La distance de Banach-Mazur et le compact de Minkowski

Marie Doumic et Julien Geitner sous la direction de Franck Barthe

mai 1997

Introduction

Le but de cet exposé est d’étudier une distance entre espaces de Banach isomorphes, en particulier sur l’ensemble des espaces vectoriels normés de dimension n: il s’agit de la distance de Banach-Mazur, notion fondamentale dans la théorie des espaces de Banach.

Dans un premier temps, nous nous attachons à définir cette distance, et à reformuler le problème à l’aide des convexes symétriques de ℝ^{n}. Nous donnons alors une démonstration élémentaire du théorème de John, lequel nous servira ensuite à établir la compacité de l’espace métrique construit, appelé compact de Minkowski ; nous énoncerons quelques résultats intéressants sur les distances entre l_{p}^{n} et l_{q}^{n}. Enfin, une approche du théorème de Gluskin nous permettra de cerner plus précisément l’ordre de grandeur du diamètre du compact de Minkowski.

1 Définition et propriétés élémentaires de la distance de Banach-Mazur

Soit B_{n} l’ensemble des espaces vectoriels normés de dimension n. On veut définir une semi-distance sur B_{n}, qui soit nulle pour deux espaces isométriques.

Soit E, F appartenant à B_{n}, on appelle distance de Banach-Mazur l’application :

d : B_{n} × B_{n} → ℝ
d(E, F) = Inf{||T ||.||T^{−1}||, T ∈ GL(E, F)}

( On note ||T || la norme subordonnée de T par rapport aux normes de E et F.)

d n’est pas une distance sur B_{n}, mais nous allons montrer que log(d) est une semi-distance sur B_{n}, avec d(E, F) = 1 si, et seulement si, E et F sont isométriques. Nous ne démontrons pas certaines propriétés évidentes.

Tout d’abord, remarquons que l’on peut, dans la définition, fixer un paramètre dépendant de T si ce paramètre p vérifie : p(λT)=±|λ|T, λ réel quelconque. Ainsi on peut fixer ||T ||, ||T^{−1}|| ou encore le déterminant de T ; cela est dû au caractère 0—homogène de la fonction qui à T associe ||T ||.||T^{−1}||. Cette propriété préliminaire nous sera utile fréquemment par la suite.

Propriété 1 d(E, F) ≥ 1 ( car 1 = ||T.T^{−1}|| ≤ ||T ||.||T^{−1}|| )

Propriété 2 d(E, F) est atteinte en un T.

En effet, la fonction qui à T associe ||T ||.||T^{−1}|| est continue, et on peut prendre T dans la sphère unité de L(E,F). On démontre alors aisément cette propriété en considérant une suite (T_{n}, T_{n}^{−1}) minimisante, avec T appartenant à cette sphère unité.

Soit E un espace vectoriel normé de norme ||.||_{E} ; on note

B_{E} = {x ∈ E, ||x||_{E} ≤ 1}.

Propriété 3 Soit E et F deux espaces vectoriels normés de normes respectives ||.||_{E} et ||.||_{F}, et L > 0. Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) Il existe une application linéaire bijective u de E dans F telle que :

B_{F} ⊂ u(B_{E}) ⊂ L.B_{F}

ii) d(E, F) ≤ L

Cette propriété ( dont la démonstration est évidente ) montre que d s’interprète en termes géométriques : on cerne une image linéaire de B_{E} entre deux homothétiques de B_{F} les plus proches possibles l’un de l’autre.

Propriété 4 d(E, F) = 1 si, et seulement si, E et F sont isométriques.

Propriété 5 d(E, G) ≤ d(E, F).d(F, G)

Cela montre que log(d) est bien une distance sur \overline{B}_{n} l’ensemble des classes d’équivalence de B_{n} pour la relation ”être isométrique à”.

Propriété 6 d(F^{∗}, E^{∗}) = d(E, F)

Cette proposition se démontre en passant aux applications transposées dans la définition.

2 Exemples.

Voyons maintenant la distance de Banach-Mazur à l’oeuvre dans quelques exemples.

Théorème 1 Soient 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞, et l_{p}^{n} ( respectivement l_{q}^{n}) l’espace ℝ^{n} muni de la norme p ( respectivement q ), notée ||.||_{p}. On a les deux cas suivants :

a) p, q ≤ 2 ou p, q ≥ 2 : d(l_{p}^{n}, l_{q}^{n}) = n^{1/p−1/q}

b) 1 ≤ p < 2 < q: il existe deux constantes strictement positives c et C telles que : cn^{α} ≤ d(l_{p}^{n}, l_{q}^{n}) ≤ Cn^{α} , où α = Max ( 1/2 − 1/q , 1/p − 1/2 )

Nous allons montrer ce théorème dans le cas a) tout d’abord, puis la majoration de d(l_{1}^{n}, l_{∞}^{n}) par \sqrt{n}.

2.1 Démonstration du premier cas

Nous notons I l’application identique sur ℝ^{n}, et ||.||_{p→q} la norme subordonnée d’une application linéaire de ℝ^{n} muni de la norme p dans ℝ^{n} muni de la norme q. On suppose de plus p, q ≥ 2 : le cas inverse s’en déduit immédiatement gràce à la propriété 6.

Étape 1: majoration de d. Pour majorer la distance entre deux espaces, un coup d’oeil à la définition

nous montre qu’il suffit de trouver une application linéaire bijective, et de majorer le produit de sa norme et de celle de son inverse. Il suffit ici de prendre l’identité sur ℝ^{n}:

comme p ≤ q, on applique l’inégalité de Hölder avec q/p: il en découle que ||I||_{q→p} ≤ n^{1/p−1/q} en examinant un point de la sphère unité pour la norme p, on voit que si x = (x_{1}, .., x_{n}) avec tous les x_{i} plus petits que 1, alors x_{i}^{q} ≤ x_{i}^{p} donc ||x||_{q}^{q} ≤ ||x||_{p}^{p} = 1, donc ||I||_{p→q} ≤ 1.

Étape 2: minoration de d, cas p = 2

Soit T appartenant à GL_{n}(ℝ) tel que ||T^{−1}||_{2→q} = 1.On cherche un vecteur x particulier, tel que ||T x||_{2} ≥ n^{1/2−1/q}||x||_{q}. Notons (e_{i}) la base canonique de ℝ^{n}, (ϵ_{i})_{i=1}^{n} n coefficients valant ±1, et x = ∑_{i=1}^{n} ϵ_{i}e_{i}. On a donc : ||x||_{q} = n^{1/q}. Examinons maintenant la norme 2 de l’image de x par T:

||T x||_{2}^{2} = ∑_{i=1}^{n} ||T e_{i}||_{2}^{2} + 2 ∑_{k=2}^{n}(∑_{i=1}^{k−1} ϵ_{i}T e_{i}, ϵ_{k}T e_{k})

(On désigne par (., .) le produit scalaire canonique de ℝ^{n}.) On peut choisir par récurrence les ϵ_{i} de sorte que pour tout k on ait :

(∑_{i=1}^{k−1} ϵ_{i}T e_{i}, ϵ_{k}T e_{k}) ≥ 0 Alors : ||T x||_{2}^{2} ≥ ∑_{i=1}^{n} \frac{||e_{i}||_{q}}{||T^{−1}||} = n. On a ce qu’on voulait.

Étape 3: minoration de d dans le cas général.

On applique la propriété 5 ( inégalité triangulaire ) : d(l_{2}^{n}, l_{q}^{n}) ≤ d(l_{p}^{n}, l_{q}^{n}).d(l_{2}^{n}, l_{p}^{n}), et le résultat cherché découle alors de l’étape 2.

On remarque ici le rôle particulier joué par l_{2}^{n}, rôle qui se voit aussi dans l’énoncé du cas b). Avec de plus le théorème de John et le théorème de Gluskin, ce rôle se précisera : l_{2}^{n} joue en quelque sorte le rôle de ”centre”de B_{n} ( plus précisément, il s’agit de la classe de l_{2}^{n} dans \overline{B}_{n} ).

2.2 distance de l_{1}^{n} à l_{∞}^{n}

L’identité n’est pas toujours l’application la mieux adaptée. Montrons que si n = 2^{k}, alors d(l_{1}^{n}, l_{∞}^{n}) ≤ \sqrt{n} On considère les matrices dites de Walsh définies par : si n = 1, M_{1} = (1) et

si n = 2^{k+1},

M_{2^{k}} = ( \begin{matrix}M_{2^{k}} & M_{2^{k}} \\ M_{2^{k}} & −M_{2^{k}} \end{matrix} ) .

D’après la propriété 3 il suffit de montrer que

\frac{1}{\sqrt{n}}B_{∞}^{n} ⊂ M(B_{1}^{n}) ⊂ B_{∞}^{n}

où l’on note B_{p}^{n} = {x ∈ ℝ^{n}, ||x||_{p} ≤ 1}.

D’abord,

M(B_{n}^{1}) = M(conv(±e_{i})) = conv(±M(e_{i})) ⊂ B_{∞}^{n}

. Car, par construction tout les termes de M sont ±1.

D’autre part, B_{∞}^{n} ⊂ \sqrt{n}B_{2}^{n} ⊂ nB_{1}^{n}. Comme de plus, \frac{1}{\sqrt{n}}M est une matrice orthogonale,

\frac{1}{\sqrt{n}}B_{∞}^{n} ⊂ B_{2}^{n} = M(\frac{1}{\sqrt{n}}B_{2}^{n}) ⊂ M(B_{1}^{n}).

3 Propriété topologique de \overline{B}_{n}.

3.1 Théorème de John.

Avant de démontrer la compacité de B_{n} on montre qu’il est borné.

Théorème 2 Quel que soit E, un espace vectoriel normé de dimension n,

d(E, l_{n}^{2}) ≤ \sqrt{n}

Ce théorème est la conséquence directe du théorème suivant :

Théorème 3 de John

Quel que soit un convexe C symétrique de ℝ^{n} , il existe un unique ellipsoïde de volume maximal S contenu dans C; de plus, C ⊂ \sqrt{n}S

En fait, nous ne démontrerons pas l’unicité de l’ellipsoïde maximal car nous ne l’utiliserons pas par la suite. On considère donc, simplement, un ellipsoïde maximal.

Il existe une application linéaire qui envoit l’ellipsoïde sur la boule unité de ℝ^{n}. On peut donc, sans perdre en généralité, supposer que S est la sphère unité.

On démontre alors le théorème par l’absurde. On suppose qu’il existe un point p de C tel que ||p||_{2} > \sqrt{n}. On peut maintenant supposer que p = (l, 0, .., 0) où l > \sqrt{n}(comme précédemment, en utilisant une rotation adéquate).

L’ensemble C étant convexe, C_{1} l’enveloppe convexe de S et p est inclue dans C. On cherche alors un ellipsoïde de volume plus grand que celui de S contenu dans C_{1}, de la forme

E = \{ x = (x_{1}, ..., x_{n}), \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + ∑_{i=2}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{b^{2}} ≤ 1\}.

Comme les ensembles C_{1} et E sont invariants par rotation autour de l’axe engendré par e_{1} on peut simplement considérer le problème dans le plan engendré par le premier et le i-ème vecteur de la base, les droites tangentes au cercle unité et passant par p ont pour équation :

x_{1} = ±\sqrt{l^{2} − 1}x_{i} + l

Ces droites doivent être à l’extérieur de l’ellipse, c’est-à-dire :

∀x_{i}, \frac{x_{i}^{2}}{b^{2}} + \frac{(l − \sqrt{l^{2} − 1}x_{i})^{2}}{a^{2}} ≥ 1

C’est un trinôme du second degré, la condition donnée par le déterminant est :

\frac{a^{2}}{l^{2}} + (1 − \frac{1}{l^{2}} )b^{2} ≤ 1

Si a et b vérifient cette propriété, il suffit alors que b^{2} < 1 pour que E ⊂ C_{1}. En effet, si l’ellipse coupait le cercle dans le morceau de celui-ci apartenant à la frontière de C_{1} il devrait le couper 8 fois (car sinon, la condition donnée par les droites serait violée). Or ceci est impossible, le cardinal de l’intersection de deux ellipses étant plus petit que 4.

Finalement le couple :

a = \frac{l}{\sqrt{n}}

b = \begin{matrix}√ & \overline{1 − \frac{1}{n}} \\ √ & \overline{1 − \frac{1}{l^{2}}} \end{matrix}

definit un ellipsoide contenu dans C et de volume plus grand que celui de S car : a.b^{n−1} > 1. Ce qui achève la demonstration du théorème de John.

Le théorème 1 est alors conséquence de la propriété 3.

3.2 Compacité de \overline{B}_{n}: le compact de Minkowski

Théorème 4 L’ensemble \overline{B}_{n} des espaces vectoriels normés de dimension n muni de la distance de Banach-Mazur est compact, appelé compact de Minkowski.

La démonstration de ce résultat utilise le théorème de John et le théorème d’Ascoli.

Étape 1 : Soit :

Φ_{n} = \{|.| norme sur ℝ^{n}; ∀x ∈ ℝ^{n}, \frac{||x||_{2}}{\sqrt{n}} ≤ |x| ≤ ||x||_{2}\}

Le théorème de John entraîne que chaque classe de \overline{B}_{n} a au moins un représentant de la forme (ℝ^{n}, |.|) avec |.| appartenant à Φ_{n}. En effet, soit E dans B_{n} et u un isomorphisme de E dans l_{2}^{n} tel que ||u|| ≤ \sqrt{n} et ||u^{−1}|| = 1 ( il en existe car d’après le théorème de John d(E, l_{2}^{n}) ≤ \sqrt{n}: c’est la propriété 3 ). Alors la norme de ℝ^{n} définie par

|x| := ||u^{−1}(x)||_{E}

est dans Φ_{n} , et ℝ^{n} muni de cette norme est isométrique à E.

Étape 2 : On considère l’ensemble des restrictions des éléments de Φ_{n} à B_{2}^{n}, que l’on note \overline{Φ}_{n}. Cet ensemble est inclu dans les fonctions continues de B_{2}^{n} dans ℝ, est en bijection avec Φ_{n}, et le théorème d’Ascoli montre qu’il est compact dans l’ensemble des fonctions continues de B_{2}^{n} dans ℝ:

1) B_{2}^{n} muni de ||.||_{2} est compact et ℝ est complet.

2) \overline{Φ}_{n} est équicontinu car tout élément de Φ_{n} est lipschitzien de rapport 1 par hypothèse. .

3) x étant fixé dans B_{1}, \{|x|, |.| ∈ \overline{Φ}_{n}\} est borné dans ℝ donc relativement compact.

Cela entraîne que \overline{Φ}_{n} muni de la norme infinie est relativement compact.

\overline{Φ}_{n} est fermé : par le critère séquentiel, on le vérifie aisément. On remarque que dans cette démonstration intervient la première inégalité : \frac{||x||_{2}}{\sqrt{n}} ≤ |x| ).

Étape 3 : La fonction qui à tout élément de \overline{Φ}_{n} muni de la norme infinie associe la classe de (ℝ^{n}, |.|) dans \overline{B}_{n} muni de log(d) est surjective ( ce qu’on a déjà vu ) et continue : la continuité se montre sans difficulté avec la proposition 3.

Conclusion : \overline{B}_{n} est l’image d’un compact par une application continue, il est compact.

4 Théorème de Gluskin

On s’intéresse à la valeur du diamètre (noté δ_{n}) du compact de Minkovski et surtout à son comportement en l’infini. Le théorème de John nous donne une majoration : δ_{n} ≤ n. Il faudra attendre 1981 pour que Gluskin apporte une minoration convenable :

Théorème 5 de Gluskin Il existe une constante c_{0} tel que : ∀n, δ_{n} ≥ c_{0}.n

On montre par une méthode probabiliste que l’on peut trouver deux espaces suffisament éloignés. On ne considère que ceux qui ont une boule unité de la forme : conv{±e_{i}, ±f_{j}, i = 1..n, j = 1..m}. Où les e_{i} sont les vecteurs de la base canonique de ℝ^{n} et les f_{j} des éléments de la sphère unité pour la norme euclidienne (notée S_{n−1}).

On note Ξ_{m} = S_{n−1}^{m} et si A = {f_{j}} ∈ Ξ_{m} on note E_{A} l’espace ayant pour boule unité le polyèdre defini précédement.

On considère :

G = \{(A, B) ∈ Ξ_{m}^{2}, ∃T ∈ GL_{n}(ℝ), det T = 1 et ||T : E_{A} → E_{B}|| < c\sqrt{n} ou ||T : E_{B} → E_{A}|| < c\sqrt{n}\}.

On veut montrer l’existence d’un couple de Ξ_{m}^{2} qui ne serait pas dans G. Pour cela, on considère la mesure de probabilité uniforme sur S_{n−1} ; elle induit une probabilité μ sur Ξ_{m}^{2}. On veut donc montrer que μ(G) < 1.

On introduit, à B fixé :

B′ = \{A ∈ Ξ_{m}, ∃T tel que det T = 1 et ||T : E_{A} → E_{B}|| < c\sqrt{n}\}.

Et comme G est la réunion de deux ensembles symétriques en A et B, d’après le théorème de Fubini :

μ(G) ≤ 2 ∫_{B∈Ξ_{m}} μ(B′)dμ

d’où,

μ(G) ≤ 2.sup μ(B′)

Or,

B′ = ⋃_{detT =1}\{A ∈ Ξ_{m}, ||T : E_{A} → E_{B}|| < c\sqrt{n}\}.

Mais on sait majorer la mesure de chacun de ces ensembles [cf Banach-Mazur distances and finite dimensional operator ideals, par Tomczak-Jaegermann, ch.38]. Le problème est alors de se ramener à une union finie. On remarque tout d’abord que s’il existe i tel que ||T e_{i}||_{E_{B}} > \sqrt{n} alors, l’ensemble \{A ∈ Ξ_{m}, ||T : E_{A} → E_{B}|| < c\sqrt{n}\} est vide, car, quel que soit A, ||e_{i}||_{A} = 1 par construction. Donc, en fait on peut considérer seulement la réunion sur

K = \{T ∈ GL_{n}(ℝ), det T = 1, ∀i, ||T e_{i}||_{E_{B}} ≤ \sqrt{n}\}.

Or, K est compact. Donc il existe des ϵ-réseaux^{1}N de K pour la norme des applications de l_{2}^{n} dans lui-même. Pour maîtriser le cardinal de N il suffit de considérer un ensemble de cardinal maximal dont les boules de rayon ϵ/2 sont disjointes. C’est bien un ϵ-réseau et :

card N ≤ \frac{vol(K_{1})}{vol(ϵ.B_{l_{2}^{n}})}

où K_{1} est la réunion des boules de rayon ϵ et de centre les points de K. Si ϵ est choisi suffisament petit, on trouve une autre constante c’ tel que :

B′ ⊂ ⋃_{T ∈N}\{A ∈ Ξ_{m}, ||T : E_{A} → E_{B}|| < c′\sqrt{n}\}

On obtient alors, après des calculs de volumes et des choix judicieux de paramètres [cf article de Tomczak-Jaegermann], μ(B′) < \frac{1}{2}. Ce qui achève la démonstration.

Cette démonstration, publiée en 1981, est intéressante, car elle a permis de tester des conjectures en considérant des espaces vectoriels normés très éloignés les uns des autres.

RÉFÉRENCES

[1]K.M.Ball: Ellipsoids of maximal volume in convex bodies. Geometriae Dedicata, 41:241-250,1992.

[2]M.Rogalski: Sur la distance de deux espaces de dimension finie, d’après Gluskin. In Séminaire d’initiation à l’analyse,1981.

[3]N.Tomczak-Jaegermann: Banach-Mazur distances and finite dimensional operator ideals.Pitman,1988.

1. N est un ϵ-réseau pour K si, ∀T ∈ K, ∃T_{k} ∈ N, tel que ||T − T_{k}|| < ϵ