Calcul du K_{2} d’un corps par Matsumoto.

Guillaume Laget et Olivier Teulié. Sujet proposé par Lionel Schwartz.

20 mai 1996.

0 Présentation du sujet.

La K-théorie est d’abord apparue comme l’étude des classes d’équivalence de fibrés vectoriels de base un espace topologique X pour la relation

[E ∼ F] ⇔ [∃n ∈ ℕ|E ⊕ K^{n} isomorphe à F ⊕ K^{n}],

K^{n} étant le fibré trivial de base X.

Une vision plus algébrique est apparue avec l’étude de certains foncteurs K_{i} de la catégorie des anneaux dans celle des groupes; en particulier K_{0}Λ est le groupe engendré par les classes d’isomorphisme de modules projectifs de type fini, ce qui permet de relier les points de vue topologique et algébrique, car les sections des fibrés vectoriels sur X forment un module projectif de type fini sur l’anneau C(X), et qu’à un tel module correspond toujours un fibré. Un autre lien entre les deux visions de la K-théorie est l’étude du groupe K_{1} pour l’anneau ℤ[π_{1}(X)] où π_{1}(X) est le groupe fondamental de X.

La K-théorie a des applications en théorie des nombres, en particulier dans l’étude de la fonction ζ de Riemann, et en géométrie différentielle, où elle permet par exemple de montrer que les seules sphères S^{n} sur lesquelles on puisse mettre une structure de groupe de Lie sont S^{1}, S^{3} et S^{7}, ou encore d’étudier l’existence de structure différentielles sur les variétés topologiques.

Cet exposé est consacré au groupe de Milnor K_{2} associé à un anneau commutatif, et à sa détermination dans le cas d’un corps, suivant la preuve de Matsumoto exposée dans [1]. On peut citer comme utilisation du foncteur K_{2} l’étude des algèbres à division de rang fini sur un corps K.

1 Préliminaires et notations.

Dans tout l’exposé, Λ et K désigneront respectivement un anneau et un corps commutatifs.

1.1 Matrices élémentaires.

On définit GL(Λ) et SL(Λ) comme les limites de GL_{n}(Λ) et SL_{n}(Λ) pour n tendant vers l’infini. E(Λ) est l’ensemble des commutateurs de GL(Λ).

On appelle matrices élémentaires les matrices e_{ij}^{λ} (avec i ≠ j) ayant des 1 sur la diagonale, le coefficient (i, j) égal à λ, les autres coefficients étant nuls.

Les matrices élémentaires vérifient les relations:

1. e_{ij}^{λ}e_{ij}^{μ} = e_{ij}^{λ+μ}.

2. Si i ≠ l, [e_{ij}^{λ}, e_{jl}^{μ}] = e_{il}^{λμ}.

3. Si j ≠ k, [e_{ij}^{λ}, e_{ki}^{μ}] = e_{kj}^{−λμ}.

4. Si i ≠ l,j ≠ k, [e_{ij}^{λ}, e_{kl}^{μ}] = 1,

où [a, b] = aba^{−1}b^{−1} est le commutateur de a et b; on note que [a, b]^{−1} = [b, a], et il est alors clair que les propriétés 2 et 3 sont équivalentes.

Alors E(Λ) est engendré par les matrices élémentaires, et dans le cas d’un corps, E(K) = SL(K). On admet que l’on a aussi SL(ℤ) = E(ℤ).

1.2 Extensions centrales.

Une extension centrale d’un groupe G est un couple (X, φ) où X est un groupe et φ : X → G un homomorphisme surjectif tel que ker(φ) est dans le centre de X.

(X, φ) est dite universelle si et seulement si pour toute extension centrale (Y, ψ) il existe un unique morphisme h : X → Y tel que ψ ∘ h = φ. Si un groupe admet une extension centrale universelle, celle-ci est unique à isomorphisme près.

Les extensions centrales sont les analogues des revètements en topologie, les groupes parfaits correspondant en quelque sorte aux espaces simplement connexes.

1.3 Définition d’un groupe par générateurs et relations.

Soit un ensemble X.

Le groupe libre engendré par X, noté L_{X}, est l’ensemble des mots x_{1}^{a_{1}} … x_{n}^{a_{n}} où les x_{i} sont dans X et les a_{i} dans ℤ , muni de la loi de composition (x_{1}^{a_{1}} … x_{n}^{a_{n}})(y_{1}^{b_{1}} … y_{m}^{b_{m}}) = x_{1}^{a_{1}} … x_{n}^{a_{n}}y_{1}^{b_{1}} … y_{m}^{b_{m}}, avec pour élément neutre le produit vide, quotienté par la relation x^{a}x^{−a} = 1.

Soit R une partie de L_{X}, et N le plus petit sous-groupe distingué de L_{X} la contenant.

On appelle groupe défini par les générateurs x ∈ X avec les relations R le groupe L_{X}/N.

1.4 Les groupes K_{0}Λ et K_{1}Λ.

On appelle module projectif un Λ-module P pour lequel existe un module M tel que P ⊕ M soit libre.

Par définition, K_{0}Λ est le groupe libre ayant un générateur pour chaque classe d’isomorphismes de modules projectifs de type fini, avec les relations < P > + < Q >=< P ⊕ Q > pour toutes les classes de modules projectifs < P > et < Q >.

Dans le cas d’un corps, les modules projectifs de type fini sont les espaces vectoriels de dimension finie, et K_{0}K est alors isomorphe à ℤ .

K_{1}Λ est le groupe quotient GL(Λ)/E(Λ) isomorphe à Λ^{∗} ⊕ (SL(Λ)/E(Λ)). Dans le cas d’un corps, K_{1}K se réduit à K^{∗}.

2 Définition et génération du groupe K_{2}.

Le groupe de Steinberg St(Λ) est le groupe défini par les générateurs x_{ij}^{λ}, (i, j ∈ ℕ^{∗} × ℕ^{∗}, i ≠ j, et λ ∈ Λ) et les relations

1. x_{ij}^{λ}x_{ij}^{μ} = x_{ij}^{λ+μ}.

2. Si i ≠ l, [x_{ij}^{λ}, x_{jl}^{μ}] = x_{il}^{λμ}.

3. Si j ≠ k, [x_{ij}^{λ}, x_{ki}^{μ}] = x_{kj}^{−λμ}.

4. Si i ≠ l,j ≠ k, [x_{ij}^{λ}, x_{kl}^{μ}] = 1.

On définit alors un morphisme surjectif φ : ( \begin{matrix}St(Λ) & ⟶ & E(Λ) \\ x_{ij}^{λ} & ⟼ & e_{ij}^{λ} \end{matrix} ), et on

pose K_{2}Λ = ker(φ).

K_{2}Λ est le centre de St(Λ), et (St(Λ), φ) est l’extension centrale universelle de E(Λ).

Une matrice monômiale est une matrice de la forme P_{σ}D, où P_{σ} est la matrice de permutation asociée à σ ∈ S_{n}, et D une matrice diagonale inversible. m_{ij}(u) désigne, pour u inversible, la matrice monômiale associée à la transposition (i, j) et à la matrice diagonale ayant un u en position j, et un −u^{−1} en position i. Ainsi, le coefficient (i, j) de m_{ij}(u) vaut u, et le coefficient (j, i) vaut −u^{−1}. d_{ij}(u) est la matrice diagonale dont le coefficient d’ordre i vaut u, celui d’ordre j, u^{−1}, les autres termes diagonaux étant égaux à 1.

On pose pour u inversible w_{ij}(u) = x_{ij}^{u}x_{ji}^{(−u^{−1})}x_{ij}^{u} et h_{ij}(u) = w_{ij}(u)w_{ij}(−1), et on remarque que φ(w_{ij}(u)) est la matrice monômiale m_{ij}(u), et que φ(h_{ij}(u)) est la matrice diagonale d_{ij}(u).

On en déduit que [h_{ij}(u), h_{ik}(v)] est dans K_{2}Λ et est indépendant de i, j et k deux à deux distincts. On peut donc poser {u, v} = [h_{ij}(u), h_{ik}(v)]; on définit ainsi un symbole {u, v} sur Λ^{∗} × Λ^{∗} tel que {u, vw} = {u, v}{u, w}, {uv, w} = {u, w}{v, w} et {u, 1 − u} = 1 si u, v et 1 − u sont inversibles. De la on tire {u, v}^{−1} = {v, u} et {u, −u} = 1.

Dans le cas d’un corps, on a le théorème: les {u, v} engendrent K_{2}K.

On tire de cela une première application: le K_{2} d’un corps fini est trivial. En effet, on peut trouver a ≠ 0, 1 tel que a et 1 − a ne soient pas des carrés; si b est un générateur de K^{∗}, il existe n, n′ impairs tels que {a, 1 − a} = {b^{n}, b^{n′}} = {b, b}^{nn′} = {b, b} = 1, et on en déduit que {u, v} = 1 pour tous les u, v ∈ K^{∗}.

3 Calcul de K_{2}K.

La structure de K_{2}K est déterminée par le théorème de Matsumoto:

K_{2}K est le groupe abélien défini par les générateurs {x, y}, x, y ∈ K^{∗} et les relations:

– {x, 1 − x} = 1 si x ≠ 0, 1.

– {x_{1}x_{2}, y} = {x_{1}, y}{x_{2}, y}.

– {x, y_{1}y_{2}} = {x, y_{1}}{x, y_{2}}.

Soit A le groupe abélien défini par les générateurs c(u, v), u, v ∈ K^{∗}, et les relations c(x_{1}x_{2}, y) = c(x_{1}, y)c(x_{2}, y), c(x, y_{1}y_{2}) = c(x, y_{1})c(x, y_{2}) et c(x, 1 − x) = 1 pour tout x ≠ 0, 1. c vérifie pour tous x, y ≠ 0, c(x, 1) = c(1, x) = 1, c(x, y)^{−1} = c(x, y^{−1}) = c(x^{−1}, y), c(−x, x) = 1 et c(x, y) = c(y^{−1}, x).

Il existe un unique homomorphisme θ de A dans K_{2}K qui envoie c(u, v) sur {u, v}, car toutes les relations entres les c(u, v) sont conservées en passant aux {u, v}; il suffit de montrer que c’est un isomorphisme pour prouver le théorème. L’inverse de θ va être construit à partir d’une extension centrale de SL(K) de noyau A.

Pour cette construction, on procède par étapes, en construisant d’abord une extension des H du sous-groupe D de SL_{n}(K) formé des matrices diagonales, et puis une extension W de M des matrices monômiales de SL_{n}(K), puis on montre le résultat pour SL_{n}(K), ce qui est évidemment suffisant pour conclure.

Les groupes H et W seront les analogues vis-à-vis de A des groupes H et W précédemment construits dans St(K).

3.1 Construction d’une extension centrale de D.

Munissons H = D × A du produit (d, a)(d′, a′) = (dd′, aa′ ∏_{i≥j} c(u_{i}, v_{j})), où d = Diag(u_{1}, …, u_{n}) et d′ = Diag(v_{1}, …, v_{n}).

Ce produit munit H d’une structure de groupe, et ϕ : ( \begin{matrix}H & ⟶ & D \\ (d, a) & ⟼ & d \end{matrix} )

est un morphisme de groupe surjectif de noyau A inclus dans le centre de H. Ainsi, \underline{(H, ϕ) est une extension centrale de D de noyau A}.

On calcule de plus que si ϕ(h) = Diag(u_{1}, …, u_{n}), ϕ(k) = Diag(v_{1}, …, v_{n}), alors [h, k] = (I, c(u_{1}, v_{1})c(u_{2}, v_{2}) … c(u_{n}, v_{n})).

Si h_{ij}(u) = \begin{cases}(d_{ij}(u), 1) & si i < j \\ (d_{ij}(u), c(u, u)) & si i > j \end{cases}, on constate que l’on a c(u, v) =

(I, c(u, v)) = [h_{ij}(u), h_{ik}(v)] = h_{ij}(uv)h_{ij}(u)^{−1}h_{ij}(v)^{−1}.

3.2 Construction d’une extension centrale de M.

On va définir un groupe W_{0} que l’on fera agir sur H, ce qui permettra de construire une extension centrale W de M par produit semi-direct.

M_{0} désigne l’ensemble des matrices monômiales de SL_{n}(K) dont les coefficients non nuls valent 1 ou −1; on construit grace à l’extension centrale St(ℤ) → SL(ℤ) un groupe W_{0}, un morphisme ϕ_{0} : W_{0} → M_{0}, et des éléments w_{ij}(±1) d’images m_{ij}(±1).

Alors il existe un morphisme α : ( \begin{matrix}M_{0} & ⟶ & Aut(H) \\ m & ⟼ & α(m) \end{matrix} ) qui laisse A inva-

riant point par point, et tel que si m est l’image d’un élément h_{1} ∈ H par ϕ, alors α(m) est l’application h ↦ h_{1}hh_{1}^{−1}.

Ceci définit une action du groupe W_{0} sur H par w_{0}.h = α(ϕ_{0}(w_{0}))(h); le sous-groupe H_{0} ⊂ H engendré par les h_{ij}(−1) peut être identifié au sous-groupe de W_{0} engendré par les h_{ij}(−1), et sur H × W_{0} on met la structure de produit semi-direct (h, w_{0})(h′, w′_{0}) = (h w_{0}.h′, w_{0}w′_{0}) qui est compatible avec la relation (hh_{0}, w_{0}) ∼ (h, h_{0}w_{0}) pour h_{0} ∈ H ∩ W_{0}.

On a ainsi construit un groupe W = (H ×_{α} W_{0})/ ∼ dont le centre contient A. On identifie H et W_{0} avec leurs images dans W, et on a H ∩ W_{0} = H_{0}.

Mais alors ϕ : ( \begin{matrix}W & ⟶ & M \\ (h, w_{0}) & ⟼ & ϕ(h)ϕ_{0}(w_{0}) \end{matrix} ) est un homomorphisme sur-

jectif de noyau A. Ainsi, \underline{(W, ϕ) est une extension centrale de M de noyau A}.

3.3 La construction de Matsumoto.

On montre que SL_{n}(K) est dans T MT où T est l’ensemble des matrices triangulaires n’ayant que des 1 sur la diagonale. De plus, le m ∈ M de l’écriture tmt′ est déterminé de façon unique, ce qui permet de définir une application ρ sur SL_{n}(K) par ρ(tmt′) = m.

Alors ρ(m_{i(i+1)}(1)s) vaut soit m_{i(i+1)}(1)ρ(s), soit d_{i(i+1)}(u)^{−1}ρ(s), et de même que ρ(sm_{j(j+1)}(−1)) vaut soit ρ(s)m_{j(j+1)}(−1), soit ρ(s)d_{j(j+1)}(v).

On note X la partie de SL_{n}(K) × W définie par (s, w) ∈ X si et seulement si ρ(s) = ϕ(w). On considère trois types de permutations de X et le groupe G ⊂ S_{X} qu’elles engendrent.

– Pour h ∈ H, λ(h).(s, w) = (ϕ(h)s, hw); λ est un homomorphisme injectif de H dans G.

– Pour t ∈ T, μ(t).(s, w) = (ts, w); de même, μ est un homomorphisme injectif de T dans G.

– Enfin, on définit η_{I}.(s, w) par

\begin{cases}(m_{i(i+1)}(1)s, w_{i(i+1)}(1)w) & si ρ(m_{i(i+1)}(1)s) = m_{i(i+1)}(1)ρ(s) \\ (m_{i(i+1)}(1)s, h_{i(i+1)}(u)^{−1}w) & si ρ(m_{i(i+1)}(1)s) = d_{i(i+1)}(u)^{−1}ρ(s). \end{cases}

Montrons que G agit transitivement sur X: si on fixe (s, w) dans X, on peut trouver g dans le sous-groupe engendré par les μ(t) et η_{I} tel que g.(1, 1) = (s, w′), car SL_{n}(K) est engendré par T et les m_{I}(1). Mais alors, w est de la forme aw′ avec a ∈ A [car ϕ(w) = ϕ(w′)], donc λ(a).(s, w′) = (s, w).

On peut définir symétriquement un groupe G^{∗} agissant à droite sur X par les générateurs λ^{∗}(h), μ^{∗}(t) et η_{J}^{∗} définis par (s, w).λ^{∗}(h) = (sϕ(h), wh), (s, w).μ^{∗}(t) = (st, w) et (s, w).η_{j(j+1)}^{∗} est donné par

\begin{cases}(sm_{j(j+1)}(−1), ww_{j(j+1)}(−1)) & si ρ(sm_{j(j+1)}(−1)) = ρ(s)m_{j(j+1)}(−1) \\ (sm_{j(j+1)}(−1), wh_{j(j+1)}(v)) & si ρ(sm_{j(j+1)}(−1)) = ρ(s)d_{j(j+1)}(v). \end{cases}

Mais le groupe G^{∗} agit lui aussi transitivement sur X, et l’on peut vérifier que pour tout x ∈ X, g ∈ G, g^{∗} ∈ G^{∗}, on a g.(x.g^{∗}) = (g.x).g^{∗}. L’action de G^{∗} étant transitive, on en déduit que s’il existe x ∈ X tel que g_{1}.x = g_{2}.x, on a g_{1}.y = g_{2}.y pour tout y ∈ X, et ainsi g_{1} = g_{2}.

Alors on peut conclure: g.(s, w) est de la forme (ψ(g)s, w′) [car c’est vrai pour les trois types de générateurs de G], ce qui définit ψ : G → SL_{n}(K), surjective puisque l’action est transitive. De plus, ker(ψ) = λ(A): si ψ(g) = 1, g.(s, w) = (s, w′) donc w = aw′ pour un certain a ∈ A. Mais alors g.(s, w) = λ(a).(s, w), et donc g = λ(a) car G agit librement sur X. On peut alors identifier A et λ(A).

Ainsi, \underline{(G, ψ) est une extension centrale de SL_{n}(K) de noyau A}.

On voit que si h ∈ H, ψ(h) = ϕ(h). On en déduit la propriété qui va nous être utile pour conclure: si x, y ∈ G vérifient ψ(x) = d_{12}(u) et ψ(y) = d_{13}(v), alors x et y sont dans ψ^{−1}(D) = H et donc [x, y] = c(u, v).

3.4 Conclusion.

On a ainsi en passant à la limite n → +∞ une extension centrale (G, ψ) de SL(K); mais (St(K), φ) est l’extension centrale universelle de SL(K), donc il existe ξ : St(K) → G telle que ψ ∘ ξ = φ, et à l’évidence ξ(K_{2}K) ⊂ A.

Posons h = h_{12}(u) et k = h_{13}(v) dans St(K). On a [h, k] = {u, v}, et (ψ ∘ ξ)(h) = d_{12}(u) et (ψ ∘ ξ)(k) = d_{13}(v), donc [ξ(h), ξ(k)] = c(u, v), et ainsi ξ([h, k]) = ξ({u, v}) = c(u, v). Mais alors par construction de θ, θ ∘ ξ = Id_{K_{2}K} et ξ ∘ θ = Id_{A}.

Ainsi θ : ( \begin{matrix}A & ⟶ & K_{2}K \\ c(u, v) & ⟼ & \{u, v\} \end{matrix} ) est un isomorphisme, ce qui conclut la

démonstration.

Références

[1] John Milnor. Introduction to the algebraic K-theory. Princeton University Press, 1971.

[2] Serge Lang. Algebra. Addison Wisley.

[3] A.I Kostrikin, I.R.Shafarevitch. Algebra I. Springer-Verlag EMS 11.

[4] R.G.Swan. Algebraic K-theory. Sringer-Verlag Lecture notes in mathematics 76.