Pertubations aléatoires des systèmes dynamiques

20 mai 1996

1 Modélisation d’un processus de diffusion

Le sujet de cet exposé est motivé par un problème physique. Considérons une particule dans un liquide non homogène. Si on néglige l’inertie de la particule, le déplacement a deux composantes:

- le déplacement moyen engendré par la vitesse macroscopique du mouvement du liquide.

- la fluctuation de déplacement engendrée par la nature chaotique du mouvement thermique des molécules se heurtant (mouvement brownien). Soit a(t, x) la vitesse du mouvement macroscopique. On peut raisonnablement supposer que le déplacement de fluctuation est une variable aléatoire centrée, et, que ce déplacement est indépendant de t et x_{t} et δt. Alors on a l’équation du mouvement: x_{t+δt} − x_{t} = a(t, x_{t})δt + ξ_{t,x_{t},δt}. Par analogie avec le cas a ≡ 0 où on a un mouvement brownien, on peut supposer: E(ξ_{t,x_{t},δt}^{2}) = λδt. Les propriétés du milieu changent faiblement pour de faibles variations en t et x. On en déduit ξ_{t,x_{t},δt} = σ(t, x_{t})ξ_{t,δt} Or, pour a ≡ 0 et σ ≡ 1, on se retrouve dans le cas du mouvement brownien: x_{t} = w_{t}. Donc on a une relation de la forme: x_{t+δt} −x_{t} ≃ a(t, x_{t})δt+σ(t, x_{t})(w_{t+δt} −w_{t}) Ceci nous donne une équation différentielle de la forme: x′_{t} ≃ a(t, x_{t})dt+σ(t, x_{t})dw_{t}.

Le but de cet exposé est d’obtenir des résultats sur ce processus de diffusion (une forme de pertubation d’un système dynamique) lorsque ϵ tend vers 0,en particulier l’évaluation du temps de sortie d’un domaine borné. Dans un premier temps, il faut donner un sens à cette équation ,appelée équation stochastique. Ensuite, nous donnerons quelques résultats de grandes déviations,outils idéals pour notre étude. Enfin, nous nous intéresserons aux comportements des trajectoires lors de la diffusion.

2 Mouvement Brownien et intégrale d’Itô

2.1 Définition

Un mouvement brownien à une dimension est un processus réel ω(t) ayant les propriétés suivantes:

1. si t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} alors ω(t_{0}), ω(t_{1}) − ω(t_{0}), ..., ω(t_{n−1}) − ω(t_{n}) sont indépendants.

2. si s, t ≥ 0 alors P(ω(s + t) − ω(s) ∈ A) = ∫_{A} \sqrt{\frac{1}{2πt}} e^{− \frac{x^{2}}{2t}} dx .

3. t ↦ ω(t) est continue avec une probabilité égale à 1.

Ayant (1) et (3), (2) est forcée par le théorème central limite. Un d-uplet de mouvements browniens indépendants est appelé mouvement brownien à d dimensions.

2.2 Intégrale d’Itô

Il nous faut définir ∫_{0}^{t} σ(X_{s}^{ϵ})dw_{s} où σ est une fonction de R dans lui-même. Comme w n’est pas localement lipschitzienne, on ne peut pas écrire w′ pour construire cette intégrale (appelée intégrale stochastique d’Itô). On utilise la méthode de construction de l’intégrale de Riemann: Soit f : R × Ω → R une fonction en escalier intégrable pour la tribu engendrée par w_{s} pour s ≤ t. Si f(s, w) = f_{i}(w) sur [t_{i}, t_{i+1}[ où (t_{i})_{0≤i≤n} est une subdivision de [a, b] alors on pose: ∫_{a}^{b} f(s, w)dw_{s} = ∑_{i=0}^{n−1} f_{i}(w)(w_{t_{i+1}} − w_{t_{i}}) Un théoreme de densité des fonctions étagées dans l’espace H_{a,b}^{2} = {f, f(t, w) ∈ σ(w_{s}, s ≤ t), ∫_{a}^{b} E(|f(s, w)|^{2})ds < ∞} permet de prolonger l’intégrale à cet espace.

3 Grandes Déviations

Il nous sera nécessaire de savoir évaluer les probabilités (trés faibles) de grandes pertubations de notre système.C’est le but de cette section.

3.1 Définitions

Soit (X, B) un espace topologique mesuré,B contenant les boréliens. Soit {μ_{ϵ}} une famille de mesures sur X (dans la suite toutes les mesures sont de masse 1).

On dit que l’on a un principe de grandes déviations (PGD) pour {μ_{ϵ}} avec la fonctionnelle d’action I si:

– I : X → [0, ∞] est semi-continue inférieurement, –

∀Γ ∈ B − inf_{x∈Γ^{o}} I(x) ≤ lim inf_{ϵ→0} ϵ log μ_{ϵ}(Γ) ≤ lim sup_{ϵ→0} ϵ log μ_{ϵ}(Γ) ≤ − inf_{x∈\overline{Γ}} I(x)

La fonction I sera dite propre si, pour tout α positif, I^{−1}[0, α] est compact. On dit qu’une famille de mesure {μ_{ϵ}} est exponentiellement tendue si

∀α < ∞ ∃K ⊂ X compact tel que lim sup_{ϵ→0} ϵ log μ_{ϵ}(K^{c}) < −α

Cela signifie que les mesures μ_{ϵ} tendent à être portées par des compacts.

3.2 Exemple: le théorème de Cramer

Ce théorème donne un PGD pour une suite de v.a.i.i.d X_{i} à valeurs dans R^{d} et on peut le voir comme une précision du théorème central limite. En effet, si les X_{i} sont centrées de variance 1, on sait alors que \sqrt{n}S_{n} → N (0, 1) et par un calcul simple, on obtient \frac{1}{n} log P(S_{n} > δ) → −\frac{δ^{2}}{2} . Soit (X_{n}) une suite de v.a.i.i.d, soit \{μ_{n}\} la famille des lois S_{n} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}. On note <, > le produit scalaire canonique de R^{d}. On pose Λ(t) = log E(e^{<t,X_{1}>}) et Λ^{∗} sa transformée de Legendre-Fenchel.

théorème 1 (Cramer) : on a PGD pour {μ_{n}} avec la fonction Λ^{∗}.

La démonstration repose, pour la borne supérieure sur la majoration de Tchebychev, et, sur un changement de mesure pour l’autre borne. Ce théorème ne traite que du cas des sommes de v.a.i.i.d. En fait, il existe un résultat similaire (théorème de Gärtner-Ellis) pour des v.a. Z_{n} quelconques telles que lim_{n→∞} \frac{1}{n}Λ_{n}(n.) existe où Λ_{n}(t) = log E(e^{<t,Z_{n}>}).

3.3 Résultats importants

3.3.1 Principes de contraction

Ces deux théorèmes, assez simples à démontrer, sont très commodes car ils permettent le transport du PGD.

théorème 2 (contraction) :si X et Y sont des espaces topologiques séparés, f : X → Y une application continue, et, si on a un PGD sur X pour {μ_{ϵ}} avec la f.a.p. I alors on a aussi un PGD pour {μ_{ϵ}of^{−1}} sur Y avec la f.a.p:

I′(y) = inf_{x∈f^{−1}(y)} I(x)

théorème 3 (contraction inverse) : supposons que X et Y sont des espaces topologiques séparés, g : Y → X est une bijection continue, {ν_{ϵ}} est tendue sur Y et que {ν_{ϵ}og^{−1}} satisfait un PGD avec une f.a. I alors {ν_{ϵ}} satisfait aussi un PGD avec la f.a.p I′ = I ∘ g.

Ce dernier résultat permet le passage d’une topologie grossière à une topologie plus fine pour un PGD.

3.3.2 Mesures exponentiellement équivalentes

Deux familles de mesures {μ_{ϵ}} et {μ′_{ϵ}} sur un espace métrique X associées aux v.a (Z_{ϵ}) et (Z′_{ϵ}), sont exponentiellement équivalentes si P_{ϵ} , la loi du couple (Z_{ϵ},Z′_{ϵ}), vérifie: ∀ δ > 0 lim sup_{ϵ→0} ϵ log P_{ϵ}(Γ_{δ}) = −∞ où Γ_{δ} = {(y, y′) : d(y, y′) > δ} ⊂ Y^{2} théorème 4 si {μ_{ϵ}} et {μ′_{ϵ}} sont exponentiellement équivalentes et si on a un PGD pour {μ_{ϵ}} avec une f.a.p, alors on a le même PGD pour {μ′_{ϵ}}.

3.3.3 Limites projectives

Soit (J, ≤) un ensemble partiellement ordonné filtrant à droite. Un système projectif (Y_{i}, p_{ij})_{i∈J} est une famille d’espaces topologiques séparés et d’applications continues p_{ij} : Y_{j} → Y_{i},avec les relations de compatibilité ( ∀i ≤ j ≤ k p_{ik} = p_{ij}op_{jK}) et p_{ii} = Id. La limite projective de (Y_{i}, p_{ij})_{i∈J} est le sous espace topologique X de Y = ∏_{i∈J} Y_{i} formé des y = (y_{i}) tels que (∀i ≤ j y_{i} = p_{ij}(y_{j})). On désigne par p_{j} les projections canoniques de Y. théorème 5 (Gärtner-Dawson) : si {μ_{ϵ}} une famille de probabilités sur (X, B) telle que ∀j ∈ J la probabilité borélienne μ_{ϵ}op_{j}^{−1} satisfait un PGD avec la f.a.p I_{j} alors on a un PGD pour {μ_{ϵ}} avec la f.a.p I(x) = sup_{i∈J} I_{j}(p_{j}(x)). Il s’agit là d’un outil très puissant puisqu’il permet de passer d’espaces de dimension finie à des espaces de dimension infinie.

3.4 Théorème de Schilder

Le but est d’obtenir un PGD dans l’espace (C_{o}([0, 1]), ∥.∥_{∞}) pour les mesures induites par \sqrt{ϵ} ω_{t} où ω_{t} est un mouvement brownien dans R^{d}.

3.4.1 Un théorème préparatoire

Soient (X_{i}) des v.a.i.i.d dans R^{d} et Z_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{[nt]} X_{i} pour 0 ≤ t ≤ 1 de loi μ_{n} dans L_{∞}. On suppose que pour tout t, Λ(t) = log E(e^{<t,X_{1}>}) < ∞. théorème 6 (Mogulskii) : on a un PGD pour {μ_{n}} dans L_{∞} avec la f.a.p :

I(ϕ) = \{ \begin{matrix}∫_{0}^{1} Λ^{∗}(ϕ′(t)) dt & si ϕ ∈ AC \\ ∞ & sinon \end{matrix}

AC désigne les fonctions absolument continues.

Idée de la démonstration 1 On approche Z_{n} par Z̃_{n}(t) = Z_{n}(t)+(t−\frac{[nt]}{n})X_{[nt]+1}. μ̃_{n} est alors portée par C_{o}[0, 1]. Comme Z_{n} et Z̃_{n} sont exponentiellement équivalentes, il suffit de prouver le résultat pour Z̃_{n}. Or, si on a un PGD pour (C_{o}([0, 1]), ∥.∥_{∞}), on l’extrapole sans difficulté dans L_{∞}. Pour obtenir ce PGD, on remarque que {μ̃_{n}} est tendue donc d’après le principe de contraction inverse, il suffit de montrer le résultat pour la topologie de la convergence simple de C_{o}[0, 1] . On applique alors le théorème de Gärtner-Dawson pour J = {0 < t_{1} < … < t_{n} ≤ 1; n ≥ 1} et Y_{j} = (R^{d})^{n}, et les projections naturelles. La limite projective s’identifie à l’espace F des fonctions de [0, 1] dans R^{d} s’annulant en 0, muni de la topologie de la convergence simple. Enfin, le PGD sur les espaces Y_{j} nous est donné par le théorème de Gärtner-Ellis avec la f.a.p I_{j}(z) = ∑_{i=1}^{n}(t_{i} − t_{i−1})Λ^{∗}(\frac{z_{l}−z_{l−1}}{t_{i}−t_{i−1}} ). On obtient donc un PGD dans F muni de la topologie de la convergence simple; on se ramène à C_{o}[0, 1] en remarquant qu’il contient le domaine de I.

Le théorème reste vrai pour Z_{ϵ}(t) = ϵ ∑_{i=1}^{[ \frac{t}{ϵ}]} X_{i}.

3.4.2 Théorème de Schilder

On désigne par μ_{ϵ} la mesure sur C_{o}[0, 1] induite par \sqrt{ϵ} ω_{t}.

théorème 7 (Schilder) {μ_{ϵ}} satisfait un PGD dans (C_{o}([0, 1]), ∥.∥_{∞}) avec la f.a.p

I(ϕ) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}∫_{0}^{1} |ϕ′(t)|^{2} dt & si ϕ ∈ H_{1} \\ ∞ & sinon \end{matrix}

où H_{1} = {t ↦ ∫_{0}^{t} f(s)ds; f ∈ L_{2}[0, 1]}.

Idée de la démonstration 2 on observe que ω̂_{ϵ}(t) = ω_{ϵ}(ϵ[\frac{t}{ϵ}]) correspond au processus Y_{ϵ} du théorème de Mogulskii pour le choix particulier des X_{i} normales standard. Alors Λ^{∗}(x) = \frac{1}{2}|x|^{2}. La démonstration s’achève par la preuve de l’équivalence exponentielle de ω̂_{ϵ} et ω_{ϵ}. Cette preuve repose sur les proriétés de changement d’échelle du Brownien et l’égalité de Désiré-André.

4 Equation stochastique

4.1 généralités sur l’équation

Soit (Ω, B, P) un espace probabilisé. Soit ω un mouvement brownien à l dimensions.

Soit b : R^{d} → R^{d}. Soit σ : R^{d} → M_{d,l} On considère l’équation différentielle

X_{t}^{ϵ} − x = ∫_{0}^{t} b(X_{s}^{ϵ})ds + \sqrt{ϵ} ∫_{0}^{t} σ(X_{s}^{ϵ})dw_{s}  (1)

Cette équation provient de la modélisation d’un processus de diffusion comme on l’a vu dans l’introduction, mais on peut surtout la voir comme la perturbation du système dynamique x′_{t} = b(x_{t}) et x_{0} = x. On montre que l’équation ainsi définie a une unique solution sur [0, T] pour b et σ lipschitziennes. L’unicité signifiant que deux solutions diffèrent sur un ensemble de probabilité nulle. De plus, on a les propriétés suivantes:

– X^{ϵ} est un processus de Markov fort pour la tribu N_{t} = σ(w_{s}, s ≤ t) c’està-dire :

– P_{x}(X_{u}^{ϵ} ∈ Γ |N_{t}) = P_{X_{t}}(X_{u−t} ∈ Γ),

– si τ est un temps de Markov,alors sur {τ < ∞} ∀x ∈ X P_{x}(X_{τ+t} ∈ Γ |N_{τ}) = P_{X_{τ}} (X_{t} ∈ Γ) P_{x} ps,

– X_{t} est mesurable pour N_{t} et X_{t} est continue avec une probabilité égale à 1,

– (Formule d’Itô): si u est C^{2} sur R^{d} alors

u(X_{t}^{ϵ}) − u(x) = \sqrt{ϵ} ∫_{0}^{t} ∇u(X_{s}^{ϵ}).σ(X_{s}^{ϵ})dw_{s} + ∫_{0}^{t} Lu(X_{s}^{ϵ})ds

où Lu = \frac{ϵ}{2} ∑_{i,j=1}^{d} a_{i,j} \frac{∂u^{2}}{∂x^{i}∂x^{j}} + ∑_{i=1}^{d} b_{i} \frac{∂u}{∂x^{i}} avec a_{i,j} = σσ^{∗}_{i,j}.

proposition 1 Soit D un domaine borné à frontière lisse. Considérons le problème de Dirichlet Lu(x) + c(x)u(x) = f(x) pour x ∈ D et u(x) = ψ(x) pour x ∈ ∂D. Si c et f et ψ sont continues, c ≤ 0, L uniformément elliptique, et tous les coefficients sont lipschitziens alors, en posant τ = inf{t, X_{t} ∉ D}

ũ = −E_{x}(∫_{0}^{τ} f(X_{t}) exp(∫_{0}^{t} c(X_{s})ds) dt) + E_{x}(ψ(X_{τ}) exp(∫_{0}^{τ} c(X_{s})ds))

ũ est l’unique solution du probleme de Dirichlet.

commentaire 1 L’étude d’une équation aux dérivées partielles se ramène donc à un problème lié à la théorie des probabilités, et réciproquement. Nous considérerons ici seulement le point de vue probabiliste.

4.2 Théorie de Freidlin et Wentzell

On considère l’équation stochastique dans R^{d}:

dx_{t}^{ϵ} = b(x_{t}^{ϵ}) dt + \sqrt{ϵ} dω_{t} et x_{0}^{ϵ} = 0

où b est uniformément lipschitzienne. On désigne par x_{t}^{ϵ} l’unique solution ayant la propriété de Markov forte et par μ̃_{ϵ} la mesure induite.

théorème 8 (Freidlin et Wentzell) {x_{t}^{ϵ}} satisfait un PGD dans (C([0, 1], ∥.∥_{∞})) avec la f.a.p:

I(f) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}∫_{0}^{1} |f′(t) − b(f(t))|^{2} dt & si f ∈ H_{1} \\ ∞ & sinon \end{matrix}

Idée de la démonstration 3 On définit F : C_{0}[0, 1] → C_{0}[0, 1] par F (g) = f où f est l’unique solution de

f(t) = ∫_{0}^{t} b(f(s))ds + g(t) sur [0, 1].

Alors on a μ̃_{ϵ} = μ_{ϵ}oF^{−1}, avec μ_{ϵ} associée à \sqrt{ϵ}ω_{t}. Le théorème de Schilder nous donne un PGD pour {μ_{ϵ}}. Pour obtenir un PGD pour {μ̃_{ϵ}}, il suffit de constater que F est continue et d’appliquer le principe de contraction. La continuité de F est une conséquence du lemme de Gronwall. On remarque que g ∈ H_{1} ⇒ f ∈ H_{1} et g′(t) = f′(t) − b(f(t))

Le résultat est plus précis car il est valable pour tout intervalle [0, T] et uniforme en x, point de départ des solutions de l’équation stochastique.

Vient la question naturelle de connaître la convergence de X_{t}^{ϵ} vers x_{t} quand ϵ tend vers 0.

théorème 9 Soient F compact dans R^{d} et T,δ > 0. Alors ∃ϵ_{0}, β tels que

∀x ∈ F, ∀ϵ < ϵ_{0} P_{x}( max_{0≤t≤T} |X_{t}^{ϵ} − x_{t}| > δ) ≤ exp(−β/ϵ)

4.3 Problème de sortie d’un domaine

Comme les trajectoires X^{ϵ} sortent avec une probabilité 1 d’un domaine borné, on désire connaître le comportement de ce processus de diffusion à la sortie de ce domaine. A priori, ce comportement dépend plutôt de la forme du champs b sur D que de x_{t}. Pour cela, on prend un domaine borné D tel que b(x).n(x) < 0 si x ∈ ∂D. On suppose que les trajectoires sont attirées par 0 et que 0 est une position d’équilibre asymptotique stable : (i)∀V ∈ V_{0} , ∃U ∈ V_{0} tel que U ⊂ V et x_{0} ∈ U ⇒ (∀t x_{t} ∈ V), (ii) lim_{ϵ→0} |x_{t}^{ϵ}| = 0. Ainsi, on se place dans un cas simplifié afin d’observer le phénomène de sortie des trajectoires. On définit S(ϕ) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} |ϕ′_{s} − b(ϕ_{s})|^{2}ds

théorème 10 On a :

lim_{ϵ→0} ϵ log P_{x}(X_{t}^{ϵ} ∈ D) = − min_{ϕ∈H_{D}(t,x)} S(ϕ) H_{D}(t, x) = \{ϕ ∈ C([0, 1], R^{n}), ϕ_{0} = x, ϕ_{t} ∈ \overline{D}\} avec τ^{ϵ} = min\{t , X_{t}^{ϵ} ∉ D\}

lim_{ϵ→0} ϵ log P_{x}(τ^{ϵ} ≤ t) = − min_{ϕ∈\overline{H_{D}(t,x)}} S_{0,T} (ϕ) \overline{H_{D}(t, x)} = \{ϕ ∈ C([0, 1], R^{n}), ϕ_{0} = x, ∃s ∈ [0, t] ϕ_{t} ∉ D\}

La preuve découle du théorème de Freidlin et Wentzell. Voyant l’apparition d’un minimum, on pose naturellement: V (0, x) = min_{ϕ∈C([0,T]),ϕ_{0}=0,ϕ_{T} =x} S(ϕ). Cette fonction s’appelle le quasi-potentiel. Il représente le coût énergétique minimal pour aller de 0 à x.

théorème 11 s’il existe un unique y_{0} ∈ ∂D tel que V (0, y_{0}) = min_{y∈∂D} V (0, y) alors ∀δ > 0, ∀x ∈ D lim_{ϵ→0} P_{x}(|X_{τ}^{ϵ} − y_{0}| < δ) = 1 où τ^{ϵ} = inf{t, X_{t}^{ϵ} ∈ ∂D}

commentaire 2 X_{t}^{ϵ} sort du domaine de telle sorte que le quasi-potentiel soit minimal. Par exemple si V (0, y) = |y| alors la trajectoire sort par le point le plus proche de 0.

Ce théorème implique un résultat intéressant pour les EDP:

corollaire 1 Soit D un domaine satisfaisant aux mêmes hypothèses que le théorème 11. Soit g continue sur \overline{D}. Soit u^{ϵ} la solution de \frac{ϵ}{2}Δu^{ϵ} + b.∇u^{ϵ} = 0 sur D et u^{ϵ} = g sur ∂D. Alors lim_{ϵ→0} u^{ϵ}(x) = g(y_{0}).

Idée de la démonstration 4 u^{ϵ}(x) = E_{x}(g(X_{τ^{ϵ}}^{ϵ})).

Maintenant, on veut pouvoir estimé le temps de sortie. On va le faire en deux étapes: estimation de E_{x}(τ^{ϵ}) puis de τ^{ϵ}.

théorème 12 Pour x ∈ D, on a lim_{ϵ→0} ϵ log E_{x}(τ^{ϵ}) = min_{y∈∂D} V (0, y)

théorème 13 Pour tout α > 0 pour tout x ∈ D,

lim_{ϵ→0} P_{x}(exp (V_{0} − α)/ϵ < τ^{ϵ} < exp (V_{0} + α)/ϵ) = 1

commentaire 3 Le temps de sortie tend exponentiellement vite vers l’infini. Ce qui est conforme au fait que X_{t}^{ϵ} tend vers x_{t}.

Idée de la démonstration 5 Si lim sup_{ϵ→0} P_{x}(τ^{ϵ} > exp ((V_{0} + α)/ϵ)) > 0 alors lim_{ϵ→0} ϵ. log E_{x}(τ^{ϵ}) ≥ V_{0} − α ce qui contredit le théorème précédent.

On voit que le quasi-potentiel joue un rôle fondamental dans notre étude. Il est très utile de l’évaluer. Pour cela, on a le théorème suivant:

théorème 14 Si b admet une décomposition de la forme: b(x) = −∇U(x) + l(x) où U ∈ C^{1}(\overline{D}) et U(0) = 0 et U(x) > 0 et ∇U(x) ≠ 0 pour x ≠ 0 et l(x).∇U(x) = 0 alors V (0, x) = 2U(x) pour les x dans \overline{D} tels que U(x) ≤ min_{y∈∂D} U(y) De plus, si U est C^{2}, l’unique extrémale de S(ϕ) sur ] − ∞, T] vérifie l’équation: ϕ′_{s} = ∇U(ϕ_{s}) + l(ϕ_{s}) et ϕ_{0} = 0 et ϕ_{T} = x.

Idée de la démonstration 6 On a : U(ϕ_{T_{1}}) − U(ϕ_{T_{2}}) = ∫_{T_{1}}^{T_{2}} ∇U(ϕ_{s}).ϕ′_{s}ds .Donc S_{T_{1},T_{2}}(ϕ) = \frac{1}{2} ∫_{T_{1}}^{T_{2}} |ϕ′_{s} − ∇U(ϕ_{s}) − l(ϕ_{s})|^{2}ds + 2 ∫_{T_{1}}^{T_{2}} ∇U(ϕ_{s}).ϕ′_{s}ds C’est de cette égalité qu’apparait le résultat.

Exemple: Considérons le système x′_{t} = Ax_{t} où A est une matrice telle que:

- A est normale (AA^{∗} = A^{∗}A)

- A + A^{∗} est définie négative Alors x_{t} = e^{At}.x_{0} et |x_{t}| tend vers 0. Ax = −∇(−\frac{A+A^{∗}}{4} x, x) + \frac{A−A^{∗}}{2} x Cette décomposition vérifie bien le théorème, d’où V (0, x) = −\frac{1}{2}((A + A^{∗})x, x). L’extrémale vérifie: ϕ′_{t} = −A^{∗}ϕ_{t} et si y_{0} est le seul point où V atteint son minimum: ϕ_{t} = e^{−A^{∗}t}.y_{0}.

Références

[1] Deuschel, Stroock, “Large Deviations”.

[2] Dembo, Zeitouni, “Large Deviations Techniques and Applications”.

[3] Gikhman, Skorokhod, “Introduction to the theory of random processes”.

[4] Durett, “Probability theory and examples”.

[5] Freidlin, Wentzell, “Random Perturbations of Dynamical systems”.