Nombres p-adiques et représentations de GL_{2}

Frédéric Auzende et Isabelle Vidal

20 mai 1996

L’objet de cet exposé est l’étude des représentations de GL_{2}(F), où F est un corps p-adique (ici au sens de nombre p-adique, même si ce qui suit est également vrai pour les corps de caractéristique p), sur des espaces vectoriels. Dans une première partie, nous définissons les nombres p-adiques et donnons quelques-unes de leurs propriétés. Dans la seconde, nous passons à l’étude proprement dite, ce qui, pour nous, consistera essentiellement à prouver qu’on peut se ramener au cas de représentations de groupes plus simples.

1 Nombres p-adiques

1.1 Les entiers p-adiques

Soit p un nombre premier. Pour n ∈ ℕ^{∗} on note A_{n} = ℤ/p^{n}ℤ et p_{n} la projection canonique de ℤ sur A_{n}. On note de même ϕ_{n,n−1} le morphisme naturel de A_{n} sur A_{n−1}.

On a alors évidemment : ϕ_{n,n−1} ∘ p_{n} = p_{n−1} pour n > 1.

On considère également A = ∏_{n=1}^{+∞} ℤ/p^{n}ℤ muni de sa structure d’anneau produit, ainsi que l’application π_{n}, projection canonique de A sur A_{n}. On munit chacun des A_{n} de la topologie discrète et A de la topologie produit, ce qui entraîne leur compacité.

Définition 1 L’anneau ℤ_{p} des éléments a de A qui, pour tout n > 1, vérifient la relation : ϕ_{n,n−1}(π_{n}(a)) = π_{n−1}(a) , est appelé anneau des entiers p-adiques.

Il est clair que l’anneau ℤ_{p} est compact : cela résulte de la compacité de A et de la continuité des applications mises en jeu.

Proposition 1 L’anneau ℤ des entiers relatifs est isomorphe à un sousanneau de ℤ_{p} par le biais de l’application i ainsi définie : i(k) = (p_{n}(k))_{n>0} pour tout k ∈ ℤ.

On notera que pour tout entier k, la suite (π_{n}(k))_{n>0} est constante à partir d’un certain rang.

Proposition 2 Si k ∈ ℤ_{p}, il existe une seule suite (b_{n})_{n∈N}, b_{n} ∈ {0, ...p−1}, telle que la série ∑_{n=0}^{+∞} b_{n}p^{n} converge vers k dans ℤ_{p}.

Définition 2 Cette série est appelée développement de Hensel de k.

Notons au passage que le développement en base p d’un entier positif est égal à son développement de Hensel.

Définition 3 On appelle valuation p-adique la fonction qui, à tout k entier p-adique, associe l’entier naturel : v(k) = Inf{n ∈ ℕ| a_{n} ≠ 0} où (a_{n}) est le développement de Hensel de k.

On notera que si k ∈ ℤ, v(k) = Sup{n ∈ ℕ| p^{n}|k}. Remarquons également que les unités de ℤ_{p} sont les éléments de valuation nulle.

Proposition 3 On a les propriétés suivantes :

i) v^{−1}(+∞) = {0}

ii) pour x,y dans ℤ_{p}, v(xy) = v(x) + v(y)

iii) pour x,y dans ℤ_{p}, v(x + y) ≥ Inf(v(x), v(y)) ; il y a de plus égalité si v(x) ≠ v(y).

Proposition 4 L’anneau ℤ_{p} est intègre.

1.2 Le corps ℚ_{p} des nombres p-adiques

Définition 4 Le corps des fractions de ℤ_{p}, noté ℚ_{p}, qui possède un unique sous-corps isomorphe à ℚ, est appelé corps des nombres p-adiques.

Proposition 5 Tout élément x ∈ ℚ_{p} s’écrit de façon unique sous la forme : x = p^{n}u, où n est un entier relatif et u est inversible dans ℤ_{p}.

Proposition 6 La valuation v définie précédemment sur ℤ_{p} se prolonge sur ℚ_{p} par la relation : x = p^{v(x)}u (où u est une unité de ℤ_{p}). Cette nouvelle application conserve les propriétés de la précédente.

Remarquons que, si x un rationnel non nul, et si v_{p}(x) est l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de x, alors v_{p}(x) est la valuation de l’image de x dans ℚ_{p}.

Une conséquence de la propriété précédente est la :

Proposition 7 L’application définie sur ℚ_{p} par |0| = 0 et |x| = p^{−v(x)} pour x ≠ 0 est une valeur absolue sur ℚ_{p}. En outre, elle vérifie :

|x + y| ≤ Max{|x|, |y|}

ℚ_{p} est donc un espace (ultra)métrique pour la distance d(x, y) = |x − y|.

Soit x ∈ ℚ_{p}, et : V_{n}(x) = {y ∈ ℚ_{p}|v(y − x) ≥ n} pour tout n entier relatif. Dans la topologie définie par la distance p-adique, les boules V_{n}(x) forment une base de voisinage de x. Ces boules sont des ouverts (puisque la valuation est discrète) compacts (homéomorphes à ℤ_{p}).

Proposition 8 Tout élément de ℚ_{p} admet un unique développement de Hensel de la forme ∑_{n=n_{o}}^{+∞} x_{n}p^{n}, où x_{n} ∈ {0, ...p−1} et n_{o} entier. Si a_{n_{o}} ≠ 0, alors n_{o} = v(x).

2 Représentations supercuspidales de GL_{2}

Dans cette partie, on s’intéresse aux représentations de GL_{2}(F), où F est une extension de degré fini de ℚ_{p}. Cette étude (qu’on ne sait d’ailleurs pas mener à terme pour d’autres groupes de matrices) se fait au moyen d’inductions (procédé expliqué ci-dessous) successives. Dans un premier temps, on se ramène par induction élémentaire au cas de représentations dites “admissibles supercuspidales”, qui ne peuvent elles-même être induites de la même façon, puis aux représentations supercuspidales irréductibles (qui ne laissent stable aucun sous-espace par le groupe tout entier). Celles-ci, et ce sera notre conclusion, peuvent elles-mêmes être induites, d’une façon différente, d’autres représentations de groupes plus simples.

2.1 Induction de groupe topologique

Soit G un groupe topologique, H, H_{1}, H_{2} des sous-groupes fermés de G, τ, τ_{1}, τ_{2} des représentations algébriques de H, H_{1}, H_{2} sur W, W_{1}, W_{2}, espaces vectoriels sur ℂ.

Définition 5 Pour x ∈ G, la représentation conjuguée τ^{x} de τ est la représentation de x^{−1}Hx sur W donnée par : τ^{x}(x^{−1}hx) = τ(h) pour tout h ∈ H.

Définition 6 On dit qu’une transformation linéaire A de W_{1} dans W_{2} entrelace τ_{1} et τ_{2} si elle vérifie : Aτ_{1} = τ_{2}A sur H_{1} ∩ H_{2}. On note I(τ_{1}, τ_{2}) l’espace de ces opérateurs.

Définition 7 Deux représentations irréductibles τ_{1} et τ_{2} sont équivalentes si et seulement si I(τ_{1}, τ_{2}) ≠ (0).

Soit à présent W^{G} l’espace des fonctions de G dans W vérifiant pour tout g ∈ G et tout h ∈ H: f(hg) = τ(h)f(g). Soit alors W_{c}^{G} le sous-espace de W^{G} des fonctions à support dans les ensembles dont les images par les classes à droite de G/H sont compactes.

Définition 8 La représentation induite par τ sur G est la représentation τ^{G} de G sur W^{G} donnée par : (τ^{G}(g)f)(x) = f(xg) pour tous x, g ∈ G. De même, la représentation induite de façon compacte (c-induite) de τ sur G est la restriction τ_{c}^{G} de τ^{G} au sous-espace W_{c}^{G} de W^{G}.

Proposition 9 On a la loi de réciprocité de Frobenius : si H est un sousgroupe de G, τ_{1} une représentation de H et τ_{2} de G,

I(τ_{1}, τ_{2|H}) ≃ I(τ_{1c}^{G}, τ_{2})

Citons de plus le théorème suivant :

Théorème 1 Soit G un groupe topologique, H un sous-groupe fermé de G, K un autre sous-groupe de G qui contient un sous-groupe ouvert compact.

Soit L un ensemble d’indices, (x_{l})_{l∈L} un ensemble complet de représentants des doubles classes modulo H et K de G.

Soit σ une représentation de K sur un espace V de dimension finie, et τ une représentation de H sur un espace W quelconque.

Alors il existe un isomorphisme de I(σ_{c}^{G}, τ^{G}) sur le produit direct des espaces I(σ, τ^{x_{l}})(l ∈ L). Si de plus la projection de K sur G/H est compacte, alors cet isomorphisme envoie I(σ_{c}^{G}, τ_{c}^{G}) sur la somme directe des espaces I(σ, τ^{x_{l}}).

2.2 Représentations cuspidales et supercuspidales de GL_{2}

Dans la suite, on considère F, extension de degré fini sur ℚ_{p}, π un élément irréductible de ℤ_{p} (donc de la forme pu avec u inversible) et P l’idéal engendré par π. On pose G = GL_{2}(F) et K = GL_{2}(ℤ_{p}). On note de plus K_{i} le noyau de l’application canonique de K dans GL_{2}(ℤ_{p}/P^{i}).

Soit alors une représentation T de G sur un espace vectoriel V.

Définition 9 T est dite admissible si :

i) pour tout v ∈ V, Stab(v) est ouvert dans G;

ii) pour tout sous-groupe G′ de G ouvert compact, le sous-espace V′ de V des vecteurs qui restent fixes par tout élément de G′ est de dimension finie.

Supposons donc T admissible.

Soit le sous-groupe U_{1} de G constitué des matrices : ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ), a ∈ F.

Soit U un sous-groupe ouvert compact de g^{−1}U_{1}g (g ∈ G), et v ∈ V fixé. Il existe alors une représentation naturelle du groupe H = U/Stab(v) sur le Uespace vectoriel W de V engendré par v sous l’action de U.

De plus, H est fini. D’après la théorie des représentations de groupes finis, W s’écrit donc comme somme directe de W_{0} et W_{1}, où W_{0} est le sousespace de W stabilisé par l’action de H, et W_{1} son unique supplémentaire globalement stable sous l’action de H.

Si v ∈ W_{1}, on dit que v est disjoint de l’identité sur U. On note V (g^{−1}U_{1}g) l’ensemble des v ∈ V pour lesquels il existe un sous-groupe ouvert compact U de g^{−1}U_{1}g tel que v soit disjoint de l’identité sur U.

Définition 10 Une représentation admissible T de G sur l’espace V est dite supercuspidale si pour tout g, on a : V (g^{−1}U_{1}g) = V.

Définition 11 Une représentation τ, continue de K sur un espace vectoriel X de dimension finie, est appelée représentation cuspidale de K si pour tout g I(τ, Id_{g^{−1}U_{1}g}) = (0).

Considérons maintenant le sous-groupe D des matrices diagonales de G, et T celui des matrices triangulaires supérieures. A toute représentation μ de D sur V on peut alors associer une représentation ν de T en faisant agir trivialement U_{1} sur V. Puis on peut définir la représentation ν_{c}^{G} de G. On obtient ainsi “presque” toutes les représentations de G. En effet :

Proposition 10 Les représentations supercuspidales sont exactement celles qui n’apparaissent pas dans de telles induites.

Soit à présent le sous-groupe Z de G engendré par ( \begin{matrix}π & 0 \\ 0 & π \end{matrix} ).

Soit τ une représentation de ZK dont la restriction à K est cuspidale. On montre que τ_{c}^{G} est admissible. Supposons-la non supercuspidale, et que par exemple, si V est l’espace sur lequel agit τ_{c}^{G}, V (U_{1}) ≠ V. Alors V (U_{1}) est stable par U_{1} et U_{1} agit trivialement sur V/V (U_{1}). On a donc : ϕ = ϕτ_{c}^{G}, où ϕ est une projection sur V/V (U_{1}). Soit alors la fonction ψ définie par : ψ(v)(x) = ϕτ_{c}^{G}(x)(v) pour v ∈ V et x ∈ G. On a alors : ψ ∈ I(τ_{c}^{G}, 1_{U_{1}}^{G}). Le théorème 1 implique alors qu’il existe g tel que I(τ, 1_{g^{−1}U_{1}g}) ≠ (0). Cela contredit le fait que la restriction de τ à K soit cuspidale. Absurde.

On en déduit le :

Théorème 2 Soit τ une représentation de ZK dont la restriction à K est cuspidale. Alors τ_{c}^{G} est supercuspidale.

Ce théorème permet de construire des représentations supercuspidales. Un problème plus difficile, et essentiel dans le cadre de notre étude, est de pouvoir écrire toute représentation supercuspidale irréductible comme induite d’autres représentations. C’est l’objet de ce qui suit.

Nous aurons besoin du théorème suivant :

Théorème 3 La restriction à K de toute représentation supercuspidale T de G contient une représentation cuspidale.

2.3 Induction des représentations supercuspidales

Notre but est à présent de prouver que toute représentation irréductible supercuspidale de G est induite de ZK ou de Z′K′ (cf ci-dessous). Les représentations inductantes ne seront pas étudiées ici. Il faut savoir qu’elles-mêmes peuvent être induites d’autres représentations généralement unidimensionnelles, ce qui termine quasiment la décomposition des représentations de GL_{2}(F).

On conserve les notations précédentes. On a en outre :

Proposition 11 Soit τ une représentation irréductible continue de K. Alors il existe un entier naturel n minimal tel que K_{n} soit contenu dans Ker(τ).

Définition 12 L’idéal P^{n} est alors appelé conducteur de τ et noté C(τ). De même, l’idéal P^{m}, où m est le plus petit entier pour lequel K_{m} ∩SL_{2}(ℤ_{p}) est contenu dans le Ker(τ), est appelé quasi-conducteur de τ et noté qC(τ).

On considère également : Z′, groupe engendré par ( \begin{matrix}0 & 1 \\ π & 0 \end{matrix} ),

K′ = \{( \begin{matrix}a & b \\ πc & d \end{matrix} ); a, d ∈ ℤ_{p}^{∗}; b, c ∈ ℤ_{p}\},

et K′_{n} = \{( \begin{matrix}1 + π^{n}a & π^{n}b \\ π^{n+1}c & 1 + π^{n}d \end{matrix} ); a, b, c, d ∈ ℤ_{p}\}.

Remarquons d’autre part que Z′ appartient au normalisateur de K′, ce qui permet de former le sous-groupe Z′K′ de G. Si σ est une représentation irréductible de Z′K′ sur un espace W, on définit le r-conducteur C′(σ) et le r-quasi-conducteur qC′(σ) de la même façon que C(τ) et qC(τ) précédemment, en considérant cette fois-ci les groupes K′_{n} et K′_{n} ∩ SL_{2}(ℤ_{p}).

Définition 13 Soit τ une représentation continue irréductible de K (respectivement K′) de (resp. r-)quasi-conducteur P^{n}. Si r est le plus petit entier naturel tel que : I(τ, 1_{U_{1,r}}) ≠ (0), on définit le défaut de τ par : D(τ) = n−r.

Définition 14 La représentation τ est dite ramifiée si D(τ) > 0. De même, une représentation supercuspidale irréductible de G est dite ramifiée si elle ne contient aucune représentation irréductible non ramifiée de K.

Remarque : D(τ) < n si et seulement si τ est cuspidale. C’est en particulier le cas si elle est non ramifiée.

On considère maintenant δ (respectivement δ′), système complet et non redondant des classes d’équivalence des représentations irréductibles continues non ramifiées sur K (resp. K′) de ZK (resp. Z′K′).

Nous avons un premier résultat :

Proposition 12 Deux éléments distincts τ_{1} et τ_{2} de δ ∪ δ′ c-induisent des représentations irréductibles supercuspidales non équivalentes de G.

Soit alors T supercuspidale non ramifiée irréductible de G. Comme la restriction de T à K contient une représentation irréductible non ramifiée, il existe σ ∈ δ telle que : I(T_{|ZK}, σ) ≠ 0. D’après la loi de réciprocité de Frobenius, on a donc : I(T, σ_{c}^{G}) ≠ 0. Comme T et σ_{c}^{G} sont irréductibles, elles sont donc équivalentes.

Supposons maintenant T supercuspidale ramifiée irréductible. On montre alors que T contient une représentation irréductible non ramifiée de Z′K′, et il suffit de refaire le raisonnement précédent pour aboutir au résultat :

Théorème 4 On obtient par c-induction une correspondance bijective entre δ (respectivement δ′) et l’ensemble des classes d’équivalence des représentations irréductibles supercuspidales non ramifiées (resp. ramifiées) de G.

Références

[1] P.C. Kutzko, “On the Supercuspidal Representations of GL_{2}”

American Journal of Mathematics, vol. 100

[2] Y. Amice, “Les Nombres p-adiques”

[3] W. Casselman, “An Assortment of Results on Representations of GL_{2}(k)”

Lecture Notes in Math., vol. 349