Théorie algébrique des nombres : une introduction

Pascal Autissier  Philippe Gollé

20 mai 1996

Sujet proposé par David Harari.

Introduction: Dans cet exposé, nous allons présenter quelques notions élémentaires de théorie algébrique des nombres: clôtures intégrales, fermetures intégrales, anneaux de Dedekind. Notre présentation aura pour but d’exposer le théorème des unités, que nous énoncerons à la fin sans démonstration. Celle-ci est en effet longue et surtout technique, et ne constitue pas une méthode générale. Par contre nous présenterons en détail le théorème de Dedekind, et nous prendrons le soin d’étudier de nombreux exemples. Enfin, tous les anneaux considérés dans cet exposé sont supposés commutatifs et à élément neutre (noté 1).

1 Eléments entiers sur un anneau

1.1 Définitions, propriétés, exemples

1.1.1 Définitions, premières propriétés

Théorème et définition : Soient R un anneau, A un sous-anneau de R, et x ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. x est racine d’un polynôme unitaire sur A.

2. A[x] est un A-module de type fini.

3. Il existe un sous-anneau de R, contenant A et x, et qui est un A-module de type fini.

x est alors dit entier sur A. Démonstration : 1 ⇒ 2 : On a x^{n} + ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}x^{k} = 0. Alors A[x] est engendré en tant que A-module par (x^{k})_{0≤k≤n−1} . 2 ⇒ 3 : OK. 3 ⇒ 1 : Soit B un tel sous-anneau de R, et (y_{i})_{1≤i≤n} un système générateur du A-module B. Pour 1 ≤ i ≤ n, xy_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}y_{j} . Matriciellement, si M = [δ_{ij}x − a_{ij}]_{1≤i,j≤n}, Y = [y_{i}]_{1≤i≤n} et d = detM, on a MY = 0. Or ^{t}(comM)M = (detM)I_{n} (formules de Cramer), donc dY = 0, ie pour 1 ≤ i ≤ n, dy_{i} = 0. Or 1 ∈ B. Donc 1 est combinaison A-linéaire des y_{i}. Donc d = d1 = 0. Or, en développant detM, on obtient un polynôme de degré n en x.

Lemme : Soient C un anneau, B un sous-anneau de C, et A un sous-anneau de B. Si C est de type fini sur B et B de type fini sur A, alors C est de type fini sur A.

Proposition : Soient R un anneau et A un sous-anneau de R , A′ l’ensemble des éléments de R entiers sur A. Alors A′ est un sous-anneau de R contenant A.

Démonstration : Soient (x; y) ∈ A^{′2}. A[x; y] = A[x][y] est de type fini sur A d’après lemme. Et x − y ∈ A[x; y], xy ∈ A[x; y], d’où x − y ∈ A′ et xy ∈ A′. Enfin A ⊂ A′. Définitions : A′ s’appelle la fermeture intégrale de A dans R. Si A′ = R, on dit que R est entier sur A. Si A est intègre et R est son corps des fractions, A′ s’appelle la clôture intégrale de A.

Proposition de transitivité : Soit C un anneau, B un sous-anneau de C, A un sous-anneau de B. C est entier sur B et B entier sur A ⟺ C est entier sur A. Démonstration : ⟸ : OK. ⟹: Soit x ∈ C. On a x^{n} + ∑_{k=0}^{n−1} b_{k}x^{k} = 0 avec b_{k} ∈ B. Soit B_{1} = A[b_{0}; …; b_{n−1}]. x est entier sur B_{1}. Et les b_{k} sont entiers sur A, donc B_{1} est de type fini sur A. Donc B_{1}[x] est de type fini sur A, d’où x est entier sur A.

Corollaire : Soient R un anneau, A un sous-anneau de R, A′ la fermeture intégrale de A dans R. Alors la fermeture intégrale de A′ dans R est A′.

Définition : Un anneau A est dit intégralement clos s’il est intègre et si sa clôture intégrale est A.

Exemple : Tout anneau factoriel est intégralement clos. Démonstration : Soit A un anneau factoriel et K son corps des fractions. Soit x ∈ K entier sur A: x^{n} + ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}x^{k} = 0. x = \frac{a}{b} avec a et b premiers entre eux. Alors a^{n} + b ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}a^{k}b^{n−1−k} = 0. Donc b|a^{n} . Et b et a sont premiers entre eux, donc b|a. Finalement b ∈ A^{∗}, d’où x ∈ A. Définitions : Un corps de nombres K est une extension finie de ℚ. L’anneau des entiers de K est la fermeture intégrale de ℤ dans K.

1.1.2 Un exemple : les entiers des corps quadratiques

Définition : On appelle corps quadratique toute extension de degré 2 de ℚ.

Proposition : Tout corps quadratique est de la forme ℚ(\sqrt{d}), où d est un entier sans facteurs carrés. Démonstration : Soit x ∈ K − ℚ. x est de degré 2 sur ℚ, donc K = ℚ(x). Soit F (X) = X^{2} + bX + c le polynôme minimal de x. La résolution de l’équation du second degré associée donne le résultat voulu.

Théorème : Soit K = ℚ(\sqrt{d}) un corps quadratique, avec d ∈ ℤ sans facteurs carrés (donc ≢ 0 mod 4). Alors :

(a) Si d ≡ 2 ou d ≡ 3 mod 4, l’anneau A des entiers de K est l’ensemble des a+b\sqrt{d} avec a, b ∈ ℤ.

(b) Si d ≡ 1 mod 4, A est l’ensemble des \frac{1}{2}(u + v\sqrt{d}) avec u, v ∈ ℤ de même parité.

Démonstration :

– On note σ l’automorphisme de K tel que σ(\sqrt{d}) = −\sqrt{d}. Soit A l’anneau des entiers de K. Si x ∈ A, σ(x) satisfait la même relation de dépendance intégrale, et donc σ(x) ∈ A. Soit aussi x + σ(x) ∈ A et xσ(x) ∈ A.

– En notant x = a + b\sqrt{d} avec a, b ∈ ℚ, on a x + σ(x) = 2a ∈ ℚ et xσ(x) = a^{2} − db^{2} ∈ ℚ. Comme ℤ est principal et donc intégralement clos, on doit avoir 2a ∈ ℤ et a^{2} − db^{2} ∈ ℤ (conditions *).

– Mais réciproquement, ces conditions sont suffisantes pour que x ∈ A, car alors x est racine de x^{2} − 2ax + a^{2} − db^{2} = 0.

– Enfin, 4a^{2}−4db^{2} ∈ ℤ et comme 2a ∈ ℤ, on a d(2b)^{2} ∈ ℤ. Or d est sans facteurs carrés, donc 2b ∈ ℤ. On pose alors a = \frac{u}{2}, b = \frac{v}{2} où u, v ∈ ℤ et la condition (*) devient u^{2} − dv^{2} ∈ 4ℤ.

– Si v est pair, u aussi et a, b ∈ ℤ. Si v impair, u aussi et nécessairement d ≡ 1 mod 4.

1.2 Cas des corps

Lemme : Soient B un anneau intègre et A tel que B est entier sur A. Alors : A est un corps ⟺ B est un corps. Démonstration : ⟹: Soit b ∈ B − {0}. A[b] est un A-espace vectoriel de dimension finie. y ↦ by est un endomorphisme injectif donc bijectif. Donc 1 est atteint. ⟸ : Soit a ∈ A − {0}. Alors a^{−1} ∈ B donc on a a^{−n} + ∑_{k=0}^{n−1} α_{k}a^{−k} = 0. D’où a^{−1} = − ∑_{k=0}^{n−1} α_{k}a^{n−1−k} ∈ A.

Résultats : Soit L un corps et K un sous-corps de L. On a : La fermeture intégrale de K dans L est un corps. x ∈ L est entier sur K ⟺ x est algébrique sur K. L est entier sur K ⟺ L est algébrique sur K. Si L est algébriquement clos, la fermeture intégrale de K dans L est la clôture algébrique \overline{K} de K (dans L).

1.3 Extensions de corps, algèbre linéaire : Rappels

1.3.1 Rappels sur les extensions séparables

Définitions : Soit L/K une extension algébrique, et (x; x′) ∈ L^{2}. x et x′ sont dits conjugués ⟺ ils ont même polynôme minimal ⟺ K[x] et K[x′] sont Kisomorphes. On note μ_{α} le polynôme minimal de α ∈ L. K/L est dite séparable ⟺ ∀α ∈ L μ_{α} est à racines simples. Exemple : Si carK = 0, L/K est séparable.

Théorème : Soit L/K une extension finie de degré n, avec L ⊂ \overline{K}. Alors: L/K est séparable ⟺ il existe n K-morphismes distincts L → \overline{K}.

Théorème de l’élément primitif : Soit L/K une extension finie séparable. Alors il existe α ∈ L tel que L = K[α].

1.3.2 Un peu d’algèbre linéaire

Définition : Soit L/K une extension finie. Pour x ∈ L, on appelle trace (T r(x)), norme (N(x)), polynôme caractéristique (χ_{x}) de x la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique de l’endomorphisme y ↦ xy.

Proposition : T r est une forme K-linéaire, et N est un morphisme de groupes L^{∗} → K^{∗}.

Proposition : Soit L/K une extension finie, et α ∈ L . Alors χ_{α} est la puissance [L : K[α]]^{ieme} de μ_{α}. Démonstration : μ_{α} = X^{q} + ∑_{i=0}^{q−1} a_{k}X^{k}, a_{k} ∈ K. (α^{i})_{0≤i≤q−1} est une base de K[α] sur K. Soit (z_{j})_{1≤j≤r} une base de L sur K[α] . Alors (α^{i}z_{j})_{0≤i≤q−1,1≤j≤r} est une base de L sur K dans laquelle la matrice de y ↦ xy est :

[ \begin{matrix}M & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & M & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & M \end{matrix} ] avec M = [ \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & −a_{q−1} \end{matrix} ] .

D’où χ_{α} = (det(XI_{q} − M))^{r} = μ_{α}^{r}.

Proposition : Soient L/K une extension finie séparable de degré n, {σ_{1}; …; σ_{n}} les n K-morphismes L → \overline{K}, et α ∈ L. Alors χ_{α} = ∏_{i=1}^{n}(X − σ_{i}(x)). En particulier T r(x) = ∑_{i=1}^{n} σ_{i}(x) et N(x) = ∏_{i=1}^{n} σ_{i}(x).

Proposition : Soit L/K une extension finie séparable. Alors (x; y) ↦ T r(xy) est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et donc induit un isomorphisme entre L et son dual. Démonstration : C’est bien une forme bilinéaire symétrique. Soit x ∈ L tel que ∀y ∈ L T r(xy) = 0. Soient \{σ_{1}; …; σ_{n}\} les n K-morphismes L → \overline{K}. Alors ∑_{i=1}^{n} σ_{i}(x)σ_{i} = 0. D’après le théorème d’indépendance linéaire des morphismes (Dedekind), cela implique σ_{i}(x) = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n. En particulier x = 0. L’isomorphisme induit est x ↦ (y ↦ T r(xy)).

Corollaire : Soient L/K une extension finie séparable et (x_{i})_{1≤i≤n} une base de L sur K. Alors il existe une base (y_{j})_{1≤i≤n} de L sur K telle que ∀(i; j) ∈ {1; …; n}^{2} T r(x_{i}y_{j}) = δ_{ij}. Démonstration : Tout z ∈ L s’écrit z = ∑_{k=1}^{n} u_{k}(z)x_{k}, où (u_{j})_{1≤j≤n} est la base duale de (x_{i})_{1≤i≤n}. Pour 1 ≤ j ≤ n, il existe y_{j} ∈ L tel que u_{j} est l’application z ↦ T r(zy_{j}). Alors (y_{j})_{1≤j≤n} est la base de L cherchée.

Définition : Soit L/K une extension finie de degré n. Pour (x_{1}; …; x_{n}) ∈ L^{n}, on appelle discriminant de (x_{k})_{1≤k≤n} le scalaire D(x_{1}; …; x_{n}) = det[T r(x_{i}x_{j})].

Proposition :

Si [ y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ] = A [ x_{1} ; ⋮ ; y_{n} ] , D(y_{1}; …; y_{n}) = (detA)^{2}D(x_{1}; …; x_{n}).

Démonstration : Si A = [a_{ij}], on a T r(y_{p}y_{q}) = ∑_{i,j} a_{pi}a_{qj}T r(x_{i}x_{j}). Donc [T r(y_{i}y_{j})] = A[T r(x_{i}x_{j})]^{t}A. D’où le résultat.

Proposition : Soit L/K une extension finie séparable de degré n. Alors : (x_{i})_{1≤i≤n} est une base de L sur K ⟺ D(x_{1}; …; x_{n}) ≠ 0.

1.4 Applications aux éléments entiers

Théorème : Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, L une extension finie de K et x ∈ L entier sur A . Alors les conjugués de x et les coefficients de μ_{x} sont entiers sur A, donc ceux de χ_{x} aussi, en particulier T r(x) et N(x).

Démonstration : Il existe P ∈ A[X] unitaire tel que P (x) = 0. Alors μ_{x}|P donc les conjugués de x annulent P. D’où le résultat.

Théorème : Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, L une extension séparable de degré fini n de K et A′ la fermeture intégrale de A dans L. Alors A′ est un sous-module d’un A-module libre de rang n. Démonstration : Soit (x_{i})_{1≤i≤n} une base de L sur K. x_{i} est algébrique sur K, donc il existe a_{i} ∈ A tel que x′_{i} = a_{i}x_{i} est entier sur K. (x′_{i})_{1≤i≤n} est alors une base de L. Soit (y_{i})_{1≤i≤n} une base de L telle que [T r(x′_{i}y_{j})] = I_{n}. Soit z ∈ A′. z = ∑_{j=1}^{n} b_{j}y_{j} avec b_{j} ∈ K. Alors x′_{i}z ∈ A′, donc T r(x′_{i}z) ∈ A′ , d’après le théorème précédent. A est intégralement clos, donc T r(x′_{i}z) ∈ A. Or T r(x′_{i}z) = ∑_{j=1}^{n} b_{j}T r(x′_{i}y_{j}) = b_{i}. D’où A′ ⊂ ⊕_{j=1}^{n}Ay_{j}.

Corollaire : Si A est de plus noethérien, alors A′ est un anneau noethérien et un A-module de type fini.

Corollaire : Si A est de plus principal, alors A′ est un A-module libre de rang n, ie il existe une base de L sur K qui soit aussi une base de A′ sur A. Démonstration : A′ est un A-module libre de rang ≤ n, et contient une base de L sur K, d’où le résultat.

Définition : Soient K un corps de nombres et A son anneau des entiers. Le discriminant d’une ℤ-base de A est indépendant de la base choisie. Ce nombre est appelé discriminant absolu de K; c’est un entier naturel non nul.

1.5 Exemple des corps cyclotomiques

Définition: On appelle corps cyclotomique tout corps de nombres engendré sur ℚ par des racines de l’unité.

Nous noterons z une racine primitive p-ième de l’unité (p premier), et nous étudierons ℚ(z). z est racine de X^{p} − 1, et aussi de \frac{X^{p}−1}{X−1}.

Définition: Le polynôme \frac{X^{p}−1}{X−1} est appelé polynôme cyclotomique.

Théorème: Pour tout nombre premier p, le polynôme cyclotomique X^{p−1} + X^{p−2} + … + X + 1 est irréductible dans ℚ(x). Et donc ℚ(z) est de degré p − 1.

Démonstration: On pose X = Y + 1 et on applique le critère d’Einsenstein au polynôme en Y.

Théorème: L’anneau A des entiers du corps cyclotomique ℚ(z) est ℤ(z), et (1, z, z^{2}, …, z^{p−2}) est une base du ℤ-module A.

Pour démontrer ce Théorème, nous aurons besoin du:

Lemme:

(a) A(1 − z) ∩ ℤ = pℤ.

(b) ∀y ∈ A, T r(y(1 − z)) ∈ pℤ.

Démonstration du Lemme: (a) On sait que ∏_{i=1}^{p−1}(X −z^{i}) = ∑_{j=0}^{p−1} X^{j}, d’où p = (1 − z)(1 − z^{2}) … (1 − z^{p−1}). Ainsi p ∈ A(1 − z) et donc pℤ ⊂ A(1 − z) ∩ ℤ. Comme pℤ est un idéal maximal de ℤ, la relation A(1 − z) ∩ ℤ ≠ pℤ entraînerait A(1 − z) ∩ ℤ = ℤ, et donc 1 − z serait inversible dans A; ses conjugués le seraient aussi, et donc p également. Mais alors \frac{1}{p} serait entier dans ℤ ce qui est absurde.

(b) Chaque conjugué y_{j}(1 − z^{j}) de y(1 − z) est multiple dans A de 1 − z^{j} et donc de 1 − z. Comme la trace est la somme des conjugués, on a T r(y(1 − z)) ∈ A(1 − z), d’où le résultat par (a), car la trace d’un entier est dans ℤ.

Démonstration du Théorème: Soit x = a_{0} + a_{1}z + … + a_{p−2}z^{p−2} un élément de A (a_{i} ∈ ℚ). Nous allons montrer de proche en proche que les a_{i} ∈ ℤ, ce qui démontrera notre résultat. Commençons par a_{0}. On a x(1−z) = a_{0}(1−z)+a_{1}(z −z^{2})+…+a_{p−2}(z^{p−2} −z^{p−1}) et en prenant les traces, T r(x(1 − z)) = a_{0}T r(1 − z) + a_{1}T r(z − z^{2}) + … + a_{p−2}T r(z^{p−2} − z^{p−1}) Or l’irréductibilité du polynôme cyclotomique donne T r(z) = −1 et T r(1) = p − 1. Par suite, ∀ 1 ≤ j ≤ p − 1, T r(z^{j}) = −1, car les z^{j} sont les conjugués de z sur ℚ. Ainsi, T r(x(1 − z)) = a_{0}T r(1 − z) = a_{0}p. D’après le Lemme, pa_{0} ∈ pℤ et donc a_{0} ∈ ℤ. Enfin, comme z^{−1} = z^{p−1}, on a z^{−1} ∈ A et donc (x − a_{0})z^{−1} = a_{1} + a_{2}z + … + a_{p−2}z^{p−3}. En appliquant le même raisonnement à cet élément, on montre que a_{1} ∈ ℤ, et ainsi de suite.

2 Anneaux de Dedekind

2.1 Quelques préliminaires sur les idéaux

2.1.1 Idéaux premiers, idéaux maximaux

Définition: Un idéal P d’un anneau A est dit premier si l’anneau quotient A/P est intègre.

Proposition: Pour qu’un idéal M de A soit maximal, il faut et il suffit que A/M soit un corps.

Définition: Etant donnés deux idéaux A et B d’un anneau A, on appelle produit de A et de B, et on note AB, l’ensemble des sommes finies ∑ a_{i}b_{i}. Il est clair que AB est un idéal de A contenu dans A ∩ B.

Nous exposons à présent 3 lemmes simples qui nous seront utiles dans un instant pour démontrer des résultats puissants sur les idéaux dans les anneaux de Dedekind.

Lemme 1: Soit A un anneau, P un idéal premier de A et A′ un sous-anneau de A. Alors P ∩ A′ est un idéal premier de A′.

Lemme 2: Si un idéal premier P d’un anneau A contient un produit A_{1}A_{2} … A_{n} d’idéaux, alors P contient l’un d’eux.

Lemme 3: Dans un anneau noethérien, tout idéal contient un produit d’idéaux premiers. Dans un anneau noethérien intègre, tout idéal non nul contient un produit d’idéaux premiers non nuls.

2.1.2 Idéaux fractionnaires

Définition: Soit A un anneau intègre et K son corps des fractions. On appelle idéal fractionnaire de A tout sous A-module I de K tel qu’il existe d ∈ A, d ≠ 0 satisfaisant I ⊂ d^{−1}A.

Remarques:

– Les idéaux ordinaires de A sont des idéaux fractionnaires avec d = 1; on les appelle aussi idéaux entiers.

– Tout sous A-module de type fini I de K est un idéal fractionnaire (considérer le dénominateur commun d’un système générateur fini de I).

– Réciproquement, si A est noethérien, tout idéal fractionnaire est un A-module de type fini (I ⊂ d^{−1}A et d^{−1}A est un A-module isomorphe à A donc noethérien).

– On définit le produit de deux idéaux fractionnaires de la même façon que pour les idéaux normaux. Si I et J sont deux idéaux fractionnaires, I∩J , I+J , IJ sont des idéaux fractionnaires.

– Les idéaux fractionnaires non nuls de A forment donc un monoïde commutatif pour la multiplication, d’élément neutre A.

2.2 Anneaux de Dedekind

Définition : Un anneau A est un Anneau de Dedekind s’il est noethérien et intégralement clos (donc intègre), et si tout idéal premier non nul de A est maximal.

Exemple : Tout anneau principal est un anneau de Dedekind (OK).

Théorème : Soit A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions, L une extension séparable de degré fini de K et A′ la fermeture intégrale de A dans L. Alors A′ est un anneau de Dedekind et un A-module de type fini.

Démonstration : Par construction, A′ est intégralement clos, et on a vu que A′ est noethérien et un A-module de type fini. Reste à montrer que tout idéal premier P ≠ (0) de A′ est maximal. Soit x ≠ 0 un élément de P. Considérons une équation de dépendance intégrale de x sur A, de degré minimum: x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_{1}x+a_{0} = 0 avec a_{i} ∈ A et a_{0} ≠ 0 (sinon on simplifierait par x), et a_{0} ∈ A′x ∩ A ⊂ P ∩ A. Donc P ∩A ≠ (0). Or P ∩A est un idéal premier de A (Lemme), donc aussi un idéal maximal de A, et A/P ∩ A est un corps. Mais A/P ∩ A s’identifie à un sous-anneau de A′/P et A′/P est entier sur A/P ∩ A car A′ est entier sur A. Donc A′/P est un corps, et P est maximal.

Remarque : L’intérêt des anneaux de Dedekind vient du Théorème ci-dessus: l’anneau des entiers d’un corps de nombres est ainsi un anneau de Dedekind, mais n’est pas toujours principal.

2.3 Factorisation des idéaux dans les anneaux de Dedekind

Théorème : Soit A un anneau de Dedekind qui n’est pas un corps. Tout idéal de A est inversible dans le monoïde des ideaux fractionnaires de A.

Démonstration :

– Soit M un idéal maximal de A (M ≠ (0) car A n’est pas un corps). Posons M′ = {x ∈ K | xM ⊂ A}. M′ est clairement un sous A-module de K, qui admet comme dénominateur commun n’importe quel élément non nul de M; donc M′ est un idéal fractionnaire de A. On va montrer que MM′ = A.

– Déjà, MM′ ⊂ A (par définition de M′). Par ailleurs, A ⊂ M′ (car M est un idéal), d’où M = AM ⊂ M′M. Comme M est maximal et que M ⊂ M′M ⊂ A, on a soit M′M = A soit M′M = M. Reste à montrer que M′M = M est impossible.

– Par l’absurde, si M′M = M, et si x ∈ M′, on a xM ⊂ M, d’où x^{2}M ⊂ xM ⊂ M, et par récurrence x^{n}M ⊂ M ∀n ∈ ℕ. Ainsi, n’importe quel élément non nul d ∈ M sert de dénominateur commun à tous les x^{n}, de sorte que A[x] est un idéal fractionnaire de A. Comme A est noethérien, A[x] est un A-module de type fini, donc x est entier sur A. Mais A est intégralement clos, donc x ∈ A. Ainsi, M′M = M implique M′ = A. Montrons que M′ = A est impossible.

– Prenons a ∈ M, a ≠ 0. L’idéal Aa contient un produit P_{1}P_{2} … P_{n} d’idéaux premiers non nuls (Lemme). On peut supposer n minimum. On a P_{1}P_{2} … P_{n} ⊂ Aa ⊂ M, donc M contient l’un des P_{i} (Lemme), P_{1} par exemple. Comme P_{1} est maximal par hypothèse, M = P_{1}. En posant B = P_{2} … P_{n}, on a MB ⊂ Aa et B ⊄ Aa, d’après le caractère minimal de n. Donc ∃b ∈ B | b ∉ Aa. Comme MB ⊂ Aa, on a Mb ⊂ Aa, d’où Mba^{−1} ⊂ A; par définition de M′, ceci prouve que ba^{−1} ∈ M′. Or, comme b ∉ Aa, on a ba^{−1} ∉ A; d’où M′ ≠ A.

Théorème : Soit A un anneau de Dedekind, P l’ensemble des idéaux premiers non nuls de A. Alors: a. Tout idéal fractionnaire non nul B de A s’écrit, de manière unique, sous la forme B = ∏_{P∈P} P^{n_{P} (B)} où les n_{P}(B) sont des entiers relatifs, presque tous nuls. b. Le monoïde des idéaux fractionnaires non nuls de A est un groupe.

Démonstration :

– On montre d’abord que tout idéal fractionnaire B est produit de puissances (> 0 ou < 0) d’idéaux premiers. Or ∃d ≠ 0 tel que dB ⊂ A, et b = (dB)(Ad)^{−1}. On s’est ainsi ramené au cas d’un idéal entier dB.

– Si la famille Θ des idéaux ≠ (0) de A qui ne sont pas produits d’idéaux premiers est non vide, elle admet un élément maximal A, car A est noethérien. De plus, A ≠ A, donc A ⊂ P où P est un idéal maximal de A. Soit P′ l’idéal fractionnaire inverse de P (cf Théorème précédent). De A ⊂ P, on déduit AP′ ⊂ PP′ = A. Comme A ⊂ P′, on a A ⊂ AP′. De plus, AP′ ≠ A. En effet, si AP′ = A et si x ∈ P′, on aurait xA ⊂ A et par récurrence x^{n}A ⊂ A; mais alors x est entier sur A, donc x ∈ A, ce qui est impossible, car P′ ≠ A.

– Ainsi, AP′ ∉ Θ, et donc AP′ = P_{1}P_{2} … P_{n}, où les P_{i} sont des idéaux premiers. En multipliant par P, on a A = PP_{1} … P_{n}. Ainsi, tout idéal entier de A est produit d’idéaux premiers.

– On montre à présent l’unicité de cette écriture. Si ∏_{P∈P} P^{n(P)} = ∏_{P∈P} P^{m(P)} où tous les n(P) − m(P) ne sont pas nuls, on a, en séparent exposants positifs et négatifs: P_{1}^{α_{1}} … P_{r}^{α_{r}} = Q_{1}^{β_{1}} … Q_{s}^{β_{s}}, où ∀i ∀j, P_{i} ≠ Q_{j}. Mais alors Q_{1}^{β_{1}} … Q_{s}^{β_{s}} ⊂ P_{1}. Par lemme, P_{1} contient l’un des Q_{j}, par exemple Q_{1}. Ceci implique P_{1} = Q_{1} car ces deux idéaux sont maximaux, ce qui est une contradiction.

– Enfin, (a) montre que B = ∏_{P∈P} P^{−n_{P} (B)} est l’inverse de B.

Définition : On a vu que le monoïde I(A) des idéaux fractionnaires non nuls d’un anneau de Dedekind A est un groupe. Or les idéaux fractionnaires principaux forment un sous-groupe F (A) de I(A). Le groupe quotient C(A) = I(A)/F (A) s’appelle le groupe des classes d’idéaux de A.

2.4 Norme d’un idéal

Désormais, K désigne un corps de nombres, n son degré, et A l’anneau des entiers de K.

Proposition : Si x ∈ A, x ≠ 0, on a |N(x)| = card(A/Ax).

Définition : Etant donné un idéal entier non nul A de A, on appelle norme de A, et on note N(A) le nombre card(A/A).

Proposition : Si A et B sont deux idéaux entiers non nuls de A, on a N(AB) = N(A)N(B).

3 Classes d’idéaux; Théorème des unités.

3.1 Le plongement canonique d’un corps de nombres

Notation : Soit K un corps de nombres et n son degré. On sait qu’on a n morphismes distincts σ_{i} : K → ℂ. Soit α : ℂ → ℂ la conjugaison. Alors ∀i, α ∘ σ_{i} = σ_{j} où i = j si et seulement si σ_{i}(K) ⊂ ℝ. On notera dans tout le reste de l’exposé r_{1} le nombre des indices i tels que σ_{i}(K) ⊂ ℝ. Les autres indices sont alors en nombre pair: 2r_{2} et on a r_{1} + 2r_{2} = n. Nous numéroterons les σ_{i} de sorte que σ_{i}(K) ⊂ ℝ ∀ 1 ≤ i ≤ r_{1} et que σ_{j+r_{2}} = \overline{σ_{j}} ∀r_{1} + 1 ≤ j ≤ r_{1} + r_{2}.

Définition : ∀x ∈ K, nous poserons σ(x) = (σ_{1}(x), …, σ_{r_{1}+r_{2}}(x)) ∈ ℝ^{r_{1}} ×ℂ^{r_{2}}. On appelle σ le plongement canonique de K dans ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}; c’est un homomorphisme injectif pour les structures d’anneaux.

3.2 Finitude du groupe des classes d’idéaux

Théorème (Hermite-Minkowski): Pour tout corps de nombres K ≠ ℚ, le discriminant absolu d de K est ≠ ±1.

Théorème (Dirichlet): Pour tout corps de nombres K, le groupe des classes d’idéaux de K est fini.

Théorème (Hermite): Dans ℂ il n’y a qu’un nombre fini de corps de nombres de discriminant d donné.

3.3 Le théorème des unités

3.3.1 Enoncé

On appelle unité d’un corps de nombres K les éléments inversibles de l’anneau des entiers de K.

Proposition : Soient K un corps de nombres et x un entier de K. Alors : x est une unité de K ⟺ N(x) ∈ {−1; 1}. Démonstration : ⟹: Si x est une unité de K, N(x) et N(x^{−1}) sont inverses dans ℤ. ⟸ : On suppose N(x)^{2} = 1. χ_{x} s’écrit χ_{x} = XP + ϵ avec P ∈ ℤ[X] et ϵ^{2} = 1. Alors x^{−1} = −ϵP (x) est un entier de K.

Théorème de Dirichlet : Soient K un corps de nombres de degré n, r_{1} et r_{2} les entiers définis précédemment, et r = r_{1} + r_{2} − 1. Le groupe A^{∗} des unités de K est isomorphe à ℤ^{r} × G, où G est le groupe monogène fini formé des racines de l’unité contenues dans K.

3.3.2 Exemple des corps quadratiques imaginaires

Soit K un corps quadratique imaginaire et A son anneau des entiers. On a r_{1} = 0, r_{2} = 1 et r = 0. Donc A^{∗} est constitué des racines de l’unité contenues dans K. Précisons le résultat: On sait que K = ℚ(\sqrt{−m}), avec m sans facteurs carrés.

1. m ≡ 1 ou 2 mod 4 : A = ℤ + ℤ\sqrt{−m}. Pour x = a + b\sqrt{−m} ((a; b) ∈ ℤ^{2}), on a N(x) = a^{2} + mb^{2}. x est une unité ⇔ a^{2} + mb^{2} = 1. Si m ≥ 2, b = 0 et a ∈ {−1; 1}, d’où x ∈ {−1; 1}. Si m = 1, x ∈ {1; i; −1; −i}.

2. m ≡ 3 mod 4 : A = ℤ + ℤ\frac{1+\sqrt{−m}}{2}. Pour x = a + \frac{b}{2}(1 + \sqrt{−m}) ((a; b) ∈ ℤ^{2}), on a N(x) = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{mb^{2}}{4} . x est une unité ⇔ (2a + b)^{2} + mb^{2} = 4. Si m ≥ 7, b = 0 et a ∈ {−1; 1}, d’où x ∈ {−1; 1}. Si m = 3, x ∈ {1; j + 1; j; −1; −j − 1; −j}.

Résumons: A^{∗} = {−1; 1} sauf dans les 2 cas suivants:

1. Si K = ℚ(i), A^{∗} est le groupe des racines 4^{iemes} de l’unité.

2. Si K = ℚ(j), A^{∗} est le groupe des racines 6^{iemes} de l’unité.

Références: Pierre Samuel. Théorie algébrique des nombres.