La correspondance bosons-fermions

I Algèbre de Lie, Algèbre d’oscillateur et représentation bosonique

Définitions :

Algèbre de Lie : espace vectoriel muni d’un crochet [ , ] bilinéaire, antisymétrique et vérifiant l’identité de Jacobi

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

Représentation d’une algèbre de Lie L dans un espace E : morphisme de L dans End(E) muni de [x, y] = xy − yx

Représentation irréductible : les seuls sous-espaces stables par l’action de L sont E et {0}.

Algèbre d’oscillateur (ou de Heisenberg) A : algèbre de Lie complexe, de base {a_{n}, n ∈ ℤ ; h̄}, avec

\begin{aligned}[h̄, a_{n}] & = 0 \\ [a_{m}, a_{n}] & = mδ_{m,−n}h̄ \end{aligned}

On représentera h̄ par l’identité dans toute représentation.

Espace de Fock B_{μ} = ℂ[x_{1}, x_{2}, ⋯] On représente A sur B_{μ} par :

\begin{aligned}a_{n} & = \frac{∂}{∂x_{n}} \\ a_{−n} & = n x_{n} \\ a_{0} & = μ I \end{aligned}

Le polynome constant ν = 1 représente l’état du vide. Il vérifie

(∗) \{ \begin{matrix}a_{n}(ν) & = 0 ∀n > 0 \\ a_{0}(ν) & = μν \end{matrix}

Proposition. La représentation B_{μ} est irréductible, et dans toute représentation contenant un vecteur ν vérifiant les conditions (*), les a_{−1}^{k_{1}} ⋯ a_{−n}^{k_{n}}(ν) sont linéairement indépendants et l’espace qu’ils engendrent est isomorphe à B_{μ}.

L’injection de B_{μ} dans cet espace est P ↦ P (⋯, \frac{a_{−n}}{n} , ⋯)ν

Remarque. Il existe une unique forme hermitienne < | > telle que < ν|ν >= 1 et que a_{−n} soit l’adjoint de n pour tout n. La famille (a_{−1}^{k_{1}} ⋯ a_{−n}^{k_{n}}(ν)) y est orthogonale et vérifie

||a_{−1}^{k_{1}} ⋯ a_{−n}^{k_{n}}(ν)||^{2} = ∏_{j=1}^{n} k_{j}! j^{k_{j}}

Définitions. deg(x_{1}^{j_{1}} ⋯ x_{k}^{j_{k}}) = j_{1} + 2j_{2} + ⋯ + kj_{k} B_{μ}^{j} : sous-espace des polynomes de degré j dim B_{μ}^{j} = p(j) = nombre de partitions de j en somme croissante d’entiers strictement positifs, et p(0) = 1 II Algèbres de matrices infinies et représentation fermionique de A

Soit un espace V de base {v_{j}, j ∈ ℤ}. Soit l’algèbre de matrices gl_{∞} = {(a_{ij}), i, j ∈ ℤ, tous nuls sauf un nombre fini}, de base E_{ij} : E_{ij}v_{k} = δ_{jk}v_{i} complétable en \overline{a}_{∞} = \{(a_{ij}), i, j ∈ ℤ, a_{ij} = 0 pour |i − j| grand \}, ou en d’autres espaces au besoin.

Soit Λ_{k} = ∑_{i∈ℤ} E_{i,i+k}, i.e. Λ_{k}v_{j} = v_{j−k} Soit l’espace F_{m} de base {v_{i_{m}}∧v_{i_{m−1}}∧⋯ | i_{m} > i_{m−1} > ⋯ et i_{k} = k pour k ≪ 0},

avec son état de référence ψ_{m} = v_{m} ∧ v_{m−1} ∧ · · ·.

Soit F = ⨁_{m∈Z} F_{m}

On définit deg(v_{i_{m}} ∧ v_{i_{m−1}} ∧ ⋯) = ∑_{k=−∞}^{m} i_{k} − k.

On peut alors décomposer F_{m} = ⨁_{k∈ℕ} F_{m}^{k}. On a dim F_{m}^{k} = p(k).

Représentation de gl_{∞} dans F : Pour tout a ∈ gl_{∞} on définit la représentation

r(a) v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯ = av_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯
+ v_{i_{1}} ∧ av_{i_{2}} ∧ ⋯
+ ⋯

Pour tout entier m, F_{m} est stable par cette représentation. Extension à a_{∞} : on constate que r(Λ_{k}) converge si k ≠ 0 mais diverge si k = 0.

Pour y remédier, on pose r̂(E_{ii}) = r(E_{ii}) − I si i ≤ 0, r̂(E_{ij}) = r(E_{ij}) dans les autres cas.

On trouve r̂(Λ_{0})ψ = mψ pour ψ ∈ F_{m}, et

[r̂(Λ_{m}) r̂(Λ_{n})] = n δ_{n,−k}I

Le vecteur ψ_{m} vérifie (∗), donc on a une représentation de l’algèbre A dans F_{m} isomorphe a B_{m}. Soit σ_{m} l’isomorphisme de F_{m} dans B_{m}, normalisé par σ_{m}(ψ_{m}) = 1.

III Polynomes de Schur

On définit les polynomes élémentaires de Schur S_{k}(x) par :

∑_{k∈ℤ} S_{k}(x)z^{k} = exp ∑_{k=1}^{∞} x_{k}z^{k}

S_{k}(x) = ∑_{k_{1}+2k_{2}+···=k} \frac{x_{1}^{k_{1}}}{k_{1}!} \frac{x_{2}^{k_{2}}}{k_{2}!} ⋯  ∀k > 0

Théorème.

σ_{0}(v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ ⋯) = | \begin{matrix}S_{i_{0}} & S_{i_{0}+1} & S_{i_{0}+2} & ⋯ \\ S_{i_{−1}} & S_{i_{−1}+1} & S_{i_{−1}+2} & ⋯ \\ ⋮ & & ⋯ \end{matrix} |

La démonstration utilise la formule

P (x + a) = exp(a\frac{∂}{∂x})P (x)

qui traduit la formule de Taylor ; et d’autre part la représentation R de certains groupes de matrices sur F, ici le groupe des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale. Elle est définie par R(A) v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯ = Av_{i_{1}} ∧ Av_{i_{2}} ∧ · · ·.

Elle vérifie R(exp M) = exp(r(M)) pour M appartenant à certaines complétions de gl_{∞}.

IV Opérateurs de vertex

Pour tout v ∈ V on définit sur F :

• Un opérateur de produit extérieur v̂ : v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯ ⟼ v ∧ v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯

• Un opérateur de contraction

v̌ : v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ⋯ ⟼ < v|v_{i_{1}} > v_{i_{2}} ∧ ⋯ − < v|v_{i_{2}} > v_{i_{1}} ∧ ⋯ + ⋯

On remarque que v̂ et v̌ sont adjoints si l’on munit F du produit scalaire canonique associé a la base donnée précédemment. Ils s’échangent également lorsqu’on échange les rôles des électrons et des positrons.

Soient pour tout complexe non nul u les séries génératrices X(u) = ∑_{i∈Z} u^{i}v̂_{i} et X^{∗}(u) = ∑_{i∈Z} u^{−i}v̌_{i}.

Elles vérifient les relations :

\begin{aligned}[r̂(Λ_{j}), X(u)] & = u^{j}X(u) \\ [r̂(Λ_{j}), X^{∗}(u)] & = −u^{j}X^{∗}(u) \end{aligned}

Notons B̂ et B̂_{m} les complétions formelles de B et B_{m}.

Identifions B_{m} à z^{m}ℂ[x_{1}, x_{2}, ⋯], et soit

B = ⨁_{m∈Z} B_{m} = ℂ[x_{1}, x_{2}, ⋯; z, z^{−1}]

Définition. les opérateurs de vertex Γ(u) et Γ^{∗}(U) sont les transportés des opérateurs X(u) et X^{∗}(u) par l’isomorphisme σ de F dans B.

Proposition. Les opérateurs Γ(u) et Γ^{∗}(u) prennent sur B̂_{m} la forme

Γ(u)_{B_{m}} = u^{m+1}z exp(∑_{j≥1} u^{j}x_{j}) exp(− ∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} \frac{∂}{∂x_{j}})

Γ(u) _{B_{m}} = u^{−m}z^{−1} exp(− ∑_{j≥1} u^{j}x_{j}) exp(∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} \frac{∂}{∂x_{j}})

ce qui donne sur B̂ en introduisant l’opérateur R(u)f(x, z) = uz f(x, uz) les formules

Γ(u) = R(u) exp(∑_{j≥1} u^{j}x_{j}) exp(− ∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} \frac{∂}{∂x_{j}})

Γ(u) = R(u)^{−1} exp(− ∑_{j≥1} u^{j}x_{j}) exp(∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} \frac{∂}{∂x_{j}})