LE SPECTRE D’UNE VARIÉTÉ RIEMANNIENNE.

LAURENT BERGER et ARNAUD CHÉRITAT

1. Le spectre d’un tore plat et la fonction thêta de Jacobi

1.1. Réseaux de ℝ^{n}. On appelle réseau un sous groupe discret de ℝ^{n}, et on considère ici des réseaux de rang maximal. Soit Γ un tel réseau. On appelle tore plat l’ensemble quotient M = ℝ^{n}/Γ, muni de sa structure naturelle de variété. Le réseau dual de Γ, noté Γ^{∗} est défini par

Γ^{∗} = {x ∈ ℝ^{n}|(x, y) ∈ ℤ, ∀y ∈ Γ}

Le volume de Γ, vol(Γ), est le volume d’un domaine fondamental de Γ. Le lecteur pourra vérifier les relations vol(Γ) · vol(Γ^{∗}) = 1 et (Γ^{∗})^{∗} = Γ.

1.2. Séries de Fourier et laplacien. On identifie les fonctions définies sur M aux fonctions Γ-périodiques de ℝ^{n}, ce qui permet de les manipuler aisément. On peut notamment, pour f ∈ C^{∞}(M), écrire le développement de Fourier de f :

f(x) = ∑_{y∈Γ^{∗}} a_{y}e^{2iπ(x,y)}

On a alors les formules suivantes :

∂_{j}f(x) = 2iπ ∑_{y∈Γ^{∗}} a_{y}y_{j}e^{2iπ(x,y)}

et le laplacien de f, défini par la formule : Δf = − ∑ ∂_{ii}f s’écrit

Δf(x) = 4π^{2} ∑_{y∈Γ^{∗}} a_{y}|y|^{2}e^{2iπ(x,y)}

On appelle valeur propre du laplacien les λ ∈ ℝ tels qu’il existe f ∈ C^{∞}(M), f non nulle, telle que Δf = λf. On note spec(M) l’ensemble des valeurs propres de Δ. On les déduit facilement des calculs précédents : Δ(f) = λf implique

4π^{2} ∑_{y∈Γ^{∗}} a_{y}|y|^{2}e^{2iπ(x,y)} = λ ∑_{y∈Γ^{∗}} a_{y}e^{2iπ(x,y)}

d’où a_{y}λ = a_{y}4π^{2}|y|^{2}, pour tout y. Si l’un des a_{y} est non nul alors λ = 4π^{2}|y|^{2}, et la multiplicité de λ, égale à dim ker(Δ − λI), vaut card{y ∈ Γ^{∗} | |y|^{2} = λ/(4π^{2})}, une base orthonormale de fonctions propres pour λ étant donnée par

\{f_{y}(x) = e^{2iπ(x,y)}/\sqrt{vol(Γ)}, y ∈ Γ^{∗}, |y|^{2} = λ/(4π^{2})\} = E_{λ}

1.2.1. Remarque. Le noyau de Δ est l’ensemble des fonctions constantes.

Date: 20 Mai 1996 .

Sujet proposé par Antoine Chambert-Loir .

1.3. Équation de la chaleur sur le tore. On s’intéresse ici à l’équation de la chaleur sur M. Étant donnée une distribution de chaleur h(x), on cherche une fonction u(t, x) vérifiant :

\begin{cases}(∂/∂t + Δ)u(t, x) = 0 \\ u(0, x) = h(x) \end{cases}

La solution d’une telle équation est fournie par le noyau de la chaleur :

u(t, x) = ∫_{M} k(t, x, y)h(y)dy pour t > 0

avec, comme on le vérifiera :

k(t, x, y) = ∑_{λ∈spec(M)} ∑_{ϕ_{λ}∈ker(Δ−λI)} e^{−λt}ϕ_{λ}(x)\overline{ϕ_{λ}(y)}

(les ϕ_{λ} formant une base orthonormale de vecteurs propres). Ceci correspond à dire que u(t, x) = e^{−tΔ}h(x), qui vérifie clairement l’équation de la chaleur. Dans notre cas le noyau de la chaleur s’écrit alors

k(t, x, y) = \frac{1}{vol(Γ)} ∑_{v∈Γ^{∗}} e^{−4π^{2}|v|^{2}t+2iπ(v,x−y)}

Quand t > 0 on a trivialement (∂/∂t+Δ_{x})k(t, x, y) = 0 donc (∂/∂t+Δ_{x})u(t, x) = 0 en dérivant sous le signe somme. De plus si h(x) = ∑_{v∈Γ^{∗}} a_{v}e^{2iπ(x,v)} (on se limite au cas où h est C^{1}) alors

u(t, x) = ∑_{v∈Γ^{∗}} a_{v}e^{−4π^{2}|v|^{2}t+2iπ(v,x)}

et on a u(t, x) →_{t→0} h(x).

1.4. Fonction de partition et développement asymptotique. On s’intéresse maintenant à la trace de l’opérateur e^{−tΔ} qui vaut Z(t) = tr(e^{−tΔ}) = ∫_{M} k(t, x, x)dx. Z(t) est appelée fonction de partition. On a ici

Z(t) = ∑_{v∈Γ^{∗}} e^{−4π^{2}|v|^{2}t}, t > 0

et le lecteur aura reconnu la fonction thêta de Jacobi, généralisée à n dimensions. Nous allons calculer le développement asymptotique de Z(t) en 0, et pour cela nous avons besoin de la formule sommatoire de Poisson :

1.4.1. Théorème. Soit f ∈ C^{∞}(ℝ^{n}, ℂ) à décroissance rapide, Γ un réseau de rang maximal, et f̂(y) = ∫_{ℝ^{n}} e^{−2iπ(x,y)}f(x)dx sa transformée de Fourier. On a l’identité suivante, dite de Poisson :

∑_{x∈Γ} f(x) = \frac{1}{vol(Γ)} ∑_{y∈Γ^{∗}} f̂(y)

1.4.2. Preuve. Soit g(x) = ∑_{v∈Γ} f(x + v). g est Γ-périodique et C^{∞}, car f est à décroissance rapide. On peut donc écrire son développement de Fourier

g(x) = ∑_{w∈Γ^{∗}} a_{w}e^{2iπ(x,w)}  où  a_{w} = \frac{1}{vol(Γ)} ∫_{D} e^{−2iπ(x,w)}g(x)dx = \frac{1}{vol(Γ)}f̂(w)

D étant un domaine fondamental de Γ (∑_{v∈Γ} (v + D) = ℝ^{n}) On a donc

∑_{x∈Γ} f(x) = g(0) = ∑_{w∈Γ^{∗}} a_{w} = \frac{1}{vol(Γ)} ∑_{y∈Γ^{∗}} f̂(y)

En appliquant ce résultat à la fonction f(x) = e^{−4π^{2}|x|^{2}t}, pour laquelle f̂(y) = (4πt)^{−n/2}e^{−|y|^{2}/4t} on trouve :

Z(t) = ∑_{v∈Γ^{∗}} e^{−4π^{2}|v|^{2}t} = \frac{1}{vol(Γ^{∗})} \frac{1}{(4πt)^{n/2}} ∑_{y∈Γ} e^{−|y|^{2}/4t}

= \frac{vol(Γ)}{(4πt)^{n/2}} ∑_{y∈Γ} e^{−|y|^{2}/4t} = \frac{vol(Γ)}{(4πt)^{n/2}} (1 + o(t^{k}))

ceci pour tout k, quand t → 0^{+}.

1.5. Conclusion. Donc la seule connaissance du spectre du laplacien nous fournit des invariants tels que la dimension et le volume. Dans un cadre plus général, etant donnés une variété M et l’opérateur de Laplace-Beltrami, on peut se demander si la connaissance de son spectre, équivalente à celle de la fonction Z(t) = ∑ e^{−λ_{i}t}, si celle-ci est définie, suffit à caractériser M, ou à en fournir des invariants intéressants. Le spectre du laplacien donnant le volume du tore, il est en outre naturel de se placer dans un cadre riemannien.

2. Variété riemannienne, opérateur de Laplace-Beltrami

2.1. Structure riemannienne sur une variété. Soit M une variété différentiable, sans bord, T M et T^{∗}M les fibrés tangents et cotangents. Une structure riemannienne sur M est la donnée pour tout x ∈ M d’un produit scalaire euclidien sur l’espace T_{x}M, variant de manière C^{∞} avec x. Ce produit scalaire permet d’identifier vecteurs et 1-formes. On note Γ(T M), Γ(T^{∗}M) les sections C^{∞} de ces fibrés. À h ∈ Γ(T M) on associe h^{♭} dans Γ(T^{∗}M) grâce à l’isomorphisme usuel entre un espace euclidien et son dual, et l’isomorphisme réciproque qui à une 1-forme associe un champ de vecteurs est noté w → w^{♯}. Pour rappeler la structure riemannienne, on note la variété (M, g).

2.2. Mesure et intégration sur (M, g). Soient (U, ϕ) une carte pour (M, g), et ξ^{1}, …, ξ^{n} les coordonnées associées, et g_{U,ϕ}(m) = dϕ_{m} · g(m) la matrice de g transportée par ϕ et

μ_{U,ϕ} = | det(g_{U,ϕ}(m))|^{1/2}dξ^{1} ⋯ dξ^{n}

qui est une mesure positive sur ℝ^{n}. Son image réciproque ν_{U,ϕ} = ϕ^{∗}μ_{U,ϕ} est une mesure positive sur (M, g), qui ne dépend pas de la carte choisie et on définit ainsi une mesure positive sur (M, g). Cette mesure ν est appellée mesure canonique sur (M, g). Si (M, g) est compacte, elle est alors de mesure finie.

2.3. Structures hilbertiennes sur Γ(T M) et Γ(T^{∗}M). Soient f, h des fonctions sur (M, g). On définit le produit scalaire (f, h) = ∫_{M} f(x)h(x)ν(dx), quand cette intégrale existe. On peut donc parler de l’espace L^{2}(M), qui est ainsi muni d’un produit scalaire.

Si X, Y sont des champs de vecteurs sur (M, g), leur produit scalaire est défini par (X, Y) = ∫_{M} (X(x), Y (x))_{g}ν(dx) et enfin si x, y sont des 1-formes, (x, y) = (x^{♯}, y^{♯}).

Les espaces vectoriels C^{∞}(M), Γ(T M), Γ(T^{∗}M), deviennent alors des espaces préhilbertiens, et on définit naturellement leurs complétés L^{2}(M),L^{2}(T M),L^{2}(T^{∗}M). Si (M, g) est compacte, on a les inclusions C^{∞}(M) ⊂ L^{2}(M), etc …

2.4. Structure métrique sur (M, g). Soient m, m′ ∈ M. On note C(m, m′) = {c ∈ C^{1}([0, 1], M)|c(0) = m, c(1) = m′}. Pour c ∈ C(m, m′), soit L(c) = ∫_{0}^{1} ∥ċ(t)∥dt la longueur de la courbe, et d(m, m′) = inf_{c∈C(m,m′)}L(c)

2.4.1. Proposition. d est une distance sur (M, g), qui définit une topologie coïncidant avec la topologie naturelle de la variété (M, g).

2.5. L’opérateur de Laplace-Beltrami. La définition naturelle du laplacien sur ℝ^{n} est Δf = − div(grad(f)). On va étendre cette définition aux f ∈ C^{∞}(M).

Tout d’abord, on pose grad(f) = df^{♯}. Ensuite, pour ξ ∈ Γ(T M), on définit div ξ ∈ C^{∞}(M) par d(ξ⊔ω) = div ξ·ω où ω est une n-forme, et ξ⊔ω(x_{1}, ⋯, x_{n−1}) = ω(ξ, x_{1}, ⋯, x_{n−1}). Un calcul immédiat montre que la divergence est indépendante du choix de ω.

Pour α ∈ Γ(T^{∗}M), on définit δα ∈ C^{∞}(M) par δα = − div(α^{♯}).

2.5.1. Proposition. Pour f ∈ C^{∞}(M), ξ ∈ Γ(T M), α ∈ Γ(T^{∗}M), on a div(fξ) = f · div ξ + df(ξ) et si M est compacte (df, α) = (f, δα). Ainsi d possède un adjoint pour L^{2}.

Pour f ∈ C^{∞}(M), on définit enfin : Δf = δ(df).

Dans les coordonnées locales x^{i} on a alors, en notant g_{ij} = (∂/∂x^{i}, ∂/∂x^{j}), g^{ij} la matrice inverse de g_{ij}, θ = \sqrt{det(g_{ij})} :

div(ξ) = \frac{1}{θ} ∑_{i} \frac{∂(θξ^{i})}{∂x^{i}},  δα = −\frac{1}{θ} ∑_{i,j} \frac{∂(θg^{ij}α_{j})}{∂x^{i}},  Δf = −\frac{1}{θ} ∑_{i,j} \frac{∂(θg^{ij} \frac{∂f}{∂x^{j}})}{∂x^{i}}

2.5.2. Remarque. On voit sur cette expression que l’opérateur différentiel Δ est elliptique, ce qui signifie que c’est un polynôme à coefficients variables en les ∂/∂x^{i}, dont les termes de plus haut degré forment un polynôme réel homogène défini positif.

2.5.3. Proposition. Si M est compacte et f, g ∈ C^{∞}(M) on a (Δf, g) = (f, Δg) et (Δf, f) = ∥df∥^{2}, c’est à dire que le laplacien est un opérateur autoadjoint défini positif sur l’ensemble des fonctions f de valeur moyenne nulle (ce qui s’écrit aussi (f, 1)_{L^{2}(M)} = 0).

2.6. Dérivée covariante. On désire donner une notion de vecteur dérivé en un point m d’un champ de vecteur Y selon une direction donnée X(m). Il n’y a pas de telle notion qui soit canonique en la seule donnée de la structure différentiable de la variété. (On voit aisément que cette notion est équivalente à se donner une identification, dite connexion, entre deux espaces tangents infiniment proches en m et m + X(m) · dt). Pour des raisons pratiques, nous allons plutôt définir la dérivée covariante du champ de vecteurs Y selon le champ de vecteurs X, c’est à dire en tout point de M à la fois.

2.6.1. Proposition. Il existe une et une seule application bilinéaire, appelée connexion canonique, D : Γ(T M)×Γ(T M) → Γ(T M) : X, Y → D_{X}Y ayant les propriétés suivantes :

1. D_{X}Y − D_{Y} X = [X, Y] (absence de torsion)

2. X.(Y, Z) = (D_{X}Y, Z) + (Y, D_{X}Z) (la connexion est une isométrie, c’est la règle de Leibniz ; X.f(m) désigne la dérivée de f selon x, ie d_{m}f(X(m))).

2.6.2. Définition. On notera dans un système de coordonnées x^{i}, D_{∂/∂x^{j}}∂/∂x^{k} = ∑_{i} Γ_{j}^{i}_{k}(∂/∂x^{i}), noté dans la suite avec la convention d’Einstein, c’est à dire que nous sous-entendrons le signe somme sur les indices apparaissant à la fois en indices supérieurs et inférieurs. On retrouve ainsi le lien avec la définition usuelle des variétés riemanniennes en termes de symboles de Christoffel (les Γ_{j}^{i}_{k}).

2.7. Géodésiques et exponentielle. Soient m, m′ ∈ (M, g). On cherche les arcs minimisants allant de m à m′, c’est à dire les c ∈ C(m, m′) tels que L(c) = d(m, m′). En écrivant l’équation aux variations pour L(c), on trouve une équation différentielle d’ordre 2. On appelle arc géodésique toute courbe c vérifiant cette équation, qui a la forme

\frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} + Γ_{i}^{j}_{k} \frac{dξ^{i}}{dt} \frac{dξ^{k}}{dt} = 0

dans un système de coordonneés ξ^{i}.

Notons qu’une telle courbe n’est plus nécessairement minimisante. Le théorème de Cauchy-Lipschitz et celui des fonctions implicites entraînent la

2.7.1. Proposition. ∀m ∈ M, x ∈ T_{x}M il existe un et un seul arc géodésique maximal c, tel que c(0) = m, ċ(0) = x. De plus, il existe ϵ tel que sur B_{ϵ} = {x ∈ T_{m}M | |x| < ϵ}, c est défini sur [0, 1] et l’application

exp_{m} : T_{m}M_{x} →_{→} M_{c(1)}

est un difféomorphisme de B_{ϵ} sur son image. Enfin si M est compacte, on peut choisir ϵ indépendemment de m ∈ M, et alors il existe η > 0 tel que B(m, η) ⊂ exp_{m}(B_{ϵ}) pour tout m ∈ M.

2.8. Le laplacien d’une fonction radiale. Soit f définie sur une boule B(m, ϵ), ϵ petit, telle que f(x) = ϕ(r), où on pose r = d(m, x). Soit θ(x) = θ(m, x) = det(d_{y} exp_{m}) où y = exp_{m}^{−1}(x). Soit θ′ = ∂θ/∂r. On a alors la formule suivante :

Δf = −ϕ′′ − ϕ′(\frac{θ′}{θ} + \frac{n − 1}{r})

3. Décomposition spectrale du laplacien

Dans toute la suite, on considère une variété riemanienne (M, g) compacte.

3.1. Introduction.

3.1.1. Définition. Le spectre de (M, g) est l’ensemble des valeurs propres du laplacien, noté Spec(M).

Nous allons démontrer le

3.1.2. Théorème. Le spectre de (M, g) forme une suite λ_{0} = 0 < λ_{1} < λ_{2} < …, tendant vers +∞. Pour tout λ ∈ Spec(M), le sous espace propre E_{λ} associé à Δ dans C^{∞}(M) est de dimension finie, notée m_{i}.

Pour cela, nous allons appliquer la théorie spectrale des opérateurs compacts à (I + Δ)^{−1} et pour cela nous devons nous placer sur des espaces de Hilbert.

Remarquons que (M, g) étant compacte, une fonction est L^{2} si et seulement si elle est localement L^{2}, c’est à dire ∀x ∈ M, il existe une carte (U, ϕ) telle que f ∘ ϕ · (d(ϕ_{∗}ν)/dλ) est L^{2} sur ϕ(U) (λ étant la mesure de Lebesgue sur ℝ^{n}). Ainsi nous allons étendre sur ce modèle les définitions des espaces de Sobolev sur ℝ^{n}/ℤ^{n} aux espaces de Sobolev sur (M, g).

3.2. Cas du tore T = ℝ^{n}/ℤ^{n}.

3.2.1. Définition. Pour f ∈ L^{2}(T), et s ∈ ℕ, soit ∥f∥_{s}^{2} = ∑_{ξ∈ℤ^{n}} (1 + |ξ|^{2})^{s}|f̂(ξ)|^{2} où les f̂(ξ) sont les coefficients de Fourier de f.On définit H^{s}(T) comme l’ensemble des fonctions L^{2} dont la norme ∥ · ∥_{s} est finie.

3.2.2. Proposition. On a les propriétés élémentaires suivantes :

1. H^{s}(T), muni de la norme ∥ · ∥_{s}, est un espace vectoriel normé.

2. H^{s}(T) ⊂ H^{r}(T), pour s ⩾ r ⩾ 0

3. H^{0}(T) = L^{2}(T) : en effet la formule de Parseval dit exactement ∥f∥_{0}^{2} = ∥f∥_{L^{2}}^{2} 4. C^{s}(T) ⊂ H^{s}(T), et pour f ∈ C^{s}(T), les normes ∥f∥_{s}, et ∑_{|j|⩽s} ∥∂^{j}f∥_{L^{2}} (ou

la racine carrée de la somme des carrés, c’est équivalent) sont équivalentes.

3.2.3. Preuve. (du troisième point) on a l’identité ˆ∂^{j}f(ξ) = (iξ)^{j}f̂(ξ). D’après Parseval, ∥∂^{j}f∥_{L^{2}}^{2} = ∑ |f̂(ξ)(iξ)^{j}|^{2}, il suffit de développer (1+|ξ|^{2})^{s} pour en déduire l’équivalence annoncée.

3.2.4. Proposition. On a ensuite trois lemmes fondamentaux (et simples dans le cas du tore) :

1. H^{s+1+⌊n/2⌋}(T) ⊂ C^{s}(T) (Sobolev).

2. H^{s}(T) est le complété de C^{s}(T) pour le produit scalaire hilbertien ⟨f, g⟩_{s} = ∑_{ξ∈ℤ^{n}} (1 + |ξ|^{2})^{s}f̂(ξ)\overline{ĝ(ξ)}.

3. l’inclusion de (H^{s}(T), ∥ · ∥_{s}) dans (H^{r}(T), ∥.∥_{r}) pour s > r ⩾ 0 est compacte, ce qui signifie ici que la boule unité de H^{s}(T) est d’adhérence compacte dans H^{r}(T) (Rellich).

3.3. Cas général. Construction : nous allons ici prendre un atlas fini pratique de la variété (M, g) : il existe une famille d’ouverts (U_{α})_{α∈A} finie avec : U_{α} ⊂ \overline{U_{α}} ⊂ V_{α} ⊂ M, ⋃_{α∈A} U_{α} = M, (V_{α}, ψ_{α})_{α∈A} est un atlas de M, ψ_{α}(V_{α}) est un ouvert de ℝ^{n} d’adhérence compacte. Quitte à diminuer, on peut considèrer que U_{α} ⊂ (0, 1)^{n}. Soit p_{α} une partition de l’unité C^{∞} subordonnée aux U_{α} : 1 ⩾ p_{α} ⩾ 0, p_{α} est nul en dehors de U_{α} et ∑_{α} p_{α}(x) = 1, ∀x ∈ M.

3.3.1. Définition. H^{s}(M) est l’ensemble des fonctions f ∈ L^{2}(M) telles que ∀α ∈ A, (p_{α}f)∘ϕ_{α}^{−1} ∈ H^{s}(T) où (p_{α}f)∘ϕ_{α}^{−1} est définie sur ϕ_{α}(U_{α}) et prolongée à T tout entier par 0, convention qui sera sous-entendue dans la suite.

La compacité de (M, g) et les propriétés des espaces de Sobolev dans le cas du tore entraînent :

3.3.2. Proposition.

1. H^{s}(M) ⊂ H^{r}(M) pour s ⩾ r ⩾ 0, H^{0}(M) = L^{2}(M).

2. H^{1+s+⌊n/2⌋}(M) ⊂ C^{s}(M) ⊂ H^{s}(M).

3. H^{s}(M) est le complété de C^{s}(M) pour le produit scalaire

⟨f, g⟩_{s} = ∑_{α∈A} ((p_{α}f) ∘ ϕ_{α}^{−1}, (p_{α}g) ∘ ϕ_{α}^{−1})_{H^{s}(T)}

4. l’injection H^{s}(M) → H^{r}(M) où s > r ⩾ 0 est compacte.

3.3.3. Remarque. L’entier s étant fixé, le produit scalaire ⟨·, ·⟩_{s} n’est pas indépendant du choix de l’atlas, mais deux choix différents donnent deux normes équivalentes, donc les espaces de Sobolev ne dépendent pas de ces choix.

L’espace C^{1}(M) est dense dans H^{1}(M). La différentielle d : (C^{1}(M), ∥ · ∥_{H^{1}}) → (Γ^{0}(T^{∗}M), ∥ · ∥_{L^{2}}) est continue, donc se prolonge en une application continue d : H^{1}(M) → L^{2}(T^{∗}M). De même C^{2}(M) est dense dans H^{2}(M), Δ est continu de C^{2}(M) dans L^{2}(M), donc on prolonge Δ à H^{2}(M) tout entier. Par continuité, on a les propriétés : ∀f ∈ H^{2}(M), ∀g ∈ H^{1}(M), (Δf, g) = (df, dg) et ∀f, g ∈ H^{2}(M), (Δf, g) = (f, Δg).

3.3.4. Définition (Produit scalaire de Dirichlet). pour f, g ∈ H^{1}(M), on définit ⟨f, g⟩_{D} = (f, g)_{L^{2}(M)} + (df, dg)_{L^{2}}

3.3.5. Remarque. On a les équivalences suivantes :

1. La norme L^{2} est équivalente à la norme de Sobolev ∥ · ∥_{H^{0}(M)}

2. La norme de Dirichet est équivalente à la norme ∥ · ∥_{H^{1}(M)} 3.3.6. Proposition (Lemme de régularisation). Si g ∈ H^{s}(M) et f ∈ L^{2}(M), Δf = g au sens des distributions, alors f ∈ H^{s+2}(M). Dans notre cas précis, Δf = g au sens des distributions signifie : ∫_{M} (f, Δϕ) = ∫_{M} (g, ϕ), ∀ϕ ∈ C^{∞}(M)

Il s’agit d’une conséquence du caractère elliptique du laplacien (Cf 2.5.2).

3.3.7. Remarque. Ce théorème est vrai dans un cadre beaucoup plus général. Il va nous permettre de manipuler le laplacien, et de nous restreindre à l’espace C^{∞}(M).

3.4. Démonstration du Théorème spectral. Soit ϕ ∈ L_{2} : Le produit scalaire L^{2}

H^{1}(M)_{η} →_{→} ℝ_{(ϕ,η)}

est continu pour la norme H^{0}(M) donc a fortiori pour la norme H^{1}(M) donc il existe un unique ψ ∈ H^{1}(M) tel que ∀η ∈ H^{1}(M), (ϕ, η) = ⟨ψ, η⟩_{D} = (ψ, η) + (dψ, dη). En particulier, pour η ∈ C^{∞}(M), (ϕ, η) = (ψ, (I + Δ)η) (ce qui se dit (ϕ, η) = ((I + Δ)ψ, η), donc ϕ = (I + Δ)ψ au sens des distributions). Donc Δψ = ϕ − ψ au sens des distributions, or ϕ − ψ ∈ H^{0}(M) donc, d’après le lemme de Régularisation, ψ ∈ H^{2}(M). On note T (ϕ) = ψ.

Nous avons ainsi construit un opérateur T : H^{0}(M) → H^{2}(M) tel que (I+Δ)T = id_{H^{0}(M)}. T est linéaire car ψ est unique. ∀ϕ ∈ L^{2}(M), ∥T ϕ∥_{D}^{2} = ⟨T ϕ, T ϕ⟩_{D} = ⟨ψ, ψ⟩ = (ψ, ψ) + (dψ, dψ) = ((I + Δ)ψ, ψ) = (ϕ, ψ) ⩽ ∥ϕ∥_{L^{2}}∥ψ∥_{L^{2}} donc ∥T ϕ∥_{D}^{2} ⩽ ∥ϕ∥_{L^{2}}∥T ϕ∥_{L^{2}} ⩽ ∥ϕ∥_{L^{2}}∥T ϕ∥_{D} et enfin ∥T ϕ∥_{D} ⩽ ∥ϕ∥_{L^{2}} Donc, d’après le théorème d’injection compacte et 3.3.5 : T est un opérateur compact.

1. T est injectif car (I + Δ)T = I.

2. T est autoadjoint car ∀a, b ∈ L^{2}(M), (T a, b) = (T a, (I + Δ)T b) = ((I + Δ)T a, T b) = (a, T b).

3. T est positif : ∀a ∈ L^{2}(M), (T a, a) = (T a, (I + Δ)T a) = ∥T a∥^{2} + ∥dT a∥^{2} ⩾ 0

Donc T, vu comme opérateur de L^{2}(M) dans L^{2}(M) vérifie les conclusions du théorème spectral des opérateurs autoadjoints compacts (et injectifs) sur un espace de Hilbert de dimension infinie : notons σ(T) l’ensemble des λ ∈ ℂ tels que T − λI soit non inversible : on a alors

1. σ(T) \ {0} = {λ ∈ ℂ^{∗} | T − λI est non injectif}

2. σ(T)\{0} est un ensemble discret infini de réels μ_{1} ⩾ μ_{2} ⩾ … > 0 convergeant vers zéro

3. Il existe une base hilbertienne (ϕ_{i})_{i∈ℕ} de L^{2}(M) de vecteurs propres : T ϕ_{i} = μ_{i}ϕ_{i}.

De plus, ker(T − μ_{i}I) est de dimension finie.

Montrons qu’en fait, ϕ_{i} ∈ C^{∞}(M) : en effet ϕ_{i} ∈ L^{2}(M), et ν_{i}ϕ_{i} = (I + Δ)ϕ_{i} avec ν_{i} = 1/μ_{i}. D’après le lemme de régularisation, supposons que ϕ_{i} ∈ H^{s}(M), alors Δϕ_{i} = ν_{i}ϕ_{i} − ϕ_{i} donc ϕ_{i} ∈ H^{s+2}(M). Conclusion : ∀s ∈ 2ℕ, ϕ_{i} ∈ H^{s}(M). Donc d’après le lemme de Sobolev, ∀k ∈ ℕ, ϕ_{i} ∈ C^{k}(M). Ainsi ϕ_{i} ∈ C^{∞}(M)

Supposons maintenant que ϕ ∈ C^{∞}(M) \ {0} et Δϕ = λϕ : alors (I + Δ)ϕ = (1 + λ)ϕ donc (1 + λ)T ϕ = T (I + Δ)ϕ = ϕ (en effet, (I + Δ)T (I + Δ)ϕ = I(I + Δ)ϕ donc (I + Δ)(T (I + Δ)ϕ − ϕ) = 0, donc T (I + Δ)ϕ − ϕ = 0, par injectivité de I + Δ sur C^{∞}(M)). D’où λ ≠ −1 et ϕ est un vecteur propre de T sur C^{∞}(M), donc sur L^{2}(M), donc λ est en fait un des λ_{i}, et ϕ une combinaison des ϕ_{i} pour les i tels que λ_{i} = λ.

Ainsi nous avons démontré que Spec(M) est de la forme ν_{0} = 0 < ν_{1} < … avec ν_{i} → +∞ quand i → ∞ et que ∀i ∈ ℕ, le sous espace propre de Δ dans C^{∞}(M) associé à ν_{i} est de dimension finie.

4. L’équation de la chaleur

4.1. Opérateur de la chaleur et solution fondamentale. Sur les fonctions C^{0}(M × ℝ_{+}^{∗}), C^{2} en la première variable et C^{1} en la seconde, on définit l’opérateur de la chaleur :

L = Δ + ∂/∂t

On appelle solution fondamentale de l’équation de la chaleur (SFEC) une fonction E : M × M × ℝ_{+}^{∗} → ℝ, continue, C^{2} en la deuxième variable, C^{1} en la troisième, et qui satisfait en outre :

\begin{cases}L_{2}E = 0 \\ lim_{t→0^{+}}E(m, m′, t) = δ_{m},  ∀m ∈ M \end{cases}

4.2. Existence de la SFEC et parametrix. Sur ℝ^{n}, une SFEC est donnée par E(m, m′, t) = (4πt)^{−n/2}e^{−r^{2}/4t} où r = d(m, m′). Nous allons démontrer le

4.2.1. Théorème. Soit (M, g) une variété compacte connexe. Alors il existe une unique SFEC E(m, m′, t), et on a en outre le développement asymptotique, uniforme en (m, m′) :

E(m, m′, t) ∼_{t→0^{+}} (4πt)^{−n/2}e^{−r^{2}/4t}(u_{0} + u_{1}t + …)

où r = d(m, m′) et u_{i} ∈ C^{∞}(M × M)

4.2.2. Preuve. Soit ϵ > 0 comme en 2.7, et U_{ϵ} = {(m, m′) ∈ M ×M | d(m, m′) < ϵ}. On notera toujours r = d(m, m′). Alors e^{−r^{2}/4t} ∈ C^{∞}(U_{ϵ}). On va s’intéresser aux fonctions de la forme :

S = (4πt)^{−n/2}e^{−r^{2}/4t}(u_{0} + u_{1}t + … + u_{k}t^{k})

avec u_{k} ∈ C^{∞}(U_{ϵ}, ℝ).

Calculons L_{2}S. On pose G = (4πt)^{−n/2}e^{−r^{2}/4t}

\frac{∂S}{∂t} = G((\frac{−n}{2t} + \frac{r^{2}}{4t^{2}} )(u_{0} + u_{1}t + … + u_{k}t^{k}) + u_{1} + u_{2}2t + … + u_{k}kt^{k−1})

Δ_{2}S = Δ_{2}G(u_{0} + u_{1}t + … + u_{k}t^{k}) − 2(d_{2}G, d_{2}u_{0} + d_{2}u_{1}t + … + d_{2}u_{k}t^{k})

+ G(Δ_{2}u_{0} + Δ_{2}u_{1}t + … + Δ_{2}u_{k}t^{k})

Δ_{2}G = −\frac{d^{2}G}{dr^{2}} − \frac{dG}{dr}(\frac{θ′}{θ} + \frac{n − 1}{r}) = (\frac{n}{2t} − \frac{r^{2}}{4t^{2}} )G + \frac{r}{2t} \frac{θ′}{θ} G

(d_{2}G, d_{2}u_{0} + d_{2}u_{1}t + … + d_{2}u_{k}t^{k}) = \frac{dG}{dr}(\frac{∂u_{0}}{∂r} + t\frac{∂u_{1}}{∂r} + … + t^{k} \frac{∂u_{k}}{∂r})

= \frac{r}{2t}G(\frac{∂u_{0}}{∂r} + t\frac{∂u_{1}}{∂r} + … + t^{k} \frac{∂u_{k}}{∂r})

d’où l’on tire

L_{2}S = G[u_{1} + u_{2}2t + … + u_{k}kt^{k−1} + \frac{r}{2t} \frac{θ′}{θ} (u_{0} + u_{1}t + … + u_{k}t^{k})

+ \frac{r}{t} (\frac{∂u_{0}}{∂r} + t\frac{∂u_{1}}{∂r} + … + t^{k} \frac{∂u_{k}}{∂r}) + Δ_{2}u_{0} + Δ_{2}u_{1}t + … + Δ_{2}u_{k}t^{k}]

qui est d’ordre t^{−n/2−1}. Nous allons chercher des u_{i} tels que L_{2}S soit d’ordre t^{k−n/2}, c’est à dire tels que

L_{2}S = (4π)^{−n/2}t^{k−n/2}e^{−r^{2}/4t}Δ_{2}u_{k}

Pour cela, on regarde tout d’abord le coefficient de t^{−n/2−1} qui est

r \frac{∂u_{0}}{∂r} + \frac{r}{2} \frac{θ′}{θ} u_{0}

celui de t^{i−n/2−1} étant plus généralement :

r \frac{∂u_{i}}{∂r} + (\frac{r}{2} \frac{θ′}{θ} + i)u_{i} + Δ_{2}u_{i−1}

quand i ⩾ 1. Pour annuler le coefficient de t^{−n/2−1}, on doit résoudre l’équation

\frac{1}{u_{0}} \frac{∂u_{0}}{∂r} = −\frac{1}{2} \frac{θ′}{θ}

dont une solution évidente est u_{0} = θ^{−1/2}. Par récurrence sur i, on trouve ainsi une équation différentielle satisfaite par u_{i} qui se résout aisément. Pour k > 0, soit donc

S_{k}(m, m′, t) = (4πt)^{−n/2}e^{−r^{2}/4t}(u_{0} + u_{1}t + … + u_{k}t^{k})

définie sur U_{ϵ}. On se donne une fonction η de M × M dans [0, 1], qui vaut 1 sur U_{ϵ/4}, et est nulle en dehors de U_{ϵ/2}. On définit H_{k} = ηS_{k}. Nous allons maintenant voir comment passer simplement de H_{k}, solution approchée de l’opérateur de la chaleur, à E.

4.3. La parametrix. On rappelle que L désigne l’opérateur de la chaleur. On appelle parametrix pour L une fonction H telle que

H ∈ C^{∞}(M × M × ℝ_{+}^{∗})

L_{2}H se prolonge à une fonction continue sur (M × M × ℝ_{+}^{∗})

lim_{t→0^{+}}H(m, m′, t) = δ_{m}, ∀m ∈ M

4.3.1. Proposition. Si k > n/2, H_{k} est une parametrix pour L et de plus si k > ℓ + n/2 alors L_{2}H_{k} se prolonge à une fonction de C^{ℓ}(M×M×ℝ_{+}^{∗}) et ∫_{M} H_{k}(m, q, t)f(p, q) → f(p, m) localement uniformément.

Soient A, B ∈ C^{0}(M × M × ℝ_{+}^{∗}). On définit un produit de convolution

(A ∗ B)(m, p, t) = ∫_{0}^{t} dθ ∫_{M} A(m, q, θ)B(q, p, t − θ)ν(dq)

ce qui donne de nouveau une fonction continue. Le produit ∗ est associatif et on note A^{∗λ} = A ∗ A ∗ … ∗ A, λ fois.

Comme sur U_{ϵ}, H_{k} est une solution approchée de l’équation de la chaleur, on va exprimer E comme une perturbation de H_{k}, c’est à dire trouver une fonction Q_{k} telle que E = H_{k}−Q_{k}∗H_{k}. Dorénavant, on prendra k > n/2+ℓ, avec ℓ ⩾ 2. Posons K_{k} = L_{2}H_{k}. On a alors L_{2}(P ∗ H_{k}) = P + P ∗ K_{k}, et donc L_{2}(H_{k} − Q_{k} ∗ H_{k}) = K_{k} −Q_{k} −Q_{k} ∗K_{k} = K_{k} −Q_{k} ∗(δ +K_{k}) ce qui nous donne, au moins formellement, l’expression de Q_{k} : Q_{k} = K_{k} ∗^{−1} (δ + K_{k}) = K_{k} ∗ (δ − K_{k} + K_{k}^{∗2} − …). On a en effet : pour tout P ∈ C^{0}(M × M × ℝ_{+}^{∗}), la fonction P ∗ H_{k} existe et est continue, C^{ℓ} en la deuxième variable. Enfin on a sur M × M × ℝ_{+}^{∗}, L_{2}(P ∗ H_{k}) = P + P ∗ K_{k}. Ensuite, la fonction

Q_{k} = ∑_{λ=1}^{∞} (−1)^{λ+1}K_{k}^{∗λ}

existe et est C^{ℓ}(M × M × ℝ_{+}^{∗}). En outre on a un majoration de la forme |Q_{k}| = O(t^{k−n/2}) au voisinage de 0. Ceci suffit à établir la 4.3.2. Proposition. E = H_{k} − Q_{k} ∗ H_{k} est une SFEC pour k > n/2 + 2. Cela entraîne que l’on a le développement asymptotique

E(m, m, t) ∼_{t→0^{+}} (4πt)^{−n/2}(u_{0} + u_{1}t + …)

5. Le développement asymptotique de Minakshisundaram-Pleijel

5.1. Unicité de la SFEC. Si la série

F (m, m′, t) = ∑_{λ∈spec(M)} ∑_{ϕ_{λ}∈ker(Δ−λI)} e^{−λt}ϕ_{λ}(m)\overline{ϕ_{λ}(m′)}

converge elle sera alors une solution fondamentale. En effet

5.1.1. Proposition. La série ∑ e^{−λt}ϕ_{λ}(m)\overline{ϕ_{λ}(m′)} converge et est l’unique solution fondamentale. (Gaffney)

5.1.2. Preuve. m ∈ M étant fixé, E(m, ·, t) : M → ℝ s’écrit ∑ f_{i}(m, t)ϕ_{i}(·) avec f_{i}(m, t) = ∫_{M} E(m, m′, t)ϕ_{i}(m′)ν(dm′) ce qui montre que f_{i} est C^{1} par rapport à t. On a notamment ∂f_{i}(m, t)/∂t = −(Δ_{2}E, ϕ_{i}) = −(E, Δ_{2}ϕ_{i}) donc ∂f_{i}(m, t)/∂t = −λ_{i}ϕ_{i} c’est à dire que f_{i}(m, t) = k_{i}(m)e^{−λ_{i}t}. Quand t → 0, f_{i}(m, t) → ϕ_{i}(m) donc k_{i}(m) = ϕ_{i}(m) d’où convergence et égalité.

5.2. La fonction de partition.

5.2.1. Proposition. La fonction Z(t) = ∑_{λ∈spec(M)} e^{−λt}ϕ_{λ}(m)\overline{ϕ_{λ}(m′)} existe et l’on a le développement asymptotique

Z(t) ∼_{t→0^{+}} (4πt)^{−n/2}(a_{0} + a_{1}t + …)

avec

a_{i} = ∫_{M} u_{i}(m, m)ν(dm)

Notamment, Z(t) détermine la dimension de M.

La proposition suivante est une conséquence directe des calculs précédents :

5.2.2. Proposition. On a a_{0} = vol(M), c’est à dire que le spectre de M détermine le volume de la variété.

5.2.3. Preuve. a_{0} = ∫_{M} u_{0}(m, m)ν(dm), et u_{0}(m, m) = θ(m, m) = 1. Donc a_{0} = vol(M).

On peut aussi démontrer

5.2.4. Proposition. En dimension n = 2, le spectre détermine la caractéristique d’Euler. On a la relation : a_{1} = \frac{π}{3} χ(M). χ(M) désigne la caractéristique d’Euler, égale à 2 − 2g, g étant le nombre de ‘trous’ de la surface.

5.3. Le théorème asymptotique de Weyl. La connaissance de l’équivalent asymptotique de Z(t) nous permet de donner une estimation du nombre N(λ), égal au nombre de valeurs propres ⩽ λ (comptées aves multiplicité) du laplacien. Il s’agit du théorème de Weyl :

5.3.1. Théorème. On a l’équivalent suivant :

N(λ) ∼ \frac{Γ(n/2 + 1)}{(4π)^{n/2}} vol(M)λ^{n/2}

Le lecteur pourra montrer ce résultat en appliquant le théorème tauberien de Karamata à Z(t).

5.3.2. Remarque. Dans le cas du tore plat, on retrouve la formule donnant le volume de la boule.

5.4. Le problème inverse. Le problème du calcul des a_{i}, i ⩾ 1, est en général très compliqué. On peut montrer qu’il existe des formules universelles les donnant en fonction des coefficients de la connexion canonique (Γ_{j}^{i}_{k}).De plus, leur connaissance ne suffit pas à déterminer le spectre et, a fortiori, la variété (M, g). Le développement asymptotique de Z(t) pour un tore plat est tout simplement : a_{0} = vol(M), a_{i} = 0 i ⩾ 1. De plus il existe deux tores non isométriques qui ont même spectre (Milnor). La preuve de ce résultat fait appel à la théorie des fonctions modulaires. M-F. Vignéras a trouvé en 1978 deux surfaces de Riemann de genre 201 601 non isométriques ayant même spectre !

6. Bibliographie

Beaucoup des résultats cités ici n’ont pas été démontrés, mais le lecteur devrait trouver dans la liste qui suit de quoi combler ces lacunes. L’exposé est largement inspiré de [1], qui privilégie le point de vue géométrique. Les propriétés analytiques du laplacien sont traitées dans [2, pages 80-100, 373-382]. Des résultats plus récents se trouvent dans l’excellent [3, pages 196-215]. Le théorème de Karamata est démontré dans [4, pages 182-183].

References

[1] M.Berger, P.Gauduchon, E.Mazet. Le spectre d’une variété riemannienne. Springer-Verlag, Lecture notes in mathematics, volume 194, 1971.

[2] P.A.Griffiths, J.Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley, 1978.

[3] S.Gallot, D.Hullin, J.Lafontaine. Riemannian geometry. Springer-Verlag, 1987.

[4] A.Chambert-Loir, S.Fermigier, V.Maillot. Exercices de mathématiques pour l’agrégation, analyse 1. Masson, 1994.