Fonction Delta de Ramanujan

sur une idée de Xavier Lazarus Sylvain Bruiltet et Eric Gaudron

Le 18 Mai 1995

Sommaire

1 Introduction 3

2 La fonction Δ comme discriminant 3 2.1 Fonction de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Fonction modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Séries d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Identité de Jacobi 6 3.1 Fonction Eta de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Espace des fonctions modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Opérateurs de Hecke, multiplicativité de τ 9 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Définition des opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3 Opérateurs de Hecke et vecteurs propres simultanés . . . . . . . . 13

5 Ordre de grandeur de τ(n), diverses congruences relatives à τ 15 5.1 Ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Quelques congruences relatives aux τ(n) . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Série de Dirichlet associée à τ 18

7 Conclusion 19

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 Introduction

Ramanujan remarqua, à propos du nombre de représentation d’un entier n en somme de k carrés (nombre que l’on note r_{k}(n)), que le coefficient τ(n) de x^{n} dans le produit x((1 − x)(1 − x^{2}) … (1 − x^{n}) …)^{24} se relie à r_{24}(n) via la formule

691r_{24}(n) = 16( ∑_{d|n} d^{11}) + 128(259(−1)^{n−1}τ(n) − 512τ(n/2))

avec la convention τ(h) = 0 si h n’est pas un entier naturel. Cette fonction τ , bien qu’intervenant dans de nombreuses formules (de type combinatoire), n’a pas d’interprétation arithmétique satisfaisante. On connait une formule explicite pour τ :

τ(n) = ∑_{n_{1}(n_{1}+1)+...+n_{8}(n_{8}+1)=2n−2} (−1)^{n_{1}+...+n_{8}}(2n_{1} + 1) … (2n_{8} + 1)

(dont la démonstration consiste à élever l’identité

∏_{n≥1} (1 − x^{n})^{3} = ∑_{n≥0} (−1)^{n}(2n + 1)x^{\frac{1}{2} n(n+1)}

à la puissance 8 ). Cependant cette formule n’est à la fois ni maniable et souple pour trouver un équivalent asymptotique de τ (voire même seulement un ordre de grandeur) ni vraiment éclairante pour expliquer certaines congruences, comme par exemple τ(23n + 5) ≡ 0 [23] ∀n ∈ ℕ. L’étude de la fonction τ et de la série génératrice Δ associée, stimulée par les travaux de Ramanujan, Hardy, Hecke, Deligne, a donné un nouvel essor à la théorie des fonctions modulaires.

2 La fonction Δ comme discriminant

2.1 Fonction de Weierstrass

Soit Γ un réseau de ℂ: Γ = ℤ.ω_{1} ⊕ ℤ.ω_{2} avec (ω_{1},ω_{2}) ℚ libres et \frac{ω_{2}}{ω_{1}} = z ∈H où H est le demi-plan de Poincaré défini par H= {z ∈ ℂ ; ℑm z > 0}. La fonction de Weierstrass ℘ : ℂ → ℂ est définie par

℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{ω∈Γ−\{0\}}(\frac{1}{(z − ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} )

C’est une fonction méromorphe doublement périodique(fonction elliptique). Sachant qu’une telle fonction est constante si elle est holomorphe on démontre aisément la relation suivante :

(℘′(z))^{2} = 4℘(z)^{3} − g_{2}℘(z) − g_{3}

où

g_{2} = 60 ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{4}}

g_{3} = 140 ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{6}}

Soit Δ/16 le discriminant du polynôme 4X^{3} − g_{2}X − g_{3} (∗)

Δ = g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2}

On regardera dorénavant Δ comme une fonction de z = \frac{ω_{2}}{ω_{1}} et on obtient :

g_{2}(z) = 60 ∑_{(m,n)≠(0,0)} \frac{1}{(m + nz)^{4}}

g_{3}(z) = 140 ∑_{(m,n)≠(0,0)} \frac{1}{(m + nz)^{6}}

En posant e_{1} = ℘(ω_{1}/2) , e_{2} = ℘(ω_{2}/2) , e_{3} = ℘((ω_{1} + ω_{2})/2) on montre que ces trois nombres sont distincts et qu’ils sont racines du polynôme (∗). On en déduit immédiatement que Δ(z) ≠ 0 ∀z ∈H.

2.2 Fonction modulaire

Soit SL_{2}(ℤ) = { M ∈ M_{2}(ℤ); det M = 1}

Définition 1 On appelle groupe modulaire le groupe G = SL_{2}(ℤ)/{±I}.

Pour g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ G on a ℑm (\frac{az+b}{cz+d}) = ℑm z/|cz + d|^{2} donc on peut faire

opérer G sur H en associant à (g,z) le complexe (élément de H) gz = \frac{az + b}{cz + d} .

Définition 2 Soit k un entier. Une fonction f : H → ℂ est dite modulaire de poids 2k si elle vérifie les trois conditions suivantes : i)f est méromorphe dans le demi-plan H.

ii)f(gz) = (cz + d)^{2k}f(z) ∀z ∈ H, g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ G

iii)f a un développement de Fourier de la forme

∑_{n=m}^{∞} a_{n} exp(2iπnz)

pour un certain m ∈ ℤ.

Si f est holomorphe alors : Si m = 0 f est une forme modulaire. Si m ≥ 1 f est une forme parabolique.

Remarque importante :

Comme les classes de ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) engendrent G, la condition (ii)

équivaut à :

(ii)′ ∀z ∈ H f(z + 1) = f(z) et f(\frac{−1}{z}) = z^{2k}f(z) .

Théorème 1 Δ est une forme parabolique de poids 12.

Preuve : Δ est holomorphe sur H car les séries g_{2} et g_{3} convergent normalement sur tout compact de H. On vérifie la condition (ii)′: g_{2} et g_{3} sont 1-périodiques donc Δ l’est aussi.

D’autre part g_{2}(\frac{−1}{z}) = 60 ∑_{(m,n)≠(0,0)} \frac{z^{4}}{(mz − n)^{4}} = z^{4}g_{2}(z) .

De même g_{3}(\frac{−1}{z}) = z^{6}g_{3}(z) .Donc Δ(\frac{−1}{z}) = z^{12}Δ(z) . Enfin Δ(z) → 0 lorsque ℑm z → +∞ car (120ζ(4))^{3} −27(280ζ(6))^{2} = 0 (double limite). Donc les coefficients du développement de Fourier de Δ (qui existe car Δ est 1−périodique et on est sur H) sont nuls pour n ≤ 0 □

2.3 Séries d’Eisenstein

Soit Γ un réseau de ℂ . La série ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{|ω|^{α}} est convergente pour α > 2.

On peut donc poser pour k entier > 1

G_{k}(Γ) = ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{2k}}

ou si l’on préfère

G_{k}(z) = ∑_{(m,n)≠(0,0)} \frac{1}{(m + nz)^{2k}}

On montre comme au théorème 1 que c’est une forme modulaire de poids 2k .

On signale aussi le développement de Fourier de G_{k} qui sera utile pour la suite :

G_{k}(z) = 2ζ(2k)\{1 − \frac{4k}{B_{2k}} ∑_{m=1}^{∞} σ_{2k−1}(m)q^{m}\}

avec B_{2k} le k^{ième} nombre de Bernoulli, σ_{k}(n) = ∑_{d|n} d^{k} et q = e^{2iπz} , z ∈ H. On obtient ce développement en remarquant que

−πi(1 + 2 ∑_{n≥1} q^{n}) = πi\frac{q + 1}{q − 1} = π cot(πz) = \frac{1}{z} + ∑_{m≠0} (\frac{1}{z + m} − \frac{1}{m})

puis on différentie 2k fois . On remplace, dans la formule obtenue, z par nz et on somme sur n. Cette formule permet de retrouver le théorème 1. Une des conséquences de ce résultat est que Δ peut s’écrire sous la forme

(2π)^{12} ∑_{n≥1} τ(n)q^{n}

où a priori τ(n) ∈ ℚ. Le paragraphe suivant montrera clairement que τ(n) ∈ ℤ.

3 Identité de Jacobi

Le but de ce paragraphe est de démontrer l’identité suivante due à Jacobi :

Δ(z) = (2π)^{12}q ∏_{n≥1} (1 − q^{n})^{24}

où q = exp 2iπz , z ∈ H. L’idée est très simple : l’ensemble des formes paraboliques de poids 2k est un ℂ-espace vectoriel dont on sait calculer la dimension. L’identité résultera alors du fait que Δ et q ∏ (1 − q^{n})^{24} sont deux formes paraboliques de poids 12 et que l’espace de ces formes est une droite vectorielle.

3.1 Fonction Eta de Dedekind

Introduite par Dedekind en 1877, elle joue un rôle central dans l’application des fonctions modulaires à la théorie des nombres (et particulièrement dans les problèmes liés à la fonction de répartition — fonction qui à un entier naturel n associe le nombre de façon dont on peut l’écrire comme somme d’entiers positifs).

Elle est définie sur le demi-plan H par η(z) = e^{\frac{iπz}{12}} ∏_{n≥1} (1 − e^{2πinz}). Elle est holomorphe sur H car le produit converge uniformément sur tout compact de H.

De plus on a clairement η(z + 1) = e^{\frac{iπ}{12}} η(z).

Théorème 2 ∀z ∈ H η(\frac{−1}{z}) = (−iz)^{1/2}η(z).

N.B : On choisit la détermination de la racine carrée qui est réelle positive quand z ≥ 0.

La preuve suivante est due à Siegel (1953) (cf [11]) :

Par prolongement analytique il suffit de prouver l’égalité pour z = iy, y réel strictement positif. Les deux membres de l’égalité sont alors réels et il suffit de prouver que

\frac{−π}{12y} + ln ∏_{n≥1} (1 − e^{\frac{−2πn}{y}}) = \frac{1}{2} ln y − \frac{πy}{12} + ln ∏_{n≥1} (1 − e^{−2πny})

ce qui revient, après développement du logarithme en série entière et regroupement des termes, à :

\frac{π}{12}(\frac{1}{y} − y) + \frac{1}{2} ln y = ∑_{k≥1} \frac{1}{k} \{\frac{1}{e^{2πky} − 1} − \frac{1}{e^{\frac{2πk}{y}} − 1}\} (∗)

Pour montrer cette relation on va appliquer le théorème des résidus à la fonction g_{n}(z) = z^{−1}f((n + 1/2)z) avec f(z) = cot(z) cot(z/(iy)).

La fonction méromorphe g_{n} a des pôles simples en z = ±πk/(n + 1/2) et z = ±πkiy/(n + 1/2) avec pour résidus respectifs \frac{cot(πk/(iy))}{πk} et \frac{cot(πkiy)}{πk} (k ∈

\{1, 2, …, n\}). De plus il y a un pôle d’ordre 3 en z = 0 de résidus \frac{−1}{3}i(y − \frac{1}{y}).

Soit C le contour du losange ayant pour sommets y, i, −y, −i. D’après le théorème des résidus on a :

\frac{−2π}{3} (y − \frac{1}{y}) + ∫_{C} g_{n}(z)dz = 4i ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ( cot(πkiy) − cot(\frac{πki}{y}))

= 8 ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} (\frac{1}{e^{2πky} − 1} − \frac{1}{e^{\frac{2πk}{y}} − 1})

Pour montrer (∗) il suffit de voir que lim_{n→∞} ∫_{C} g_{n}(z)dz = 4 ln y. Or, lorsque

n tends vers +∞, z ↦ g_{n}(z) est uniformément borné sur C. En effet plaçonsnous, par exemple, sur la branche du losange qui relie y et i .

On a z = x + (1 − \frac{x}{y})i, x ∈ [0, y]

|e^{2iπz(n+1/2)}| = e^{−2π(1− \frac{x}{y})(n+ \frac{1}{2} )}
|e^{2iπ( \frac{z}{iy})(n+ \frac{1}{2} )}| = e^{2π \frac{x}{y} (n+ \frac{1}{2} )}

La formule ci-dessus montre que lim_{n→+∞} zg_{n}(z) = 1 pour x ∈]0, y[.

D’après le théorème de convergence dominée on a, sur la première branche (orientée) C_{1} du losange,

lim_{n→+∞} ∫_{C_{1}} g_{n}(z)dz = lim_{n→+∞} ∫_{C_{1}} zg_{n}(z)\frac{dz}{z}
= ∫_{C_{1}} ( lim_{n→∞} zg_{n}(z))\frac{dz}{z}
= ∫_{C_{1}} \frac{dz}{z}
= ln y

En faisant la même chose pour les trois autres branches du losange on obtient finalement lim_{n→∞} ∫_{C} g_{n}(z)dz = 4 ln y □

3.2 Espace des fonctions modulaires

Soit M_{k}(resp M_{k}^{0}) le ℂ-espace vectoriel des formes modulaires de poids 2k (resp. des formes paraboliques de poids 2k). M_{k}^{0} est le noyau de la forme linéaire f ↦ f(i∞) . C’est donc un hyperplan de M_{k}.

lemme 1 Soit f une fonction modulaire de poids 2k, non identiquement nulle.

On désigne par v_{p}(f) la valuation de f au point p ∈ H et par v_{∞}(f) le plus petit n tel que a_{n} ≠ 0 où f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} exp(2iπnz).

Alors

v_{∞}(f) + \frac{1}{2}v_{i}(f) + \frac{1}{3}v_{j}(f) + ∑_{p∈H\G−\{i,j\}} v_{p}(f) = \frac{k}{6} .

(j = e^{\frac{2iπ}{3}} )

idée de la démonstration : Soit D le sous-ensemble de H formé des points z tels que |z| ≥ 1 et |ℜe z| ≤ \frac{1}{2}. On démontre (cf [8],[9]) que c’est un domaine fondamental pour l’action de G sur H i.e. que :

i) Deux points distincts de l’intérieur de D ne sont pas sur la même G-orbite . ii) Si z appartient à H il existe g dans G tel que gz ∈ D. L’idée est alors d’intégrer

\frac{1}{2iπ} \frac{df}{f}

le long de la frontière de D modifiée localement par des demi-cercles pour éviter d’éventuels zéros ou pôles de f □

Théorème 3 i) M_{k} = 0 pour k < 0 et k = 1. ii) La fonction M_{k−6} ⟶ M_{k}^{0} qui à g associe Δg est un isomorphisme d’espaces vectoriels. iii) Pour k = 0, 2, 3, 4, 5 M_{k} est une droite vectorielle engendrée respectivement par 1, G_{2}, G_{3}, G_{4}, G_{5} (et donc M_{k}^{0} = 0). iv)

dimM_{k} = E[k/6] si k ≡ 1 [6]
= E[k/6] + 1 si k ≢ 1 [6].

(k ≥ 0)

Démonstration :

i) Si M_{k} ≠ 0 , soit f un élément non nul de M_{k}. Chaque v_{p}(f) est alors positif. Donc d’après le lemme k ≥ 0. De plus \frac{1}{6} ne peut pas s’écrire sous la forme n_{1} + \frac{n_{2}}{2} + \frac{n_{3}}{3} avec n_{1}, n_{2}, n_{3} entiers positifs. D’où la contradiction. ii) C’est immédiat car on a vu que Δ ne s’annulait pas sur H. iii) Le ii) permet d’affirmer que dimM_{k} ≤ 1 et on a vu au paragraphe sur les séries d’Eiseinstein que G_{k} est un élément non nul de M_{k}. Le iv) se vérifie aisément par récurrence via le ii) et en se rappelant que M_{k}^{0} est un hyperplan de M_{k} □

3.3 Conclusion

D’après le théorème 3 l’espace M_{12}^{0} est de dimension 1 . Donc puisqu’on a vu que Δ et η^{24}(z) appartiennent à M_{12}^{0} ils sont colinéaires ; le coefficient de proportionnalité (2π)^{12} s’obtient en comparant les coefficients de q □

4 Opérateurs de Hecke, multiplicativité de τ

4.1 Introduction

Ramanujan conjectura lors de son étude de la fonction Δ ([1]) que les coefficients de son développement en série de Fourier formaient une fonction multiplicative. Sa conjecture s’écrit donc :

(m, n) = 1 ⇒ τ(mn) = τ(m)τ(n)

Mordell fut le premier à démontrer ce résultat en 1917 ([2]) . Sa démonstration s’appuie sur les fonctions suivantes, où p désigne un nombre premier :

F_{p}(z) = p^{11}Δ(pz) + \frac{1}{p} ∑_{b=0}^{p−1} Δ(\frac{z + b}{p})

Il démontre alors que F_{p} = τ(p)Δ ce qui lui permet d’aboutir aux relations :

∀m, n ∈ ℕ : τ(m)τ(n) = ∑_{d|(m,n)} d^{11}τ(\frac{mn}{d^{2}})

∀n ≥ 1 : τ(p^{n+1}) = τ(p)τ(p^{n}) − p^{11}τ(p^{n−1})

Hecke trouva dans ce travail une similitude avec le développement :

G_{k}(z) = 2ζ(2k) \{1 − \frac{4k}{B_{2k}} ∑_{m=1}^{∞} σ_{2k−1}(m)e^{2imπz}\}

En effet, les σ_{α} vérifient :

σ_{α}(m)σ_{α}(n) = ∑_{d|(m,n)} d^{α}σ_{α}(\frac{mn}{d^{2}})

Il généralisa alors la démonstration de Mordell, ce qui lui permit d’obtenir (vers 1936) des résultats analogues pour une certaine classe de fonctions modulaires ([3]). C’est cette généralisation, i.e. les opérateurs dits de Hecke, que nous allons voir ici.

4.2 Définition des opérateurs de Hecke

Rappelons que M_{k} (resp. M_{k}^{0}) désigne l’espace vectoriel des formes modulaires (resp. paraboliques) de poids 2k.

Définition 1 (des opérateurs de Hecke) Soit n ∈ ℕ^{∗}. Pour f ∈ M_{k} on pose :

T_{n}f(z) = n^{2k−1} ∑_{d|n} d^{−2k} ∑_{b=0}^{d−1} f(\frac{nz + bd}{d^{2}})

Remarque 1 si n=p est premier alors on a :

T_{p}f(z) = p^{2k−1}f(pz) + \frac{1}{p} ∑_{b=0}^{p−1} f(\frac{z + b}{p})

et dans le cas où f = Δ, on retombe sur les fonctions F_{p} considérées par Mordell.

Proposition 1 Si f ∈ M_{k} s’écrit f(z) = ∑_{m=0}^{∞} c_{m}e^{2iπmz} Alors on a T_{n}f(z) = ∑_{m=0}^{∞} γ_{m}e^{2iπmz} où :

γ_{m} = ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}c_{\frac{mn}{d^{2}}}

preuve : on pose q = e^{2iπz} . On a :

T_{n}f(z) = n^{2k−1} ∑_{d|n} d^{−2k} ∑_{b=0}^{d−1} ∑_{m=0}^{∞} c_{m} exp(2iπm\frac{nz + bd}{d^{2}})

D’où :

T_{n}f(z) = ∑_{m=0}^{∞} ∑_{d|n}(\frac{n}{d})^{2k−1}c_{m} exp(2iπ \frac{mnz}{d^{2}} )\frac{1}{d} ∑_{b=0}^{d−1} exp(2iπm\frac{b}{d})

Or ∑_{b=0}^{d−1} e^{2iπm \frac{b}{d}} vaut d si d|m et s’annule sinon. Il reste donc :

T_{n}f(z) = ∑_{m=0}^{∞} ∑_{d|n}(\frac{n}{d})^{2k−1}c_{md} exp(2iπ \frac{mnz}{d})

Puis en remplaçant \frac{n}{d} par d dans la somme étendue aux d|n et en regroupant les puissances de q on obtient :

T_{n}f(z) = ∑_{m=0}^{∞} ( ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}c_{\frac{mn}{d^{2}}} ) q^{m} □

On souhaite à présent montrer que les opérateurs de Hecke sont des endomorphismes de M_{k}. Pour cela nous aurons besoin de quelques lemmes matriciels.

Définition 2 Soit n ∈ ℕ^{∗}.

M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℤ) est appelée transformation d’ordre n si det(M)=n.

On note Γ(n) l’ensemble des transformations d’ordre n.

Remarque 2 La relation A ∼ B ssi ∃V ∈ Γ tq A = V B définit clairement une relation d’équivalence sur Γ(n). (Où Γ = SL_{2}(ℤ) ).

Dans les deux lemmmes qui suivent, la relation d’équivalence considérée est celle définie à la remarque 2.

Lemme 1 Dans chaque classe d’équivalence il y a un représentant de la forme

( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) où d ≥ 1

preuve : soit A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ(n). On montre qu’il existe V ∈ Γ tel que V A

soit triangulaire supérieure (ce qui est suffisant car toute matrice est équivalente –au sens de ∼– à son opposée). si c = 0 c’est clair. Supposons alors c ≠ 0.∃r, s ∈ ℤ : \frac{−a}{c} = \frac{s}{r} et (r, s) = 1. On sait aussi (identité de Bezout) que ∃p, q ∈ ℤ : ps − qr = 1.

Posant V = ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ) on a V A = ( \begin{matrix}• & • \\ 0 & rb + sd \end{matrix} ).

De plus rb + sd ≠ 0 car det(V A)=det(A)= n. □

Lemme 2 Considérons l’ensemble des ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) où d|n, d ≥ 1 et pour chaque

d fixé a = \frac{n}{d} et b parcourt un système de représentants de ℤ/dℤ. Alors cet ensemble est un système de représentants de Γ(n)/ ∼ i.e. deux éléments distincts de cet ensemble ne sont pas équivalents, et toute matrice de Γ(n) est équivalente à un de ces éléments.

preuve : Soient A_{i} = ( \begin{matrix}a_{i} & b_{i} \\ 0 & d_{i} \end{matrix} ) pour i = 1, 2 deux matrices de Γ(n).

Alors A_{1} ∼ A_{2} ssi a_{1} = εa_{2}, d_{1} = εd_{2}, b_{1} ≡ εb_{2} [d_{1}] où ε = ±1.

En effet, si A_{1} ∼ A_{2} il existe V = ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ) ∈ Γ tq A_{2} = V A_{1}

Puis : ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ 0 & d_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}pa_{1} & pb_{1} + qd_{1} \\ ra_{1} & rb_{1} + sd_{1} \end{matrix} ). D’où r = 0 (car a_{1} ≠ 0 et a_{1}r = 0).

Puis ps = 1 = det(V) donc p = s = ±1 = ε. Il reste alors a_{2} = εa_{1}, d_{2} = εd_{1}, etb_{2} = εb_{1} + qd_{1}.

La réciproque est claire : il suffit de prendre V = ( \begin{matrix}ε & q \\ 0 & ε \end{matrix} ).

Passons maintenant à la preuve du lemme : si nos deux matrices A_{1} et A_{2} sont dans notre système, et si elles sont équivalentes (pour ∼), alors on a : a_{1} = a_{2}, d_{1} = d_{2}, et b_{2} ≡ b_{1} [d_{1}]. Ici ε = 1 car d_{i} ≥ 1. b_{1} et b_{2} étant tous deux dans le même système de représentants de ℤ/dℤ, on a b_{1} = b_{2}. Soit à présent M ∈ Γ(n).

Alors (lemme 1) : M ∼ ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) , d ≥ 0.

Ecrivons b = b_{1} + qd où b_{1} est dans le système de représentants de ℤ/dℤ choisi.(on a bien d|n car ad = n).

Alors V = ( \begin{matrix}1 & q \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Γ vérifie V ( \begin{matrix}a & b_{1} \\ 0 & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) □

Lemme 3 Si A_{1} = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ 0 & d_{1} \end{matrix} ) ∈ Γ(n) et V_{1} ∈ Γ, alors il existe A_{2} ∈ Γ(n) et

V_{2} ∈ Γ vérifiant : A_{1}V_{1} = V_{2}A_{2} et A_{2} = ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ 0 & d_{2} \end{matrix} ).

En notant V_{i} = ( \begin{matrix}α_{i} & β_{i} \\ γ_{i} & δ_{i} \end{matrix} ) pour i = 1, 2 on a de plus :

a_{1}(γ_{2}A_{2}z + δ_{2}) = a_{2}(γ_{1}z + δ_{1})

preuve : D’après le lemme 1, il existe A_{2} ∈ Γ(n) triangulaire supérieure telle que A_{1}V_{1} ∼ A_{2}. Autrement dit, il existe V_{2} ∈ Γ telle que A_{1}V_{1} = V_{2}A_{2}. Un petit calcul montre alors que :

V_{2} = A_{1}V_{1}A_{2}^{−1} = \frac{1}{n} ( \begin{matrix}• & • \\ d_{1}d_{2}γ_{1} & a_{2}d_{1}δ_{1} − b_{2}d_{1}γ_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{2} & β_{2} \\ γ_{2} & δ_{2} \end{matrix} ) .

D’où γ_{2} = \frac{d_{1}d_{2}γ_{1}}{n} et δ_{2} = \frac{a_{2}d_{1}δ_{1}−b_{2}d_{1}γ_{1}}{n}. A partir de là et en utilisant d_{1}a_{1} = n on termine facilement la démonstration □

Remarque 3 Rappelons que T_{n}f(z) = n^{2k−1} ∑_{d|n} d^{−2k} ∑_{b=0}^{d−1} f(\frac{nz+bd}{d^{2}}).

Notant A = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) où d|n, ad = n, 0 ≤ b ≤ d − 1, on a :

n^{2k−1}d^{−2k}f(\frac{nz + bd}{d^{2}}) = \frac{a^{2k}}{n} f(Az).

Ainsi, on pourra écrire :

T_{n}f(z) = \frac{1}{n} ∑_{A} a^{2k}f(Az)

où A décrit un système quelconque de représentants de Γ(n)/ ∼ vu dans le lemme 2, le facteur a étant alors égal à A_{1,1}.

Proposition 2 T_{n} est un endomorphisme de M_{k} laissant M_{k}^{0} stable.

preuve : Soit V_{1} = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ∈ Γ. On a : T_{n}f(z) = \frac{1}{n} ∑_{A_{1}} a_{1}^{2k}f(A_{1}z) où A_{1}

parcourt un système de représentants de Γ(n)/ ∼(voir le remarque précédente). D’après le lemme 3, il existe V_{2} ∈ Γ et A_{2} ∈ Γ(n) tq A_{1}V_{1} = V_{2}A_{2}. Il vient, en utilisant le lemme 3 et le fait que f ∈ M_{k}: a_{1}^{2k}f(A_{1}V_{1}z) = a_{1}^{2k}f(V_{2}A_{2}z) = a_{1}^{2k}(γ_{2}A_{2}z + δ_{2})^{2k}f(A_{2}z) = a_{2}^{2k}(γz + δ)^{2k}f(A_{2}z), en gardant les notations du lemme 3. Il est clair que A_{2} parcourt aussi un système de représentants de Γ(n)/ ∼.On a alors :

T_{n}f(V z) = \frac{1}{n} ∑_{A_{1}} a_{1}^{2k}f(A_{1}V z) = \frac{1}{n}(γz + δ)^{2k} ∑_{A_{2}} a_{2}^{2k}f(A_{2}z) = (γz + δ)^{2k}T_{n}f(z).

Ce résultat, associé à la proposition 1 nous permet de dire que T_{n}f ∈ M_{k}. De plus la proposition 1 montre aussi que si f est parabolique alors T_{n}f l’est aussi. □

4.3 Opérateurs de Hecke et vecteurs propres simultanés

Proposition 3 Si (m, n) = 1 alors T_{m}T_{n} = T_{mn}.

preuve : Soit f ∈ M_{k}. Alors T_{n}f(z) = \frac{1}{n} ∑_{A} a^{2k}f(Az) où a = A_{1,1} et A décrit un système de représentants de Γ(n)/ ∼ formé de matrices triangulaires supérieures. Puis T_{m}T_{n}f(z) = \frac{1}{mn} ∑_{A,B} b^{2k}a^{2k}f(BAz) où a et A ont la même signification et b = B_{1,1} et B parcourt un système de représentants de Γ(m)/ ∼ formé de matrices triangulaires supérieures. En posant C = BA, c = C_{1,1} on a c = ab et C décrit un système de représentants de Γ(mn)/ ∼.(on le voit en écrivant explicitement A,B et en utilisant (m,n)=1 et le lemme 2). Alors T_{m}T_{n}f(z) = \frac{1}{mn} ∑_{C} c^{2k}f(Cz) = T_{mn}f(z) (voir la remarque 3) □

Proposition 4 Si m, n sont quelconques, on a :

T_{m}T_{n} = ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}T_{\frac{mn}{d^{2}}}

et pour p premier : T_{p^{r+1}} = T_{p}T_{p^{r}} − p^{2k−1}T_{p^{r−1}}

preuve : première étape : montrons d’abord T_{p^{r+1}} + p^{2k−1}T_{p^{r−1}} = T_{p}T_{p^{r}} pour p premier. On a

T_{p^{r}}f(z) = p^{−r} ∑_{0≤t≤r,0≤b_{t}<p^{t}} p^{2(r−t)k}f(\frac{p^{r−t}z + b_{t}}{p^{t}})

Puis

T_{p}T_{p^{r}}f(z) = \frac{1}{p^{r+1}} ( ∑_{{0≤t≤r \atop 0≤b_{t}<p^{t}}} p^{2(r−t)k}f(\frac{p^{r+1−t}z + pb_{t}}{p^{t}}) + ∑_{{0≤t≤r \atop 0≤b_{t}<p^{t}}} p^{2(r−t)k} ∑_{b=0}^{p−1} f(\frac{p^{r−t}z + b_{t} + bp^{t}}{p^{t+1}} ))

Or b_{t} + bp_{t} parcourt un système de représentants de ℤ/p^{t+1}ℤ. La seconde somme plus le terme correspondant à t = 0 de la première donnent donc T_{p^{r+1}}f(z). Ecrivons b_{t} = q_{t}p^{t−1}+r_{t} où 0 ≤ r_{t} < p^{t−1}. Alors, à t fixé, r_{t} décrit un système de représentants de ℤ/p^{t−1}ℤ, où chaque élément est répété p fois. Puisque f ∈ M_{k} on a :

T_{p}T_{p^{r}}f(z) = T_{p^{r+1}}f(z) + \frac{1}{p^{r+1}} ∑_{{1≤t≤r \atop 0≤r_{t}<p^{t−1}}} p^{2[r−(t−1)]k}f(\frac{p^{(r−1)−(t−1)}z + r_{t}}{p^{t−1}} )

En réindexant la somme, on obtient aisément T_{p}T_{p^{r}}f(z) = T_{p^{r+1}}f(z)+p^{2k−1}T_{p^{r−1}}f(z).

deuxième étape : on prouve que T_{p^{r}}T_{p^{s}} = ∑_{d|(p^{r},p^{s})} d^{2k−1}T_{\frac{p^{r+s}}{d^{2}}} où p est premier. On peut supposer s ≥ r. On raisonne par récurrence sur r. La première étape a initialisé la récurrence à r = 1. Soit dons s ≥ r + 1 ≥ 2. On a (∗) T_{p}T_{p^{r}}T_{p^{s}} = T_{p^{r+1}}T_{p^{s}} + p^{2k−1}T_{p^{r−1}}T_{p^{s}}. On applique alors l’hypothèse de récurrence(s ≥ r) qui donne T_{p^{r}}T_{p^{s}} = ∑_{t=0}^{r} p^{t(2k−1)}T_{p^{r+s−2t}}. On injecte alors cette relation dans le premier membre de (∗), puis on isole le terme en T_{p^{r+1}}T_{p^{s}} et on trouve qu’il est égal au résultat souhaité, car par hypothèse de récurrence :

∑_{t=0}^{r} p^{(t+1)(2k−1)}T_{p^{(r−1)+s−2t}} = p^{2k−1}T_{p^{r−1}}T_{p^{s}} .

troisième étape : cas général. Ecrivons m = p_{1}^{a_{1}} ⋯ p_{q}^{a_{q}} et n = p_{1}^{b_{1}} ⋯ p_{q}^{b_{q}} où a_{i}, b_{i} ∈ ℕ et les p_{i} sont premiers distincts . Alors T_{m}T_{n} = T_{p_{1}^{a_{1}}} T_{p_{1}^{b_{1}}} ⋯ T_{p_{q}^{aq}} T_{p_{q}^{bq}} car T_{r}T_{s} = T_{r}T_{s} si (r, s) = 1 (voir la proposition 2). D’où :

T_{m}T_{n} = ∑_{d_{1}|(p_{1}^{a_{1}} ,p_{1}^{b_{1}} )} d_{1}^{2k−1}T_{\frac{p{a_{1}+b_{1} \atop 1}}{d^{2}_{1}}} × ⋯ × ∑_{d_{q}|(p_{q}^{aq} ,p_{q}^{bq})} d_{q}^{2k−1}T_{\frac{p{aq +bq \atop q}}{d^{2}_{q}}}
= ∑_{d_{i}|(p_{i}^{a_{i}} ,p_{i}^{b_{i}})}(d_{1} ⋯ d_{q})^{2k−1}T_{\frac{mn}{(d_{1}···dq)^{2}}}
= ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}T_{\frac{mn}{d^{2}}} □

Proposition 5 Soit f ∈ M_{k}^{0}. Ecrivons f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}e^{2iπnz}. Alors f est un vecteur propre non nul de tous les T_{n} si et seulement si

∀m, n ∈ ℕ c_{m}c_{n} = c_{1} ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}c_{\frac{mn}{d^{2}}} et c_{1} ≠ 0

Dans ce cas \frac{c_{n}}{c_{1}} est valeur propre de T_{n}.

preuve : D’après la proposition 1 on a : T_{n}f(z) = ∑_{m=0}^{∞} γ_{n}(m)e^{2iπmz} où

γ_{n}(m) = ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}c_{\frac{mn}{d^{2}}}

Or T_{n}f = λ_{n}f ⇔ ∀m ∈ ℕ γ_{n}(m) = λ_{n}c_{m}. Alors γ_{n}(1) = c_{n} ⇒ λ_{n}c_{1} = c_{n}. Si c_{1} = 0 alors c_{n} = 0 pour tout n, i.e. f ≡ 0. Ainsi, si f est vecteur propre de tous les T_{n}, alors c_{1} ≠ 0 et on a bien :

c_{m}c_{n} = λ_{n}c_{1}c_{m} = c_{1}γ_{n}(m) = ∑_{d|(m,n)} d^{2k−1}c_{\frac{mn}{d^{2}}}

Réciproquement, si les c_{n} vérifient cette relation, il est clair que f est vecteur propre de T_{n} associé à la valeur propre λ_{n} = \frac{c_{n}}{c_{1}} . □

Conséquence : La fonction τ de Ramanujan vérifie :

∀m, n ∈ ℕ τ(m)τ(n) = ∑_{d|(m,n)} d^{11}τ(\frac{mn}{d^{2}})

∀p premier τ(p^{r+1}) = τ(p)τ(p^{r}) − p^{11}τ(p^{r−1})

preuve : On sait que M_{6}^{0} est de dimension 1 et que Δ ∈ M_{k}^{0}.Nécessairement, Δ est un vecteur propre non nul de tous les T_{n}. Le résultat découle alors de la proposition précédente. La seconde relation provient de la première appliquée à m = p et n = p^{r}. □

5 Ordre de grandeur de τ(n), diverses congruences relatives à τ

5.1 Ordre de grandeur

Ramanujan conjectura lors de son étude de la fonction Δ que l’on avait l’estimation : |τ(p)| ≤ 2p^{\frac{11}{2}} pour p premier. Il suffit d’estimer les valeurs de τ pour des valeurs premières, car on peut alors en déduire une estimation de τ(n) grâce aux relations obtenues au paragraphe précédent. Ainsi, la conjecture de Ramanujan entraîne : τ(n) = o(n^{\frac{11}{2} +ε}) pour tout ε > 0.

Ramanujan montra lui-même, par des méthodes élémentaires, que τ(n) = O(n^{7}) ([1]). Puis Hardy (utilisant des méthodes qui avaient été fructueuses lors de son travail en collaboration avec Littlewood sur le problème de Waring) montra en 1918 que τ(n) = O(n^{6}) ([4]). Ensuite vint Kloosterman avec τ(n) = O(n^{\frac{47}{8} +ε}) ∀ε > 0 (en 1927) ; Davenport et Salié affinèrent en O(n^{\frac{35}{6} +ε}) (1933) ; Rankin parvint à τ(n) = O(n^{\frac{29}{5}} ) en 1939 ([5]) ; citons enfin Selbert qui en 1963 prouva que τ(n) = O(n^{\frac{23}{4} +ε}) ([6]). La conjecture de Ramanujan fut démontrée en 1973 par Deligne ([7]).

C’est la meilleure estimation que l’on puisse espérer car on peut montrer que |τ(n)| > n^{\frac{11}{2}} pour une infinité de n.

Nous nous contenterons de montrer une estimation moins précise, mais valable pour toute les formes modulaires paraboliques :

Proposition 6 (Hecke) Si f ∈ M_{k}^{0} alors c_{n} = O(n^{k}) où f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}e^{2iπnz}.

preuve : Posons q = e^{2iπz}. Ayant c_{0} = 0, on peut écrire : f(z) = q ∑_{n=1}^{∞} c_{n}q^{n−1}. D’où |f(z)| ≤ |q| ∑_{n=1}^{∞} |c_{n}||q^{n−1}|. Ecrivons z = u + iv où u, v ∈ ℝ. Alors |q| ≤ e^{−2πv} < e^{−π} si on prend z dans D (le domaine fondamental de H). D’où |f(z)| ≤ A|q| où A = ∑_{n=1}^{∞} |c_{n}|e^{−(n−1)π}. Ainsi on a : |f(z)|v^{k} ≤ Av^{k}e^{−2πv} (en supposant toujours que z = u + iv ∈ D)

Posons g(z) = \frac{1}{2i}(z − \overline{z}) = v. Si z ∈ H et T = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ G.

On vérifie sans peine que : g(T z) = |cz + d|^{−2}g(z). Donc, en posant Φ(z) = |f(z)|g(z)^{k}, Φ est invariant par G. De plus Φ est continue et si z ∈ D on a : |Φ(z)| ≤ Av^{k}e^{−2πv}. Donc lim_{v→∞,z∈D} Φ(z) = 0. Φ est donc bornée sur D. Par suite, Φ est bornée sur H (par définition de D). Si M est un de ses majorants, on a |f(z)| ≤ Mv^{k}, z ∈H. Or c_{n} = ∫_{0}^{1} f(u + iv)e^{−n(u+iv)2iπ} du (formule des résidus). D’où : |c_{n}| ≤ ∫_{0}^{1} |f(u + iv)|e^{2πvn} du ≤ ∫_{0}^{1} Mv^{−k}e^{2πvn} du = Mv^{−k}e^{2πvn}. Ceci étant valable pour tout v > 0 on a (v = \frac{1}{n}) |c_{n}| ≤ Kn^{k} où K ∈ ℝ^{+}. □

Remarque : Si p est premier, on écrit 1 − c_{p}x + p^{2k−1}x^{2} = (1 − r_{1}x)(1 − r_{2}x) où r_{1}, r_{2} ∈ ℂ. Ainsi on a r_{1} + r_{2} = c_{p} et r_{1}r_{2} = p^{2k−1}. Petersson a conjecturé que r_{1} et r_{2} sont conjugués. Si cette conjecture s’avère être vraie, alors on en déduit que |r_{1}| = |r_{2}| = p^{k− \frac{1}{2}} .Puis |c_{p}| ≤ 2p^{k− \frac{1}{2}} . C’est cette conjecture qu’a en fait démontrée Deligne dans [7]. Ainsi on a le résultat suivant plus fin que celui de la proposition précédente (sous les mêmes hypothèses) :

c_{n} = O(n^{k− \frac{1}{2} +ε}) ∀ε > 0 .

5.2 Quelques congruences relatives aux τ(n)

L’aspect arithmétique de la fonction τ de Ramanujan nous laisse supposer l’existence de congruences où interviennent les τ(n). Ces congruences existent, mais ne sont pas forcément faciles à obtenir (cela étant sans doute dû au manque d’interprétation arithmétique intuitive ou simple de la fonction τ).

On peut distinguer deux types de congruences : celles qui sont vraies tout le temps et celles qui sont vraies presque tout le temps (en un sens à préciser). Par exemple les congruences :

τ(n) ≡ n^{2}σ_{7}(n) [27]
τ(n) ≡ nσ_{3}(n) [7]

τ(n) ≡ nσ(n) [5]

τ(7n + k) ≡ 0 [7] pour k = 3, 5, 6

τ(23n + k) ≡ 0 [23] pour (\frac{k}{23}) = −1

τ(n) ≡ σ_{11}(n) [691] (congruence de Ramanujan)

sont valables pour tout n, tandis que

τ(n) ≡ 0 [5] , τ(n) ≡ 0 [691]

ont lieu pour presque tout n, i.e. le rapport à n du nombre des entiers inférieurs ou égaux à n qui ne vérifient pas la congruence considérée tend vers 0 quand n tend vers ∞.

A titre d’exemple, montrons la congruence de Ramanujan : τ(n) ≡ σ_{11}(n) [691] On pose E_{k} = \frac{1}{2} \frac{G_{k}}{ζ(2k)} . Alors, en notant q = e^{2iπz}, on a en utilisant le développement de G_{k} en série de Fourier :

E_{3}(z) = 1 − 504 ∑_{n=1}^{∞} σ_{5}(n)q^{n}

E_{6}(z) = 1 + \frac{65520}{691} ∑_{n=1}^{∞} σ_{11}(n)q^{n}

Or E_{6} − E_{3}^{2} ∈ M_{6}^{0} et Δ est une base de M_{6}^{0}. Il existe donc a ∈ ℂ tel que E_{6} − E_{3}^{2} = \frac{a}{(2π)^{12}} Δ. On développe alors E_{6} − E_{3}^{2} en série de Fourier à partir de celles de E_{6} et E_{3} données plus haut, et on égale les coefficients avec ceux de \frac{a}{(2π)^{12}} Δ. On obtient alors :

\frac{65520}{691}σ_{11}(n) + 1008σ_{5}(n) − 504^{2} ∑_{m=1}^{n−1} σ_{5}(m)σ_{5}(n − m) = aτ(n)

Cette égalité prise pour n=1 nous donne la valeur de a et s’écrit alors :

τ(n) = \frac{65}{756}σ_{11}(n) + \frac{691}{756}σ_{5}(n) − \frac{691}{3} ∑_{m=1}^{n−1} σ_{5}(m)σ_{5}(n − m)

Le fait que σ_{11}(n), σ_{5}(n), τ(n) soient entiers et que 691 et 65 soient premiers entre eux, ainsi que 756 ≡ 65 [691] implique alors :

τ(n) ≡ σ_{11}(n) [691] □

Pour démontrer des congruences vraies pour presque tout entier, on peut utiliser le résultat suivant :

Si s est impair et k est un entier alors σ_{s}(n) ≡ 0 [k] pour presque tout n.

Ainsi, à partir de la congruence de Ramanujan, on arrive à τ(n) ≡ 0 [691] pour presque tout n. On montre de même que τ(n) ≡ 0 [5] pour presque tout n.

6 Série de Dirichlet associée à τ

La série de Dirichlet associée à τ est par définition :

Φ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{τ(n)}{n^{s}}

Remarquons que l’estimation de Hecke (proposition 6) nous assure la convergence de cette série pour ℜ(s) > 7. L’estimation due à Deligne nous donnerait un domaine de convergence plus étendu, mais nous n’en avons nul besoin ici.

Proposition 7

Φ(s) = ∏_{p premier} \frac{1}{1 − τ(p)p^{−s} + p^{11}p^{−2s}}

preuve : τ étant multiplicative, on a classiquement :

Φ(s) = ∏_{p premier} Φ_{p}(s)

où Φ_{p}(s) = ∑_{n=0}^{∞} τ(p^{n})p^{−ns}. Or on vérifie que Φ_{p}(s)(1 − τ(p)p^{−s} + p^{11}p^{−2s}) = 1, en utilisant la relation : τ(p^{n+1}) − τ(p)τ(p^{n}) = −p^{11}τ(p^{n−1}). □

Ainsi, la fonction τ vérifie :

(1) τ est multiplicative.

(2) τ(p)τ(p^{n}) = τ(p^{n+1}) + p^{11}τ(p^{n−1}) où p est premier.

(3) Φ(s) = ∏(1 − τ(p)p^{−s} + p^{11}p^{−2s})^{−1}

(En fait (1)+(2) équivaut à (3)).

Hecke ([12]) a montré que Φ se prolonge en une fonction holomorphe sur le plan entier.

Plus généralement, il a prouvé que la série de Dirichlet associée à une forme modulaire se prolongeait sur le plan en entier en une fonction méromorphe (qui est en fait entière si c’est une forme parabolique).

Hecke a de plus montré que si Φ est la série de Dirichlet associée à une forme modulaire de poids k, alors on a :

(4) (2π)^{−s}Γ(s)Φ(s) = (−1)^{k}(2π)^{s−2k}Γ(2k − s)Φ(2k − s)

En outre, il a aussi montré une réciproque : toute série de Dirichlet vérifiant (4) ainsi que des hypothèses de croissance et de régularité, provient d’une forme modulaire parabolique (cf [12]).

7 Conclusion

Quelques conjectures restent encore à démontrer. Par exemple, à l’heure actuelle on ne sait toujours pas si τ(n) ≠ 0 ∀n ∈ ℕ (conjecture de Lehmer). Lehmer lui-même, grâce à des relations de congruence, montra la non nullité de τ(n) pour n < 214 928 640 000.

D’autre part la conjecture de Ramanujan démontrée par Deligne permet d’écrire τ(p) sous la forme 2p^{\frac{11}{2}} cos ϕ_{p} (p premier, ϕ_{p} ∈ [0, π]). On peut alors se demander comment est répartie la suite des ϕ_{p}. On sait qu’elle n’est pas équirépartie selon la mesure de Lebesgue mais on conjecture (conjecture de Sato-Tate) qu’elle l’est selon la mesure \frac{2}{π} sin^{2} ϕdϕ, ce qui impliquerait des résultats intéressants en théorie des nombres (d’après J.P Serre).

A titre indicatif on donne les premières valeurs de τ extraites de la table de Lehmer qui a calculé les 300 premières valeurs en utilisant des relations de récurrence (en 1943, date à laquelle l’usage de l’ordinateur n’était pas encore répandu …) :

\begin{matrix}n & τ(n) & n & τ(n) & n & τ(n) & n & τ(n) \\ 1 & 1 & 16 & 987 136 & 31 & −52 843 168 & 46 & −447 438 528 \\ 2 & −24 & 17 & −6 905 934 & 32 & −196 706 304 & 47 & 2 687 348 496 \\ 3 & 252 & 18 & 2 727 432 & 33 & 134 722 224 & 48 & 248 758 272 \\ 4 & −1 472 & 19 & 10 661 420 & 34 & 165 742 416 & 49 & −1 696 965 207 \\ 5 & 4 830 & 20 & −7 109 760 & 35 & −80 873 520 & 50 & 611 981 400 \\ 6 & −6 048 & 21 & −4 219 488 & 36 & 167 282 496 & 51 & −1 740 295 368 \\ 7 & −16 744 & 22 & −12 830 688 & 37 & −182 213 314 & 52 & 850 430 336 \\ 8 & 84 480 & 23 & 18 643 272 & 38 & −255 874 080 & 53 & −1 596 055 698 \\ 9 & −113 643 & 24 & 21 288 960 & 39 & −145 589 976 & 54 & 1 758 697 920 \\ 10 & −115 920 & 25 & −25 299 225 & 40 & 408 038 400 & 55 & 2 582 175 960 \\ 11 & 534 612 & 26 & 13 865 712 & 41 & 308 120 442 & 56 & −1 414 533 120 \\ 12 & −370 944 & 27 & −73 279 080 & 42 & 101 267 712 & 57 & 2 686 677 840 \\ 13 & −577 738 & 28 & 24 647 168 & 43 & −17 125 708 & 58 & −3 081 759 120 \\ 14 & 401 856 & 29 & 128 406 630 & 44 & −786 948 864 & 59 & −5 189 203 740 \\ 15 & 1 217 160 & 30 & −29 211 840 & 45 & −548 895 690 & 60 & −1 791 659 520 \end{matrix}

Cette table est issue de [10] où l’on trouvera, en plus des 300 premières valeurs de τ(n), un résumé des résultats obtenus sur τ avant 1943.

Références

[1] S. Ramanujan. On certain arithmetical functions. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.

[2] L. J. Mordell. On Mr. Ramanujan’s empirical expansions of modular functions. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 19(1917), pp 117-124.

[3] E. Hecke. Uber Modulfunctionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. Mathematische Annalen, vol. 114(1937), pp.675-680.

[4] G. H. Hardy. Ramanujan. Cambridge University Press, 1940.

[5] R. A. Rankin. Contributions to the theory of Ramanujan’s function τ(n). Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol.35(1939), pp.351-372.

[6] A. Selberg. On the estimation of coefficients of modular forms. Proc. Sympos. Pure Math., vol. VIII,pp. 1-15.Amer.Math.Soc., Providence,R.I., 1965.

[7] P. Deligne. La conjecture de Weil. I. Inst. haut. Étude sci., Publ. math. 43, 1973,pp 273-307 (1974).

[8] J. P. Serre. Cours d’arithmétique. PUF.

[9] Tom M. Apostol. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. GTM 41.Springer-Verlag, 1976.

[10] D. H. Lehmer. Ramanujan’s function τ(n). Duke Maths.J.10(1943), pp 483-492.

[11] Carl Ludwig Siegel. A simple proof of η(−1/z) = (−iz)^{\frac{1}{2}} η(z). Mathematika 1 (1954) , p 4.

[12] E. Hecke. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung. Math. Ann. 112(1936), pp 664-699.