Fonction L de Kubota-Leopoldt

Frédéric Chapoton et Pierre-Henri Chaudouard Le 19 Mai 1995

1 Fonction Zeta et nombres de Bernoulli

1.1 Fonction Zeta de Riemann

Cette fonction est définie comme suit:

ζ(s) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p premier} \frac{1}{1 − p^{−s}}

Elle est bien définie pour Re(s)> 1. Elle admet un prolongement méromorphe sur ℂ n’ayant qu’un pôle simple en 1.

1.2 Equation fonctionnelle

Une fois prolongée,la fonction ζ vérifie l’équation fonctionnelle suivante :

ζ(1 − s) = 2^{1−s}π^{−s}cos(\frac{πs}{2})Γ(s)ζ(s)

où la fonction Γ est définie par

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s} \frac{dt}{t}

pour Re(s)>0 et admet un prolongement méromorphe sur ℂ n’ayant que des pôles simples aux entiers négatifs.

1.3 Nombres de Bernoulli

On définit les nombres de Bernoulli B_{k} par la formule :

\frac{x}{e^{x} − 1} = 1 − \frac{x}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1}B_{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}

Par un calcul via des séries divergentes, Euler a justifié l’égalité:

∀m ≥ 0 (1−2^{m+1})ζ(−m) = (t \frac{d}{dt})^{m} (\frac{t}{t + 1}) |_{t=1} = (\frac{d}{dx})^{m} (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}) |_{x=0}

En se servant de l’équation fonctionnelle pour trouver les valeurs aux entiers positifs en fonction de celles aux entiers négatifs, on obtient alors les relations suivantes entre les valeurs aux entiers de la fonction ζ et les B_{k}: Pour m entier strictement positif, on a

\begin{aligned}ζ(2m) & = & \frac{2^{2m−1}}{(2m)!} B_{m}π^{2m} \\ ζ(−2m) & = & 0 \\ ζ(1 − 2m) & = & (−1)^{m} \frac{B_{m}}{2m} \\ ζ(0) & = & −\frac{1}{2} \end{aligned}

Les nombres de Bernoulli ont des proprietés assez remarquables: On connait exactement les nombres premiers entrant dans leur dénominateur. Au terme de cet exposé on aura demontré ceci:

Théorème 1 Si B_{m} s’écrit sous forme irreductible \frac{a_{m}}{b_{m}} et si p est un nombre premier alors

• si p − 1 divise 2m, alors p divise exactement b_{m} ( p divise b_{m} et p^{2} ne divise pas b_{m}) ;

• si p − 1 ne divise pas 2m, alors p ne divise pas b_{m}.

Pour exprimer ces résultats,il est utile de se placer dans un cadre p-adique.

2 Corps ℚ_{p} des nombres p-adiques,anneau ℤ_{p} des entiers p-adiques.

Dans toute la suite, on fixe un nombre p premier.

Nous allons considérer une valeur absolue sur ℚ distincte de la valeur absolue ordinaire.Cette valeur absolue induit sur ℚ une nouvelle métrique.Le complété de Cauchy pour cette métrique sera le corps ℚ_{p} des nombres padiques,sa boule unité fermée sera l’anneau des entiers p-adiques ℤ_{p}.

Nous verrons ensuite que ℤ_{p} peut être vu comme la limite d’un système projectif ce qui nous donnera d’importantes propriétés topologiques de ℤ_{p}.

Après cette rapide étude de ℤ_{p},nous nous intéresserons à l’ensemble C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}) des fonctions continues sur ℤ_{p} muni de la norme de la convergence uniforme et à son dual topologique.

2.1 Le corps ℚ_{p}.

Valeur absolue p-adique sur ℚ.

On pose pour x ∈ ℚ x ≠ 0:

|x| = p^{−v(x)} où x = p^{v_{p}(x)} \frac{a}{b} et a et b sont premiers entre eux.v_{p}(x) s’appelle la valuation p-adique de x. De plus,|0| = 0.

L’application ainsi définie |.| est une valeur absolue sur ℚ ie:

i)|x| = 0 ssi x = 0
ii)|x.y| = |x|.|y|
iii)|x + y| ≤ |x| + |y|

En fait,on a mieux que iii) puisque:

|x + y| ≤ sup(|x|, |y|)

Ainsi |.| induit sur ℚ une distance d ultramétrique ie:

d(x, y) ≤ sup(d(x, z), d(z, y))

Complétion de ℚ.

ℚ muni de la norme induite par |.| n’étant pas complet,on est amené à construire son complété de Cauchy de la même façon qu’on a construit ℝ en complétant ℚ pour la valeur absolue ordinaire.

Pour cela,on considère l’anneau S des suites de ℚ qui sont de Cauchy pour |.|.N,l’ensemble des suites de ℚ qui tendent vers 0,est l’unique idéal maximal de S.L’anneau quotient S/N est alors un corps,que l’on note désormais ℚ_{p}.

On pose,pour x ∈ ℚ_{p},|x| = lim_{n∞} |a_{n}| où (a_{n}) est un représentant quelconque de x. On vérifie que |.| est indépendante du choix de (a_{n}) et qu’elle définit sur ℚ_{p} une valeur absolue vérifiant de plus:

|x + y| ≤ sup(|x|, |y|)

En outre,l’application qui,à r ∈ ℚ associe la classe de r dans ℚ_{p},est injective,ce qui permet de considérer ℚ comme sous-corps de ℚ_{p}.La valeur absolue de ℚ_{p} coïncide alors sur ℚ avec celle de ℚ.

Théorème 2 : ℚ_{p} est complet pour |.| et ℚ est dense dans ℚ_{p}.

Preuve: Soit x ∈ ℚ_{p} et (a_{n}) un représentant de x.Alors |x − a_{n}| = lim sup_{k∞} |a_{k} − a_{n}|,donc lim sup_{n∞} |x − a_{n}| = lim sup_{n∞} lim sup_{k∞} |a_{k} − a_{n}| = 0 car (a_{n}) est de Cauchy.D’où a_{n} → x.

Soit (x_{n}) une suite de Cauchy de ℚ_{p}.Par densité de ℚ, ∀x ∃a_{n} tel que |a_{n} −x_{n}| < 2^{−n}. L’inégalité triangulaire donne |a_{n} − a_{m}| ≤ |a_{n} − x_{n}| + |x_{n} − x_{m}| + |x_{m} − a_{m}| ce qui montre que (a_{n}) est de Cauchy.Si x est sa classe,on a lim a_{n} = x.Puis |x_{n} −x| ≤ |x_{n} −a_{n}|+|a_{n} −x| d’où lim x_{n} = x.

Quelques propriétés de ℚ_{p}.

∑_{n=0}^{+∞} a_{n} converge ssi lim_{n∞}a_{n} = 0 Tout point d’une boule est centre de cette boule. Tout triangle est isocèle. Si x_{n} → x alors |x_{n}| = |x| à partir d’un certain rang.En particulier,|.| est à valeurs dans p^{ℤ}. Toute boule est ouverte et fermée.En particulier,ℚ_{p} est totalement discontinu.(ie les composantes connexes sont les singletons).

Preuve des deux derniers points: |x| ≤ sup(|x − x_{n}|, |x_{n}|) ≤ |x_{n}| pour n assez grand. |x_{n}| ≤ sup(|x_{n} − x|, |x|) ≤ |x| pour n assez grand. Donc,pour n grand,|x_{n}| = |x|. Comme |.| est à valeurs dans le discret p^{ℤ}, B(a, p^{k}) = {x |x − a| ≤ p^{k}} est l’image réciproque par |.−a|,qui est continu,de ]−∞, p^{k}] qui est ouvert et fermé dans p^{ℤ},donc est ouvert et fermé.Soit A,la composante connexe de a.Alors A ⋂ B(a, p^{k}) = A car a ∈ B(a, p^{k}).Donc a ⊂ ⋂_{k∈ℕ} B(a, p^{−k}) = {a} (on applique,en effet le théorème de Baire sur les intersections décroissantes de fermés,dont le diamètre tend vers 0,dans un métrique complet).D’où A = {a}.QED.

Développement p-adique.

Théorème 3 :Tout x ∈ ℚ_{p} s’écrit de façon unique sous la forme:

x = ∑_{i=m}^{∞} a_{i}.p^{i}

avec a_{i} ∈ ℤ,0 ≤ a_{i} ≤ p − 1,m ∈ ℤ,a_{m} ≠ 0 et |x| = p^{−m}.

Preuve: Existence:

On commence pour x ∈ ℚ, x = p^{k}.a/b avec a, b, p premiers entre eux,deux à deux.En particulier,∃c, k ∈ ℤ tels que b.c = 1+k.p.Alors a/b = a.c−p.a.k/b.Par division euclidienne,a.c = a_{1} +p.b_{1} avec 0 ≤ a_{1} ≤ p−1.D où |x−a_{1}.p^{k}| = |p^{k+1}.(b.b_{1} −k.a)/b| ≤ p^{−(k+1)}.On termine par récurrence sur n : on construit a_{1}, ..., a_{n} tels que:

|x − ∑_{i=1}^{i=n} a_{i}.p^{k+i−1}| ≤ p^{−(k+n)}

ce qui donne le résultat. Dans le cas général,x ∈ ℚ_{p}.On raisonne toujours à une extraction éventuelle de soussuite près.|x| = p^{−m}.∃(r_{n}) suite de ℚ telle que r_{n} → x,|r_{n}| = p^{−m} et ∀k ≥ m ∃n_{k} tel que n, m ≥ n_{k} implique |r_{n}−r_{m}| < p^{−k}.Cette dernière inégalité montre que les k-m+1 premiers coefficients du développement p-adique de r_{n} ne dépendent pas de r_{n},pour n ≥ n_{k}.On prend alors,pour développement tronqué à l’ordre t de x,les t premiers coefficients (a_{i}) du développement de r_{n} pour n ≥ n_{t+m−1}.Ainsi:

|x − ∑_{i=m}^{i=m+t−1} a_{i}.p^{i}| ≤ |x − r_{n}| + |r_{n} − ∑_{i=m}^{i=m+t−1} a_{i}.p^{i}| < p^{−n} + p^{−(m+t)} →_{t,n→∞} 0

ie x = ∑_{i=m}^{∞} a_{i}.p^{i}.QED.

Unicité: x = ∑_{i=m}^{∞} a_{i}.p^{i} = ∑_{i=k}^{∞} b_{i}.p^{i} Alors |x| = lim | ∑_{i=m}^{n} a_{i}.p^{i}| = p^{−m},d’où clairement m=k.Puis,si i_{0} est le plus petit entier tel que a_{i_{0}} ≠ b_{i_{0}} on a |sum_{i=m}^{∞}(a_{i} − b_{i}).p^{i}| = p^{−i_{0}} = 0 ce qui est absurde.Donc ∀i a_{i} = b_{i}.

2.2 L’anneau ℤ_{p}.

La boule unité fermée de ℚ_{p}.

On pose ℤ_{p} = {x ∈ ℚ_{p} tels que |x| ≤ 1}.On vérifie sans peine que ℤ_{p} est un sous anneau de ℚ_{p},fermé dans ℚ_{p} donc complet,qui contient ℤ.De plus,d’après l’existence du développement p-adique,ℕ,donc ℤ,est dense dans ℤ_{p} pour la topologie induite par |.|.

Les éléments inversible de l’anneau ℤ_{p}.

Proposition 1 : x ∈ ℤ_{p} est inversible ssi p ne divise pas x ssi x est dans la sphère unité de ℚ_{p}.Ainsi,ℚ_{p} = ℤ_{p}[p^{−1}] est le corps des fractions de ℤ_{p}.

Preuve : Si x.y = 1 avec x, y ∈ ℤ_{p} on a |x|.|y| = 1 donc |x| = |y| = 1.Par ailleurs,|x| = 1 ssi v_{p}(x) = 0 ie ssi p ne divise pas x. Si a ∈ ℤ, 1 ≤ a ≤ p − 1 alors a est premier à p donc ∃y, k ∈ ℤ tels que a.y = 1 − k.p.On vérifie sans peine que y. ∑_{n=0}^{∞}(k.p)^{n} est bien défini et que c’est l’inverse de x dans ℤ_{p}. Si x ∈ ℤ_{p}, |x| = 1 et x = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}.p^{i} alors a_{0} ≠ 0.En multipliant par a_{0}^{−1},on se ramène au cas où a_{0} = 1.On cherche l’inverse de y sous la forme ∑_{i=0}^{∞} b_{i}.p^{i} avec b_{i} ∈ ℤ_{p},ce qui assure la convergence de la série dans ℤ_{p}.Par produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes,on voit que les conditions:

a_{0}.b_{0} = 1
∀ia_{0}.b_{i} + a_{1}.b_{i−1} + ... + a_{n}.b_{o} = 0

définissent de manière univoque une suite de(b_{i}) dans ℤ_{p} et que x.y = 1.QED.

Idéaux de ℤ_{p}.

Théorème 4 :Tous les idéaux de ℤ_{p} sont de la forme (p^{n}) et on a la chaîne suivante (p^{n+1}) ⊂ (p^{n}) ⊂ ... ⊂ (p) ⊂ ℤ_{p} et (p) est l’unique idéal maximal.Un tel anneau est dit local.

Corollaire:Pour a, b ∈ ℤ_{p},a divise b ssi v_{p}(a) ≤ v_{p}(b) ssi |b| ≤ |a|.

Preuve: Soit I un idéal de ℤ_{p},distinct de ℤ_{p}.Alors I ne contient pas d’élément inversible.Donc m = inf{v_{p}(x), x ∈ I} > 0.Alors I ⊂ (p^{m}).Puis ∃x ∈ I tel que v_{p}(x) = m.Donc x = p^{m}.b avec b inversible ie p^{m} = b^{−1}.x ∈ I.D’où I = (p^{m}). Pour le corollaire,il suffit de remarquer que a divise b ssi (b) ⊂ (a).

ℤ_{p} vu comme limite projective.

On considère les applications ϕ_{n,n+1} pour n > 0 ∈ ℕ:

ℤ/p^{n+1}ℤ → ℤ/p^{n}ℤ
\overline{x} ↦ \overline{x} x ∈ ℤ

On pose ϕ_{n,n} = Id,et pour i < j,ϕ_{i,j} = ϕ_{i,i+1}o...oϕ_{j−1,j}. Alors (ℤ/p^{i}ℤ, ϕ_{i,j}) constitue un système projectif.On appelle X la limite projective.X est muni naturellement d’une structure d’anneau.

X est une partie de ∏_{n∈ℕ^{∗}} ℤ/p^{n}ℤ. ℤ/p^{n}ℤ est muni de la topologie discrète et ∏_{n∈ℕ^{∗}} ℤ/p^{n}ℤ est muni de la topologie produit.(Une façon rapide de décrire cette topologie est de la voir comme la topologie la moins fine qui rend continues toutes les projections canoniques sur ℤ/p^{n}ℤ).

Proposition 2 Soit x = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}.p^{i} le développement p-adique de x ∈ ℤ_{p} Considérons:

ψ : ℤ_{p} → X

x ↦ (\overline{∑_{i=0}^{n−1} a_{i}.p^{i}})_{n∈ℕ^{∗}}

Alors ψ est un isomorphisme d’anneau et même un homéomorphisme.

Preuve: On considère les développements p-adiques suivants:a = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}.p^{i},b = ∑_{i=0}^{∞} b_{i}.p^{i} et c = ∑_{i=0}^{∞} c_{i}.p^{i}.

Si c = a + b,∀n ∈ ℕ,∑_{i=0}^{n}(a_{i} + b_{i} − c_{i}).p^{i} = ∑_{i=n+1}^{∞}(a_{i} + b_{i} − c_{i}).p^{i} appartient à ℤ et est divisible par p^{n}.Donc ∀n ∈ ℕ on a\overline{∑_{i=0}^{n}(a_{i} + b_{i} − c_{i}).p^{i}} = 0 dans ℤ/p^{n}ℤ ie ψ(a) + ψ(b) = ψ(a + b). De la même façon,on montre que ψ(a).ψ(b) = ψ(a.b) ψ est clairement injective.ψ est surjective.Soit (\overline{x_{n}}) ∈ X,alors x_{n} = x_{n−1} + b_{n−1}.p^{n−1}.On définit a_{n} comme le reste de la division euclidienne de b_{n} par p.Alors on vérifie par récurrence que ψ(∑_{i=0}^{∞} a_{i}.p^{i}) = (x_{n}).Donc ψ est bijective. Il reste à voir que ψ et ψ^{−1} sont continues.En fait,il suffit de voir que ces application sont continues au point 0.Une base de voisinage de 0 ∈ X est O_{I} = ⋂_{i∈I} π_{i}^{−1}({o}) = π_{supI}^{−1}({o}) où I est une partie finie de ℕ et les π_{i} sont les projections canoniques. Or ψ^{−1}(O_{I}) = {x = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}.p^{i}} tel que ∑_{i=0}^{supI} a_{i}.p^{i} = 0} qui n’est autre que la boule ouverte de centre 0 et de rayon p^{−(supI)},donc qui est ouvert.Ainsi ψ est continue en 0. Inversement,ψ(B_{o}(0, p^{−n}) = {x tel que le développement de x est ∑_{i=k+1}^{∞} a_{i}.p^{i} = π_{k}^{−1}({0})} qui est ouvert dans X.D’où ψ^{−1} est continue.QED.

Conséquence pour la topologie de ℤ_{p}.

Théorème 5 ℤ_{p} est compact et totalement discontinu.(ie les composantes connexes sont les singletons).

Preuve:

D’après le théorème de Tychonov,comme ℤ/p^{n}ℤ est compact(car fini),∏ ℤ/p^{n}ℤ est compact.Donc,si on montre que X est fermé,X sera compact donc ℤ_{p} aussi. On montre en fait que son complémentaire est ouvert.Soit z = (z_{i}) ∈ X^{c},alors ∃j < k tels que ϕ_{j,k}(z_{k}) ≠ z_{j}.Soit W = {x ∈ ∏ ℤ/p^{n}ℤ tel que x_{j} = z_{j}, ϕ_{j,k}(x_{k}) = z_{k}}.Alors W ⊂ X^{c} et W est ouvert car W = π_{j}^{−1}(z_{j}) ⋂(ϕ_{j,k}oπ_{k})^{−1}(z_{k}) et π_{j}, ϕ_{j,k}oπ_{k} sont continues.

Soit A la composante connexe de x = (x_{i}) dans X.Alors π_{j}^{−1}(x_{j}) ⋂ A ⋂ X est un ouvert,fermé,non vide de A.Donc π_{j}^{−1}(x_{j}) ⋂ A ⋂ X = A.Donc A ⊂ ⋂_{j∈ℕ^{∗}} π_{j}^{−1}(x_{j}) ⋂ X = {x}.D’où A = {x}.QED.

2.3 Congruences dans ℤ_{p}

On peut réécrire les proprietés verifiées par les nombres de Bernoulli en termes p-adiques:

Théorème 6 • si p−1 divise 2m, alors pB_{m} ∈ ℤ_{p}^{∗}; on a même pB_{m} ≡ 1 mod pℤ_{p};

• si p − 1 ne divise pas 2m, alors B_{m} ∈ ℤ_{p}.

2.4 Congruences de Kubota-Leopoltd

En fait, on a des résultats plus fins. Il nous faut définir la fonction ζ incomplète en p par:

ζ^{∗}(s) = (1 − p^{−s})ζ(s)

et, pour tout entier a ≥ 2 premier à p,

ζ^{∗,a}(s) = (1 − a^{1−s})ζ^{∗}(s)

On a alors:

Théorème 7 • Soit m ≥ 1 un entier. Alors ζ^{∗,a}(1 − m) ∈ ℤ_{p}, et sa réduction modulo p^{n+1}ℤ_{p} ne dépend que de m modulo (p − 1)p^{n}.

• Soit m un entier non multiple de p − 1. Alors ζ^{∗}(1 − m) ∈ ℤ_{p}, et sa réduction modulo p^{n+1}ℤ_{p} ne dépend que de m modulo (p − 1)p^{n}.

On remarque que, pour x∈ ℤ_{p}^{∗}, x^{m} ≡ x^{m′} mod p^{n+1} dès que m ≡ m′ mod (p − 1)p^{n}.D’où, pour toute mesure μ sur ℤ_{p}^{∗}

∫_{ℤ_{p}^{∗}} x^{m}dμ = ∫_{ℤ_{p}^{∗}} x^{m′}dμ

. On va donc chercher a construire une mesure ζ_{a} sur ℤ_{p}^{∗} telle que

∫_{ℤ_{p}^{∗}} x^{m}dζ_{a} = ζ^{∗,a}(−m)

En fait, on va d’abord construire une mesure ζ_{a} sur ℤ_{p} vérifiant

∫_{ℤ_{p}} x^{m}dζ_{a} = (1 − a^{m+1})ζ(−m)

Pour cela il nous faut étudier les fonctions continues sur ℤ_{p} et les mesures sur ℤ_{p}.

3 Fonctions continues et mesures bornées sur ℤ_{p}

3.1 Fonctions continues sur ℤ_{p}

On définit sur ℤ_{p} les polynômes:

\binom{x}{n} = \{ \begin{matrix}\frac{x·(x−1)···(x−n+1)}{n!} & s i n ≥ 1 \\ 1 & si n = 0 \end{matrix}

Ces polynômes sont à valeurs dans ℤ sur ℤ,donc par densité de ℤ,à valeurs dans ℤ_{p} sur ℤ_{p}.Par ailleurs,il est facile de voir que tout polynôme est continu sur ℤ_{p}.

Théorème 8 ∀f ∈ C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}),f s’écrit:

f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n}

avec:

a_{n}(f) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \binom{n}{k} f(n − k) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k)

De plus,un tel développement est unique.

Preuve: Unicité Si ∀x,f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n} = 0 en considérant n le plus petit entier tel que

a_{n}(f) ≠ 0,on a f(n) = 0 = a_{n}(f).Contradiction.Donc ∀n a_{n}(f) = 0.

Existence.

On vérifie l’égalité tout d’abord sur ℕ.Dans ce cas la somme est finie et:

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n} = ∑_{n=0}^{x} a_{n}(f) \binom{x}{n}

= ∑_{n=0}^{x}(∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k)) \binom{x}{n}

= ∑_{k=0}^{x} f(k) ∑_{j=0}^{x−k}(−1)^{j} \binom{j + k}{k} \binom{x}{j + k}

= ∑_{k=0}^{x}(f(k) \binom{x}{k} ∑_{j=0}^{x−k}(−1)^{j} \binom{x − k}{j}) = f(x)

Montrons ensuite que a_{n}(f) → 0,ce qui prouvera,puisque | \binom{x}{n} | ≤ 1 que la série ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n} est normalement convergente sur ℤ_{p},donc continue sur ℤ_{p}.Alors l’égalité à démontrer sera vraie sur ℤ_{p} par densité de ℕ.

Pour cela,on utilise la continuité uniforme de f sur le compact ℤ_{p} ie ∀s ∈ ℕ ∃t tel que ∀x ∈ ℤ_{p}|f(x + p^{t}) − f(x)| ≤ p^{−s}.

Posons ensuite f_{y}(x) = f(x + y) avec x, y ∈ ℕ.Comme \binom{x+y}{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{x}{k} \binom{y}{n−k},on a f_{y}(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) ∑_{k=0}^{n} \binom{x}{k} \binom{y}{n−k}.Les sommes considérées sont en fait finies,on peut donc appliquer le théorème de Fubini.D’où: f_{y}(x) = ∑_{k=0}^{∞} \binom{x}{k} ∑_{n=k}^{∞} a_{n}(f) \binom{y}{n−k} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{x}{k} ∑_{n=0}^{∞} a_{n+k}(f) \binom{y}{k}.Alors par unicité du développement de f_{y},il vient:

a_{n}(f_{y}) = ∑_{k=0}^{∞} a_{n+k}(f) \binom{y}{k} = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k + y)

Désormais,on prend y = p^{t}.On a alors:

a_{n+p^{t}}(f) = − ∑_{j=1}^{p^{t}−1} \binom{p^{t}}{j} a_{n+j}(f) + ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k + p^{t}) − a_{n}(f)

= ∑_{j=1}^{p^{t}−1} \binom{p^{t}}{j} a_{n+j}(f) + ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} (f(k + p^{t}) − f(k))

. Cependant,| \binom{p^{t}}{j} | ≤ p^{−1} pour j = 1, ..., p^{t} − 1 et |f(k + p^{t}) − f(k)| ≤ p^{−s}.D’où:

(1) |a_{n+p^{t}}| ≤ max(p^{−1}|a_{n+1}(f)|, ..., p^{−1}|a_{n+p^{t}−1}(f)|, p^{−s})

Soit M < ∞ la borne supérieure de f sur le compact ℤ_{p}.Alors,à l’aide de l’inégalité triangulaire “forte”,on voit que ∀n |a_{n}(f)| ≤ M.En utilisant (1) pour s = 1,il vient ∀n ≥ p^{t(1)} |a_{n}(f)| ≤ p^{−1}.M.Par récurrence,on obtient |a_{n}(f)| ≤ p^{−m}.M dès que n ≥ p^{t(1)} + ... + p^{t(m)}.Ainsi a_{n}(f) → 0.QED.

Corollaire: ∀f ∈ C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}) |f| = sup_{x∈ℤ_{p}} |f(x)| = sup_{n∈ℕ} |a_{n}(f)|

Preuve: Ce résultat provient de deux inégalités triangulaires “fortes”.

|f(x)| = | ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n} | = lim_{N∞} | ∑_{n=0}^{N} a_{n}(f) \binom{x}{n} | ≤ sup_{n∈ℕ} |a_{n}(f)|. D’autre part,|a_{n}(f)| = | ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n−k} \binom{n}{k} f(k)| ≤ sup_{0≤k≤n}|a_{k}(f)| ≤ |f|.QED.

3.2 Mesures bornées sur ℤ_{p}

Définition:On munit C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}) de la norme |.|,vue ci-dessus,qui en fait un ℚ_{p}-espace vectoriel normé complet.On appelle mesure bornée sur ℤ_{p} à valeurs dans ℚ_{p} tout élément ϕ du dual topologique de C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}).En d’autres termes ϕ est une forme linéaire telle qu’il existe une constante C ≥ 0,vérifiant pour toute fonction continue f, |ϕ(f)| ≤ C|f|. On note alors

ϕ(f) = ∫_{ℤ_{p}} f dϕ

Théorème 9 Soit (b_{n})_{n∈ℕ} une suite bornée de ℚ_{p}.Alors:

f ↦ ∑_{n=0}^{∞} b_{n}.a_{n}(f)

définit une mesure bornée sur ℤ_{p}. Reciproquement toute mesure bornée μ est de cette forme avec ∀n ∈ ℕ b_{n} = ∫_{ℤ_{p}} \binom{x}{n} dμ et les b_{n} sont bornés.

Preuve:

L’application est bien définie (car a_{n}(f) → 0 pour f continue),et clairement linéaire.On note M un majorant des (b_{n}).De plus,| ∑_{n=0}^{∞} b_{n}.a_{n}(f)| = lim_{N∞}| ∑_{n=0}^{N} b_{n}.a_{n}(f)| ≤ sup_{n} |a_{n}(f).b_{n}| ≤ M. sup_{n} |a_{n}(f)| = M.|f| ce qui montre que la forme linéaire précédemment définie est continue. Réciproquement,par continuité et linarité de ϕ appartenant au dual de C^{0}(ℤ_{p}, ℚ_{p}),on a ϕ(f) = ϕ(∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f) \binom{x}{n}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(f)ϕ(\binom{x}{n}).De plus,|ϕ(\binom{x}{n})| ≤ C.sup_{x∈ℤ_{p}}| \binom{x}{n} | ≤ C est borné.QED.

Il suit que toute mesure bornée ϕ est déterminée par ses valeurs sur les fonctions polynomiales. Ainsi la mesure de Dirac en a ∈ ℤ_{p} est obtenue pour ∫ x^{n} dϕ = a^{n}. Mais la réciproque est fausse, car toute suite de valeurs sur les monômes ne correspond pas à une suite b_{n} bornée.

4 La mesure associée à ζ

On cherche à construire une mesure ζ_{a} sur ℤ_{p} à valeurs dans ℤ_{p} telle que:

∫_{ℤ_{p}} x^{m}dζ_{a} = (1 − a^{m+1})ζ(−m)

Pour cela, il faut d’abord montrer que ∫ ({x \atop n})dζ_{a} est borné par 1 uniformement en n,c’est à dire est dans ℤ_{p}.

4.1 Justification à la Euler

on définit,pour n ∈ ℕ:

ϕ_{a}(n) = \{ \begin{matrix}1 & si n ≢ 0 mod a \\ 1 − a & sinon \end{matrix}

et

Θ(t) = −\frac{∑_{b=1}^{a} ϕ_{a}(b)(1 + t + … + t^{b−1})}{1 + t + … + t^{a−1}}

On a alors: Théorème 10

(1 − a^{m+1})ζ(−m) = (t \frac{d}{dt})^{m} (Θ)|_{t=1}

Justification:

(1 − a^{m+1})ζ(−m) = (1 − a^{m+1}) ∑_{n≥1} n^{m}

= ∑_{n≥1} n^{m} − a ∑_{n≥1}(an)^{m}

= ∑_{n≥1} ϕ_{a}(n)n^{m}t^{n}|_{t=1}

= ∑_{n≥1} ϕ_{a}(n) (t \frac{d}{dt})^{m} t^{n}|_{t=1}

= (t \frac{d}{dt})^{m} [ ∑_{n≥1} ϕ_{a}(n)t^{n}]|_{t=1}

or,

∑_{n≥1} ϕ_{a}(n)t^{n} = ∑_{n=1}^{a−1} \frac{ϕ_{a}(n)(t^{n} − 1)}{1 − t^{a}}

= −\frac{∑_{n=1}^{a} ϕ_{a}(n)(1 + t + ⋯ + t^{n−1})}{1 + t + ⋯ + t^{a−1}} = Θ(t)

Il s’agit donc de montrer que \binom{t \frac{d}{dt}}{m} Θ|_{t=1} est borné par 1. Pour cela nous allons montrer deux lemmes: Lemme 1 On a l’égalité :

\binom{t \frac{d}{dt}}{m} = \frac{t^{m}}{m!} \frac{d^{m}}{dt^{m}}

Preuve: la démonstration se fait par récurrence sur n.

Lemme 2 Soit A le sous-anneau de ℚ_{p}(t) formé des fractions rationnelles F de la forme \frac{P}{Q} où P, Q ∈ ℤ_{p}[t] et Q(1) ∈ ℤ_{p}^{∗}.Alors A est stable par \binom{t \frac{d}{dt}}{m} pour m entier positif.

Preuve: On déduit tout d’abord du lemme 1 la formule suivante issue de la formule de Leibniz:

\binom{t \frac{d}{dt}}{m} (fg) = ∑_{i+j=m} \binom{t \frac{d}{dt}}{i} (f) \binom{t \frac{d}{dt}}{j} (g)

En appliquant cette formule au produit Q\frac{1}{Q}, on montre par récurrence sur

m que \binom{t \frac{d}{dt}}{m} \frac{1}{Q} ∈ A. En appliquant ensuite au produit P \frac{1}{Q}, on montre par récurrence sur m que A est stable par ces opérateurs différentiels.

Conclusion: On déduit de ce second lemme et du fait que la valeur en 1 d’une fonction de A est dans ℤ_{p} ,et par la caractérisation des mesures, que, à toute fraction F∈A, on peut associer une unique mesure μ_{F} sur ℤ_{p} telle que, pour tout entier m positif:

∫_{ℤ_{p}} x^{m}dμ_{F} = (t \frac{d}{dt})^{m} F |_{t=1}

En appliquant ce résultat à Θ ∈ A, on obtient une mesure ζ_{a} sur ℤ_{p} telle que

∫_{ℤ_{p}} x^{m}dζ_{a} = (1 − a^{m+1})ζ(−m)

4.2 Passage à l’integrale sur ℤ_{p}^{∗}

Comme ℤ_{p}^{∗} et pℤ_{p} sont deux ouverts disjoints, on peut integrer, pour une mesure sur ℤ_{p}, des fonctions sur ℤ_{p}^{∗} en les completant par 0 sur pℤ_{p}. Il nous reste donc à montrer que

∫_{ℤ_{p}^{∗}} x^{m}dζ_{a} = ζ^{∗,a}(−m)

En fait on montre une égalité plus générale:

Théorème 11 Si ψ est une fonction localement constante sur ℤ_{p}, on a

∫_{ℤ_{p}} ψ(x)x^{m} dζ_{a} = ζ(ψ − a^{m+1}ψ_{a}, −m)

où on a posé ζ(ψ, s) = ∑ ψ(n)/n^{s} et ψ_{a}(x) = ψ(ax).Si on applique ceci à un caractere χ de (ℤ_{p}/p^{n}ℤ_{p})^{∗} consideré comme une fonction localement constante,on obtient

∫_{ℤ_{p}^{∗}} χ(x)x^{m} dζ_{a} = (1 − χ(a)a^{m+1}) · ζ(χ, −m)

Enfin si on applique ceci au caractere 1_{ℤ_{p}^{∗}} on obtient la formule désirée

Preuve: Soit ψ est une fonction localement constante sur ℤ_{p},par exemple constante sur les classes modulo p^{k} on définit pour F∈A

[ψ](F)(t) = \frac{1}{p^{n}} ∑_{b mod p^{k}} ψ(b) ∑_{ζ^{p^{k}} =1} ζ^{−b}F (ζt)

Alors [ψ](F) ∈ A. On définit donc ainsi sur A une structure de module sur les fonctions localement constantes. Cette structure est compatible avec celle donnée sur les mesures sur ℤ_{p} associées aux élements de A par

∫ f(x)d([ψ]μ) = ∫ f(x)ψ(x)dμ

C’est à dire que l’on a la formule;

∫_{ℤ_{p}} f(x) dμ_{[ψ]F} = ∫_{ℤ_{p}} ψ(x)f(x) dμ_{F}

La mesure ζ_{a} est associée a la fonction Θ ∈ A. Par la formule ci dessus, on a donc

∫ ψ(x)x^{m}dζ_{a} = ∫ ψ(x)x^{m}dμ_{Θ}

= ∫ x^{m}dμ_{[ψ]Θ}

= (t \frac{d}{dt})^{m} ([ψ]Θ)|_{t=1}

Il reste à calculer [ψ]Θ et (t \frac{d}{dt})^{m} ([ψ]Θ)|_{t=1} On a

Θ = \frac{∑_{n=1}^{a} ϕ_{a}(n)t^{n}}{1 − t^{a}}

Si ψ est constante sur les classes modulo p^{k} alors on peut réecrire

Θ = \frac{∑_{n=1}^{ap^{k}} ϕ_{a}(n)t^{n}}{1 − t^{ap^{k}}}

On a alors, par un calcul sans difficultés,on a:

[ψ]Θ = \frac{∑_{n=1}^{ap^{k}} ψ(n)ϕ_{a}(n)t^{n}}{1 − t^{ap^{k}}}

= ∑_{n≥1} ψ(n)ϕ_{a}(n)t^{n}

= ∑_{n≥1} ψ(n)t^{n} − a ∑_{n≥1} ψ(an)t^{an}

= \frac{∑_{n=1}^{p^{k}} ψ(n)t^{n}}{1 − t^{p^{k}}} − a\frac{∑_{n=1}^{p^{k}} ψ(an)t^{an}}{1 − t^{ap^{k}}}

Par un calcul à la Euler on voit que l’on obtient la formule attendue:

(t \frac{d}{dt})^{m} [∑_{n≥1} ψ(n)t^{n} − a ∑_{n≥1} ψ(an)t^{an}]

= ∑_{n≥1} ψ(n)n^{k} − a ∑_{n≥1} ψ(an)(an)^{k}

= ∑_{n≥1}(ψ(n) − a^{k+1}ψ(an))n^{k}

5 Références

N. Katz : p-adic L-functions via moduli, Proceedings of the AMS (Arcata 1974) H. Hida : Elementary theory of p-adic L-functions. J.-P. Serre : Cours d’arithmétique. Les personnes intéressées peuvent contacter M.Savin