1 introduction

Benoit Mandelbrot définit les fractales comme des ensembles ayant une dimension non entière. De tels ensembles ont de nombreuses applications lorsqu’ils ont la propriété d’être strictement ou statistiquement auto-similaires.

Dans cet exposé tiré de l’article de John E. Hutchinson intitulé ”Fractals and self similarity” on va s’intéresser à la théorie des ensembles strictements auto-similaires.Voici la liste des principaux résultats: Soit {S_{1}...S_{n}} une familles de n contractions de X, espace métrique complet.Existe-t’il K compact tel que K = ⋃_{i=1}^{i=n} S_{i}K?

Le premier résultat est que K existe et est unique.Il est donc totalement determiné par S={S_{1}...S_{n}}.On verra une methode de construction algorithmique de K. De plus si {ρ_{1}...ρ_{n}} ∈ [0, 1]^{n} avec ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} = 1 alors il existe une unique mesure borelienne régulière μ de masse totale 1 telle que

μ = ∑_{i=1}^{i=n} S_{i}♯μ

ou S_{i}♯μA = μ(S_{i}^{−1}(A)) et ce ∀A ⊂ X et support(μ) = K.

Enfin, on verra qu’à partir de S et sous certaines conditions on peut connaitre la dimension de Hausdorff de K. Dans le cas où X = R^{n} muni de la norme euclidienne et où les contractions S_{i} sont des similitudes de rapport r_{i} alors la dimension de Hausdorff de K est l’unique D qui vérifie ∑_{i=1}^{i=n} r_{i}^{D} = 1.

2 compacts invariants

2.1 définitions et notations

Definition 2.1.1 distance de Hausdorff

Soient A et B deux parties de X on définit la distance de Hausdorff entre A et B par

sup{d(a, B), d(b, A) : a ∈ A, b ∈ B}

Dans toute la suite de l’exposé on considerera sur X la topologgie induite par d.

Definition 2.1.2 transformation S Soit

δ(S(K_{1}), S(K_{2})) ≤ S = {S_{1}...S_{n}}

une famille de transformations de X.Pour tout A ⊂ X on définit S(A) par S(A) = ⋃_{i=1}^{i=n} S_{i}(A)

Soit [i_{1}..i_{p}] ∈ [1..n]^{p} on note S_{i_{1}..i_{p}} la composée S_{i_{1}} ∘ ... ∘ Si_{p}. Soit A ⊂ X ,on noteA_{i_{1}..i_{p}} l’ensemble S_{i_{1}..ip}(A) On notera s_{i_{1}..i_{p}} l’unique point fixe de S_{i1..ip}. On pose r = sup_{i∈[1..n]}r_{i}

2.2 Preuve d’existence et unicité du compact K

Théorème 2.2.1 (X,d) est un espace métrique complet.

{S_{1}...S_{n}} une famille de n contractions du plan de rapports r_{i}

Alors il existe un unique compact K vérifiant la proprieté suivante:

K = ⋃_{i=1}^{i=n} S_{i}(K)

Début de la preuve:

soit B l’ensemble des fermés de (X,d)

soit C l’ensemble des compacts de (X,d)

soit δ la distance de Hausdorff sur l’ensemble des parties de X Lemme 1 :(B,δ) est métrique complet.

preuve:il est d’une part trés facile de voir que δ est une distance. Montrons la complétude:Soit (A_{n})_{n∈ℕ} une suite de B. Alors il est facile de voir que

A_{∞} = { lim_{n→∞} a_{n}|∀n ∈ ℕ, a_{n} ∈ A_{n} et (a_{n})_{n∈ℕ} de Cauchy }

est un fermé.

Considérons alors (A_{n})_{n∈ℕ} une suite de cauchy de (B, δ).

Notons δ_{p} = sup_{l,m≥p} δ(A_{l}, A_{m})

Soit n_{0} ∈ ℕ

On construit une suite extraite A_{Φ_{k}} telle que

Φ_{0} = n_{0} et ∀k ∈ ℕ δ_{Φ_{k+1}} ≤ δ_{Φ_{k}}

Ainsi pour tout n_{0} ∈ ℕ on trouve a_{∞} ∈ A_{∞} tel que d(a_{n_{0}}, a_{∞}) ≤ 4δ_{n_{0}}.

De plus soit a_{∞} ∈ A_{∞} il existe alors une suite (a_{n}), n ∈ ℕ qui tend vers a_{∞} or ∀n ∈ ℕd(a_{n}, A_{n_{0}}) ≤ δ_{n_{0}} donc il existe a_{n_{0}} ∈ A_{n_{0}} tel que d(a_{∞}, a_{n_{0}}) ≤ 2δ_{n_{0}}

Donc ∀n_{0} ∈ ℕδ(A_{n_{0}}, A_{∞}) ≤ 4δ_{n_{0}}

Or δ_{n} tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Pour toute suie de cauchy (A_{n})_{n∈ℕ}) d’éléments de (B, δ) on peut donc exhiber un élément de B tel que A_{n} tend vers B. Donc (B, δ) est métrique complet. Lemme 2 : C est fermé dans B

preuve:Soit une suite (C_{n})_{N∈ℕ} convergeant vers C_{∞} pour δ

∀ϵ > 0 il existe n_{0} tel que δ(C_{n_{O}}, C_{∞}) ≤ ϵ/2

De plus pour C_{n_{0}} il existe une famille (x_{i})_{i∈[1..M]} de points de C_{n_{0}} telle que C_{n_{0}} ⊂ ⋃_{i=1}^{i=M} B(x_{i}, ϵ/2). Alors on a C_{∞} ⊂ ⋃_{i=1}^{i=M} B(x_{i}, ϵ) DoncC_{∞} est fermé et précompact dans un complet; il est donc compact. Lemme 3: S considerée comme application de C dans C est contractante. En efet ∀A, B, C, D ⊂ X on a

δ(A ∪ B, C ∪ D) ≤ max{δ(A, C), δ(B, D)}

D’où

δ(S(K_{1}), S(K_{2})) ≤ max_{i∈[1..n]}δ(S_{i}(K_{1}), S_{i}(K_{2}))
δ(S(K_{1}), S(K_{2})) ≤ max_{i∈[1..n]}r_{i}δ(K_{1}, K_{2})

S est donc contractante de C ans C . On a donc toutes les hypothèses poue appliquer le théorème du point fixe à S dans (C, δ). Il existe donc un unique compact K de X tel que K = ⋃_{i=1}^{i=n} S_{i}(K)

remarque:on aurait pu appliquer le même raisonnement à S de C dans C.Il existe donc un unique F fermé borné qui vérifie S(F)=F et F=C puisque C est fermé borné.

2.3 proprietés remarquables

Proposition 2.3.1 On a

K ⊃ K_{i_{1}} ⊃ K_{i1i2}... ⊃ K_{i_{1}..i_{p}}

Proposition 2.3.2 K_{i_{1}...i_{p}} tend ,quand p tend vers l’infini vers un singleton que l’on notera k_{i_{1}..i_{p}..}

Proposition 2.3.3

K = ⋃_{α∈[1..n]^{ℕ}} k_{α}

Proposition 2.3.4

k_{i_{1}..i_{p}..} = lim_{p→∞} s_{i_{1}..i_{p}}

et en particulier cette limite existe.

Proposition 2.3.5 [1..n] étant muni de la topologie discrète si l’on considère E_{n} = [1..n]^{ℕ} muni de la topologie produit qui est compact en tant que produit d’espaces compacts alors l’application π de C_{n} dans K qui à α ∈ C_{n} associe π(α) = k_{α} est continue surjective

Proposition 2.3.6 Soit A ⊂ X alors d(A_{i_{1}..i_{p}}, k_{i_{1}..i_{p}..}) tend vers 0 quand p tend vers l’infini,et ce uniformément par rapport à i_{1}..i_{p}

2.4 construction algorithmique du compact invariante

De la dernière proposition enoncée on va tirer une méthode de construction algorithmique(nécessairement approchée) du compact K. A partir d’un point a quelconque de X et en lui appliquant N fois de manière aléatoire une des transformations S_{i} on va pouvoir approcher avec une précision d’autant grande que N est grand tous les points du compact K.

En effet

d(a_{i_{1}..i_{p}}, k_{i_{1}..i_{p}..})

= d(S_{i_{1}..i_{p}}(a), S_{i_{1}..i_{p}}(k_{i_{p+1}...}))
≤ r_{i1} ∗ .. ∗ r_{i_{p}}d(a, k_{ip+1...})
≤ r_{i1} ∗ .. ∗ r_{i_{p}}δ(a, K)
≤ r^{p}δ(a, K)

De plus on a

d(a_{i_{1}..i_{p}j_{1}..j_{q}}, k_{i_{1}..i_{p}i_{p+1}...})
≤ r^{p}δ(a_{j_{1}..j_{q}}, K)
≤ r^{p}(d(a_{j_{1}..j_{q}}, s_{j_{1}..j_{q}}) + diam(K))
≤ r^{p}(r^{q}d(a, s_{j_{1}..j_{q}}) + diam(K))
≤ r^{p}(δ(a, K) + diam(K))

car s_{j_{1}..j_{q}} = k_{j_{1}..j_{q}j_{1}..j_{q}...} ∈ K

or comme toute sequence finie de la forme i_{1}..i_{p} a une probabilité d’apparaître qui tend vers 1 lorsque N tend vers l’infini on finit par approcher K avec les a_{i_{1}..i_{p}}

3 exemples

4 mesures invariantes

4.1 définitions et notations

On considère dans cette partie les mesures Boréliennes, régulières,de support borné et de masse 1, noté M^{1}. Sur cet ensemble, on défini une métrique L.

Definition 4.1.1 Soient μ et ν deux mesures de M^{1}. On pose

L(μ, ν) = sup{μ(ϕ) − ν(ϕ); Lip(ϕ) ≤ 1}

Où ϕ : X ⟶ R, μ(ϕ) = ∫_{X} ϕ

On vérifie facilement que L est bien une métrique sur M^{1}. Par ailleurs, M^{1} est la boule unité du dual des fonctions continues et bornées sur les ensembles bornés. M^{1} est donc compact, et par conséquent complet pour la métrique L.

La transformations réalisé sur M^{1} à partir d’un ensemble de contractions S est définie comme suit:

Definition 4.1.2 Soit S = {S_{1}...S_{n}} une famille de contractions et ρ={ρ_{1}...ρ_{n}} un N-uplet de réels tels que ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} = 1. Pour μ ∈ M^{1} on pose

[S, ρ](μ) = ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} S_{i}♯μ

On dit que μ est invariante si [S, ρ](μ) = μ.

4.2 existence et unicité de la mesure invariante

La démonstration est homologue à celle qui est envisagée pour le compact invariant.

[S, ρ] est une contraction. En effet:

[S, ρ](μ) − [S, ρ](ν) = ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} S_{i}♯μ − ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} S_{i}♯ν

= ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} (S_{i}♯μ − S_{i}♯ν)

= ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} μ(ϕ ∘ S_{i}) − ν(ϕ ∘ S_{i})

= r ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} μ(r^{−1}ϕ ∘ S_{i}) − ν(r^{−1}ϕ ∘ S_{i})

≤ r ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} L(μ, ν) = r L(μ, ν)

Donc [S, ρ] admet un unique point fixe, noté ∥S, ρ∥. Toute mesure de M^{1} auquel on applique la transformation [S, ρ] itérativement va converger vers cette mesure invariante.

4.3 proprietés remarquables et caractérisation

Théorème 4.3.1 Soit τ la mesure produit sur C(N) définie par la mesure ρ(i) = ρ_{i} sur [1 … N]. Alors ∥S, ρ∥ = π♯τ. Il s’en suit que, comme on pouvait s’y attendre, le support de ∥S, ρ∥ est le compact invariant ∥S∥.

En effet, soit σ = [σ_{1} … σ_{N}] tels que:

σ_{i} : C(N) ⟶ C(N)
α_{1} … α_{N} ⟶ iα_{1} … α_{N}

τ est σ-invariant, c’est à dire τ = ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} σ_{i}♯τ. Par ailleurs π ∘ σ_{i} = S_{i} ∘ π. On en déduit.

∑_{i=1}^{i=n} ρi S_{i}♯(π♯τ) = ∑_{i=1}^{i=n} ρ_{i} π♯(σ_{i}♯τ)

= π♯ ∑_{i=1}^{i=n} ρi σ_{i}♯τ

= π♯τ

La construction de la mesure invariante peut se comprendre simplement en terme de probabilités. On part d’une distribution quelconque, et on lui applique aléatoirement les transformation S_{i} suivant les probalités ρ_{i}. La distribution des points converge alors vers ∥S, ρ∥.

5 auto-similarité et dimension de Hausdorff

On voit sur les simulations que le compact invariant a une structure fractale. Il peut être caractérisé par sa dimension d’Hausdorff.

On se restreint au cas où X ⊂ R^{n} et ou S est une famille de similitudes. Le but de cette partie est de montrer que, sous certaines condition de séparabilité, le compact K est auto-similaire, et que sa dimension d’Hausdorff est le réel D tel que

∑_{i=1}^{i=n} r_{i}^{D} = 1, r_{i} = Lip(S_{i})

.

5.1 définition

Definition 5.1.1 Mesure d’Hausdorff de dimension k:

E ⊂ X , H^{k}(E) = \underline{lim}_{δ→0} [∑_{i=1}^{∞} α_{k}2^{−k} (diam(E_{i})^{k}; E ⊂ ⋃_{i=1}^{∞} E_{i}, diam(E_{i}) ≤ δ]

Pour E ⊂ R^{n}, cette grandeur reste identitique si on restreint l’ensemble des E_{i} à des convexes où des ouverts, des fermés, des boules ...

Definition 5.1.2 Dimension d’Hausdorff: Soit E ⊂ R^{n}, la dimension d’Hausdorff de E est le réel k tel que,

α < k ⇒ H^{α}(E) = ∞ , α > k ⇒ H^{α}(E) = 0

H^{k}(E) peut prendre toutes les valeurs de [0, ∞].

H^{0} est la mesure de comptage et H^{n} est la mesure de Lebesgue dans R^{n}. Les fractales ont une dimension non entière. Ceci permet de définir l’autosimilarité.

Definition 5.1.3 Un ensemble K est autosimilaire (selon S) si:

(i) K est S-invariant. (ii) H^{k} > 0, H^{k}(K_{i} ∩ K_{j}) = 0 pour i ≠ j, où k = dim(K).

5.2 condition suffisante pour que l’ensemble invariant soit autosimilaire

Definition 5.2.1 Soit K le compact invariant par S. On dit que K obéit à la condition ouverte si il existe un ouvert O tel que: (i)O ⊃ ⋃_{i=1}^{i=N} O_{i}. (ii)O_{i} ∩ O_{j} = ∅ pour i ≠ j.

Cet ensemble O permet de ’séparer’ les K_{i_{1}...i_{N}}. En effet, à cause de la propriété(i), K ⊂ O. Donc

Théorème 5.2.2 (i)K_{i_{1}...i_{p}} ⊂ O_{i_{1}...i_{p}} (ii)K_{i_{1}...i_{p}} ∩ Ō_{j_{1}...j_{p}} = ∅ pour (i_{1}, …, i_{p}) ≠ (j_{1}, …, j_{p}).

Les ’motifs’ de la fractale K ne se recouvrent pas.

Exemple de tel ensemble: dans le cas où S est une famille de homothécies de centre x_{i} et de rapport r. Si ∀(i, j) ∈ [1 … N], i ≠ j ⇒ d(x_{i}, x_{j}) ≥ 2r, alors le compact invariant remplit la condition ouverte.

Mais si ∃(i, j), d(x_{i}, x_{j}) < 2r, alors K peut ne pas remplir cette condition. Cet exemple est illustré dans les simulations numériques.

Théorème 5.2.3 Si K obéit à la condition ouverte, alors K est autosimilaire, et la dimension d’Hausdorff de K est D tel que ∑_{i=1}^{i=N} r_{i}^{D} = 1

Pour démontrer ce théorème, on utilise la densités supèrieure et infèrieure de la mesure invariante sur K.

Definition 5.2.4 Soit μ une mesure sur E. La densité supérieure de μ au point e ∈ E est la grandeur:

θ_{k}^{∗}(μ, e) = \overline{lim}_{r→0} \frac{μ(B(e, r))}{r^{k} α_{k}}

La densité inférieure de μ au point e ∈ E est:

θ_{∗}^{k}(μ, e) = \underline{lim}_{r→0} \frac{μ(B(e, r))}{r^{k} α_{k}}

Ces grandeurs sont très utiles car elles permettent d’encadrer H^{k}(K).

Théorème 5.2.5 Dans le cas oú ∀a ∈ A , 0 < λ_{1} ≤ θ_{∗}^{k}(μ, a) ≤ λ_{2} < ∞ on a:

2^{−k}λ_{2}^{−1}μ(A) ≤ H^{k}(A) ≤ λ_{1}^{−1}μ(A)

Démonstration: On recouvre A avec un minimum de boules de rayon r.

μ(A) ≤ ∑_{i} B(x_{i}, r) = λ ∑_{i} α_{k}r^{k} = 2^{k}λ ∑_{i} α_{k}(diam(B(xi, r)))^{k}.

H^{k}(A) ≤ ∑_{i} H^{k}(A ∩ B(x_{i}, r)) ≤ \frac{μ(A)}{μ(B(x_{i}, r))} α_{k}r^{k}.

Les B(x_{i}, r) sont pris comme les E_{i} de la définition, ce qui ne change pas la mesure d’Hausdorff obtenue.

Donc pour montrer que D est bien la dimension d’Haussdorff de K, il suffit de montrer ceci:

Théorème 5.2.6 Soit μ la mesure de M^{1} invariante sur K pour ρ_{i} = r_{i}^{D}. Si K rempli la condition ouverte alors on a:

∀a ∈ A 0 < λ_{1} ≤ θ_{∗}^{D}(μ, a) ≤ λ_{2} < ∞

Nous ne donnerons ici que le principe de la démonstration.

Borne supérieure:On note μ_{i} = r_{i}^{D}Si♯μ. Soit I l’ensemble des sequences i_{1} … i_{q} tels que min(r_{i})ρ ≤ r_{i_{1}} … r_{i_{q}} ≤ ρ . On montre que

∑_{i_{1}...i_{q}} μ_{i_{1}...i_{q}} = μ

en utilise les ouverts O_{i_{1}...i_{q}} pour montrer que seul un nombre fini de K_{i_{1}...i_{q}} rencontrent B(a, ρ). Or Masse(μ_{i_{1}...i_{q}}) ≤ ρ^{D}.

Borne inférieure: pour k = k_{i_{1}...i_{q}...} on choisit le plus petit q tel que K_{i_{1}...i_{q}} ⊂ B(k, r). Alors

\frac{μ(B(e, r))}{r^{D} α_{D}} ≥ \frac{μ(K_{i_{1}...i_{q}})}{r^{D}α_{D}}

≥ \frac{min(r_{i})^{D}}{(diam(K))^{D}α_{D}}

finalement 0 < H^{D}(K) < ∞, donc dim(K)=D.

Il est ensuite très facile de montrer que K est autosimilaire:

∑_{i=1}^{i=N} H^{D}(K_{i}) = ∑_{i=1}^{i=N} r_{i}^{D}H^{D}(K) = H^{D}(K)

Donc H^{D}(K_{i} ∩ K_{j}) = 0 si i ≠ j.

Le principe d’auto-similarité est illustré par les simulations numériques. On a utilisé des famille de similitudes dans le plan. Si D ≥ 2, le compact est ’plein’ (dim(K)=2). Si les rapports des homothécies sont bien choisis, alors le compact présente l’aspect typique d’une fractale, et semble identique quel que soit le grossissement employé.

5.3 dernière caractérisation de la mesure invariante

Théorème 5.3.1 Pour un compact K invariant par S et vérifiant la condition ouverte (donc autosimilaire), la mesure invariante ∥S, ρ∥ où ρ_{i} = r_{i}^{D} est H^{D}(K)^{−1} × H^{D}⌞K. H^{D}⌞K est la mesure telle que ∀A ∈ X, H^{D}⌞K(A) = H^{D}(A ∩ K).

En effet, H^{D}⌞K = ∑_{i=1}^{i=N} H^{D}⌞K_{i} = ∑_{i=1}^{i=N} r_{i}^{D} S_{i}♯(H^{D}⌞K). //

mesure d’Hausdorff et mesure invariante coincident sur K!

6 Conclusion

A partir de transformations simples (des contractions), il est possible de fabriquer des ensembles complexes (des fractales), sur lesquels on possède malgré tout un grand nombre d’informations:

- On défini pour ces objets une dimension non entière.

- On peut trouver sur ces ensembles une mesure invariante qui contitue une sorte de généralisation de la mesure de Lebesgue sur R^{n}.

- A une observation trés intuitive de l’auto-similarité (la partie identique au tout) correspond une définition beaucoup plus rigoureuse, ensembliste (ensemble invariant) et probabiliste (mesure invariante).

Références

[1] John E. HUTCHINSON Fractal and Self-similarity , indiana journal of Math, pp 712-747, 1980

[2] H. FEDERER Geometric Measure Theory , Springer-Verlag, New York, 1967