^{(i_{a})}∂_{l_{1}}^{(j_{1})} … ∂_{l_{b}}^{(j_{b})} ⟼ ∑_{k=1}^{n} x_{k_{1}}^{(i_{1})} … x_{k_{a}}^{(i_{a})}x_{k}^{(i)}∂_{l_{1}}^{(j_{1})} … ∂_{l_{b}}^{(j_{b})}∂_{k}^{(j)}.

D_{ij} et Δ_{ij} sont des opérateurs sur E. Deux opérateurs sur cet ensemble E seront dits égaux si l’image de 1_{E} est égale. Alors D_{ij} = Δ_{ij} ; D_{ij} = ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)} ; Pour i_{1}, …, i_{p}, j_{1}, …, j_{p}:

Δ_{i_{1}j_{1}} … Δ_{i_{p}j_{p}} = ∑_{k_{1},...,k_{p}=1}^{n} x_{k_{1}}^{(i_{1})} … x_{k_{p}}^{(i_{p})}∂_{k_{1}}^{(j_{1})} … ∂_{k_{p}}^{(j_{p})}.

On considère le déterminant (qui est commutatif) :

|Δ_{ij}| = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)Δ_{σ(1)1} … Δ_{σ(n)n}

L’opérateur de Capelli est alors :

| \begin{matrix}D_{11} + n − 1 & D_{12} & ⋯ & D_{1n} \\ D_{21} & D_{22} + n − 2 & ⋯ & D_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ D_{n1} & D_{n2} & ⋯ & D_{nn} \end{matrix} | = Capelli

Identités : D_{pq}Δ_{rs} = Δ_{pq}Δ_{rs}, si q ≠ r.

D_{pq}Δ_{rs} = Δ_{pq}Δ_{rs} + Δ_{ps}, si q = r.

De la même façon : si ∀k q ≠ r_{k}: on a D_{pq}Δ_{r_{1}s_{1}} … Δ_{r_{i}s_{i}} = Δ_{pq}Δ_{r_{1}s_{1}} … Δ_{r_{i}s_{i}} (1) Si ∃!k q = r_{k}: D_{pq}Δ_{r_{1}s_{1}} … Δ_{r_{i}s_{i}} = Δ_{pq}Δ_{r_{1}s_{1}} … Δ_{r_{i}s_{i}} + Δ_{r_{1}s_{1}} … Δ_{ps_{k}} … Δ_{r_{i}s_{i}} (2)

2.2 Lemme

|Δ_{ij}| = |x_{i}^{(j)}||∂_{i}^{(j)}|

démonstration Δ_{ij}, x_{i}^{(j)} et ∂_{i}^{(j)} sont des élément d’un anneau commutatif. Donc, comme le déterminant d’un produit est le produit des déterminants dans tout module sur un anneau commutatif, la justification se résume à :

(Δ_{ij}) = ^{t}(x_{i}^{(j)}) (∂_{i}^{(j)}) .

Il suffit donc de prouver que

| \begin{matrix}Δ_{11} & Δ_{12} & ⋯ & Δ_{1n} \\ Δ_{21} & Δ_{22} & ⋯ & Δ_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ Δ_{n1} & Δ_{n2} & ⋯ & Δ_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}D_{11} + n − 1 & D_{12} & ⋯ & D_{1n} \\ D_{21} & D_{22} + n − 2 & ... & D_{2n} \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ D_{n1} & D_{n2} & ⋯ & D_{nn} \end{matrix} |

2.3 Démonstration par récurrence

On démontre par récurrence sur r que les mineurs extraits des r dernières colonnes de ces deux matrices sont égaux. Le cas r = n permettra de conclure.

Si r = 1 c’est évident.

Supposons le résultat vrai pour r. Démontrons-le pour r+1. Posons p = n−r. On considère les r + 1 dernières colonnes des deux matrices.

Par hypothèse de récurrence on peut extraire, non pas des mineurs de la matrice de gauche, mais de cette dernière, où on remplace les r dernières colonnes, par les r dernières colonnes de la matrice de gauche.

La différence de deux mineurs est un mineur de la matrice suivante :

D_{1p} − Δ_{1p} Δ_{1p+1} ⋯ Δ_{1n}
⋮  ⋮  ⋮
D_{pp} − Δ_{pp} + r Δ_{pp+1} ⋯ Δ_{pn}
⋮  ⋮  ⋮
D_{np} − Δ_{np} Δ_{np+1} ⋯ Δ_{nn}

Choisissons un mineur d’ordre r + 1, c’est-à-dire r + 1 lignes d’indice : 1 ≤ q_{1} < … < q_{r+1} ≤ n.

Développons par rapport à la première colonne. On obtient :

E_{1}M_{1} − E_{2}M_{2} + … + (−1)^{r}E_{r+1}M_{r+1}

où E_{k} = D_{q_{k}p} − Δ_{q_{k}p} + δ_{q_{k}p}r et où M_{k} est le mineur d’ordre r:

∑_{σ∈𝔖_{r}^{k}} ε(σ)Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}

où 𝔖_{r}^{k} est l’ensemble des bijections de {1,…,r} dans {1,…,k-1,k+1,…,r+1}.

Premier cas : q_{k} ≠ p pour tout k. Alors pour tout k,

E_{k}M_{k} = (D_{q_{k}p} − Δ_{q_{k}p}) ∑_{σ∈𝔖_{r}^{k}} ε(σ)Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}

= ∑_{σ∈𝔖_{r}^{k}} ε(σ)D_{q_{k}p}Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{σ(r)}p+r} − Δ_{q_{k}p}Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}

= 0

d’après l’identité (1).

Deuxième cas : il existe k tel que q_{k} = p. Ce k est alors unique. On a comme précédemment :

E_{k}M_{k} = (D_{q_{k}p} − Δ_{q_{k}p} + r)M_{k} = 0 + rM_{k}.

Pour i ≠ k, montrons que E_{i}M_{i} = (−1)^{(k−i+1)}M_{k} En effet :

E_{i}M_{i} = (D_{q_{i}p} − Δ_{q_{i}p}) ∑_{σ∈𝔖_{r}^{i}} ε(σ) \underbrace{Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{k}p+σ^{−1}(k)} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}}_{sans Δ_{q_{i}p+∗}}

= ∑_{σ∈𝔖_{r}^{i}} ε(σ)Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{i}p+σ^{−1}(k)} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}

d’après (2),

= ∑_{σ∈𝔖_{r}^{k}}(−1)^{(k−i+1)}ε(σ)Δ_{q_{σ(1)}p+1} … Δ_{q_{i}p+σ^{−1}(i)} … Δ_{q_{σ(r)}p+r}

où dans l’image de σ, on substitue k par i, ce qui multiplie la signature de σ par (−1)^{(k−i+1)}. Alors on obtient E_{i}M_{i} = (−1)^{(k−i+1)}M_{k}.

Donc ∑_{i=1}^{r+1}(−1)^{i−1}E_{i}M_{i} = 0. On a alors le résultat pour tout 1 ≤ r ≤ n et en particulier, pour r = n, on obtient l’identité de Capelli.

2.4 Conséquence immédiate de l’identité :

(Utilisée plus loin). Si n < m et F = F (x^{(1)}, …, x^{(n)}) alors

| \begin{matrix}D_{11} + n − 1 & D_{12} & ⋯ & D_{1n} \\ D_{21} & D_{22} + n − 2 & & D_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ D_{n1} & D_{n2} & ⋯ & D_{nn} \end{matrix} | (F) = 0

En effet, on considère F comme une fonction de m variables à m coordonnées, mais indépendante des m − n dernières variables.

Dans ce cas |∂_{i}^{(j)}|(F) = 0, car ∂_{k}^{(l)}(F) = 0, si l ≥ n + 1 et donc Capelli(F) = 0

3 Démonstration combinatoire de l’identité de Capelli

3.1 Cadre

Identité classique : Si

X := ( \begin{matrix}x_{1}^{(1)} & x_{1}^{(2)} & ⋯ & x_{1}^{(n)} \\ x_{2}^{(1)} & x_{2}^{(2)} & ⋯ & x_{2}^{(n)} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ x_{m}^{(1)} & x_{m}^{(2)} & ⋯ & x_{m}^{(n)} \end{matrix} ) , P := ( \begin{matrix}∂_{1}^{(1)} & ∂_{1}^{(2)} & ⋯ & ∂_{1}^{(n)} \\ ∂_{2}^{(1)} & ∂_{2}^{(2)} & ⋯ & ∂_{2}^{(n)} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ ∂_{m}^{(1)} & ∂_{m}^{(2)} & ⋯ & ∂_{m}^{(n)} \end{matrix} )

et H := ( \begin{matrix}(n − 1).h & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & (n − 2).h & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 0.h \end{matrix} ), on a l’identité de Capelli :

det(^{t}XP + H) = ∑_{I∈P_{n}^{m}} det_{I}(X) det_{I}(P),

où on note P_{n}^{m} l’ensemble des parties à n éléments de {1, …, m}, et où, pour I élément de P_{n}^{m}, det_{I} désigne le déterminant formé par les lignes dont l’indice est dans l’ensemble I (tous les déterminants sont développés selon les colonnes, cf préambule). Les hypothèses exactes sont que pour tous i et k entre 1 et n, [∂_{k}^{(i)}, x_{k}^{(i)}] = h, et que les autres termes (x_{k}^{(i)}, ∂_{k}^{(i)} ou h) commutent deux à deux.

Notations Les ∑ et ∏ seront les sommes et produits de tous les termes dont l’indice vérifie les conditions données, dans l’ordre donné par celui des indices. Par exemple,

∏_{{d∈\{1,2\} \atop d=2⇒σ(i)=i<k≤n}} \{ \begin{matrix}x_{k}^{(σ(i))}∂_{k}^{(i)} & si d = 1 \\ h_{i} & si d = 2 \end{matrix}

sera x_{k}^{(σ(i))}∂_{k}^{(i)} ou x_{k}^{(σ(i))}∂_{k}^{(i)}h_{i} selon qu’on aura σ(i) = i < k ≤ n ou non.

Spécialisation des h. En effet, ce que nous allons montrer est que cela reste vrai si : –pour tout i, la valeur de [∂_{k}^{(i)}, x_{k}^{(i)}] est indépendante de k; cette valeur sera notée h_{i}; –pour tous couples (i, k) et (j, l) distincts, x_{k}^{(i)} commute à x_{l}^{(j)} et à ∂_{l}^{(j)} ; –pour tout couple (j, l) et pour tout i, h_{i} commute à x_{l}^{(j)} et à ∂_{l}^{(j)} ; et si on redéfinit H comme :

H := (δ_{ij}(n − i)h_{i})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} = (δ_{ij} ∑_{i<k≤n} h_{i})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤n}} = ( \begin{matrix}(n − 1)h_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & (n − 2)h_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Principe de démonstration. La démonstration consiste d’abord à développer le déterminant non commutatif det(^{t}XP +H). Puis on va transformer les monômes, le but étant de mettre les x avant les ∂ dans chaque monôme pour trouver une combinaison linéaire de termes du type

∑_{#∈B_{n}}(−1)^{∗} [∏_{∗} x_{∗}^{∗}] [∏_{∗} ∂_{∗}^{∗}] ∏_{∗} h_{∗}.

Puis, sur l’ensemble C_{n} des indices # ∈ B_{n} dont le monôme ci-dessus contient un h, une involution I sans point fixe sera définie. Comme elle associera deux par deux des monômes identiques et de coefficients opposés, la combinaison linéaire se réduira aux termes dépourvus de h. Une identité de Binet-Cauchy montrera alors l’égalité de cette combinaison linéaire avec ∑_{I∈P_{n}^{m}} det_{I}(X) det_{I}(P).

3.2 Développement

Description des monômes de det(^{t}XP + H). Le déterminant (en développant selon les colonnes) se développe ainsi :

det(^{t}XP + H) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} (∑_{k=1}^{m} x_{k}^{(σ(i))}∂_{k}^{(i)} + ∑_{σ(i)=i<k≤n} h_{i})

Posons F (i, s, t, d) := \{ \begin{matrix}x_{t}^{(s)}∂_{t}^{(i)} & si d = 1 \\ h_{i} & si d = 2 \end{matrix} . Alors on a :

∑_{k=1}^{m} x_{k}^{(σ(i))}∂_{k}^{(i)} + ∑_{σ(i)=i<k≤n} h_{i} = ∑_{k=1}^{m} ∑_{{d∈\{1,2\} \atop d=2⇒σ(i)=i<k≤n}} F (i, σ(i), τ(i), d).

Donc, en permutant le produit avec les sommes, on a :

det(^{t}XP + H) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ∑_{τ∈m^{n}} ∑_{{d∈2^{n}∀id(i)=2⇒ \atop σ(i)=i<τ(i)≤n}} ε(σ) ∏_{i=1}^{n} F (i, σ(i), τ(i), d(i)) = ∑_{(σ,τ,d)∈A_{n}} ε(σ)G(σ, τ, d)

si on note G(σ, τ, d) := ∏_{i=1}^{n} F (i, σ(i), τ(i), d(i)), et si on note A_{n} l’ensemble des triplets (σ, τ, d) ∈ 𝔖_{n} × m^{n} × 2^{n} qui vérifie la condition a, la condition a étant que : Pour un i quelconque, d(i) ne peut prendre la valeur 2 que si on a σ(i) = i < τ(i) ≤ n (c’est à dire s’il y avait un h dans le coefficient (σ(i), i) du déterminant et pour la valeur de k(i) : D’où le lien avec la redéfinition de H).

∀i d(i) = 2 ⟹ σ(i) = i < τ(i) ≤ n. règle a

Description de l’ordonnancement d’un monôme quelconque. Par un monôme quelconque, il faut entendre un produit fini Π = ∏_{p=1}^{q} a_{p} de x_{∗}^{(∗)}, de ∂_{∗}^{(∗)} et de h_{∗}, dans le désordre. On suppose que tous les termes sont distincts. Le but est précisément d’écrire ce monôme comme combinaison linéaire de monômes ”ordonnés”, c’est à dire, où tous les x sont à gauche, et tous les h à droite, les ∂ restant au milieu. Nous y arriverons en les ordonnant petit à petit. D’abord les ∂ à droite, puis les h à leur droite.

Étudions la mise à droite d’un terme ∂_{k}^{(i)}, alors que tous les ∂ à sa droite ont déjà été mis à la fin du monôme. ∂_{k}^{(i)} commute à tous les termes qu’il peut rencontrer, sauf l’éventuel x_{k}^{(i)}. À chaque fois qu’on tentera une telle transposition dans un monôme, comme on a ∂_{k}^{(i)}x_{k}^{(i)} = x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(i)} + h_{i}, le monôme sera doublé, un original où la transposition aura eu lieu, une copie où les deux termes auront disparu, laissant place à un h_{i}. Il faut alors continuer à ordonner chacun des deux termes. La deuxième étape consiste à mettre les h à droite. Comme ils commutent à tous les x et à tous les ∂, cette deuxième étape ne produit ni changement ni duplication.

Soit, pour le monôme Π = ∏_{p=1}^{q} a_{p}, l’ensemble des couples (p_{1}, p_{2}) d’indices qui indexent, dans Π, un ∂ et un x correspondant qui est à sa droite. Cet ensemble sera appelé l’ensemble gênant. Or un terme n’ayant de problèmes de commutation qu’avec un terme au plus, et tous les termes de Π étant différents, un indice ne peut appartenir qu’à au plus un élément de l’ensemble gênant.

Ensemble gênant de Π : Eg := {(p_{1}, p_{2})|1 ≤ p_{1} < p_{2} ≤ q, [a_{p_{1}}, a_{p_{2}}] ≠ 0}

Pour tout couple dans cet ensemble il faudra choisir entre commuter ou remplacer par h. L’ensemble des monômes ordonnés de la combinaison linéaire recherchée est donc indexé par l’ensemble des applications de l’ensemble gênant dans {1, 2}, 1 étant mis pour ”choix de la commutation”, 2 pour ”choix de remplacer par h”.

Π = ∑_{e∈\{1,2\}^{Eg}} [ ∏_{{1≤p≤q ap=x{(∗) \atop ∗} \atop p∉e^{−1}(2)}} a_{p}] [ ∏_{{1≤p≤q ap=∂{(∗) \atop ∗} \atop p∉e^{−1}(2)}} a_{p}] [ ∏_{1≤p≤q a_{p}=h_{∗}} a_{p}]

Application à det(^{t}XP + H). Passons donc au développement de G(σ, τ, d) pour un certain triplet (σ, τ, d) ∈ A_{n}. L’ensemble gênant de ce produit peut être indexé par le numéro du terme F (i, σ(i), τ(i), d(i)) contenant le ∂ qui a un problème de commutation, c’est à dire qu’en fait, on définit l’ensemble des fonctions e ∈ 2^{n} vérifiant, pour tout i: e(i) = 2 n’est permis que s’il existe un ∂_{∗}^{(∗)} d’indice i, et un x_{∗}^{(∗)}, qui a les mêmes indice et exposant, et qui apparaît après. Traduisons :

e(i) = 2 ⟹ ∃j|d(i) = 1, d(j) = 1, τ(i) = τ(j), i = σ(j), j > i
⟺ j := σ^{−1}(i) > i, τ(j) = τ(i). règle b

L’équivalence résulte de la règle a : en effet, σ^{−1}(i) > i entraîne que σ(i) = i et σ(j) = j sont impossibles, et alors d(i) = 1 et d(j) = 1 sont impossibles. Cette règle pour e sera la règle b.

Posons B_{n} l’ensemble des quadruplets (σ, τ, d, e) vérifiant les règles a et b ; cet ensemble indice la décomposition en monômes ordonnés de det(^{t}XP + H) :

Alors :

det(^{t}XP + H) = ∑_{(σ,τ,d,e)∈B_{n}} ε(σ) [ ∏_{{e(σ(j))=1 \atop d(j)=1}} x_{τ(j)}^{(σ(j))}] [ ∏_{{e(i)=1 \atop d(i)=1}} ∂_{τ(i)}^{(i)}] ∏_{i=1}^{n} \{ \begin{matrix}h_{i} & si d(i) = 2 \\ h_{i} & si e(i) = 2 \\ 1 & sinon \end{matrix}

NB : Pour un i donné, d(i) = 2 et e(i) = 2 sont incompatibles : d(i) = 2 impose σ(i) = i par la règle a, e(i) = 2 impose σ^{−1}(i) > i par la règle b.

3.3 Élimination des h

Coupons la somme ci-dessus en deux : soit C_{n} l’ensemble des quadruplets (σ, τ, d, e) ∈ B_{n} pour lesquels d ou e n’est pas constant égal à 1. Sur cet ensemble, nous allons construire une involution.

L’involution Représentons sous forme matricielle les coordonnées du quadruplet (σ, τ, d, e) :

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & ⋯ & n \\ σ(1) & σ(2) & σ(3) & ⋯ & σ(n) \\ τ(1) & τ(2) & τ(3) & ⋯ & τ(n) \\ d(1) & d(2) & d(3) & ⋯ & d(n) \\ e(1) & e(2) & e(3) & ⋯ & e(n) \end{matrix} )

On peut, dans la matrice ci-dessus, appliquer l’involution suivante I, où les termes non précisés ∗ ne sont pas à modifier :

( \begin{matrix}∗ & ⋯ & ∗ & i & ∗ & ⋯ & ∗ & j & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & s & ∗ & ⋯ & ∗ & i & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & t & ∗ & ⋯ & ∗ & t & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ ∗ & ⋯ & ∗ & 2 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) ⟷^{I} ( \begin{matrix}∗ & ⋯ & ∗ & i & ∗ & ⋯ & ∗ & j & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & i & ∗ & ⋯ & ∗ & s & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & j & ∗ & ⋯ & ∗ & t & ∗ & ⋯ & ∗ \\ ∗ & ⋯ & ∗ & 2 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ ∗ & ⋯ & ∗ & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 \end{matrix} )

Il reste à justifier la définition de cette involution. Alors, si I est définie sans ambiguïté sur C_{n}, si l’image de I est dans C_{n}, I est une involution de C_{n}: en effet, I ∘ I = Id_{C_{n}} est automatique.

Non ambiguïté et correction de la définition. i est le numéro de la dernière colonne dont l’un des deux derniers termes est différent de 1. i existe bien (le quadruplet est dans C_{n}). Considérons cette colonne : un seul des deux derniers termes peut être égal à 1, comme d(i) = 2 ⇒ σ^{−1}(i) = i par la règle a, et e(i) = 2 ⇒ σ^{−1}(i) > i d’après la règle b.

Si d(i) = 2 : on est dans le sens ←. Et j est simplement τ(i). Et i < j ≤ n, par la règle a. Si e(i) = 2 : on est dans le sens →, et j = σ^{−1}(i) > i, par la règle b. Ainsi, dans tous les cas, les numéros i et j des colonnes de modification vérifient 1 ≤ i <

j ≤ n. C’est bon, I est définie correctement sur C_{n}, et à valeurs dans m^{n} × m^{n} × 2^{n} × 2^{n}.

L’ensemble d’arrivée de I est C_{n}? Soit un triplet (σ, τ, d, e) ∈ C_{n}. Soit (σ′, τ′, d′, e′) l’image de (σ, τ, d, e) par I. Les règles pour ce quadruplet seront notées a′ et b′. D’après le raisonnement ci-dessus, il y a deux cas.

Soit d(i) = 2 et j = τ(i). Il faut montrer que l’image est dans C_{n}. La condition σ′ ∈ 𝔖_{n} marche sans problème. Prouvons b′: pour permettre e′(i) ≠ 1, il faut ∃j′ > i tel que τ′(i) = τ′(j′) et σ′(j′) = i: aucun problème, on le vérifie facilement avec j′ = j.

Soit e(i) = 2 et j = σ^{−1}(i). Il faut montrer que l’image est dans C_{n}. σ′ ∈ S_{n} est vrai. Or d′(i) = 2 n’est autorisé que si σ′(i) = i et si i < τ′(i) ≤ n. Ces deux conditions sont vraies grâce à b. On a donc a′. Alors I est à valeurs dans C_{n}.

I est donc une involution de C_{n}.

Élimination des h. On note que I inverse la signature de la permutation σ. Mais, plus important, I laisse invariant le monôme. Dans ∑_{C_{n}}, I associe 2 à 2 des monômes opposés.

On conclut que la somme se réduit aux indices dans B_{n}\C_{n}, c’est à dire aux indices dans B_{n} dont d et e sont constants égaux à 1, c’est à dire précisément à 𝔖_{n} × m^{n} × 1^{n} × 1^{n}: donc on peut oublier d et e.

det(^{t}XP + H) = ∑_{(σ,τ)∈𝔖_{n}×m^{n}} ε(σ) [∏_{i=1}^{n} x_{τ(i)}^{(σ(i))}] [∏_{i=1}^{n} ∂_{τ(i)}^{(i)}]

3.4 Identité de Binet-Cauchy

On enlève les τ non injectifs Notons

E(σ, τ) := [∏_{i=1}^{n} x_{τ(i)}^{(σ(i))}] [∏_{i=1}^{n} ∂_{τ(i)}^{(i)}]

Alors on note que, dès que τ n’est pas injectif, il existe une transposition ρ telle que τ ∘ ρ = τ ; cette transposition vérifie alors : E(σ ∘ ρ, τ ∘ ρ) = E(σ, τ) [car il y a commutation des x entre eux] ; σ ∘ ρ et σ ont une signature opposée.

Donc pour un τ non injectif :

∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)E(σ, τ) = ∑_{σ∈𝔖_{n}∘ρ=𝔖_{n}}(−1) ε(σ)E(σ, τ) = 0,

d’où :

∑_{(σ,τ)∈𝔖_{n}×m^{n}} ε(σ)E(σ, τ) = ∑_{σ∈𝔖n τ injectif ∈m^{n}} ε(σ)E(σ, τ).

Finalement. Il n’y a plus qu’à trouver ∑_{I∈P_{n}^{m}} det_{I}(X) det_{I}(P). Or ce dernier terme, lorsqu’il est développé, donne :

∑_{I∈P_{n}^{m}} det_{I}(X) det_{I}(P) = ∑_{I∈P_{n}^{m}} ∑_{τ,λ∈m^{n} d’image I} ε(τ)ε(λ) [∏_{i=1}^{n} x_{τ(i)}^{(i)}] [∏_{i=1}^{n} p_{λ(i)}^{(i)}]

Faisons le changement de variable λ ↦ τ ∘ σ en posant σ := τ^{−1} ∘ λ (la commutation des x autorise leur permutation) : On obtient la dernière somme du paragraphe précédent.

3.5 Résumé

det(^{t}XP + H) = ∑_{(σ,τ,d,e)∈B_{n}} ε(σ) [ ∏_{{e(σ(j))=1 \atop d(j)=1}} x_{τ(j)}^{(σ(j))}] [ ∏_{{e(i)=1 \atop d(i)=1}} ∂_{τ(i)}^{(i)}] ∏_{i=1}^{n} \{ \begin{matrix}h_{i}^{(τ(i))} & si d(i) = 2 \\ h_{i}^{(1,σ^{−1}(i))} & si e(i) = 2 \\ 1 & sinon \end{matrix}

= ∑_{(σ,τ)∈𝔖_{n}×m^{n}} ε(σ) [∏_{i=1}^{n} x_{τ(i)}^{(σ(i))}] [∏_{i=1}^{n} p_{τ(i)}^{(i)}] = ∑_{I∈P_{n}^{m}} det_{I}(X) det_{I}(P)

4 Première application de l’identité de Capelli : Théorème fondamental de la théorie des invariants

4.1 Présentation et notations

On pose V = ℂ^{m} (mais tout reste valable en remplaçant ℂ par un corps k de caractéristique nulle). Le groupe GL_{m}(ℂ) agit sur V par g.x = g(x).

Il agit donc (ainsi que ses sous-groupes) aussi sur les fonctions polynomiales à n variables sur V par g.F (x^{(1)}, …, x^{(n)}) = F (g^{−1}(x^{(1)}), …, g^{−1}(x^{(n)})).

On cherche les fonctions polynomiales, stables sous l’action de SL_{m}(ℂ). Le but est de démontrer qu’il s’agit des fonctions polynomiales en les mineurs d’ordre m, de la matrice des x_{i}^{(j)}. Si n < m on obtiendrait donc les fonctions constantes.

Notations : On note toujours :

D_{ij} = ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)}

On note d_{i}^{∘}(F), le degré en x^{(i)} d’un polynôme F homogène en x^{(i)} et si i > m, d_{i}^{∘} = 0. On considère par la suite l’ordre anti-lexicographique défini de la manière suivante :

si d = (d_{1}, …, d_{p}) et d′ = (d1^{′}, …, dq^{′}) où p ≤ q, d_{p} et dq^{′} ≠ 0, alors d < d′ si p < q ou si

p = q,et d_{p} < dp^{′} ou s’il existe j tel que d_{j} < dj^{′}, d_{j+1} = dj+1^{′}, …, d_{p} = dp^{′}.

Réduction du problème Quitte à considérer les composantes homogènes de F, on peut supposer que F est homogène en chaque vecteur colonne x^{(i)}, de degré d = (d_{1}, …, d_{n}) où d_{i} est le degré en x^{(i)} noté d_{i}^{∘}(F) i.e F (λ_{1}x^{(1)}, …, λ_{n}x^{(n)}) = λ_{1}^{d_{1}}, …, λ_{n}^{d_{n}}F (x^{(1)}, …, x^{(n)}).

Proposition 0 : On remarque que pour i ≠ j d_{i}^{∘}(D_{ij}F) = d_{i}^{∘}(F) + 1 et d_{j}^{∘}(D_{ij}F) = d_{j}^{∘}(F) − 1

Proposition 1 : Si F est invariant par SL_{m}(ℂ) alors D_{ij}(F) l’est aussi. Preuve : si i ≠ j

D_{ij}(F) = ∑_{k=1}^{m} x_{k}^{(i)} \frac{∂F}{∂_{x_{k}^{(j)}}} = \frac{d}{dt}F (…, x^{(j)} + tx^{(i)}, …)_{|_{t=0}}

Si i = j

D_{ii}(F) = \frac{d}{dt}F (…, e^{t}x^{(i)}, …)_{|_{t=0}}

Ces deux expressions montrent que, si pour tout g dans SL_{m}(ℂ), F (g^{−1}(x)) = F (x), alors, pour tout g dans SL_{m}(ℂ) (D_{ij}F)(g^{−1}(x)) = (D_{ij}F)(x) pour tout x = (x^{(1)}, …, x^{(n)}) où x^{(i)} est dans V.

Proposition 2 : D_{ii}F = d_{i}F (formule d’Euler) En effet

F (…, λx^{(i)}, …) = λ^{d_{i}}F (…, x^{(i)}, …)

D’où en dérivant par rapport à λ et en faisant λ = 1 on obtient :

∑_{k=1}^{m} x_{k}^{(i)} \frac{∂F}{∂_{x_{k}^{(i)}}} = d_{i}F

Proposition 3 : Si m ≤ n, on pose Δ = |x_{i}^{(p_{j})}|_{1≤i,j≤m},où 1 ≤ p_{1} < … < p_{m} ≤ n, mineur extrait de la matrice (x_{i}^{(j)})_{1≤i≤m,1≤j≤n}.

On a :

D_{ab}(Δ) = 0 si p_{j} ≠ b Si p_{j} = b pour tout j, D_{ab}(Δ) = Δ′ où Δ′ est égal à Δ dans lequel x^{(a)} remplace x^{(b)}

4.2 Démonstration du théorème

Cas où n < m: Montrons que les fonctions polynomiales stables par SL_{m}(ℂ) sont les fonctions constantes. Soit {u_{1}, …, u_{m}} une base de V. Soit une famille libre de n vecteurs {x^{(1)}, …, x^{(n)}} complétée en une base :

{x^{(1}), …, x^{(n)}, e^{(n+1)}, …, e^{(m)}} de telle sorte que

| \begin{matrix}x_{1}^{(1)} & ⋯ & x_{1}^{(n)} & e_{1}^{(n+1)} & ⋯ & e_{1}^{(m)} \\ ⋯ & & & & & ⋯ \\ x_{m}^{(1)} & ⋯ & x_{m}^{(n)} & e_{m}^{(n+1)} & ⋯ & e_{m}^{(m)} \end{matrix} | = 1

On considère alors g définie par :

g = ( \begin{matrix}x_{1}^{(1)} & ⋯ & x_{1}^{(n)} & e_{1}^{(n+1)} & ⋯ & e_{1}^{(m)} \\ ⋯ & & & & & ⋯ \\ x_{m}^{(1)} & ⋯ & x_{m}^{(n)} & e_{m}^{(n+1)} & ⋯ & e_{m}^{(m)} \end{matrix} ) ∈ SL_{m}(ℂ)

.

g.F (x^{(1)}, …, x^{(n)}) = F (g^{−1}(x^{(1)}), …, g^{−1}(x^{(n)})

= F (u_{1}, …, u_{n})

Donc pour toute famille libre {x^{(1)}, …, x^{(n)}}, l’hypothèse F stable implique que F (x^{(1)}, …, x^{(n)}) = F (u_{1}, …, u_{n}). On conclue par densité des familles libres dans les familles de vecteurs et par continuité de F.

Cas où n ≥ m: On suppose F multihomogène et on procède par récurrence sur le multidegré d = (d_{1}, …, d_{n}) où les n-uplets (d_{1}, …, d_{n}) sont ordonnés par ordre anti-lexicographique. Le résultat est évidemment vrai si d = 0 (car alors F est constante).

Capelli(F) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)(D_{σ(1)1} + δ_{σ(1)1}(n − 1)) … D_{σ(n)n}(F)

= (D_{11} + n − 1) … D_{nn}(F) + ∑_{σ∈𝔖_{n},σ≠I_{d}} … (F)

Un terme de la somme précédente peut se mettre sous la forme :

(D_{σ(1)1}+δ_{σ(1)1}(n−1)) … (D_{σ(p−1)p−1}+δ_{σ(p−1)p−1}(n−p+1))D_{σ(p)p}(D_{p+1p+1}+n−p−1)) … D_{nn}

où σ(p) ≠ p; σ(p) < p puisqu’on développe par colonnes de gauche à droite, et D_{σ(p)p} est le dernier terme non diagonal (voire le dernier terme tout court).

Or les derniers termes D_{kk} commutent avec D_{ij}, on obtient alors des termes de la forme P_{ij}D_{ij} (on a mis D_{ij} en dernière position, et P_{ij} est le produit de tous les autres).

D’après la proposition 2, on a : (D_{11} + n − 1) … D_{nn}(F) = (d_{1} + n − 1) … d_{n}F. D’après l’identité de Capelli et sa conséquence immédiate, on a donc :

si n = m

(d_{1} + n − 1) … d_{n}F + ∑ P_{ij}D_{ij}(F) = |x_{i}^{(j)}||∂_{i}^{(j)}|(F)

si n > m

(d_{1} + n − 1) … d_{n}F + ∑ P_{ij}D_{ij}(F) = ∑_{I⊂{1,...,n}et|I|=m} Det(X)_{I}Det(P)_{I}(F)

D’après la proposition 3, P_{ij} (composée de termes de type D_{pq}) appliquée à un mineur est un mineur. On applique alors l’hypothèse de récurrence aux D_{ij}(F), à |∂_{i}^{(j)}|(F) et à Det(P)_{I}(F), (d’après la proposition 0, on peut pour les D_{ij}(F)). D’autre part la proposition 3 implique que P_{ij} (composée de termes de type D_{pq}) appliquée à un mineur est un mineur. De plus, quitte à se ramener à n − 1 variables (ce qui est possible, car on a démontré le résultat pour n < m), on peut supposer que (d_{1} + n − 1) … d_{n} ≠ 0.

Alors F s’écrit bien comme un polynôme en les mineurs de la matrice des x_{i}^{(j)} Cette démonstration fournit donc un algorithme pour écrire explicitement un invariant

comme polynôme en les mineurs.

5 Définition de fonctions méromorphe sur ℂ

5.1 Introduction

Avec P un polynône ℝ^{p} ⟶ ℝ, et f une fonction de l’espace de Schwarz S({P > 0}, ℝ), nous allons étudier G_{f} :

∀s ∈ ℂ_{0} G_{f}(s) := ∫_{ℝ^{p}} f(x)P_{+}(x)^{s} dx,

où ℂ_{r}, pour r ∈ ℝ, désigne l’ensemble {x+iy|x, y ∈ ℝ tel que x > r} des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à r;

où P_{+}(x), pour x ∈ ℝ^{p}, désigne max(0, P (x)) ;

où ∫_{ℝ^{p}} ⋯ dx désigne l’intégrale de Lebesgue sur ℝ^{p}.

Notons que G_{f} est holomorphe dès que l’intégrale converge, en s ∈ ℂ_{0}. Et la convergence est évidente.

Nous prolongerons G_{f} dans le cas où P sera le déterminant de ℝ^{n×n}. Pour n = 1, on obtiendra notamment la fonction Γ d’Euler, avec f(t) = e^{−t}.

5.2 Échange de dérivation entre deux multiplicandes

Soit n un entier. Soit D un opérateur différentiel à coefficients constants, homogène de degré n, c’est à dire combinaison linéaire de monômes de la forme ∂_{k_{1}}^{i_{1}} … ∂_{k_{n}}^{i_{n}} ; f ∈ S; soit g dérivable n fois, dont toutes les dérivées d’ordre ≤ n sont, en +∞, dominées par une puissance de ∥x∥_{ℝ^{p}} :

∫_{ℝ^{p}} D(f) g = (−1)^{n} ∫_{ℝ^{p}} f D(g)  (1)

Démonstration L’intégration par partie de fonctions sur ℝ^{p} résout le cas où D est une dérivée partielle. Considérons un monôme : c’est un produit commutatif de dérivées partielles. En utilisant la propriété sur les monômes partiels, le cas D monôme est fait. Par combinaison linéaire, on montre la propriété pour tout opérateur différentiel à coefficient constants.

5.3 Action d’un polynôme en les ∑_{k} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)} sur f multihomogène et invariant par adjacence

Soit l’action de SL_{n}(ℝ) sur M_{n}(ℝ) par multiplication à droite. Soit f une application M_{n}(ℝ) → ℝ qui commute à cette action, et qui est multihomogène en les colonnes (x^{(1)}, …, x^{(n)}) de multidegré (d_{1}, …, d_{n}) :

f(a_{1}x^{(1)}, …, a_{n}x^{(n)}) = a_{1}^{d_{1}} … a_{n}^{d_{n}}f(x^{(1)}, …, x^{(n)})

Soit P un polynôme à n^{2} variables, alors :

[P (∑_{k} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)}/1 ≤ i, j ≤ n)] f = P (δ_{i}^{j}d_{i}/1 ≤ i, j ≤ n)f  (2)

Démonstration Cas P = ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)}. On peut supposer i = 1.

Alors on a, pour M = (M^{(1)}, M^{(2)}, …, M^{(n)}) ∈ M_{n}(ℝ) une matrice avec sa décomposition en lignes :

∑_{k} x_{k}^{(1)}∂_{k}^{(1)}f(M) = \frac{d}{dt}|_{t=0} f(M^{(1)} + tM^{(1)}, M^{(2)}, …, M^{(n)})

= \frac{d}{dt}|_{t=0} (1 + t)^{d_{1}}f(M^{(1)}, M^{(2)}, …, M^{(n)}) = d_{1}f(M).

Cas P = ∑_{k} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)}, où i ≠ j. On peut supposer i = 1, j = 2. Alors on a, pour M = (M^{(1)}, M^{(2)}, …, M^{(n)}) ∈ M_{n}(ℝ) :

∑_{k} x_{k}^{(1)}∂_{k}^{(2)}f(M) = \frac{d}{dt}|_{t=0} f(M^{(1)} + tM^{(2)}, M^{(2)}, …, M^{(n)})

= \frac{d}{dt}|_{t=0} f (M ( \begin{matrix}\begin{matrix}1 \\ t & 1 \end{matrix} & 0 \\ 0 & ... 1 \end{matrix} )) = \frac{d}{dt}|_{t=0} f(M) = 0

en utilisant l’invariance de f par multiplication à droite par cette matrice de SL_{n}(ℝ).

On montre la propriété pour un monôme P par récurrence sur son degré. Il n’y a pas de problème si P = 1, donc la récurrence est initialisée. Soit Q un monôme et P un monôme du premier degré, montrons le résultat pour (P Q, f) : (2) est vrai pour (Q, f) ; (2) appliqué à (P, Q(δ_{i}^{j}d_{i}/1 ≤ i, j ≤ n)f) permet alors de conclure.

Par combinaison linéaire de monômes, on montre alors la propriété (2) dans le cas général.

5.4 p = n^{2}, P = det(X) : prolongement méromorphe de G_{f}

Pour s ∈ ℂ_{n}, la fonction det_{+}^{s} est bien C^{n}, et ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à n sont bien dominées par |x|^{n}s. Donc on peut appliquer la formule (1) à (D, f, g) = (det(∂), f, P_{+}^{s} = det_{+}^{s}),

∫_{ℝ^{n×n}} det_{+}^{s} det(∂)f = (−1)^{n} ∫_{ℝ^{n×n}} f det(∂) [det_{+}^{s}]
G_{det(∂)f}(s) = (−1)^{n} ∫_{x∈\{det>0\}} \frac{f}{det(x)} det(x) det(∂) [det^{s}]

On applique ici l’identité de Capelli, et on peut alors appliquer l’identité (2) avec P = |X_{i}^{(j)} + δ_{i}^{j}(n − i)|, ce qui donne :

|∑_{k} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)} + δ_{i}^{j}(n − i)| [det^{s}] = |(s + n − i)δ_{i}^{j}| det^{s}

det(x) det(∂) [det^{s}] = ∏_{0≤i<n}(s + i) det^{s}

Donc on a :

∀s ∈ ℂ_{n} G_{det(∂)f}(s) = (−1)^{n} ∏_{0≤i<n}(s + i)G_{f}(s − 1).

Or ces deux fonctions sont holomorphes sur ℂ_{1}, donc elles sont égales ; De plus, cette formule permet de prolonger G_{f} sur ℂ_{r−1} dès que G_{det(∂)f} a été prolongée sur ℂ_{r}, pour une fonction f quelconque de l’espace de Schwarz S (M_{n,n}(ℝ), ℝ) : Donc G_{f} est prolongeable en une fonction méromorphe sur ℂ. En itérant, on obtient :

G_{f}(s) = \frac{(−1)^{nk}}{∏_{{0≤i<n \atop 0≤j<k}} s − (−i − j)}G_{det(∂)^{k}(f)}(s + k)

qui montre que, sur ℂ_{−k} pour k ∈ ℕ, G_{f} a pour pôles les pôles −j d’ordre au plus max(j +1, n), pour j ∈ ℕ.

Donc pour f ∈ S (M_{n,n}(ℝ), ℝ) (espace de Schwarz), la fonction qui à s ∈ ℂ_{0} associe ∫_{x∈{det>0}} f(x)det(x)^{s} admet un prolongement méromorphe sur ℂ − ℤ_{−}, dont les pôles sont les k ∈ ℤ_{−}, d’ordre max(1 − k, n) au plus. Remarquez la ressemblance avec la fonction Γ d’Euler, en ce qui concerne l’ensemble de définition.

Table des matières

1 Présentation 1

2 Démonstration analytique de l’identité de Capelli dans le cas où m = n 2 2.1 Notations et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Conséquence immédiate de l’identité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Démonstration combinatoire de l’identité de Capelli 5 3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Élimination des h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 Identité de Binet-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Première application de l’identité de Capelli : Théorème fondamental de la théorie des invariants 10 4.1 Présentation et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Définition de fonctions méromorphe sur ℂ 13 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Échange de dérivation entre deux multiplicandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.3 Action d’un polynôme en les ∑_{k} x_{k}^{(i)}∂_{k}^{(j)} sur f multihomogène et invariant par

adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.4 p = n^{2}, P = det(X) : prolongement méromorphe de G_{f} . . . . . . . . . . . . . . 14

Pour aller plus loin

Ce que vous pouvez lire si vous voulez en savoir plus du côté de la partie …

1. Document d’introduction : L’article de Capelli présentant cette identité ”sur les Opérations dans la théorie des formes algébriques” date de 1890 et se trouve dans ”Mathematische Annalen”, XXXVII.

2. Sources : W. Fulton, J. Harris : ”Representation Theory, A first course” chez Springer, pages 514 et suivantes.

3. Sources : Foata et Zeilberg : Combinatorial proofs of Capelli’s and Turnbull’s identities from classical invariant theory. Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Rouge-Gazon, 1990) pages 39 à 49, Publication de l’Institut de Recherche de Mathématiques Avancées, 460, Université Louis Pasteur, Strasbourg, 1992. Vous y trouverez deux autres identités, avec les matrices X et P symétriques et antisymétriques.

Pour une généralisation avec des tableaux de Young, voir ”Young basis, wick formula, and Higher Capelli identities” de Andrei Okounov, Institute for problems of Information Transmission, Moscow, and Institute for Advanced Study, Princeton.

4. Sources : W. Fulton, J. Harris : ”Representation Theory, a first course”Chez Springer, pages 504 et suivantes.

Vous trouverez d’autres théorèmes d’invariance dans : Procesi ; A Primer of Invariant Theory, course notes by Giandomenico Boffi. Compte-Rendu de l’Académie Scientifique de Paris.

5. Application : résoudre det(∂)F = G à G donné M_{n}(ℝ) → ℝ: on passe aux transformées de Fourier : det(x)f = g, d’où

F (M) = ∫_{x} e^{i(M−x)}ḡ(x) det(x)^{(−1)}

= ∫_{det(x)>0} e^{i(M−x)}ḡ(x) det_{+}(x)^{s=−1}dx − ∫_{det(x)<0} e^{i(M−x)}ḡ(x)(− det)_{+}(x)^{s=−1}dx

Le but est alors d’essayer de prolonger G_{e^{i(M−x)}ḡ} en −1 ; ça peut rester possible, comme −1 a un ordre supérieur ou égal à −2…