Correspondance Boson-Fermion

Bertrand Patureau Olivier Schiffmann

Mai 1995

1 Groupes et algebres de Lie

1.1 Groupes de Lie: definition et exemples

Definition: Un groupe de Lie G est un groupe muni d’une structure de variete C^{∞} sur ℝ ou sur ℂ, compatible avec les operations , c’est a dire que

G × G ↦ G
(x, y) ↦ xy
G ↦ G
x ↦ x^{−1}

sont des applications C^{∞}. On definit de la meme maniere un morphisme de groupes de Lie (morphisme de groupe et application C^{∞}). Un sous groupe de Lie est un sous groupe qui est une sous variete fermee de G. Exemples: Tous les groupes de matrices connus: GL_{n}, SL_{n}, SO_{p,q}, U_{n}, etc...

Revetements: On a les deux proprietes suivantes:

proposition 1 Soit G un groupe de Lie et ρ : H ↦ G un revetement avec H connexe. Soit e′ tel que ρ(e′) = e, element neutre de G. On peut munir H d’une structure de groupe de Lie dans laquelle e′ est l’element neutre, et telle que ρ soit un morphisme de groupe de Lie. De plus le noyau de ρ contient le centre de H.

Inversement:

proposition 2 Soit H un groupe de Lie, et Z un sous groupe discret de son centre. On peut munir H/Z d’une unique structure de Groupe de Lie telle que la projection H ↦ H/Z soit un morphisme de Groupe de Lie.

Ceci dit, definissons l’algebre de Lie associee a un groupe de Lie:

1.2 Algebre de Lie:

Un groupe topologique connexe G est engendre par n’importe quel voisinage de son element neutre. En particulier, tout morphisme ρ : G ↦ H est caracterise par son germe en l’identite. En fait, on a meme:

proposition 3 Soit G et H deux groupes Lie, G connexe, et ρ : G ↦ H un morphisme. ρ est entierement determine par dρ_{e} : T_{e}G ↦ T_{e}H.

Autrement dit, on peut caracteriser un morphisme de groupes par une application lineaire entre leurs espaces tangents en e. Le probleme inverse est: “Sous quelles conditions une application ϕ : T_{e}G ↦ T_{e}H est-elle la differentielle d’un morphisme de groupes de Lie?” Remarquons que si on note ψ_{g} : X ↦ X x ↦ g^{−1}xg (X groupe Lie), un morphisme de groupe est une application C^{∞} ρ rendant le diagramme suivant commutatif:

G →^{ρ} H
Ψ_{g} ↓  ↓ Ψ_{ρ(g)}
G →^{ρ} H

pour tout g ∈ G.

\underline{Remarques:} (1)- La construction de ad s’interprete comme un double passage a la limite de l’expression xyx^{−1} en e pour x, y ∈ G. Cela mesure donc le defaut de commutativite de G. Par exemple, pour G = GL_{n}, on a ad_{x}(y) = xy − yx. En particulier si G est commutatif, ad est nul. (2)-La construction de ad permet de demontrer les deux proprietes:

antisymmetrie : [x, y] + [y, x] = 0
Identite de Jacobi : [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0

la seconde provenant de l’associativite du groupe. En fait la definition de morphisme de groupes de Lie est assez rigide pour que cette propriete caracterise les differentielles de morphismes ρ : G ↦ H. On a en effet:

proposition 4 Soient G et H deux groupes de Lie, G connexe et simplement connexe. ϕ : T_{e}G ↦ T_{e}H lineaire est la differentielle d’un morphisme si et seulement si on a

ϕ([x, y]_{G}) = [ϕ(x), ϕ(y)]_{H}

\underline{Exemples:} Les groupes classiques, par exemple l’algebre de Lie associee a O_{n} est l’ensemble des matrices antisymetriques, etc.. Soit G le groupe des diffeomorphismes d’une variete C^{∞} M.Alors l’algebre de Lie associee est l’algebre des champs de vecteurs sur M, munie du crochet habituel. Ceci motive la definition suivante: definition : On appelle algebre de Lie 𝔤 un espace vectoriel (de dimension \underline{quelconque}) muni d’une application bilineaire antisymetrique

[,] : 𝔤 × 𝔤 ↦ 𝔤

qui verifie l’identite de Jacobi. On appelle algebre de Lie 𝔤 associee au groupe de Lie G l’espace T_{e}G muni de la forme ad. On definit de meme un morphisme d’algebre de Lie (application lineaire preservant le crochet [,]), sous algebre de Lie (sous espace vectoriel stable par [,]). On a le theoreme suivant:

proposition 5 Toute algebre de Lie de dimension finie est l’algebre de Lie associee a un Groupe de Lie, qui est unique si on le suppose connexe et simplement connexe.

1.3 Representations d’algebres de Lie

Definition: une representation de 𝔤 dans V est la donnee d’une application lineaire ϕ : 𝔤 ↦ End(V) verifiant:

ϕ([x, y]) = ϕ(x)ϕ(y) − ϕ(y)ϕ(x)

En dimension finie et si on ne considere que les groupes connexes simplement connexes, on a correspondance entre les representations de 𝔤 et celles de son groupe de Lie associe G. On dira pour cette raison qu’une representation de 𝔤 preserve certaines structures lorsque la representation correspondante de G les preserve. En particulier, soit ρ : G ↦ Aut(H) une representation de G dans un hilbert H. On dit que ρ est unitaire si ρ(g) l’est pour tout g ∈ G, c’est a dire si < ρ(g)(x), ρ(g)(y) >=< x, y >. Au niveau de l’algebre de Lie correspondante cela se traduit par la propriete :

ϕ : 𝔤 ↦ End(H)
< ϕ(g)(x), y > + < x, ϕ(g)(y) >= 0 pour x, y ∈ H

soit ϕ(g)^{∗} = −ϕ(g) oú * designe le passage a l’adjoint.

Plus generalement, soit 𝔤 une algebre de Lie complexe, munie d’une involution antilineaire, c’est a dire une application antilineaire ω : 𝔤 ↦ 𝔤 verifiant :

ω^{2} = Id
[ω(x), ω(y)] = −ω([x, y])

Soit V un espace de representation ϕ : 𝔤 ↦ End(v), muni d’une forme hermitienne: -Si < ϕ(g)(x), y >=< x, ϕ(ω(g))(y) > pour tout x, y ∈ V, on dira que <, > est contravariante (ω est alors le passage a l’adjoint si <, > est non degeneree) -Si, de plus, <, > est definie positive, on dira que ϕ est unitaire. Definissons aussi:

Une representation ϕ : 𝔤 ↦ End(V) est dite irreductible s’il n’existe pas de sous espace propre ferme de V stable par l’action de 𝔤 (pas de sous-representations). Une representation est completement reductible si elle est somme directe de representations irreductibles de dimensions finies, c’est a dire si:

V = ⨁_{i} V_{i} dim(V_{i}) < ∞

avec V_{i} stable par 𝔤 et irreductible pour la representation induite. Il revient au meme de dire que si U est un sous-𝔤-module, il existe un supplementaire de U qui est aussi un sous-𝔤-module. Enfin, la notion d’operateur d’entrelacement: Soient

ψ_{1} : 𝔤 ↦ End(V_{1})
ψ_{2} : 𝔤 ↦ End(V_{2})

deux representations et soit ρ : V_{1} ↦ V_{2} lineaire inversible telle que:

ρ ∘ ψ_{1}(g) = ψ_{2}(g) ∘ ρ pour g ∈ 𝔤

On dit alors que les deux representations sont isomorphes (ρ est alors un isomorphisme de 𝔤-module.

Exemple: 𝔤 = ℝ Soit L^{2}(ℝ) le ℂ-espace vectoriel des fonctions de carre integrable. Soient les representations ψ_{i} : ℝ ↦ End(L^{2}) definie par ψ_{1}(t) = τ_{t}, translation a droite de t, et ψ_{2}(t) = m_{exp(−it)} la multiplication par e^{−it}. Ces deux representations sont isomorphes et l’operateur d’entrelacement est donne par la transformation de Fourier.

Enfin, finissons cette section par un lemme tres utile par la suite:

lemme 1 Soit V une representation d’une algebre de Lie 𝔤. Si 𝔥 est une sous algebre commutative de dimension finie de 𝔤 et si V se decompose en somme directe de sous espaces propres de 𝔥: V = ⨁_{λ∈h^{∗}} V_{λ} oú 𝔥^{∗} est le dual de 𝔥 et V_{λ} = {v ∈ V/∀h ∈ 𝔥, h(v) = λ(h)v}, Alors toute sous representation U de V respecte cette decomposition:

U = ⨁_{λ∈h^{∗}}(U ∩ V_{λ})

Preuve: Soit u ∈ U , u = ∑_{i=1}^{i=n} v_{i} (v_{i} ∈ V_{λ_{i}}). les ensembles {h/λ_{i}(h) = λ_{j}(h)} (i ≠ j) sont des hyperplans de 𝔥, il y a donc au moins un element h ∈ 𝔥 qui n’est pas dans leur reunion donc tel que ∀i ≠ j , λ_{i}(h) ≠ λ_{j}(h) (on note dans la suite λ_{i} pour λ_{i}(h)). On a alors,

u = v_{1} + v_{2} + ... + v_{n}

hu = λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2} + ... + λ_{n}v_{n}
⋮
h^{n}u = λ_{1}^{n}v_{1} + λ_{2}^{n}v_{2} + ... + λ_{n}^{n}v_{n}

On a donc un systeme d’equations, de matrice inversible (son determinant est de Vandermonde), donc comme ∀k, h^{k}u ∈ U, les v_{i} sont aussi dans U et donc U admet bien la representation en somme directe proposee.

2 Representations de l’algebre de Heisenberg

2.1 Definition:l’ algebre de Heisenberg A:

C’est l’algebre de Lie complexe de dimension infinie de base {a_{i} i ∈ ℤ, et ℏ} verifiant les relations de commutation suivantes:

[a_{i}, a_{j}] = iδ_{i,−j}ℏ (i, j ∈ ℤ)
[a_{i}, ℏ] = 0 (i ∈ ℤ)  (1)

dont le centre est engendre par a_{0} et ℏ On la munit de l’involution anti-lineaire ω definie par

ω(a_{n}) = a_{−n} et ω(ℏ) = ℏ

Cette algebre intervient dans de nombreux problemes de Physique, notemment en theorie quantique des champs et en mecanique statistique.

2.2 Representation de A dans l’espace de Fock B

On definit B = ℂ[x_{1}, x_{2}, ...], l’algebre des polynomes en un nombre infini d’indeterminees.

proposition 6 soient ℏ, μ ∈ ℝ. On verifie qu’on definit bien une representation deA dans B en posant:

a_{n} = ∂/∂x_{n}
a_{−n} = ℏnx_{n} pour n > 0
a_{0} = μI et ℏ = ℏI  (2)

De plus cette representation est irreductible si ℏ ≠ 0 et unitaire des que ℏ > 0 Preuve: On verifie sans peine que c’est bien une representation. On ecrit A_{ann} = ⨁_{n>0} ℂa_{n} (operateurs d’annhilation), A_{cre} = ⨁_{n<o} ℂa_{n} (operateurs de creation), et C = ℂℏ ⊕ ℂa_{0}. On a bien sur A = A_{ann} ⊕ A_{cre} ⊕ C. Par applications successives d’operateurs d’annhilation, on ramene tout polynome au polynome 1. Inversement, si ℏ ≠ 0, on obtient tous les polynomes à partir de 1 par applications successives d’operateurs de creation, d’oú l’irreducibilite de ces representations. L’unitarite (pour ℏ > 0) sera demontree plus loin. Generalisons l’argument. On se place dans le cas ℏ ≠ 0. On appelle vecteur d’etat vide tout vecteur v verifiant les relations suivantes:

a_{n}(v) = 0 pour n > 0
a_{0}(v) = μv et ℏ(v) = ℏv  (3)

Cette definition est motivee par la proposition suivante, à la base de la correspondance Bosons-Fermions:

proposition 7 Soit V une representation de A admettant un vecteur d’etat vide note vac (vacuum en anglais). Alors les vecteurs a_{−1}^{k_{1}}...a_{−p}^{k_{p}}(vac) sont lineairement independants et engendrent V ssi V est irreductible. De plus la representation V est alors isomorphe à la representation de A dans B.

Preuve: Definissons un operateur d’entrelacement ϕ : B ↦ V par la formule: ϕ(P (x_{1}, ..., x_{n})) = P (x_{−1}/ℏ, ..., x_{−n}/nℏ)(vac). On a bien ϕ(a_{n}P) = a_{n}ϕ(P) pour tout P ∈ B et n ∈ ℤ. Vu que B est irreductible et ϕ non nul, on a Ker(B) = 0, d’oú l’independance lineaire souhaitee. De plus, on verifie a l’aide de (1) que Im(ϕ) est un sous 𝔤-module et l’isomorphisme ssi V irreductible.

Remarque: Plus generalement, on definit de maniere analogue les representations dites de plus haut poids. Plus precisemment, soit 𝔤 une algebre de Lie admettant une decomposition triangulaire:

𝔤 = 𝔫_{−} ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫_{+}

Un 𝔤-module V est dit de plus haut poids ∧ ∈ 𝔥^{∗} s’il admet un vecteur non nul v verifiant les relations:

𝔫_{+}(v) = 0 et h(v) = ∧(h)v si h ∈ 𝔥
𝔤(v) = V

et s‘il existe une decomposition

V = ⨁_{λ∈ℏ^{∗}} V_{λ} ou 𝔥^{∗} est le dual de 𝔥.

On montre, sous quelques hypotheses generalisant les conditions de commutation decrites plus haut (algebre de Kac-Moody), qu’il n’existe qu’une seule representation irreductible de plus haut poids donne. De meme, on montre sous ces memes hypotheses qu’il n’existe qu’une seule representation V de 𝔤 de plus haut poids donne dans laquelle V est un 𝔫_{−}-module libre de rang un engendre par un vecteur de plus haut poids v, c’est à dire que tous les vecteurs n(v), n ∈ 𝔫_{−} sont lineairement independants. On dit alors que V est un module de Verma. Dans le cas de l’algebre de Heisenberg, ce qui precede montre que ces deux representations sont confondues (c’est B), mais ce n’est pas le cas en general. L’exemple particulier de l’algebre de Virasoro est etudie plus loin.

Replacons nous dans le contexte de la proposition precedente: on pose

deg(a_{−1}^{k_{1}}...a_{−p}^{k_{p}}(vac)) = ∑_{i=1}^{p} ik_{i}

et on pose B_{i} = V ect({b|deg(b) = i}). D’apres ce qui precede, on a

B = ⨁_{i≥0} B_{i} dim(B_{i}) = p(i)

oú p(i) designe le nombre de partitions de l’entier i. C’est la graduation pricipale des representations de plus haut poids de A, et elles traduisent l’energie de l’etat identifie a a_{−1}^{k_{1}}...a_{−p}^{k_{p}}(vac), que l’on interprete comme k_{1} oscillateurs au niveau d’energie 1, k_{2} au niveau 2, etc.. Cela explique aussi la terminologie de vecteur vide: on obtient tous les autres par des excitations finies de vac. Interressons nous maintenant aux formes hermitiennes contravariantes. On a en fait la aussi unicite:

proposition 8 Soit V comme dans la proposition precedente. V est naturellement munie d’une unique structure hermitienne contravariante (a un multiple pres), dans laquelle les “monomes” a_{−1}^{k_{1}}...a_{−n}^{k_{n}}(v) sont othogonaux et de normes donnee par

< a_{−1}^{k_{1}}...a_{−n}^{k_{n}}(v)|a_{−1}^{k_{1}}...a_{−n}^{k_{n}}(v) >= ∏_{l=1}^{n} k_{l}!(lℏ)^{k_{l}}

qui est positive si et seulement si ℏ > 0.

Preuve: On verifie par recurrence sur k_{1}+...+k_{n} que les conditions < v|v >= 1 et < | > contravariante determinent completement le produit hermitien, et on verifie la formule de la meme maniere. C’est la encore une propriete qui s’etend aux representations de plus haut poids des algebres de Kac-Moody (cf appendice pour la definition).

3 Representation fermionique de l’algebre des matrices infinies

3.1 Definition: les espaces de matrices infinies à coefficients dans ℂ:

On definit le groupe GL_{∞} = {A = (A_{i,j})_{i,j∈ℤ} /A inversible et A − I n’a qu’un nombre fini de coefficients non nuls}, et son algebre de Lie gl_{∞} = {a = (a_{i,j})_{i,j∈ℤ} /a n’a qu’un nombre fini de coefficiants non nuls}, ainsi que l’algebre de Lie plus vaste \overline{a_{∞}} = \{a = (a_{i,j})_{i,j∈ℤ} /a_{i,j} = 0 pour |i − j| ≫ 0\} (Le produit est bien definie sur \overline{a_{∞}} - et par consequent sur les deux autres - les sommes intervenant etant toute finies) On introduit aussi l’espace V = ⨁_{k∈ℤ} ℂv_{k}, sur lequel les matrices infinies agissent normalement (v_{k} pouvant etre considere comme le vecteur colonne ayant un 1 à la k^{ieme} ligne et des 0 sur les autres.)

3.2 Representation de GL_{∞} et gl_{∞} dans l’espace fermionique F:

On definit F^{(0)} l’espace engendre par les monomes semi-infinis:

v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ v_{i_{−2}} ∧ ...

oú i_{0} > i_{−1} > ... et i_{k} = k pour |k| ≫ 0. On appelle vecteur parfait, le monome Ψ_{0} = v_{0} ∧ v_{−1} ∧ v_{−2} ∧ ... On peut de meme definir F^{(m)} (m ∈ ℤ) l’espace engendre par les monomes semi-infinis:

v_{i_{m}} ∧ v_{i_{m−1}} ∧ v_{i_{m−2}} ∧ ...

oú i_{m} > i_{m−1} > ... et i_{k} = k pour |k| ≫ 0. Cet espace a le vecteur de reference(ou vecteur vide) Ψ_{m} = v_{m}∧v_{m−1}∧v_{m−2}∧... En Physique, Ψ_{0} represente l’etat oú tous les niveaux d’energie negative sont remplis, et a partir duquel on peut obtenir tous les autres etats par une excitation finie, l’adjectif fermionique indiquant qu’on ne peut avoir plus d’une particule a un niveau d’energie fixe. On voit bien la la difference avec la representation bosonique. On definit alors l’espace “fermionique”

F = ⨁_{m∈ℤ} F^{(m)}.

Enfin le degre du monome Ψ = v_{i_{m}} ∧ v_{i_{m−1}} ∧ v_{i_{m−2}} ∧ ... de F^{(m)} sera donne par deg(Ψ) = ∑_{k=−∞}^{m} i_{k} − k, ce qui nous permet de donner la graduation principale de F^{(m)}: F^{(m)} = ⨁_{k∈ℤ} F_{k}^{(m)} oú F_{k}^{(m)} est le sous espace de F^{(m)} engendre par ses monomes de degre k. On trouve assez facilement que dim(F_{k}^{(m)}) = p(k). F est un espace propice aux representations des algebres de matrices infinies: La representation R de GL_{∞} sur F est definie par:

R(A)(v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ v_{i_{3}} ∧ ...) = A(v_{i_{1}}) ∧ A(v_{i_{2}}) ∧ A(v_{i_{3}}) ∧ ...

La representation induite r de gl_{∞} sur F est alors:

r(a)(v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ...) = a(v_{i_{1}}) ∧ v_{i_{2}} ∧ ... + v_{i_{1}} ∧ a(v_{i_{2}}) ∧ ... + ...

Et on a exp(r(a)) = R(exp(a)). On observe que

r(E_{i,j})(v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ...) = 0 si i_{k} ≠ j, ∀k

r(E_{i,j})(v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ...) = v_{i_{1}} ∧ ... ∧ v_{i_{k−1}} ∧ v_{i} ∧ v_{i_{k+1}} ∧ ... si i_{k} = j

En particulier r_{m}(E_{i,j}) envoie F_{k}^{(m)} sur F_{k+i−j}^{(m)}. Enfin on note ω l’extension de l’adjonction habituelle de M_{n}(ℂ) et on considere la forme hermitienne < ., . > sur F pour laquelle les monomes semi infinis forment une base orthonormale. La graduation principale de F^{(m)} est alors a fortiori une decomposition orthogonale. On verifie aisement sur les E_{i,j} que

< r(a)Ψ, Ψ′ >=< Ψ, ω(r(a))Ψ′ >

donc < ., . > est contravariant et r unitaire. On va maintenant pouvoir demontrer la

proposition 9 La representation unitaire r de gl_{∞} sur F est somme directe orthogonale des representations r_{m} sur F^{(m)} qui sont non isomorphes et irreductibles.

Demonstration: L’application du lemme 1 aux sous algebres ℂE_{i,i} montre que si U est une sous representation de F^{(m)}, U a une base formee de monomes semi infinis. De plus, U^{⊥} est alors lui aussi stable pour gl_{∞} et a la base orthonormale complementaire de celle de U dans l’ensemble des monomes semi infinis de F^{(m)}. En particulier, le vecteur Ψ_{0} appartient à l’un des deux espaces (par exemple U); mais alors, ∀Ψ ∈ F^{(m)} on a:

Ψ = v_{i_{m}} ∧ v_{i_{m−1}} ∧ ...v_{i_{m−k}} ∧ v_{m−k−1} ∧ ...
= r(E_{i_{m},m})r(E_{i_{m−1},m−1})...r(E_{i_{m−k},m−k})(Ψ_{m}) ∈ U

Donc U=F^{(m)} donc r_{m} est irreductible.

Remarquons l’analogie avec le cas des representations de plus haut poids de l’algebre de Heisenberg A, et generalisons l’argument: On reprend les notations de la remarque du paragraphe precedent: 𝔤 algebre de Lie admettant la decomposition 𝔫_{+} ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫_{−}, verifiant [𝔫_{+}, 𝔫_{−}] ⊂ 𝔥. Soit Λ ∈ 𝔥^{∗} et V une representation de 𝔤 engendree par un vecteur vac verifiant

𝔫_{+}(vac) = 0
h(vac) = Λ(h)vac

pour tout h ∈ 𝔥. V admet de plus une gradation de V V = ⨁_{k∈ℕ} V_{k} avecV_{0} = ℂvac verifiant:

𝔫_{−}(V_{k}) ⊂ ⨁_{l≥k}V_{l}

𝔫_{+}(V_{k}) ⊂ ⨁_{l≤k} V_{l}

𝔥(V_{k}) ⊂ ⨁_{l≥k} V_{l}

Dans ces conditions V est irreductible si et seulement tout vecteur v verifiant 𝔫_{+}(v) = 0 (v est singulier) est un multiple de vac. (En effet, si v est singulier, non multiple de vac, v ∈ V_{k}, (k > 0), et v engendre une sous representation propre incluse dans ⨁_{l≥k} V_{l} (utiliser les relations de commutation),dans l’autre sens c’est le meme argument.) Ici on est dans ce cas avec la gradation principale definie precedemment, et en posant 𝔫_{+} = ⨁_{i>j} ℂE_{i,j}, 𝔫_{+} = ⨁_{i<j} ℂE_{i,j},et enfin 𝔥 = ⨁_{i} ℂE_{i,i}, pour lesquels on verifie que les conditions imposees sont bien verifiees. On obtient ainsi pour chaque forme lineaire sur 𝔥^{∗} une representation de plus haut poids. En particulier, les representations decrites plus haut sont de plus haut poids avec, pour chaque m ∈ ℤ la forme lineaire Λ_{m} definie par

Λ(E_{i,i}) = 1 si i ≤ m
Λ(E_{i,i}) = 0 si i > m

3.3 Representation de a_{∞} sur F:

La representation r de gl_{∞} sur F ne peut s’etendre directement à \overline{a_{∞}}; en effet, \overline{a_{∞}} se decompose en somme directe des espaces ayant seulement la k^{ieme} diagonale non nulle (a_{k} = ∑_{i∈ℤ} λ_{i}E_{i,i−k}). Si on essaie de definir r(a_{k}) pour k ≠ 0 il n’y a pas de problemes. Par contre,

r(a_{0})Ψ_{m} = (λ_{m} + λ_{m−1} + λ_{m−2} + ...)Ψ_{m}

La somme du deuxieme membre n’est generalement pas definie. Il faut donc remanier la representation r, ce que l’on fait en posant

r̂_{m}(E_{i,j}) = r_{m}(E_{i,j}) si i ≠ j ou i = j > 0
r̂_{m}(E_{i,i}) = r_{m}(E_{i,i}) − I si i ≤ 0.

On a maintenant,

r̂_{m}(a_{0})Ψ_{m} = (∑_{i=1}^{m} λ_{i})Ψ_{m} si m > 0,

r̂_{m}(a_{0})Ψ_{m} = −( ∑_{i=0}^{m+1} λ_{i})Ψ_{m} si m < 0,

r̂_{m}(a_{0})Ψ_{m} = 0 si m = 0.

Donc si a ∈ \overline{a_{∞}}, alors r̂_{m}(a) envoie F^{(m)} sur lui meme. Cependant, r̂ n’est pas une representation lineaire de \overline{a_{∞}} car les r̂(E_{i,j}) n’obeissent pas aux memes relations de commutation que les E_{i,j}. En effet, on a [E_{i,j}, E_{j,i}] = E_{i,i} − E_{j,j} alors que [r̂_{m}(E_{i,j}), r̂_{m}(E_{j,i})] = r̂_{m}(E_{i,i}) − r̂_{m}(E_{j,j}) + α(E_{i,j}, E_{j,i})I oú α(E_{i,j}, E_{j,i}) = −α(E_{j,i}, E_{i,j}) = 1 si i ≤ 0 et j > 0, 0 sinon.

On obtient ainsi, à cause du terme scalaire, une representation projective de \overline{a_{∞}}. On peut alors faire de r̂ une representation lineaire d’une extention centrale de \overline{a_{∞}}, c’est à dire de l’algebre de Lie a_{∞} = \overline{a_{∞}} ⊕ ℂc (c etant un element central), avec les relations de commutations: [a, b] = ab − ba + α(a, b)c oú α est une forme bilineaire definie plus haut par ses valeurs sur les couples (E_{i,j}, E_{j,i}) et par le fait qu’elle s’annulle sur tous les autres couples de matrices elementaires.

Soit maintenant ∧ = {∧_{k} = ∑_{i∈ℤ} E_{i,i+k}, k ∈ ℤ} la sous algebre commutative de \overline{a_{∞}} des operateurs de translation (∧_{k}(v_{j}) = v_{j−k}). On calcule:α(∧_{n}, ∧_{k}) = nδ_{n,−k}, si bien que

[r̂_{m}(∧_{n}), r̂_{m}(∧_{k})] = nδ_{n,−k}r̂_{m}(c).

On retrouve les relations de commutation de A. De plus l’involution antilineaire ω definie sur A correspond bien a celle definie sur ∧ par induction. On a donc construit une representation r̂ “fermionique” de A unitaire. On est dans les conditions d’application de la proposition 7 pour chaque r̂_{m}: les elements de F^{(m)} de la forme r̂_{m}(∧_{k_{s}})r̂_{m}(∧_{k_{s−1}})...r̂_{m}(∧_{k_{1}})Ψ_{m} (0 < k_{1} ≤ k_{2} ≤ ... ≤ k_{s}) sont lineairements independants; or ils sont tous à valeurs dans F_{k}^{(m)} oú k = k_{1} + k_{2} + ... + k_{s} et en nombre p(k) = dim(F_{k}^{(m)}), ils engendrent donc F^{(m)}, donc la representation r̂ est irreductible et isomorphe a celle de A sur B! C’est la correspondence Bosons-Fermions.

4 Representations de a_{∞} et de gl_{∞} dans B. Operateurs Vertex

On a obtenu, pour chaque m ∈ ℤ une representation r̂_{m} de la sous-algebre de a_{∞} engendree par les {∧_{k}, k ∈ ℤ; c} ≃ A dans B. On peut donc les etendre a a_{∞} tout entier par la correspondance, pour obtenir les “representations fondamentales”de a_{∞} et gl_{∞} dans ℂ[x_{1}, x_{2}, ...]. Pour faire d’une pierre ℤ coups, posons:

σ_{m} : F^{m} ↦ B
Ψ_{m} ↦ 1

l’operateur d’entrelacement normalise (dont la formule explicite sera donnee plus tard), et

σ : F = ⨁_{m∈ℤ} F^{(m)} ↦ ⨁_{m∈ℤ} B = ℂ[x_{1}, x_{2}, ...; z, z^{−1}] = B

l’application induite, oú on a identifie la m-ieme copie de B avec z^{m}ℂ[x_{1}, ...]. Reformulons le probleme. On a pour (k > 0)

σr̂(∧_{k})σ^{−1} = ∂/∂x_{k}

σr̂(∧_{−k})σ^{−1} = kx_{k}
σr̂(∧_{0})σ^{−1} = z∂/∂z

et on voudrait calculer σr̂(E_{i,j})σ^{−1}. Reduisons le probleme en introduisant les deux types d’operateurs suivants:

v̂_{j} : F ↦ F
v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ... ↦ v_{j} ∧ v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}}...

v̌_{j}^{∗} : F ↦ F
v_{i_{1}} ∧ v_{i_{2}} ∧ ... ↦ v_{j}^{∗}(v_{i_{1}})v_{i_{2}} ∧ ... − v_{j}^{∗}(v_{i_{2}})v_{i_{1}} ∧ .. + ...

avec v_{j}^{∗}(v_{i}) = δ_{i,j}. Le premier s’apparente a un produit exterieur et le deuxieme a un produit interieur. L’interet est qu’on a alors r(E_{i,j}) = v̂_{i}v̌_{j}^{∗}, et il suffit maintenant de determiner σv̂_{i}σ^{−1} et σv̌_{i}^{∗}σ^{−1}. L’idee est de voir ce que les relations de commutations de ces operateurs avec les r̂(∧_{i}) implique. Comme on va avoir a travailler avec des series de Laurent, placons nous dans le complete B̂ de B: B̂ = ℂ[[x_{1}, x_{2}, ...]]. On definit de meme F̂ et on prolonge σ de F̂ ↦ B̂ = ⨁ z^{m}B̂. Tout est base sur le lemme fondamental suivant:

lemme 2 Soit Γ : B ↦ B̂.

i) Si [x_{i}, Γ] = λ_{i}Γ pour tout i ∈ ℕ, alors Γ = Γ(1)e^{− ∑_{i≥0} λ_{i}∂/∂x_{i}} ii) Si [∂/∂x_{i}, Γ] = μ_{i}Γ pour tout i ∈ ℕ, alors Γ(1) = ce^{∑_{i≥0} μ_{i}x_{i}} (c ∈ ℂ) iii) Si i) et ii) sont verifies, alors Γ = ce^{− ∑_{i≥0} λ_{i}∂/∂x_{i}}e^{∑_{i≥0} μ_{i}x_{i}}.

Demonstration: i)Posons T_{λ}f(x_{1}, x_{2}, ...) = f(x_{1} + λ_{1}, x_{2} + λ_{2}, ...) Comme f est une somme de Laurent, et vu que T_{λ} agit sur des polynomes, on peut ecrire la formule de Taylor: T_{λ} = e^{∑_{i≥1} λ_{i}∂/∂x_{i}} On a

[x_{j}, ΓT_{λ}] = x_{j}ΓT_{λ} − ΓT_{λ}x_{j} = (λ_{j}Γ + Γx_{j})T_{λ} − Γ(λ_{j}T_{λ} + x_{j}T_{λ}) = 0.

(on a utilise la relation −λ_{j}T_{λ} = [x_{j}, T_{λ}]). Il faut donc montrer que si Y verifie [x_{i}, Y] = 0 pour tout j ∈ ℕ, alors Y (f) = Y (1)f, ce qui se demontre par recurrence sur le degre de f.

ii)D’une maniere analogue, on voit que [∂/∂x_{j}, e^{− ∑ μ_{i}x_{i}}Γ] = 0 d’oú on conclut que ∂/∂x_{j}(Γ(1)) = 0 et Γ(1) est constant. iii) est un corrolaire du i) et du ii).

On va maintenant fabriquer des operateurs verifiant cette propriete: pour cela, considerons

X(u) = ∑ u^{j}v̂_{j}
X^{∗}(u) = ∑ u^{−j}v̌_{j}^{∗}

En utilisant la relation [r̂(∧_{j}, v̂_{k}] = v̂_{k−j} et son homologue [r̂(∧_{j}, v̌_{k}^{∗}] = −v̌_{k+j}^{∗} on demontre les relations esperees, si j ≠ 0:

[r̂(∧_{j}, X(u)] = u^{j}X(u)
[r̂(∧_{j}, X^{∗}(u)] = −u^{j}X^{∗}(u)

et donc que Γ(u) = σX(u)σ^{−1} et Γ^{∗}(u) = σX^{∗}(u)σ^{−1} verifient chacun exactement les conditions du lemme. Comme Γ(u) : z^{m}B̂ ↦ z^{m+1}B̂, on en conclut que

Γ_{m}(u) = c_{1}(m)ze^{− ∑_{i∈ℕ} \frac{u^{−i}}{i} ∂/∂x_{i}}e^{∑_{i∈ℕ} u^{i}x_{i}}

oú Γ_{m} est la restriction de Γ a la m-ieme copie de B dans B. De meme on a :

Γ^{∗}(u) : z^{m}B ↦ z^{m−1}B̂
Γ_{m}^{∗}(u) = c_{2}(m)z^{−1}e^{∑_{i∈ℕ} \frac{u^{−i}}{i} ∂/∂x_{i}}e^{∑_{i∈ℕ} u^{i}x_{i}}

On determine c_{1}(m) = u^{m+1} et c_{2}(m) = u^{−m} en evaluant < X(u)Ψ_{m}, Ψ_{m+1} > et < X^{∗}(u)Ψ_{m+1}, Ψ_{m} >. Les operateurs \underline{vertex} ainsi definis jouent un role croissant dans la theorie des representations d’algebres du type gl_{∞} (algebres de Kac-Moody), oú ils permettent aussi d’etendre les representations de la sous-algebre de Heisenberg dans B a toute l’algebre pour obtenir les “representations fondamentales”.

On a donc, en terme de series generatrices, les representations de v̂_{i} et de v̌_{j}^{∗}. On en deduit les series generatrices des r̂_{m}(E_{i,j}):

∑ u^{i}v^{−j}r_{m}(E_{i,j}) = X(u)X^{∗}(u), donc
∑ u^{i}v^{−j}σ_{m}r_{m}(E_{i,j})σ_{m}^{−1} = Γ_{m}(u)Γ_{m}^{∗}(v)

Un long calcul permet de mettre cela sous la forme definitive:

∑_{i,j∈ℤ} u^{i}v^{−j}σ_{m}r_{m}(E_{i,j})σ_{m}^{−1} = \frac{(u/v)^{m}}{1 − (v/u)}Γ(u, v)

avec l’operateur vertex:

Γ(u, v) = e^{∑_{j≥1}(u^{j}−v^{j})x_{j}}e^{− ∑_{j≥1} \frac{u^{−j} −v^{−j}}{j} ∂/∂x_{j}}

Pour la representation r̂_{m}, qui se deduit facilement de r_{m}, on a la formule:

∑_{i,j∈ℤ} u^{i}v^{−j}σ_{m}r̂_{m}(E_{i,j})σ_{m}^{−1} = \frac{1}{1 − (v/u)}((u/v)^{m}Γ(u, v) − 1)

On a donc obtenu, en terme de series generatrices, les representations fondamentales de gl_{∞} et a_{∞} indexees par m ∈ ℤ dans B.

5 Correspondance Bosons-Fermions

Cherchons maintenant a expliciter les isomorphismes σ_{m}. Pour plus de simplicite on traitera le cas m = 0. σ_{0} est entierement determine par les relations (k > 0)

σ_{0}(Ψ_{0}) = 1
r̂_{0}(∧_{k}) = ∂/∂x_{k}
r̂_{0}(∧_{−k}) = kx_{k}
r̂_{0}(∧_{0}) = 0

On commence par introduire les \underline{polynomes elementaires de Schur} S_{k}(x) qui sont definis par:

e^{∑ x_{i}z^{i}} = ∑ S_{k}(x)z^{k}

(en particulier S_{k}(x) = 0 si k < 0 et S_{0}(x) = 1). On remarque la relation ∧_{k} = ∧_{1}^{k}. On sait que σ preserve le degre, et on va par consequent travailler sur F_{d}^{(0)} a d fixe. Sur cet espace l’operateur ∧_{k} (k > 0) coïncide avec γ^{k} = (∑_{i=−n}^{i=n} E_{i,j+1})^{k} = ∑_{i=−n+k}^{i=n−k} E_{i,j+k} pour n assez grand. De meme σr̂(γ^{k})σ^{−1} coïncide donc sur l’espace des polynomes de degre inferieur a d avec ∂/∂x_{k}. Dans tout ce qui suit il faut prendre les egalites entre operateurs comme des coïncidences sur les espaces qui nous interessent. Ceci dit, la correspondance s’obtient en considerant l’expression suivante, en une infinite de variables y_{1}, y_{2}, ...:

R(e^{y_{1}γ^{1}+y_{2}γ^{2}+...})

qui, transporte par σ vaut:

σR(e^{y_{1}γ^{1}+y_{2}γ^{2}+...})σ^{−1} = σe^{r(y_{1}γ^{1}+y_{2}γ^{2}+...)}σ^{−1} = e^{∑ y_{i}∂/∂x_{i}}

C’est l’operateur de translation de vecteur (y_{i}) (formule de Taylor). Soit maintenant v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ ... ∈ F et P (x) = σ(v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ ...). D’apres ce qui precede, on a

e^{∑_{i≥1} y_{i}∂/∂x_{i}}P (x) = P (x + y)

donc en particulier, le coefficient de 1 dans cette derniere expression vaut P (x+ y)_{x=0} = P (y). Calculons, dans F, l’expression correspondante. On a

e^{y_{1}γ^{1}+y_{2}γ^{2}+...} = e^{∑_{k≥1} y_{k}γ^{k}} = ∑_{k≥0} S_{k}(y)γ^{k}

en reordonnant. Pour calculer P (y), il faut donc calculer le coefficient de Ψ_{0} dans

R(e^{y_{1}γ^{1}+y_{2}γ^{2}+...})(v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ ...)

Or il resulte d’un developpement de produits exterieurs qu’alors

P (y) = detA_{0,−1,−2,...}^{i_{0},i_{−1},i_{−2}...}

c’est a dire le determinant de l’intersection dans A des lignes 0, −1, −2, ... et des colonnes i_{0}, i_{−1}, i_{−2}, ...(qui est bien defini car A ∈ GL_{∞}) oú A est la matrice ∑_{k≥0} S_{k}(y)γ^{k} = {A_{m,n} = S_{n−m}(y) pour m et n pas trop grands}. Ces polynomes sont appeles polynomes de Schur generalises, et sont notes S_{i_{0},i_{−1}+1,...}(y). On a ainsi donne la forme explicite de la correspondance Bosons-Fermions:

σ(v_{i_{0}} ∧ v_{i_{−1}} ∧ ...) = S_{i_{0},i_{−1}+1,...}(y)

6 Application aux Equations aux Derivees Partielles KP

6.1 Action de GL_{∞} dans B

GL_{∞} opere dans F^{0}, donc dans B par la correspondance Bosons-Fermions. On va voir qu’en tant que tel, il s’apparente au groupe de symmetrie d’un systeme infini d’equations aux derivees partielles (hierarchie KP). Plus precisemment, caracterisons l’orbite Ω de 1 par un tel systeme:

proposition 10 On se place dans F^{(0)}. τ ≠ 0 ∈ Ω si et seulement si

∑_{j∈ℤ} v̂_{j}(τ) ⊗ v̌_{j}^{∗}(τ) = 0  (4)

Demonstration: Ψ_{0} verifie l’equation car v̂_{j}(Ψ_{0}) = 0 si j ≤ 0 et v̌_{j}^{∗}(Ψ_{0}) = 0 si j > 0, l’argument s’etendant a tout monome. Soit τ ∈ Ω, i.e τ = R(A)(Ψ_{0}) avec A ∈ GL_{∞}. On a les relations de conjugaison suivantes:

R(A)v̂R(A)^{−1} = Âv
R(A)v̌^{∗}R(A)^{−1} = ^{ ť}A^{−1}v^{∗}

Si on applique R(A) a l’equation ∑_{j∈ℤ} v̂_{j}(Ψ_{0}) ⊗ v̌_{j}^{∗}(Ψ_{0}) = 0, on obtient:

∑_{j∈ℤ} R(A)v̂_{j}R(A)^{1}(τ) ⊗ R(A)v̌_{j}^{∗}R(A)^{−1}(τ) = 0

Developpons ceci en notant A_{=}(a_{i,j}) et A^{−1} = (\overline{a}_{i,j}). On a alors

0 = ∑_{j,i,k} a_{j,i}v̂_{i}(τ) ⊗ \overline{a}_{k,j}v̌_{k}^{∗}(τ) = ∑_{i,k}(∑_{j} a_{j,i}\overline{a}_{k,j})v̂_{i}(τ) ⊗ v̌_{k}^{∗}(τ) = ∑_{j∈ℤ} v̂_{j}(τ) ⊗ v̌_{j}^{∗}(τ)

d’oú la conclusion. On a montre en fait que l’ensemble des solutions etait stable par l’action de GL_{∞}. Inversement, soit τ verifiant l’egalite. Ecrivons τ = ∑_{i=1}^{p} c_{i}τ_{i} en choisissant τ_{1} de degre maximal. On peut remplacer τ par son image sous l’action de n’importe quel element de GL_{∞} sans changer ni le fait qu’il soit solution de l’equation ni le fait qu’il appartienne a Ω. En utilisant les matrices de permutation des vecteurs de base de F, et en envoyant les premiers vecteurs de τ_{1} sur des v_{k} (k suffimant grand), on peut s’assurer que τ_{1} soit de degre strictement maximal et meme que tous les degre des monomes soit de degre distincts. Ensuite, on peut s’assurer que l’on a

∀j < k, R(E_{j,k})(τ_{1}) ≠ τ_{i}  (5)

en remplacant τ par R(e^{−c_{i}E_{j,k}})τ si τ_{i} ne verifie pas (5) (la demonstration peut se faire par recurence sur le degre maximal des τ_{i} ne verifiant pas (5)). On arrive donc a τ = τ_{1} + s avec aucun monome de s de la forme (5). Or, on voit que dans ce cas la, de

∑_{j∈ℤ} v̂_{j}(τ_{1} + s) ⊗ v̌_{j}^{∗}(τ_{1} + s) = 0

on deduit s = 0, puis τ ∈ Ω car τ_{1} ∈ Ω.

6.2 Traduction en terme d’equations differentielles dans B

On peut exprimer la condition en terme d’operateurs vertex:

X(u)(τ) ⊗ X^{∗}(u)(τ) = ∑_{j,i} u^{i−j}v̂_{i}(τ) ⊗ v̌_{j}^{∗}(τ)  (6)

dont c’est le terme constant. De l’isomorphisme entre F^{0} et B, on deduit un isomorphisme entre F^{0} ⊗F^{0} et B ⊗B = ℂ[x_{1}, x_{2}, ....; x′_{1}, x′_{2}, ...], et les operateurs vertex sont:

Γ(u) = uze^{− ∑_{i∈ℕ} \frac{u^{−i}}{i} ∂/∂x_{i}}e^{∑_{i∈ℕ} u^{i}x_{i}}
Γ^{∗}(u) = z^{−1}e^{∑_{i∈ℕ} \frac{u^{−i}}{i} ∂/∂x′_{i}}e^{− ∑_{i∈ℕ} u^{i}x′_{i}}

L’expression devient alors

ue^{(−2 ∑_{j≥1} u^{j}(x_{j}−x′_{j}))}e^{−(∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} (∂/∂x_{j}−∂/∂x′_{j}))}τ(x)τ(x′)

Un changement de variables y = \frac{x′−x}{2} et w = \frac{x+x′}{2} permet de la mettre sous la forme

ue^{(∑_{j≥1} u^{j}y_{j})}e^{(∑_{j≥1} \frac{u^{−j}}{j} ∂/∂y_{j})}τ(w + y)τ(w − y).  (7)

6.3 forme bilineaire d’Hirota-Hierarchie KP

Continuons a exploiter la formule. En utilisant les polynome de Schur definis au n^{o} precedent, on a

u(∑_{j≥0} u^{j}S_{j}(−2y))(∑_{j≥0} u^{−j}S_{j}( ˜∂_{y})τ(w − y)τ(w + y))  (8)

oú on a defini ˜∂_{y} = (\frac{1}{i}∂/∂y_{i})_{i≥1}. On peut maintenant exprimer le terme constant, et on a l’equation:

∑_{j≥0} S_{j}(−2y)S_{j+1}( ˜∂_{y})τ(w − y)τ(w + y)  (9)

Or, la formule de Taylor (τ est un polynome) montre que

S_{j+1}( ˜∂_{y})τ(w − y)τ(w + y) = [S_{j+1}( ˜∂_{u})τ(w − y − u)τ(w + y + u)]_{u=0}

= [S_{j+1}( ˜∂_{u})e^{∑_{s≥1} y_{s}∂/∂u_{s}}τ(w − u)τ(w + u)]_{u=0}  (10)

Introduisons maintenant la notation suivante: Forme bilineaire d’Hirota: Soit P ∈ ℂ[x_{1}, x_{2}, ...], f et g deux fonctions d’une infinite de variables. On note P f • g la fonction

[P (∂/∂u_{1}, ∂/∂u_{2}, ...)(f(x_{1} − u_{1}, x_{2} − u_{2}, ...)(g(x_{1} + u_{1}, x_{2} + u_{2}, ...)]_{u=0}

Avec cette notation,τ ∈ Ω si et seulement si

∑_{j≥0} S_{j}(−2y)(S_{j+1}(x̃)e^{∑_{s≥1} y_{s}x_{s}})τ(x) • τ(x)  (11)

pour toutes les valeurs de y. En developpant cette expression par rapport a y, on obtient une infinite d’equations aux derivees partielles en x, dont les solutions communes sont exactement les elements de Ω. C’est la hierarchie KP (Kadomtzev-Petviashvili). En particulier, l’equation KP a proprement dite est obtenue en considerant le coefficient de y_{3}: (apres un ultime changement de variables!)

\frac{3∂^{2}u}{4∂y^{2}} = \frac{∂}{∂x}(\frac{∂u}{∂t} − \frac{3}{2}u\frac{∂u}{∂x} − \frac{∂^{3}u}{4∂x^{3}} )

Or les monomes semi-infinis sont dans l’orbite de GL_{∞} dans F, donc par la correspondence Bosons Fermions, les polynomes de Schur fournissent des solutions de la hierachie KP!

7 Representations de l’algebre de Virasoro

7.1 Definition

Soit D l’algebre de Lie complexe de dimension infinie de base {d_{i}, i ∈ ℤ} avec les relations de commutation:

[d_{i}, d_{j}] = (i − j)d_{i+j}

En posant d_{n} = −z^{n+1} \frac{d}{dz} on peut identifier cette algebre au complexifie de l’algebre des champs de vecteurs polynomiaux sur le cercle S^{1}. En Physique, elle intervient de maniere centrale en theorie conforme des champs, ainsi qu’en mecanique statistique. On definit l’involution antilineaire suivante: ω(d_{n}) = d_{−n}. L’element d_{0} (qui est auto-adjoint) est appele operateur d’energie. L’algebre de Virasoro est l’extension centrale de D obtenue en posant:

V ir = D ⊕ ℂc

et les relations de commutations:

[d_{m}, d_{n}] = (m − n)d_{m+n} + δ_{m,−n} \frac{(m^{3} − m)}{12}c

[d_{m}, c] = 0

On peut montrer que toute extension non triviale de D par un centre de dimension 1 est isomorphe a V ir. On etend l’involution antilineaire en posant ω(c) = c, de sorte que d_{0} et c soient autoadjoints. Encore pour des raisons physiques, on appelle c la charge centrale.

Montrons qu’on peut deduire de la representation de A dans B une representation unitaire de V ir avec charge centrale c = 1 (on prends la representation de A avec ℏ = 1 pour plus de simplicite) Pour cela, on pose:

L_{k} = \frac{1}{2} ∑_{j∈ℤ} : a_{−j}a_{j+k} := \frac{ϵ}{2}a_{k/2}^{2} + ∑_{j≥−k/2} a_{−j}a_{j+k} (k ∈ ℤ)

oú ϵ = 0 si k est impair et ϵ = 1 sinon. Les doubles points indiquent un reordonnement defini par:

: a_{i}a_{j} := a_{i}a_{j} si i ≤ j
: a_{i}a_{j} := a_{j}a_{i} si j ≤ i

Cette somme definie bien un operateur grace au reordonnement (i.e, appliquee a un vecteur, tous les termes sont nuls sauf un nombre fini). On demontre que c’est bien une representation de V ir. De plus, l’involution antilineaire ω_{1} definie sur les a_{i} coincide avec ω, involution definie sur V ir. La representation de A etant unitaire, celle de V ir l’est donc aussi. La graduation principale definie sur B devient une decomposition en sous-espaces propres pour l’operateur energie L_{0} = μ^{2}/2 + ∑_{j>0} a_{−j}a_{j}. En effet, on a

a_{−j}a_{j}[a_{−1}^{k_{1}}a_{−2}^{k_{2}}....a_{−n}^{k_{n}}(vac)] = k_{j}a_{−1}^{k_{1}}a_{−2}^{k_{2}}....a_{−n}^{k_{n}}(vac)

d’apres les formules de commutations dans A. Ainsi B_{i} est le sous-espace propre de L_{0} associe a la valeur propre μ^{2}/2+i, ce qui est coherent avec l’interpretation physique du degre. Cette decomposition etant orthogonale, on peut montrer :

proposition 11 La representation ainsi obtenue de V ir est completement reductible.

demonstration On utilise ici le lemme 1 demontre dans l’introduction: Soit U une sous representation. On a alors

U = ⨁_{i∈ℕ}(U ∩ B_{i}).

De plus L_{0} est unitaire (il est autoadjoint et la representation est unitaire), et les B_{i} de dimension finie, donc on peut ecrire

U^{⊥} = ⨁_{i≥0} U_{i}^{⊥}

U_{i}^{⊥} denotant l’orthogonal de U_{i} = B_{i} ∩ U dans B_{i}. On a ainsi

B = U ⊕ U^{⊥},

et U etant une sous representation et <, > etant contravariant, U^{⊥} est aussi une sous representation.

7.2 Representations de plus haut poids de Vir

De la meme maniere que pour les autres algebres de Lie decrites precedemment, on definit les representations de plus haut poids de V ir comme etant des representations V admettant un vecteur nomme vac ayant les proprietes:

𝔫_{+}(vac) = 0 et d_{0}(vac) = hvac et c(vac) = cvac
V ir(v) = V

oú on a pose 𝔫_{+} = ⨁_{i≥1} ℂd_{i} (operateurs de creation), 𝔥 = ℂd_{0} ⊕ ℂc, et enfin 𝔫_{−} = ⨁_{i≤1} ℂd_{i} (operateurs d’annulation). Il est facile de voir que, dans la representation precedente, 1 est un vecteur de plus haut poids associe a la forme lineaire definie par d_{0}(1) = μ^{2}/2 et c(1) = 1. Soit B′ la sous representation (de plus haut poids) engendree par 1. On a :

proposition 12 Une representation V de plus haut poids unitaire de Virasoro est irreductible

demonstration Une representation de plus haut poids est d_{0} diagonalisable: en effet, elle est engendree en tant qu’espace vectoriel par les “monomes”

d_{−i_{k}}...d_{−i_{1}}(vac)

et les relations de commutations [d_{0}, d_{j}] = jd_{j} montrent que

d_{0}[d_{−i_{k}}...d_{−i_{1}}(vac)] = ((∑ i_{k}) + h)d_{−i_{k}}...d_{−i_{1}}(vac)

De plus, la dimension de chaque espace propre associe a la valeur propre l + h est au plus p(l) (nombre de partitions de l’entier l), et p(l) exactement si tous les monomes avec ∑ i_{k} = l sont lineairement independants. Donc, en particulier, ils sont de dimension finie, et la proposition precedente montre que si U est une sous representation de V, on a V = U + U^{⊥} avec U et U^{⊥} gradues selon la decomposition en espaces propres. Or vac engendre l’espace propre associe a h, donc vac ∈ U ou vac ∈ U^{⊥}. Or V ir(vac) = V, donc la decomposition est triviale. En particulier, B′ est irreductible.

remarque : On a vu que l’espace propre V_{i+h} associe a la valeur propre h + i est de dimension dimV_{i+h} ≤ p(i). On definit

ch(v) = ∑_{j∈ℤ^{+}} dim(V_{i+h})q^{h+j}

caractere de la representation V.

7.3 Unicite de la representation irreductible V(c,h). Modules de Verma:

definition Une representation de plus haut poids de V ir est de Verma si tous les monomes decrits plus hauts sont lineairement independants. Il revient au meme de dire que dim(V_{i+h}) = p(i). De la definition des representations de Verma on deduit que toutes les autres representations de plus haut poids associees a la meme forme lineaire sur ℂd_{0} ⊕ ℂc (c’est a dire au meme couple (c,h)), sont quotients d’une representation de Verma. En particulier, il existe une unique representation de Verma, notee M(c, h).( L’existence de M(c, h) est assuree par la construction suivante: soit U l’algebre envellopante de V ir, et I(c, h) l’ideal engendre par {d_{n} (n > 0), d_{0} − h.1, c−c.1}. Le quotient U/I(c, h) est une representation de V ir (multiplication a gauche), de plus haut poids (c,h) engendree par le vecteur 1. L’independance lineaire des monomes etant assuree par le theoreme de Poincarre-Birkhoff-Witt, on a bien fabrique une representation de Verma.) L’utilite de la representation de Verma est qu’elle permet de demontrer l’unicite des representations irreductibles de plus haut poids (c, h) de V ir:

proposition 13 Pour chaque valeur de (c,h), il n’existe qu’une seule representation irreductible de plus haut poids de Vir, notee V ir(c, h)

demonstration Une representation irreductible de V ir est le quotient du module de Verma par une sous-representation maximale. Il faut donc montrer qu’il n’existe qu’une seule telle sous-representation maximale. Or si U et V sont des sous-representations propres de M(c, h), graduees suivant la decomposition en espace propres de M(c, h), d’intersection nulle avec l’espace propre M(c, h)_{h} = ℂvac . Donc V ⊕ U est aussi d’intersection nulle avec M(c, h)_{h}, et est donc une sous-representation propre. Il s’ensuit qu’une sous-representation maximale est la somme de toutes les sous-representations propres, d’oú l’unicite souhaitee.

La representation de Verma permet aussi de determiner l’unique forme hermitienne contravariante de V ir(c, h), si c, h sont reels.

proposition 14 Supposons (c,h) reels. M(c, h) est muni d’une unique forme hermitienne contravariante <, > verifiant < vac, vac >= 1, et la decomposition en espaces propres (la graduation principale) est orthogonale. De plus, l’unique sous-representation maximale J(c, h) est le noyau de <, >.

demonstration L’unicite se demontre par recurrence (cf prop. 8). On peut la definir comme suit:

P (v) = d_{−i_{m}}d_{−i_{m−1}}...vac et Q(v) = d_{−j_{n}}d_{−j_{n−1}}...vac

< P (v), Q(v) >= le coefficient de vac dans la decomposition de ω(P)Q(v)

(ω(P)Q(v) = d_{i_{1}}...d_{i_{n}}d_{−j_{n}}...d_{−j_{1}}vac)

Cette forme est hermitienne si et seulement si (c, h) ∈ ℝ, et < P (v), Q(v) >= 0 si ∑ i_{k} ≠ ∑ j_{l}, d’oú l’orthogonalite de la decomposition en espaces propres pour d_{0}. <, > etant contravariante, son noyau est une sous-representation propre. De plus, toute sous-representation propre V de M(c, h) est dans le noyau: en effet, si P (v) ∈ M(c, h) et Q(v) ∈ V,

ω(P)Q(v) ∈ V ⊂ ⨁_{i>0} M(c, h)_{i+h}

donc le coefficient de vac dans cette expression est nul, ce qui acheve la demonstration.

Corrolaire: V ir(c, h) admet une unique forme hermitienne contravariante, qui est non-degeneree.

On dit que V ir(c, h) est degeneree si V ir(c, h) ≠ M(c, h). La proposition precedente donne les conditions d’unitarite et de degenerescence de V ir(c, h): V ir(c, h) est degeneree si et seulement si <, > est degeneree, et V ir(c, h) est unitaire si et seulement si <, > est positive semi-definie.

8 La formule du determinant de Kac

8.1 Calcul:

Pour determiner les valeurs de (c, h) pour lesquelles <, > est degenere, ou positive , on utilise tout d’abord l’orthogonalite des espaces propres M(c, h)_{h+l} pour se ramener a la dimension finie. On doit alors considerer la suite M_{n} (n > 0) des matrices de taille p(n), p(n) de la restriction de <, > a M(c, h)_{h+n} On note det_{n}(c, h) = det(M_{n}).

Les coefficients de M_{n} sont de la forme

< d_{−i_{1}}d_{−i_{2}}...vac, d_{−j_{1}}d_{−j_{2}}...vac >

Ce sont des polynomes en c, h. \underline{Exemple} n = 2 La matrice M_{2} vaut :

M_{2} = ( \begin{matrix}4h + c/2 & 6h \\ 6h & 8h^{2} + 4h \end{matrix} )

et on a

det_{2}(c, h) = 2h(16h^{2} + 2hc − 10h + c)

Chaque condition det_{n}(c, h) > 0 elimine des regions de non-unitarite et chaque condition det_{n}(c, h) = 0 des regions de degenerescence. A c fixe, det_{n}(c, h) est un polynome en h. On peut en calculer le degre et le terme dominant: Les termes en h s’obtiennent par l’action de d_{0} sur vac, i.e par le commutateur [d_{i}, d_{−i}]. Donc le terme de plus haut degre dans chaque ligne de M_{n} est sur la diagonale, donc dans le produit:

∏ ; 1≤i_{1}≤i_{2}≤...≤i_{s} ∑ i_{k}=n < d_{−i_{s}}...d_{−i_{1}}vac, d_{−i_{s}}...d_{−i_{1}}vac >

Calculons deja:< d_{−k}^{n}vac, d_{−k}^{n}vac >: On verifie la relation suivante:

[d_{k}, d_{−k}^{n}] = knd_{k}^{n−1}(k(n − 1) + 2d_{0} + \frac{n^{2} − 1}{12}c)

On a en notant P ∼ Q si P et Q sont des polynomes ayant le meme terme de degre maximal en h:

< d_{−n}^{k}(v)|d_{−n}^{k}(v) >∼ k!(2nh)^{k}

Puis en resonnant par recurence sur ∑_{k} j_{k}, on obtient:

< d_{−i_{s}}^{j_{s}}...d_{−i_{1}}^{j_{1}}(v)|d_{−i_{s}}^{j_{s}}...d_{−i_{1}}^{j_{1}}(v) >∼< d_{−i_{s}}^{j_{s}}(v)|d_{−i_{s}}^{j_{s}}(v) > ... < d_{−i_{1}}^{j_{1}}(v)|d_{−i_{1}}^{j_{1}}(v) >

Et donc enfin:

det_{n}(c, h) ∼ ∏_{1≤rs≤n} < d_{−r}^{s}(v)|d_{−r}^{s}(v) >^{m(r,s)}

oú m(r, s) est le nombre de partition de n dans lesquelles r apparait exactement s fois.

proposition 15 det_{n}(c, h) est un polynome en h de degre ∏_{1≤rs≤n} p(n − rs), et le coefficiant K du terme de plus haut degre est

K = ∏_{1≤rs≤n}((2r)^{s}s!)^{m(r,s)}

avec m(r, s) = p(n − rs) − p(n − r(s + 1))

La demonstration est maintenant immediate une fois que l’on a developpe m(r, s).

remarque si A(t) est une famille d’operateurs de L_{n}(ℂ) polynomiale en t, et si rang(A(0)) = n − k alors en regardant la famille dans une base adaptee au noyau de A(0) il est clair que t^{k}|det(A(t)). Dans notre cas, si on suppose que det_{n}(c, h) s’annule (toujours a c fixe) en h = h_{0}, alors det_{n}(c, h) est divisible par (h − h_{0})^{p(n−k)} oú k est le plus petit entier positif pour lequel det_{k}(c, h) s’annule en h = h_{0}. Nous ne demontrerons pas que le rang de M_{n}(c, h) donne le bon resultat, ni le fait que det_{n}(c, h) a un zero en chaque h_{r,s}(c) (1 ≤ rs ≤ n) avec

h_{r,s}(c) = \frac{1}{48}[(13 − c)(r^{2} + s^{2}) + \sqrt{(c − 1)(c − 25)}(r^{2} − s^{2}) − 24rs − 2 + c]

On a alors immediatement det_{n}(c, h) divisible par

Φ = ∏_{1≤rs≤n}(h − h_{r,s}(c))^{p(n−rs)}

Et il s’en suit que

det_{n}(c, h) = KΦ = K ∏_{1≤rs≤n}(h − h_{r,s}(c))^{p(n−rs)}

8.2 Application:

La premiere des applications est la

proposition 16 La representation irreductible de plus haut poids V (c, h) est unitaire lorsque c = 1 et h ≥ 0. De plus V (c, h) = M(c, h) si c > 1 et h > 0.

preuve On a si c > 1 et h > 0, det_{n}(c, h) > 0 ∀n ∈ ℕ d’oú V (c, h) = M(c, h). La positivite du determinant det_{n}(c, h) dans la region c > 1, h > 0 fait que si l’on peut montrer que la forme contravariante est definie positive en un seul point de cette region, alors elle est definie positive sur toute cette region, et par consequent semi definie positive sur M(c, h) (de maniere a ce que V (c, h) puisse etre unitaire) dans la region c ≥ 1, h ≥ 0. Or ceci a deja ete vu avec les representations “bosoniques” pour c ∈ ℕ^{∗} et h ≥ 0.

on peut ensuite se restreindre aux valeurs simples de c:

proposition 17 V (1, h) = M(1, h) ssi h ≠ m^{2}/4 (m ∈ ℤ). V (0, h) = M(0, h) ssi h ≠ (m^{2} − 1)/24 (m ∈ ℤ).

preuve C’est la traduction de la condition de non nullite des determinants

det_{n}(1, h) = K ∏_{1≤rs≤n}(h − \frac{(r − s)^{2}}{4} )^{p(n−rs)}

det_{n}(0, h) = K ∏_{1≤rs≤n}(h − \frac{(3r − 2s)^{2} − 1}{24})^{p(n−rs)}

La question de l’unitarite de V (c, h) reste en suspend pour 0 ≤ c < 1 et h ≥ 0. Par une analyse detaillee de la formule du determinant de Kac, Friedan-Qiu-Shenker [1985,1986] a montre que le seul endroit oú cet unitarite etait possible dans cette region etait l’ensemble discret des points (c(m), h_{r,s}(m)), avec m, r, s ∈ ℕ et 1 ≤ s ≤ r ≤ m + 1 et oú c(m) = 1 − \frac{6}{(m+2)(m+3)}.