Algèbres de von Neumann, théorie non commutative de l’intégration, applications

Sylvain Maillot et Farid Sarkis

28 mai 1995

1 Théorie élémentaire des algèbres d’opérateurs

1.1 Mesures spectrales

Soit H un espace de Hilbert complexe que l’on supposera toujours séparable. Bien que H soit muni d’une norme canonique ∥.∥, l’étude de L(H) (l’ensemble des opérateurs bornés sur H) ne peut être faite uniquement à l’aide de cette norme. Par exemple, dès que l’on est en dimension infinie, la boule unité n’est jamais compacte pour la topologie de la norme.

Définition 1 On peut munir L(H) de plusieurs topologies, dont :

i. La topologie forte, induite par la famille de semi-normes (ρ_{ζ})_{ζ∈H} définies par ρ_{ζ}(x) = ∥xζ∥. Convergence forte : x_{i} ⟶ x ssi ∀ζ, x_{i}ζ ⟶ xζ.

ii. La topologie faible, induite par la famille de semi-normes (ρ_{ζ,η})_{ζ,η∈H} définies par ρ_{ζ,η}(x) =| ⟨xζ, η⟩ |. Convergence faible: x_{i} ⟶ x ssi ∀ζ, η ∈ H, ⟨x_{i}ζ, η⟩ ⟶ ⟨xζ, η⟩.

iii. La topologie σ-faible, induite par la famille de semi-normes (P_{ρ})_{ρ∈L^{1}(H)} définies par P_{ρ}(x) =| tr(xρ) |. Convergence σ-faible: x_{i} ⟶ x ssi ∀ρ ∈ L^{1}(H) | tr(ρ(x_{i} − x)) |⟶ 0.

Rappelons que la trace tr(x) d’un opérateur x est définie de la façon suivante : soit (e_{i})_{i∈I} une base orthonormée de H, alors tr(x) = ∑ ⟨xe_{i}, e_{i}⟩. Cette définition ne dépend bien sûr pas de la base choisie. Par contre la trace peut ne pas être définie pour certains opérateurs. L’ensemble des opérateurs à trace est noté L^{1}(H).

L(H) est muni de la norme ∥x∥ = sup_{∥ζ∥=1} ∥xζ∥ et de l’involution ∗ (x ⟼ x^{∗} adjoint de x) qui lui confèrent une structure de C^{⋆}-algèbre :

Définition 2 Une C^{⋆}-algèbre est une algèbre de Banach munie d’une involution * ayant les propriétés suivantes :

i. (aS + bT)^{∗} = āS^{∗} + b̄T^{∗} ii. (ST)^{∗} = T^{∗}S^{∗}

iii. (T^{∗})^{∗} = T

iv. ∥T^{∗}T ∥ = ∥T ∥^{2}

Pour tout opérateur x, on définit le spectre de x, Sp(x) comme étant l’ensemble des nombres complexes λ tels que x − λId ne soit pas inversible. En dimension finie, si x est diagonalisable, en notant Π_{i} les projecteurs sur les sous-espaces propres de x associés aux valeurs propres λ_{i} , on a x = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}Π_{i}. Cette décomposition se géneralise à la dimension infinie :

Théorème 1 Si x est un opérateur auto-adjoint sur un Hilbert H alors il existe une application B(Sp(x)) → e(B(Sp(x))) où e(B(Sp(x))) est un ensemble de projections définies à partir des boréliens de Sp(x) vérifiant :

i. e(Sp(x)) = 1 ;

ii. si F = ⋃_{n=1}^{∞} F_{n} et F_{n} ∩F_{m} = ∅ si n ≠ m alors Im(e(F)) = ⨁_{n=1}^{∞} Im(e(F_{n})) (e(F_{n}) sont des projecteurs orthogonaux) ;

iii. ∀ζ, η ∈ H, μ_{ζ,η}(F) = ⟨e(F)ζ, η⟩ est une mesure et ⟨xζ, η⟩ = ∫ λ dμ_{ζ,η}(λ)

que l’on note x = ∫ λ de(λ), on a même mieux, si f est mesurable, on définit f(x) = ∫ f(λ) dμ_{ζ,η}(λ).

Ceci permet par exemple de définir la racine carrée d’un opérateur positif (i.e. ∀ζ ⟨xζ, ζ⟩ ≥ 0). En effet, x est positif ssi x = x^{∗} et Sp(x) ⊆ [0, +∞[. Si on prend f(t) = \sqrt{t} on a tout de suite l’existence de y positif tel que x = y^{2}.

Cette écriture peut encore être affinée et même géneralisée pour des opérateurs non bornés.

Un opérateur H (non nécessairement borné) est une application linéaire d’un sous-espace D (noté domH) de H dans H. H est un opérateur fermé si son graphe est fermé. H est fermable si l’adhérence de son graphe est encore un graphe.

Définition 3 Un opérateur u est une isométrie partielle si :

∀ζ ∈ ker^{⊥}u, ∥uζ∥ = ∥ζ∥

Proposition 1 Si x est un opérateur, alors il existe une décomposition x = uh, appelée décomposition polaire de x, où u est une isométrie partielle et h un opérateur positif. Cette décomposition est unique si on impose en plus ker u = ker h = ker x.

(On prend h = \sqrt{x^{∗}x} ≥ 0.)

Il y a aussi un théorème spectral pour les opérateurs non bornés. Pour cela il faut d’abord définir l’adjoint d’un opérateur non borné.

Définition 4 si dom(H) = H, on définit H^{∗} l’opérateur adjoint de H comme l’opérateur de domaine :

dom(H^{∗}) = {η ∈ H/ ∃c > 0 tq ∀ζ ∈ dom(H) | ⟨Hζ, η⟩ |≤ c∥ζ∥}

et satisfaisant :

∀ζ ∈ dom(H) et η ∈ dom(H^{∗}) ⟨Hζ, η⟩ = ⟨ζ, H^{∗}η⟩

Théorème 2 Si H = H^{∗} alors il existe une mesure e() sur Sp(H) telle que : ζ ∈ dom(H) ⟺ ∫ | λ |^{2}dμ_{ζ,ζ}(λ) < ∞. On a alors ⟨Hζ, η⟩ = ∫ λdμ_{ζ,η}(λ).

1.2 Le théorème du bicommutant

Définition 5 Une algèbre de von Neumann M est une C^{⋆}-algèbre (avec élément unité) d’opérateurs sur un espace de Hilbert fermée pour la topologie faible. Si le centre de M n’est formé que de scalaires, on dit que M est un facteur.

Définition 6 Soit S ⊂ L(H), alors on définit S′ le commutant de S par :

S′ = {x′ ∈ L(H)/x′x = xx′ ∀x ∈ S}

Le thèoreme du bicommutant nous fournit une caractérisation des algèbres de von Neumann :

Théorème 3 Soit M une algèbre d’opérateurs sur un Hilbert. Si \overline{MH} = H (on dit que M est non dégénérée) alors il y a équivalence entre :

i. M = (M′)′

ii. M est faiblement fermée

iii. M est fortement fermée

Une algèbre de von Neumann est donc une sous algèbre de L(H) auto-adjointe et satisfaisant M = (M′)′

2 La théorie de Tomita-Takesaki

2.1 Théorie non commutative de l’intégration

On se pose la question de savoir si m : P(M) ⟼ [0, 1] additive (m(⋁_{n=1}^{∞} e_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} m(e_{n}) où les e_{n} sont des projections de M deux à deux orthogonales) peut être étendue à une fonctionnelle sur M, ayant la propriété de convergence monotone. Dans le cas où M = L^{∞}(X, F, μ) avec μ finie, les e_{n} sont alors des indicatrices et la réponse est donnée par l’existence de l’intégrale de Lebesgue. Dans ce cas, se donner une mesure est équivalent à se donner une forme linéaire positive Φ en posant Φ(f) = ∫fdμ et réciproquement μ(F) = Φ(1_{F}).

Définition 7 Une forme linéaire positive Φ sur une algèbre de v.N. M est :

i. un état si elle vérifie Φ(Id) = 1 = ∥Φ∥

ii. fidèle si ∀x ∈ M_{+} x ≠ 0 ⇒ Φ(x) > 0

iii. normale si Φ(x) = sup_{i} Φ(x_{i}) dès que x_{i} ↗ x dans M_{+}

iv. à trace si ∀x ∈ M Φ(x^{∗}x) = Φ(xx^{∗})

Dans le cas non commutatif, la réponse est également affirmative. La construction à l’aide de mesures additives est difficile et il est alors préférable de voir l’intégration sous l’angle de l’intégrale, c’est à dire grâce à des formes linéaires positives et normales.

2.2 La construction de Gelfand-Naimark-Segal (G.N.S.)

Si on prend M = L^{∞}(X, F, μ), le fait de choisir une forme linéaire, positive et normale, revient à se donner une mesure finie ν, absolument continue par rapport à μ. Une telle mesure ν donnée, il devient immédiat de construire l’espace L^{2}(X, F, ν) et la représentation associée de M comme algèbre opérant par multiplication sur L^{2}(X, F, ν). Le même genre de représentation peut être obtenue quand M est une algèbre de von Neumann quelconque (et même une C^{⋆}-algèbre).

Théorème 4 (G. N. S. ) Soit Φ une forme normale fidèle alors il existe un triplet (H_{Φ}, Π_{Φ}, Ω_{Φ}) tel que :

i. Π_{Φ} est un homomorphisme d’algèbres involutives de M dans L(H_{Φ})

ii. Ω_{Φ} ∈ H_{Φ} et H_{Φ} = \overline{Π_{Φ}(M)Ω_{Φ}}

iii. ∀x ∈ M Φ(x) = ⟨Π_{Φ}(x)Ω_{Φ}, Ω_{Φ}⟩

Le triplet est unique dans le sens suivant : si (H′_{Φ}, Π′_{Φ}, Ω′_{Φ}) est un autre triplet vérifiant ces propriétés, alors il existe un unique opérateur unitaire W : H_{Φ} ⟶ H′_{Φ} tel que W Ω_{Φ} = Ω_{Φ}′ et ∀x ∈ MΠ′_{Φ}(x) = W Π_{Φ}(x)W^{∗}.

De plus, Π_{Φ}(M) est une algèbre de v.N., Π_{Φ} conserve la norme, et est un homéomorphisme de M dans Π_{Φ}(M) σ-faiblement continu.

Preuve. Si x, y ∈ M, on définit [x, y] = Φ(y^{∗}x). Φ étant fidèle et positive, [., .] est définie positive et est donc un produit scalaire sur M. Soit H_{Φ} le complété de M pour ce produit scalaire. Soit η: M ⟼ H_{Φ} l’injection canonique et soit enfin Ω_{Φ} = η(1). En remarquant que x^{∗}x ≤ ∥x∥^{2}Id on en déduit que y^{∗}x^{∗}xy ≤ y^{∗}(∥x∥^{2}Id)y et l’inégalité:

∥η(xy)∥^{2} = Φ(y^{∗}x^{∗}xy) ≤ ∥x∥^{2}Φ(y^{∗}y) = ∥x∥^{2}∥η(y)∥^{2}.

Il existe donc un unique opérateur borné Π_{Φ}(x) sur H_{Φ} tel qu’on ait : Π_{Φ}(x)η(y) = η(xy) pour tout y ∈ M. Π_{Φ} est un *-homomorphisme d’algèbre de M dans L(H_{Φ}). Montrons par exemple que Π_{Φ} préserve l’adjonction. Pour cela on remarquera que η(M) est dense dans H_{Φ} et que si x ∈ M alors pour tous y, z dans M,

⟨Π_{Φ}(x)η(y), η(z)⟩ = [xy, z]
= Φ(z^{∗}xy) = Φ((x^{∗}z)^{∗}y)
= [y, x^{∗}z] = ⟨η(y), Π_{Φ}(x^{∗})η(z)⟩

et donc Π_{Φ}(x^{∗}) = Φ_{Φ}(x)^{∗}. Les deux dernières assertions viennent de la définition de Ω_{Φ} et du produit scalaire sur H_{Φ}.

2.3 Le Théorème de Tomita-Takesaki

Il n’existe pas toujours d’état normal fidèle et à trace sur un facteur. Par contre il peut exister plusieurs états fidèles et normaux.

Si Φ est un état normal et fidèle sur une algèbre de von Neumann M, Φ est à trace si et seulement si ∥Π_{Φ}(x)Ω_{Φ}∥ = ∥Π(x^{∗})Ω_{Φ}∥ pour tout x ∈ M. Dans le cas où il n’y a pas d’états à trace sur M, il est alors essentiel d’étudier le défaut d’isométrie de l’opérateur

Π_{Φ}(x)Ω ↦ Π_{Φ}(x^{∗})Ω_{Φ}.

C’est la finalité du théorème de Tomita-Takesaki.

Définition 8 Soit Ω ∈ H alors Ω est

i. cyclique pour M si \overline{[MΩ]} = H

ii. séparant pour M si ∀x ∈ M, x = 0 ⟺ xΩ = 0 Soit M une algèbre de von Neumann agissant sur H et soit Ω un vecteur de H cyclique et séparant pour M.

Proposition 2 Soient S_{0}, F_{0} les opérateurs conjugués de domaines respectifs MΩ et M′Ω définis par S_{0}(xΩ) = x^{∗}Ω et F_{0}(x′Ω) = x′^{∗}Ω. Alors S_{0} et F_{0} sont fermables et leurs fermetures S et F satisfont S = F^{∗} = F_{0}^{∗} et F = S^{∗} = S_{0}^{∗}.

Preuve. Ω étant cyclique et séparant pour M, Ω est alors aussi cyclique et séparant pour M′. S_{0} et F_{0} sont donc densément définis sur H et de manière non ambiguë. Si x ∈ M et x′ ∈ M′ alors :

⟨F_{o}(x′Ω), xΩ⟩ = ⟨x′^{∗}, xΩ⟩
= ⟨Ω, x′xΩ⟩ = ⟨Ω, xx′Ω⟩
= ⟨x^{∗}Ω, x′Ω⟩ = ⟨S_{0}(xΩ), x′Ω⟩

On a donc par définition de l’adjoint, MΩ ⊆ dom(F_{0}^{∗}) et F_{0}^{∗} | MΩ = S_{0}.

Ceci implique que F_{0}^{∗} est densément défini et donc que F_{0} est fermable. Si on note F la fermeture de F_{0} alors F^{∗} = F_{0}^{∗} est un prolongement de S_{0}. S_{0} est donc fermable et si on note S la fermeture de S_{0} alors F^{∗} = F_{0}^{∗} est un prolongement de S.

Le même type de raisonnement permet de montrer que S est un prolongement de F^{∗} = F_{0}^{∗}. Puis en inversant le rôle de F et S on obtient : F = S^{∗} = S_{0}^{∗}.

Proposition 3 Soit S = JΔ^{1/2} la décomposition polaire de l’opérateur fermé S alors :

i. J est auto-adjoint et antiunitaire, Δ est positif, auto-adjoint et inversible au sens des opérateurs non bornés.

ii. F = JΔ^{−1/2} est la décomposition polaire de F, on a Δ = F S et Δ^{−1} = SF.

iii. JΔJ = Δ^{−1} et si f est borélienne alors Jf(Δ)J = f̄(Δ^{−1}) ; en particulier ∀t ∈ R JΔ^{it}J = Δ^{−it}.

Preuve. Par définition, Δ = (Δ^{1/2})^{2} = S^{∗}S = F S et donc Δ est positif. J est une isométrie partielle d’espace initial \overline{ImF} et d’espace final \overline{ImS}. Comme M′Ω = ImF_{o} ⊆ ImF et MΩ = ImS_{o} ⊆ ImS, J est antiunitaire (ie. d’espace final et initial H). On a S_{o} = S_{o}^{−1}, S est donc inversible et S = S^{−1}. Ceci implique que Δ est inversible (car ker Δ^{1/2} = ker S = {0}). L’équation S = S^{−1} implique aussi que JΔ^{1/2} = S = S^{−1} = Δ^{−1/2}J^{∗} et donc que J^{2}Δ^{1/2} = JΔ^{−1/2}J^{∗}. JΔ^{−1/2}J^{∗} étant positif, autoadjoint et inversible, l’unicité de la décomposition polaire garantit que J^{2} = 1 et Δ^{1/2} = JΔ^{−1/2}J^{∗}.

Comme J est antiunitaire, on a J = J^{−1} = J^{∗} et JΔ^{−1/2}J = Δ^{1/2}. Ceci démontre la première et la troisième assertion (en utilisant JΔ^{−1/2}J = Δ^{1/2}). Pour la deuxième, il suffit de conjuguer l’equation S = JΔ^{1/2} pour avoir F = Δ^{1/2}J = JJΔ^{1/2}J = JΔ^{−1}.

Théorème 5 (Tomita-Takesaki) On a les relations suivantes :

i. ∀t ∈ R Δ^{it}MΔ^{−it} = M

ii. JMJ = M′

Preuve. Supposons que S est bornée, alors S, Δ et F sont des opérateurs bornés partout définis. Δ^{−1} est donc encore un opérateur borné partout défini. Comme Δ^{−1} = JΔJ on a :

((SxS)y)(zΩ) = (Sx)(z^{∗}y^{∗}Ω) = yzx^{∗}Ω  (1)

En prenant y = Id, on trouve (SxS)(zΩ) = zx^{∗}Ω d’où l’on déduit ((SxS)y)(zΩ) = (y(SXS)(zΩ). Ω étant cyclique, on a (SxS)y = y(SxS) et ceci quelque soit x et y. On a donc SMS ⊆ M′. De même échangeant les rôles de (M, S) et de (M′, F) il vient F M′F ⊆ M. En combinant les deux inclusions on trouve que ΔMΔ^{−1} ⊆ M et comme Δ = F S et Δ^{−1} = SF on trouve :

Δ^{n}MΔ^{n} ⊆ M pour n = 1, 2...  (2)

Soit z ∈ C et λ ∈ [0, ∞], on définit g(λ) = λ^{z} = exp z log λ et Δ^{z} = g(Δ). Δ étant inversible, on a toujours Δ^{z} borné. Soit x ∈ M, x′ ∈ M′, ζ, η ∈ H fixés soit la fonction :

∀z ∈ C f(z) = ∥Δ∥^{−2z}⟨[Δ^{z}xΔ^{−z}, x′]ζ, η⟩

Où [., .] est le commutateur: [a, b] = ab − ba. On a alors l’estimation grossière:

| f(z) |≤ ∥Δ∥^{−2ℜz}2∥Δ^{z}∥.∥Δ^{−z}∥.∥x∥.∥x′∥.∥ζ∥.∥η∥

Or, d’après la proposition précédente, JΔ^{z}J = Δ^{−z̄} = (Δ^{−z})^{∗}. Par conséquent, ∥Δ^{z}∥ = ∥Δ^{−z}∥ et donc si ℜz ≥ 0 :

∥Δ^{z}∥.∥Δ^{−z}∥ = ∥Δ^{z}∥^{2} = ∥(Δ^{z})^{∗}Δ^{z}∥ = ∥Δ^{2ℜz}∥ = ∥Δ∥^{2ℜz}

Et donc f est bornée (majorée par 2∥x∥.∥x′∥.∥ζ∥.∥η∥) sur le demi-plan ℜz ≥ 0. D’après (2), f(n) = 0 pour n = 0, 1, 2.... En utilisant un théorème d’analyse complexe (Théorème de Carlson), f est nulle sur C. On a donc ∀z ∈ C Δ^{z}MΔ^{−z} ⊆ M. En appliquant ceci à (−z) il vient ∀z ∈ CΔ^{z}MΔ^{−z} = M. En particulier pour z = it on obtient la première assertion. En en déduit aussi que ∀z ∈ CΔ^{z}M′Δ^{−z} = M′ d’où :

JMJ = JΔ^{1/2}MΔ^{−1/2}J = SMS ⊆ M′

et

JM′J = JΔ^{−1/2}M′Δ^{−1/2}J = F M′F ⊆ M

d’où la deuxième assertion.

Les applications x ⟼ Δ^{it}xΔ^{−it} sont σ-fortement continues et forment un groupe à un paramètre d’*-automorphismes de M.

Soit M une algèbre de von Neumann, Φ un état fidèle normal sur M. Soit (H_{Φ}, Π_{Φ}, Ω_{Φ}) le triplet donné par la construction G. N. S. . Soient enfin S_{Φ}, F_{Φ}, J_{Φ} et Δ_{Φ} les opérateurs associés à Φ.

Définition 9 Les opérateurs J_{Φ} et Δ_{Φ} sont respectivement appelés le conjugué modulaire et l’opérateur modulaire associés à (M, Φ). On note {σ_{t}^{Φ} : t ∈ R} le groupe à un paramètre de *-automorphismes de M (σ-faiblement continus) définis par :

σ_{t}^{Φ}(x) = Π_{Φ}^{−1}(Δ_{Φ}^{it}Π_{Φ}(x)Δ_{Φ}^{−it})

Groupe appelé flot modulaire associé à Φ.

2.4 La Condition K. M. S. (Kubo-Martin-Schwinger)

A chaque état (fidèle et normal) Φ, sur une algèbre de von Neumann M, est associé un flot modulaire {σ_{t}^{Φ} : t ∈ R}. Ce groupe a été obtenu grâce à la construction G.N.S. . Mais il est souvent utile d’avoir une description intrinsèque du flot modulaire. Ceci nous est donné par la condition K.M.S. .

Définition 10 On dit qu’un état Φ normal satisfait la condition K. M. S. (à la température β = 1) pour un groupe à un paramètre {α_{t}, t ∈ R} d’automorphismes σ-faiblement continus de M (ie ∀x α_{t}(x) ⟶ x quand t ⟶ 0) si, ∀x, y dans M, ∃F continue bornée F : {λ ∈ C/ 0 ≤ ℑλ ≤ 1} ⟶ C holomorphe à l’intérieur de la bande et telle que :

∀t ∈ R F (t + i) = Φ(xα_{t}(y)) et F (t) = Φ(α_{t}(y)x)

Lemme 1 Si Φ (état normal fidèle) satisfait la condition K. M. S. pour {α_{t}}_{t∈R} alors ∀t Φ ∘ α_{t} = Φ

Preuve. Soit F définie par la condition K.M.S. en prenant x = Id et y quelconque. On a alors ∀t ∈ R F (t + i) = Φ(α_{t}(y)) = F (t). F se prolonge alors en une fonction holomorphe sur C périodique (de période i). F étant bornée (sur la bande par définition et sur C par périodicité), le théorème de Liouville implique que F est constante. Et donc,

∀t, Φ(α_{t}(y)) = F (t) = F (0) = Φ(y)

Un flot vérifiant la condition K.M.S. est le même flot que celui que l’on obtient grâce à la construction G.N.S. . Si Φ est un état normal fidèle sur M alors {σ_{t}^{Φ}} est le seul flot sur M qui vérifie la condition K.M.S. .

Théorème 6 Soit Φ un état fidèle normal positif sur M alors les conditions suivantes sont equivalentes :

i. ∀t α_{t} = σ_{t}^{Φ}

ii. Φ satisfait la condition K. M. S. pour le flot {α_{t}}_{t∈R}

Corollaire 1

Φ ∘ σ_{t}^{Φ} = Φ

Définition 11 Le point fixe du flot α = {α_{t}}_{t∈R} sur M est une sous-algèbre de von Neumann de M notée M^{α},donnée par:

M^{α} = {x ∈ M/ ∀t α_{t}(x) = x}

si Φ est fidèle normal positif alors on le note M^{σ^{Φ}} car alors M^{Φ} = {x ∈ M/ ∀t σ_{t}^{Φ}(x) = x}

Corollaire 2 Soit Φ état fidèle normal sur M et x ∈ M, alors x ∈ M^{Φ} ssi ∀y ∈ M Φ(xy) = Φ(yx)

Preuve. Si x ∈ M^{Φ} et y ∈ M alors soit F donnée par la condition K.M.S. pour x et y. Alors ∀t ∈ R F (t) = Φ(xy) et F (t + i) = Φ(yx). Or F est constante car elle est constante sur les bords de la bande et donc Φ(xy) = Φ(yx).

Réciproquement si x vérifie ∀y ∈ M Φ(xy) = Φ(yx) alors la condition K.M.S. implique F (t) = Φ(σ_{t}^{Φ}(y)x) = Φ(xσ_{t}^{Φ}(y)) = F (t+i). F est alors constante car elle se prolonge par périodicité sur C en une fonction holomorphe bornée donc constante. On a Φ = Φ ∘ σ_{t}^{Φ} d’où ∀t Φ(yx) = F (0) = F (−t) = Φ(σ_{−t}^{Φ}(y)x) = Φ(yσ_{t}^{Φ}(x)). Et donc ∀y ∈ M Φ(y(σ_{t}^{Φ}(x)−x)) = 0, en prenant y = (σ_{t}^{Φ}(x) − x)^{∗}, comme Φ est fidèle, on trouve σ_{t}^{Φ}(x) = x.

2.5 Théorème du cocycle unitaire

Quand on munit une algèbre de von Neumann M de deux états normaux et fidèles distincts alors il subsiste des propriétés communes des flots modulaires associés. On sait même grâce au théorème du cocycle unitaire que, modulo le groupe des automorphismes intérieurs de M, le flot modulaire σ^{Φ} associé à M est indépendant de Φ. On note U(M) l’ensemble des éléments unitaires de M.

Théorème 7 (Théorème du cocycle unitaire de Connes) Si Φ et Ψ sont des états normaux et fidèles sur M, Il existe une application t ↦ u_{t} de R dans U(M), fortement continue et telle que:

i. ∀x ∈ M, t ∈ R σ_{t}^{Ψ}(x) = u_{t}σ_{t}^{Φ}(x)u_{t}^{∗}

ii. ∀s, t ∈ R u_{t+S} = u_{t}σ_{t}^{Φ}(u_{s})

3 Applications

3.1 Le problème du choix du temps physique

Nous allons à présent appliquer la théorie des algèbres de von Neumann au problème du choix du temps physique dans une théorie générale covariante.

Une telle théorie est la donnée d’un triplet (A, G, α) où A est une C^{⋆}-algèbre, G un groupe localement compact et α une représentation de G dans Aut A telle que pour tout x dans A, g ↦ α_{g}(x) soit continue. Une représentation covariante de (A, G, α) est donnée par un espace de Hilbert H, une représentation isométrique π_{A} de A sur H et une représentation unitaire π_{G} de G sur H vérifiant :

π_{G}(g)π_{A}(x)π_{G}(g)^{∗} = π_{A}(α_{g}(x)).

L’absence d’une notion naturelle d’évolution temporelle dans ce formalisme constitue une source de difficultés quand on cherche à interpréter concrètement la théorie. Nous allons donc tenter de définir abstraitement la notion de temps. Pour cela, il nous faut répondre à trois questions :

i. Quel type d’objet mathématique utiliser pour formaliser l’évolution temporelle?

ii. Quelle est l’origine physique du temps?

iii. Quelle formule relie le flot temporel à son origine?

Notre démarche pour aborder ce problème consiste à examiner des théories physiques dans lesquelles il est résolu et de raisonner par analogie.

Le temps comme action du groupe additif des réels sur une algèbre d’opérateurs En mécanique classique, les états du système étudié sont représentés par les points s d’une variété symplectique Γ appelée espace des phases et les observables par des fonctions f ∈ C^{∞}(Γ). L’évolution du système est décrite par un groupe à un paramètre de difféomorphismes de Γ de classe C^{∞}, le flot hamiltonien α_{t}^{S} : Γ → Γ, ou, de façon équivalente, un groupe à un paramètre d’automorphismes de l’algèbre C^{∞}(Γ), défini par :

(α_{t}f)s = f(α_{t}^{S}s).

Dans une théorie générale covariante, il n’y a pas d’équivalent de l’espace des phases, donc le premier point de vue ne peut être généralisé. En revanche le deuxième reste pertinent à supposer qu’à C^{∞}(Γ) on fasse correspondre l’algèbre non commutative A.

Nous avons donc répondu à notre première question : l’évolution temporelle du système physique décrit par une théorie générale covariante sera formalisée par une action du groupe (R, +) sur l’algèbre des observables A, c’est-à-dire un groupe à un paramètre d’automorphismes de cette algèbre.

Origine thermodynamique du temps Nous allons faire ici l’hypothèse fondamentale que le temps est d’origine thermodynamique (ce qui nous fournit la réponse à notre deuxième question). Il y a bien entendu de multiples arguments physiques en faveur de cette hypothèse, sur lesquels nous ne reviendrons pas. Nous allons plutôt nous intéresser ici à des motivations issues de la physique quantique, que nous présenterons sous une forme plus mathématique, ce qui nous permettra en même temps de proposer une réponse à notre troisième question.

Rappelons que pour passer de la mécanique classique à la mécanique quantique, on remplace l’espace des phases Γ par un espace de Hilbert H et les fonctions sur Γ par des opérateurs sur H, le crochet de Poisson de deux fonctions étant remplacé par (−i fois) le commutateur des deux opérateurs correspondants. Le flot temporel est représenté par le groupe à un paramètre d’automorphismes de l’algèbre A des opérateurs quantiques défini par :

γ_{t}A = e^{itH/h̄}Ae^{−itH/h̄}  (3)

où H est l’hamiltonien. (Dans toute la suite nous ferons h̄ = 1.)

Nous appellerons état thermodynamique une forme linéaire positive sur A définie par une relation du type

ω(A) = tr(Aω)  (4)

où on a par abus noté aussi ω un opérateur sur H qu’on supposera positif et de trace unité.^{1} On dit que ω est un état d’équilibre pour un flot α_{t} à la température inverse β = 1/k_{b}T (où k_{b} est la constante de Boltzmann et T la température absolue) si ω vérifie la condition KMS_{β} pour α_{t}. Haag, Hugenholtz et Winnink ont prouvé que dans le cas d’un système quantique comportant un nombre fini de degrés de liberté, l’état d’équilibre pour le flot hamiltonien γ_{t} est donné par la relation de Gibbs :

ω = Ne^{−βH}  (5)

où N = (tr(e^{−βH}))^{−1} est une constante de normalisation.

Comme dans le cas classique, le temps apparait sous la forme du flot hamiltonien. Or, dans une théorie générale covariante, il n’y a pas d’hamiltonien préférentiel. La dynamique du système ne peut donc pas être exprimée en termes d’une évolution par rapport à un paramètre extérieur. En revanche, si l’on se donne un état thermodynamique ω, on peut, en utilisant la théorie de Tomita-Takesaki, lui associer son flot modulaire α_{t}. Nous avons vu que ω vérifie la condition KMS pour α_{t} à température inverse β = 1. L’interprétation physique de ce résultat est la suivante : ω est un état d’équilibre pour son propre flot modulaire. Il est donc tentant de définir le flot temporel comme le flot modulaire engendré par ω. Cette définition est cohérente avec les remarques précédentes : le temps apparait sous la forme d’un groupe à un paramètre d’automorphismes de A; il est d’origine thermodynamique puisque lié à ω; en outre, on peut le définir en utilisant exclusivement le langage des C^{⋆}-algèbres et sans faire référence à un hamiltonien, ce concept est donc parfaitement généralisable aux théories générales covariantes.

1. On peut interpréter cette définition en termes physiques. En fait, dans les cas simples, ω est obtenu en normalisant la distribution de Gibbs ρ (cf. relation (5)).

3.2 L’hypothèse du temps thermique

Donnons une fomulation mathématique précise à la définition que nous venons d’esquisser.

Soit A l’algèbre des observables d’une théorie générale covariante, munie d’un état de la forme tr(Aω) où ω ≥ 0 et tr(ω) = 1. Nous penserons à ω comme représentant l’état thermodynamique du système physique considéré. La construction GNS permet alors d’associer à ω une représentation π de A sur un espace de Hilbert H tel que l’état ω soit représenté par un vecteur Ψ_{0} de H. Dans toute la suite, nous identifions A et π(A) pour A ∈ A. Nous définissons ensuite l’algèbre de von Neumann R comme l’adhérence σ-faible de π(A) ⊂ L(H). Soient S, F, J et Δ les opérateurs définis à la section 2.3. . Le flot modulaire est alors donné par la formule

α_{t}A = Δ^{−it}AΔ^{it}.  (6)

(Nous renversons les signes pour retrouver les conventions habituelles des physiciens). Le théorème de Tomita-Takesaki affirme que α_{t} est un groupe à un paramètre d’automorphismes de R.

Comme il est déterminé par l’état thermodynamique du système, ce flot est qualifié de “temps thermique”. L’hypothèse du temps thermique consiste à postuler que le temps physique et le temps thermique coïncident. Cette notion de temps est bien sûr plus faible que la notion habituelle dans la mesure où le flot temporel n’est pas universel et dépend de l’état du système ; toutefois, il est intéressant de remarquer que d’après le théorème du cocycle unitaire, les flots modulaires de deux états différents sont intérieurement équivalents. Cela signifie que même si deux états distincts peuvent définir des flots distincts, la classe d’équivalence intérieure des flots thermiques est un objet canonique qui ne dépend que de la structure de l’algèbre sur laquelle la théorie est définie.

Dans les sections suivantes, nous allons examiner quelques conséquences de cette hypothèse et montrer qu’elle permet de retrouver des résultats déjà connus, jouant ainsi un rôle unificateur.

3.3 Limite non relativiste

Dans cette section, nous appliquons l’hypothèse du temps thermique à la physique quantique munie de l’état de Gibbs ω défini par (5). Nous allons calculer le flot modulaire α_{t} engendré par ω et montrer qu’il s’identifie au flot hamiltonien γ_{t} défini par (3) à une constante près. On peut prouver ce résultat en vérifiant la condition KMS_{β} pour ω et γ_{t}, mais ici on va faire le calcul explicite en utilisant les opérateurs S, J et Δ, qui est intéressant en lui-même.

Pour cela, il nous faut construire une version de la représentation GNS pour l’état ω. Plutôt que la méthode habituelle, nous utilisons une astuce liée à la forme particulière de ω: on sait que l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur H défini par L^{2}(H) = {k ∈ L(H)| tr(k^{∗}k) < ∞} muni du produit scalaire ⟨k_{1}, k_{2}⟩ = tr(k_{2}^{∗}k_{1}) est un espace de Hilbert. On définit une représentation π de A sur L^{2}(H) en posant

π(A)k = Ak  (7)

pour A ∈ A et k ∈ L^{2}(H). Comme L^{2}(H) est un idéal bilatère, π(A) est bien dans L(L^{2}(H)). Posant maintenant

k_{0} = ω^{1/2}  (8)

on vérifie aisément que ω(A) = ⟨k_{0}, Ak_{0}⟩ (où l’on a encore identifié A et π(A)). Ceci prouve que (L^{2}(H), π, k_{0}) est bien une représentation GNS pour ω.

Nous pouvons donc appliquer la théorie de Tomita-Takesaki : on a

S(Ak_{0}) = A^{∗}k_{0}.  (9)

Posons, pour k ∈ L^{2}(H)

J(k) = k^{∗}  (10)
Δ(k) = e^{−βH}ke^{βH}.  (11)

Il est facile de vérifier que J est antiunitaire, Δ positif et que S = JΔ^{1/2}, ce qui prouve que cette dernière égalité est la décomposition polaire de S et que Δ est l’opérateur modulaire. Il suffit alors de calculer α_{t} en utilisant la formule (6). Tous calculs faits, on obtient :

α_{t}A = e^{iβtH}Ae^{−iβtH}  (12)

soit

α_{t} = γ_{βt}  (13)

ce qui est cohérent avec les deux résultats suivants : ω vérifie la condition KMS_{β} pour γ_{t} (physique) et la condition KMS_{1} pour α_{t} (mathématiques). On peut interpréter ce résultat en disant que le temps physique et le temps thermique coïncident à une constante près, cette constante étant proportionnelle à l’inverse de la température.

3.4 Limite classique

Revenons à une théorie générale covariante. Fixons une observable A et dérivons (6) par rapport à t. On obtient :

\frac{d}{dt}α_{t}A|_{t=0} = i[A, ln Δ] = i[A, ln ω]  (14)

Passons à la limite classique : notons f la fonction qui correspond à l’observable A et ρ la matrice de densité classique qui correspond à la matrice de densité quantique ω. Il suffit de faire toutes les substitutions nécessaires dans l’équation précédente en remplaçant formellement le commutateur par i fois le crochet de Poisson. L’équation précédente devient alors :

\frac{d}{dt}f = \{− ln ρ, f\},  (15)

ce que l’on peut écrire

\frac{d}{dt}f = \{H, f\}  (16)

en posant

ρ = e^{−H}.  (17)

L’évolution du système dans le temps thermique est donc donnée par l’équation de Hamilton (16), pourvu qu’on définisse l’hamiltonien par la relation de Gibbs (17). Toute l’information sur la dynamique du système est donc contenue dans la relation (6) ; là encore, le temps thermique est identique au temps “mécanique”, c’est-à-dire au flot hamiltonien classique.

3.5 Conclusion

Dans chacun des deux exemples de la limite non relativiste et de la limite classique, la notion d’évolution temporelle purement mécanique qui nous était donnée s’est trouvée être isomorphe à celle donnée par le temps thermique. Cela conforte le postulat selon lequel le temps physique est d’origine thermodynamique. Il existe d’autres situations où l’on peut relier le temps thermique à une notion de temps indépendante, par exemple de nature géométrique. L’hypothèse du temps thermique permet ainsi d’interpréter certains phénomènes thermodynamiques apparaissant en théorie quantique des champs^{2} ou en cosmologie.^{3}

2. Comme l’effet Unruh, ou encore la radiation de Hawking.

3. Par exemple, le temps de Friedman-Robertson-Walker peut être vu comme une limite classique de temps thermique.

Références

[1] R. V. Kadison et J. R. Ringrose. Fundamentals of the Theory of Operators Algebras. Pure and Applied Mathematics. Academic Press, 1983.

[2] V. S. Sunder. An Invitation to von Neumann Algebras. Universitext. Springer-Verlag, 1987.

[3] A. Connes et C. Rovelli. Von Neumann algebra automorphisms and timethermodynamics relation in general covariant quantum theories. Preprint ihes, 1994.