Géométrie différentielle et mécanique

Damien Gayet & Yann Rollin sur une idée de Martin Andler

31 janvier 1996

1 Système et classe des formes différentielles.

Dans cette partie, on va énoncer divers théorèmes (sans démonstration) et définitions, dont le seul but est de donner la forme locale des différentielles de degrés un et deux, ainsi que d’introduire la notion de formes symplectiques.

Définition 1.0.1 Le sous espace associé A(α) d’une forme extérieure α ∈ A(E) est l’ensemble des x ∈ E tels que i(x)α = 0. Le systeme associe à α est le sous espace A^{∗}(α) = A(α)^{⊥} de E^{∗}. Le rang de α est la dimension du système associé A^{∗}(α).

1.1 Classe des formes différentielles

Définition 1.1.1 Le sous-espace caractéristique d’une forme différentielle α ∈ Λ(M^{m}) en un point y ∈ M^{m} est le sous-espace C_{y}(α) de T_{y}M^{m} intersection des sous-espaces associés A(α(y)) et A(dα(y)). Le système caractéristique de α en y ∈ M^{m} est le sous-espace C_{y}^{∗}(α) de T_{y}^{∗}M^{m} orthogonal au sous espace caractéristique C_{y}(α). La classe de α en y ∈ M^{m} est la dimension de C_{y}^{∗}(α).

Proposition 1.1.2 Une forme différentielle fermée de degré deux est de classe paire en chaque point. En effet, soit α ∈ A^{2}(E) (oú E est un k-espace vectoriel de dimension n) alors ∃s 2s ≤ n, ∃(e_{i})_{i∈{1,..,n}} tels que :

\{ \begin{matrix}α(e_{2i}, e_{2i−1}) = −α(e_{2i−1}, e_{2i}) = 1 pour 1 ≤ i ≤ s \\ α = 0 sur toute autre paire de vecteurs de la base. \end{matrix}

On a donc :

α = ∑_{i=1}^{s} e_{2i−1}^{∗} ∧ e_{2i}^{∗}

Proposition 1.1.3 Soit ω une forme différentielle de degré 2 sur M^{m}.Pour que ω soit de classe 2s en y ∈ M^{m}, il faut et il suffit que l’on ait

ω^{s}(y) ≠ 0 et ω^{s+1}(y) = 0

Proposition 1.1.4 Soit α une forme différentielle de degré un sur M^{m}. Alors la classe de α en y est :

2s ⟺ \{ \begin{matrix}(dα)^{s}(y) ≠ 0 \\ α ∧ (dα)^{s}(y) = (dα)^{s+1}(y) = 0 \end{matrix} 2s + 1 ⟺ \{ \begin{matrix}α ∧ (dα)^{s}(y) ≠ 0 \\ (dα)^{s+1}(y) = 0 \end{matrix}

Corollaire 1.1.5 On pose ω1 = α, ω_{2} = dα, ω_{3} = α∧dα, ω_{4} = (dα)^{2}, etc... Alors :

cl_{y}(α) = min_{r}{ω_{r+1}(y) = ω_{r+2}(y) = 0}

1.2 Formes locales des différentielles de degré 1 et 2.

Proposition 1.2.1 Une 1-forme différentielle α sur M^{m} sans singularité de classe constante 2s+1 (resp. 2s) s’exprime dans un système de coordonnées bien choisies (y_{1}, ⋯, y_{m}) sous la forme:

α = dy_{1} + y_{2}dy_{3} + ⋯ + y_{2s}dy_{2s+1}

resp.

α = (1 + y1)dy_{2} + y_{3}dy_{4} + ⋯ + y_{2s−1}dy_{2s}

Une forme différentielle fermée de degré 2 de classe constante 2s sur M^{m} s’écrit localement sous la forme:

ω = dy_{1} ∧ dy_{2} + ⋯ + dy_{2s−1} ∧ dy_{2s}

2 Variétés symplectiques et systèmes hamiltoniens.

2.1 Variétés et formes symplectiques.

Définition 2.1.1 Soit M^{2n} une variété de dimension paire 2n. Une structure symplectique sur M^{2n} est definie par la donnée d’une forme différentielle fermée ω ∈ Λ^{2}(M), de degré 2 et de classe constante 2n. On dit que (M^{2n}, ω) est une variété symplectique et ω une forme symplectique.

On aurait pu formuler autrement cette définition en disant que la forme différentielle fermée ω est une forme bilinéaire non dégénérée sur chaque fibre.

D’après la proposition 1.2.1 toute forme symplectique s’écrit localement sous la forme :

∑_{i=1}^{n} dp_{i} ∧ dq_{i}

Proposition 2.1.2 Soit ω une forme difféntielle fermée de degré 2 sur une variété M^{2n} .

ω forme symplectique ⟺ ω^{n} forme volume.

Evident d’après la proposition 1.1.3.

Corollaire 2.1.3 (M^{2n}, ω) est orientable.

On oriente par convention par la forme volume (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} ω^{n} Inversement toute variété orientable de dimension 2 est symplectique. Il suffit de prendre la forme volume définissant l’orientation.

Exemple: R^{2n} est une variété symplectique. Il suffit de prendre pour forme différntielle

ω = dx_{1} ∧ dx_{n+1} + ... + dx_{n} ∧ dx_{2n}

C’est bien une forme symplectique et ici

ω^{n} = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} n!dx_{1} ∧ ... ∧ dx_{2n}

donc l’orientation canonique coincide avec l’orientation symplectique.

Forme de Liouville On va maintenant construire un exemple de forme symplectique très importante sur le fibré cotangent d’une variété M^{m}. Soit τ^{∗}(M) = (T^{∗}M, q_{M}, M^{m}) le fibré cotangent à M. Pour tout point y ∈ M et tout vecteur cotangent en α en y, q_{M}^{T} envoie T_{α}T^{∗}M dans T_{y}M. On peut donc définir une forme linéaire sur T_{α}T^{∗}M par :

u ⟼< q_{M}^{T}(u), α >=< u, (q_{M}^{T})^{∗}α >

Proposition 2.1.4 La correspondance α ⟼ (q_{M}^{T})^{∗}α définit une forme de Pfaff λ de classe constante 2m sur T^{∗}M. On l’appelle la forme de Liouville sur T^{∗}M.

Démonstration: Soit U un ouvert de M^{m} et (q_{1}, ⋯, q_{m}) un système de coordonnées locales. Alors q_{i} = q_{i} ∘ q_{M} et p_{i} = \frac{∂}{∂q_{i}} forment un systèmes de coordonnées locales sur l’ouvert V = q_{M}^{−1}(U) de T^{∗}M. Si u = ∑_{i}(a_{i} \frac{∂}{∂q_{i}} + b_{i} \frac{∂}{∂p_{i}}) est un vecteur tangent à V, on a q_{M}^{T}(u) = ∑_{i} a_{i} \frac{∂}{∂q_{i}} . Donc si α = ∑_{i} c_{i}dq_{i} < u, λ(α) >= ∑_{i} c_{i}a_{i} . Ce qui prouve que l’expression locale de λ est ∑_{i} p_{i}dq_{i}. On en déduit que c’est une forme de Pfaff sur T^{∗}M. L’expression locale nous permet d’affirmer que la forme de Liouville est de classe constante 2m (proposition 1.1.4).

Corollaire 2.1.5 Λ = dλ détermine une structure symplectique sur l’espace cotangent T^{∗}M.

Corollaire 2.1.6 L’espace cotangent est orientable.

Proposition 2.1.7 Soit (M^{2n}, ω) une variété symplectique.

\begin{aligned}Ω_{y} : & T_{y}M & ⟶ & T_{y}^{∗}M \\ & u & ⟼ & i(u)ω(y) \end{aligned}

détermine un isomorphisme différentiable au dessus de M^{2n} du fibré tangent τ(M) dans le fibré cotangent τ^{∗}(M).

Démonstration: Soit (q_{1}, ⋯, q_{2n}) un système de coordonnées locales sur un ouvert U de M^{2n}. Les fonctions q_{i} = q_{i} ∘ p_{M} et q̇_{i} = dq_{i}(resp. q_{i} = q_{i} ∘ q_{M} et p_{i} = \frac{∂}{∂q_{i}} ), forment un système de coordonnées locales sur l’ouvert p_{M}^{−1}(U) de T(M) (resp. q_{M}^{−1}(U) de T^{∗}M). Soit ∑_{i,j} a_{i,j}dq_{i} ∧ dq_{j} , avec a_{j,i} = −a_{j,i} , l’ expression locale de ω dans U. L’application Ω est alors déterminée sur p_{M}^{−1}(U) par :

\begin{aligned}q_{i} ∘ Ω & = & q_{i} \\ p_{i} ∘ Ω & = & 2 ∑_{j} a_{j}q̇_{i} \end{aligned}

elle est donc différentiable. Puisque Ω_{y}est une application linéaire de T_{y}M dans T_{y}^{∗}M, Ω est un homomorphisme de τ(M) sur τ^{∗}(M). Enfin ω(y) est non dégénérée (de classe 2n) donc Ω est un isomorphisme si on le restreint à une fibre particulière. ω est donc un isomorphisme de fibrés.

Corollaire 2.1.8 \begin{matrix}T (M) & ⟶ & Λ^{1}(M) \\ X & ⟼ & i_{X}ω \end{matrix} est un isomorphisme de modules.

Ce corollaire est très important car il va nous permettre d’introduire la notion de systèmes hamiltoniens.

2.2 Systèmes hamiltoniens

Définition 2.2.1 Un système (dynamique) hamiltonien sur une variété symplectique (M^{2n}, ω) est un champ de vecteur X sur M^{2n} tel que i_{X}ω soit une forme différentielle de degré 1, fermée.

En particulier si i_{X}ω = −dH , on dit que H est un hamiltonien de X. Réciproquement si on se donne un forme de Pfaff fermée α, d’après le corollaire précédent, il existe un unique système dynamique associé X tel que i_{X}ω = −α.

On peut aussi remarquer que α est une intégrale première de X. En effet: α(X) = (i_{X}ω)(X) = i_{X}i_{X}ω = 0. Dans le cas où α = dH on dit que H est l’intégrale de l’énergie.

Remarque : On a une caractérisation des systèmes hamiltoniens par :

L_{X}ω = 0

Effectivement : L_{X}ω = di_{X}ω + i_{X}dω = di_{X}ω.

Expression locale. Soit (q_{1}, ⋯, q_{n}, p_{1}, ⋯, p_{n}) un système de coordonnées locales sur un ouvert de M^{2n} tel que ω = ∑_{i} dp_{i} ∧ dq_{i}. Soit H une fonction différentiable sur cet ouvert l’expression locale du système hamiltonien associé est:

∑_{i}(\frac{∂H}{∂p_{i}} \frac{∂}{∂q_{i}} − \frac{∂H}{∂q_{i}} \frac{∂}{∂p_{i}})

Les courbes intégrales de X sont donc les solutions des équations de Hamilton :

\frac{dq_{i}}{dt} = \frac{∂H}{∂p_{i}}

\frac{dp_{i}}{dt} = −\frac{∂H}{∂q_{i}}

3 Systèmes mécaniques.

3.1 Quelques notions sur le calcul différentiel vertical.

On va construire un formalisme qui permetra d’introduire axiomatiquement toute les caractéristiques d’un système mécanique (i.e. essentiellement, le principe de moindre action). Pour cela on va essentiellement définir des opérateurs de dérivation et d’antidérivation sur l’algèbre Λ(T M).

Conventions sur les notations des coordonnées locales.

– M^{m} est muni localement, par définition, d’un système de coordonnées

q_{1}, ⋯, q_{m}

sur un ouvert U.

– On en déduit un système de coordonées locales sur l’ouvert p_{M}^{−1}(U) de TM qui est: q_{i} ∘ p_{M}, dq_{i}. On le note par abus de language:

q_{1}, ⋯, q_{m}, q̇_{1}, ⋯, q̇_{m}

– On en déduit à nouveau un système de coordonées sur l’ouvert p_{T M}^{−1}p_{M}^{−1}(U) de TTM par q_{i} ∘ p_{T M}, q̇_{i} ∘ p_{T M}, dq_{i}, dq̇_{i}, que l’on note:

q_{1}, ⋯, q_{m}, q̇_{1}, ⋯, q̇_{m}, dq_{1}, ⋯, dq_{m}, dq̇_{1}, ⋯, dq̇_{m}

On définit alors localement l’endomorphisme vertical sur le fibré tangent à TM par:

v : (q_{i}, q̇_{i}, dq_{i}, dq̇_{i}) ⟼ (q_{i}, q̇_{i}, 0, dq_{i})

Définition 3.1.1 L’opérateur vertical sur Λ(T M) est l’endomorphisme v^{∗} de l’algèbre extérieure Λ(T M)

Expression locale de v^{∗}: v^{∗} est déterminé localement par

\begin{matrix}v^{∗}f = f \\ v^{∗}dq_{i} = 0 \\ v^{∗}dq̇_{i} = dq_{i} \end{matrix}

Une forme différentielle sur TM sera dite semi-basique si elle est dans l’image de l’opérateur vertical. Localement cela sera caractérisé par une écriture du type :

∑_{1≤i_{1}<···<i_{p}≤m} a_{i_{1}···i_{p}}dq_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dq_{i_{p}}

pour une p-forme.

Exemple: Si α est une forme différentielle sur M^{m} alors p_{M}^{∗}α est une 1-forme semi-basique sur TM.

Définition 3.1.2 La différentiation verticale d_{v}qui est l’anti-dérivation sur Λ(T M) caractérisée par:

\begin{matrix}d_{v}f = v^{∗}(df) \\ d_{v}(df) = −d(v^{∗}(df)) \end{matrix}

Expression locale de d_{v} : L’anti-dérivation d_{v} est déterminée localement par :

\begin{matrix}d_{v}f = ∑_{i} \frac{∂f}{∂q̇_{i}} dq_{i} \\ d_{v}(dq_{i}) = d_{v}(dq̇_{i}) = 0 \end{matrix}

On remarque que d_{v}f est une 1-forme semi-basique.

Voici maintenant un théorème très pratique car il nous permettra de passer des équations de Lagrange aux équations de Hamilton.

Proposition 3.1.3 Etant donnée une 1-forme sur TM, semi-basique, il existe une application différentiable D : T M ⟶ T^{∗}M telle que q_{M} ∘D = p_{M} et D^{∗}λ = α (où λ est la forme de Liouville sur T^{∗}M).

On a de plus l’expression locale de D qui est la suivante: Si α = ∑_{i} a_{i}dq_{i} alors

\begin{matrix}q_{i} ∘ D = q_{i} \\ p_{i} ∘ D = a_{i} \end{matrix}

3.2 Définition des systèmes mécaniques

Définition 3.2.1 Un systéme mécanique M est un triplé (M^{m}, T, π) où

– M^{m} est une variété appelée espace de configuration, de dimension m. On dit que m est le nombre de degrés de liberté du système.

– T est une fonction différentiable sur TM appelée énergie cinétique. Ce sera souvent une métrique riemannienne sur M^{m}.

– π est une 1-forme semi-basique sur TM appelée champ de force.

La 2-forme ω = dd_{v}T est appelée la forme fondamentale du système mécanique M.

Nous allons maintenant nous éfforcer de mettre en évidence les raisons pour lesquelles on a choisi un tel système mathématique.

Régularité d’un système mécanique : On dira que le système mécanique est régulier lorsque ω est une forme symplectique, et on ne s’ interessera plus qu’ à ce type de système par la suite.

Caractérisation locale de la régularité d’un système. On a en coordonnées locales:

d_{v}T = ∑_{i} \frac{∂T}{∂q̇_{i}} dq_{i}
ω = dd_{v}T

= ∑_{i,j}(\frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} dq̇_{j} ∧ dq_{i} + \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{j}∂q}_{i}dq_{i} ∧ dq_{j})

ω^{m} = ±det(\frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}})dq̇_{1} ∧ ⋯ ∧ dq̇_{m} ∧ dq_{1} ∧ ⋯ ∧ dq_{m}

donc: ω symplectique ⟺ ω^{m} forme volume sur M^{m} ⟺ (\frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}}) inversible. Ce qui est le cas quand T est par exemple une métrique riemannienne.

Définition 3.2.2 Soit X le champ de vecteurs sur TM solution de l’équation fondamentale du système M:

i_{X}ω = d(T − V.T) + π

X est appelé le système dynamique associé au système mécanique M.

Dans cette définition V est le champ de Liouville i.e le champ de vecteurs sur TM de flot ϕ_{t}(u) = e^{t}u , d’expression locale : V = ∑_{i} q̇_{i} \frac{∂}{∂q̇_{i}} En fait dans l’équation du système, V.T-T mesure le degré d’homogénéité de T. Si T est homogène de degré k on a:

V.T = ∑_{i} q̇_{i} \frac{∂T}{∂q̇_{i}} = kT

Dans ce cas l’équation devient:

i_{X}ω = (1 − k)dT + π

Pourquoi une telle équation pour un système mécanique? La réponse est simple. Il suffit par le calcul, de montrer que X est une équation différentielle du second ordre dont les lignes intégrales vérifient les équations de Lagrange. Et c’est bien ce à quoi on s’attend de la part d’un système physique. Pour montrer cela on va traduire l’équation fondamentale sous forme locale.

X = ∑_{i}(a_{i} \frac{∂}{∂q_{i}} + b_{i} \frac{∂}{∂q̇_{i}})
π = ∑_{j} X_{j}dq_{j}

i_{X}ω = ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q_{i}∂q̇_{j}} a_{i}dq_{j} − ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q_{i}∂q̇_{j}} a_{j}dq_{i} + ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} b_{i}dq_{j} − ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} a_{j}dq̇_{i}

dT = ∑_{j}(\frac{∂T}{∂q_{j}} dq_{j} + \frac{∂T}{∂q̇_{j}} dq̇_{j})
V.T = ∑_{j} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} q̇_{j}

d(V.T) = ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q_{i}∂q̇_{j}} q̇_{j}dq_{j} + ∑_{i,j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} q̇_{j}dq̇_{i} + ∑_{j} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} dq̇_{j}

L’équation fondamentale est donc équivalente au système:

∑_{j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} a_{j} = ∑_{j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} q̇_{j}  (1)

∑_{j} \frac{∂^{2}T}{∂q̇_{i}∂q̇_{j}} b_{j} = − ∑_{j} \frac{∂^{2}T}{∂q_{j}∂q̇_{i}} q̇_{j} + \frac{∂T}{∂q_{i}} + X_{i}  (2)

D’après les hypothèses de régularité faites sur le système on déduit de (1) que a_{j} = q̇_{j} donc X est bien une équation du second ordre. Nous voyons donc ici pourquoi on a choisi π semi-basique. Si cela n’avait pas été le cas des termes supplémentaires seraient intervenus dans (1), nous empéchant donc d’avoir une éqution du second ordre.

(2) nous permet de conclure que les courbes intégrales de X sont solutions de léquation de Lagrange :

\frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{i}} − \frac{∂T}{∂q_{i}} = X_{i}  (3)

3.3 Cas des systèmes lagrangiens

Définition 3.3.1 Un système mécanique M = (M^{m}, T, π) est dit lagrangien si son champ de force dérive d’une fonction de force U sur M^{m} (i.e π = d(U ∘ p_{M}))

Dans le cas d’un système lagrangien l’équation fondamentale du système devient:

i_{X}ω = −dH avec H = V.T − T − U ∘ p_{M}

X est donc un système hamitonien dont H est un hamiltonien et donc une intégrale première. Si on pose L = T + U ∘ p_{M} l’équation (3) de Lagrange s’exprime sous la forme plus habituelle :

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0  (4)

3.4 Transformation de Legendre

Comment obtenir les équations de Hamilton sur la variété symplectique de notre système mécanique M? Si on se réfère à la partie 2.2.2, on voit que le fait d’avoir une forme symplectique dans une écriture canonique ∑_{i} dp_{i} ∧ dq_{i} permettait de tirer les équations de Hamilton de i_{X}ω = −dH. Or l’expression de ω du système M n’est pas du tout de cette forme. Mais pour parer ce problème on peut effectuer une transformation sur l’espace des phases (T M, ω) qui l’enverra sur (T^{∗}M, Λ).

Or d’apès le 3.1 propositon 1, comme d_{v}T est semi-basique, on sait qu’ il existe une application différentiable D : T M ⟼ T^{∗}M telle que q_{M} ∘D = p_{M} et D^{∗}λ = d_{v}T (⇒ D^{∗}Λ = ω), caractérisée localement par :

\begin{matrix}q_{i} ∘ D = q_{i} \\ p_{i} ∘ D = \frac{∂T}{∂q̇_{i}} \end{matrix}

On dit que c’est la transformation de Legendre du système Mécanique M. Si D : T M ⟼ T^{∗}M est un difféomorphisme on dira que M satisfait l’hypothèse de dualité de Lagrange-Hamilton. Comme D est de rang constant 2m (⇐ D^{∗}Λ = ω), il suffit pour que D soit un difféomorphisme de vérifier qu’elle est bijective, et comme D est l’identité sur la base M^{m}, en particulier bijective sur les fibres.

Exemple : Cette hypothèse est en particulier vérifiée dans le cas cas où T est une métrique riemannienne. De plus D est linéaire sur les fibres, c’est donc un isomorphisme de fibrés, et T ∘ D^{−1} est une métrique riemannienne sur τ^{∗}(M) En effet localement T = \frac{1}{2} ∑_{ij} a_{ij}q̇_{i}q̇_{j} avec a_{ij} = a_{ji} d’où

\begin{matrix}q_{i} ∘ D = q_{i} \\ p_{i} ∘ D = ∑_{j} a_{ij}q̇_{j} \end{matrix}

On conclut que D est un isomorphisme sur les fibrés car la matrice (a_{ij}) est inversible.

Sous les hypothèses de dualité de Lagrange-Hamilton l’équation fondamentale du système lagrangien

i_{X}ω = −dH

devient

i_{Y} Λ = −d(H ∘ D^{−1})

où Y = D^{T} XD^{−1} est le champ de vecteur X transporté sur T^{∗}M par D. On obtient donc les équations de Hamilton du système lagrangien M

\begin{matrix}\frac{dq_{i}}{dt} = \frac{∂}{∂p_{i}} H ∘ D^{−1} \\ \frac{dp_{i}}{dt} = −\frac{∂}{∂q_{i}} H ∘ D^{−1} \end{matrix}

Dans le cas où M est un système lagrangien, où T est une métrique riemannienne, on a :

– H = T − U ∘ p_{M} est le hamiltonien associé au système hamiltonien X.

– L = T + U ∘ p_{M} est le Lagrangien de M

– H ∘ D^{−1} = T ∘ D^{−1} − U ∘ q_{M} est le hamiltonien associé à la structure hamiltonienne classique sur T^{∗}M, c’est à dire la variété symplectique (T^{∗}M, Λ).

Lien entre D et la transformation de Legendre classique . On a l’habitude de dire que le hamiltonien d’un système lagrangien est la transformée de legendre de son lagrangien L. Montrons que cette notion et celle introduite plus haut coïncident.

On pose q = (q_{i}) et p = (p_{i}). Soit H(q,p) la transformée de Legendre de L par rapport q̇.

H(q, p) = sup_{q̇} pq̇ − L(q, q̇)

sous certaines hypothèses de convexité et de différentiabilité sur L, le sup est atteint, unique et caractérisé par:

p = \frac{∂L}{∂q̇} = \frac{∂T}{∂q̇}

On voit donc apparaitre la transformation D. La transformée de Legendre de L correspond donc bien à notre H ∘ D^{−1}.

4 Eléments de calcul des variations

Soit E un Banach, I=[a,b]. V l’espace vectoriel des courbes C^{1} de I dans E, muni de la norme

||ϕ|| = sup_{t∈I}||ϕ(t)|| + sup_{t∈I}||ϕ̇||

est un Banach.

4.1 Fonctionelle attachée a une courbe.

Soit U ⊂ R × E × E ouvert, et F : U → R C^{k}. Soit Ω l’ensemble des ϕ ∈ V telles que (t, ϕ(t), ϕ̇(t) ∈ U ∀ t ∈ I Alors Ω est un ouvert du Banach V. Soit

f : Ω → R, f(ϕ) = ∫_{a}^{b} F (t, ϕ(t), ϕ̇(t) dt.

Proposition 4.1.1 Si F est C^{k} alors f est C^{k}. De plus,

f′(ϕ).u = ∫_{a}^{b} \frac{∂F}{∂x} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)).u(t) dt + ∫_{a}^{b} \frac{∂F}{∂y} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)).u^{‘}(t) dt

ou u ∈ V.

4.2 Probleme d’extremum

L’ensemble W(α, β) des ϕ qui vérifient ϕ(a) = α et ϕ(b) = β est un sous espace affine de V. Ω(α, β) = W (α, β) ∩ Ω est un ouvert de W(α, β).soit f_{αβ} la restriction de f a Ω(α, β). Dériver f_{αβ} a bien un sens puisque par translation on peut ramener W(α, β) a un sous espace vectoriel fermé de V, et sera alors un Banach.

On sait que si f admet un extremum en ϕ alors f′(ϕ) = 0 sur W(0,0). Lorsqu’il en est ainsi, on dit que ϕ est extrémale pour l’intégrale

∫_{a}^{b} F (t, ϕ(t), ϕ̇(t) dt.

4.3 Transformation de la condition pour l’extremum

Théorème 4.3.1 Pour que ϕ ∈ W (α, β) soit extrémale, il faut et il suffit que \frac{∂F}{∂y} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)) soit une fonction dérivable de t, et que

\frac{d}{dt} \frac{∂F}{∂y} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)) = \frac{∂F}{∂x} (t, ϕ(t), ϕ̇(t))

pour tout t∈ [a,b].

Cette équation porte le nom d’équation d’Euler. Elle détermine les extrémales.

Exemple Soit F = \sqrt{(y_{1})^{2} + ⋯ + (y_{n})^{2}}. Alors l’intégrale

∫_{a}^{b} F (t, ϕ(t), ϕ̇(t) dt.

n’est autre que la longueur de l’arc de courbe ϕ : I → R^{n} de classe C^{1}

4.4 Extremums pour des courbes assujetties a rester sur une variété

Supposons E=R^{n} pour simplifier, soit M une variété dans R^{n}. Soit V_{M} le sous-ensemble de V tel que pour tout ϕ ∈ V_{M}, ϕ(t) ∈ M ∀t ∈ I. Alors Ω_{M} = Ω∩V_{M} est un ouvert de l’espace topologique induit V_{M}. En définissant Ω_{M}(α, β) comme précédemment, on trouve le

Théorème 4.4.1 ϕ tracée sur M est extrémale de ∫_{a}^{b} F (t, ϕ(t), ϕ̇(t) dt, si et seulement si

f′(ϕ).u = 0

pour tout u∈ W (0, 0) et ∀t ∈ I, u(t) ∈ T_{ϕ(t)}M.

On a de même le

Théorème 4.4.2 Pour que ϕ tracée sur M soit extrémale, il faut et il suffit que \frac{∂F}{∂y} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)) soit une fonction dérivable de t, et que

\frac{d}{dt} \frac{∂F}{∂y} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)) − \frac{∂F}{∂x} (t, ϕ(t), ϕ̇(t)

soit nulle pour tout t∈ [a,b] sur tout vecteur de l’espace tangent T_{ϕ(t)}M.

5 Dynamique de Newton et principe de moindre action de Hamilton

Soit n points matériels, dont les mouvements sont définis par la dynamique de Newton:

\frac{d}{dt}(m_{i}ṙ_{i}) + \frac{∂U}{∂r_{i}} = 0(1)

Théorème 5.0.3 Les mouvements du système mécanique (1) coincident avec les extrémales de la fonctionnelle Φ(γ) = ∫_{γ} L , où L=T-U est la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle.

Démonstration : Comme U=U(r) et T=∑ m_{i} \frac{ṙ_{i}^{2}}{2} , on a

\frac{∂L}{∂ṙ_{i}} = \frac{∂T}{∂ṙ_{i}} = m_{i}ṙ_{i}, \frac{∂L}{∂r_{i}} = −\frac{∂U}{∂r_{i}} .

Corollaire 5.0.4 Soient (q_{1}, ⋯, q_{3n}) des coordonnées sur l’espace de configuration d’un système de n points matériels. Alors les variations de q en fonction du temps obéissent à l’équation d’Euler:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇} − \frac{∂L}{∂q} = 0,

où L=T-U.

Démonstration : D’aprés le théorème précédent, le mouvement est une extrémale de la fonctionnelle Φ(γ) = ∫_{γ} L. Donc dans tout système de coordonnées est vérifiée l’équation d’Euler transcrite dans ce système.

6 Invariant intégral de Poincaré-Cartan

6.1 Lemme de Stokes

Lemme 6.1.1 Soit ω_{2} une 2-forme extérieure algébrique sur un espace vectoriel réel E de dimension impaire.Alors ∃ ξ tel que ω_{2}(ξ, η) = 0 ∀η ∈ E

Démonstration: Soit A matrice antisymétrique telle que ω_{2}(x, y) = (Ax, y). Alors det A est nul car det(−A)=(−1)^{2n+1}det A = detA_{t} = det A. D’où Ker A ≠ 0.

Un vecteur du noyau de ω_{2} est appelé vecteur nul de la forme ω_{2}. Une forme est dite non singuliere si dim Ker A = 1.

Soit alors M une variété différentielle de dimension impaire, et ω une 1forme sur M. Alors, grâce au lemme,∀x ∈ M, ∃ξ ∈ T M_{x}, tel que dω(ξ, η) = 0 ∀η ∈ T M_{x}. Si, par ailleurs dω est non singuliere, om appelle direction du rotationnel Ker dω. On appelle alors caractéristiques de la forme ω les lignes intégrales du champ de direction du rotationnel.

Soit alors γ une courbe fermée sur M. Les caractéristiques issues de γ forment un tube.

Lemme 6.1.2 (Lemme de Stokes) Soient γ_{1} et γ_{2} deux courbes s’appuyant sur un même tube de caractéristiques, alors

∮_{γ_{1}} ω = ∮_{γ_{2}} ω

si γ_{1} − γ_{2} = ∂σ, oú σ est un morceau de tube de caractéristiques.

Demonstration:

∮_{γ_{1}} ω − ∮_{γ_{2}} ω = ∮_{∂σ} ω = ∮_{σ} dω

d’apres la formule de Stokes. Le rotationnel appartient à tout plan tangent au tube, donc dω y est nul, et la dernière integrale est nulle.

6.2 Equations canoniques de Hamilton

Soit M l’espace des phases élargi R^{2n+1} muni des coordonnées p_{1}, …, p_{n}, q_{1}, …, q_{n}, t. Soit H = H(p, q, t) une fonction de M dans R. Soit aussi ω = pdq − Hdt.

Théorème 6.2.1 Les caractéristiques de ω se projettent de facon unique selon l’axe des t, c’est-à-dire sont définies par des fonctions p = p(t) et q = q(t). Ces fonctions vérifient le systeme d’équations différentielles canoniques de hamiltonien (1) :

\frac{dp}{dt} = −\frac{∂H}{∂q}

et

\frac{dq}{dt} = \frac{∂H}{∂p}

Démonstration : d(pdq −Hdt) = ∑_{i=1}^{i=n}(dp_{i} ∧dq_{i} − \frac{∂H}{∂p_{i}} dp_{i} ∧dt− \frac{∂H}{∂q_{i}} dq_{i} ∧ dt). La matrice associée à dω est dans la base p,q,t:

( \begin{matrix}0 & −I & H_{p} \\ I & 0 & H_{q} \\ −H_{p} & −H_{q} & 0 \end{matrix} )

où H_{p} = \frac{∂H}{∂p} et H_{q} = \frac{∂H}{∂q} . Le rang de la matrice est clairement 2n.Donc Ker A est engendré par le vecteur (−H_{q}, H_{p}, 1) (qui est bien dans le noyau).Ce vecteur définit la direction des caractéristiques de ω. Or il est aussi le vecteur vitesse du flot (1). Donc les courbes intégrales de (1) sont les caractéristiques de la forme pdq − Hdt.

6.3 Théoreme de l’invariant de Poincaré-Cartan

Théorème 6.3.1 Supposons γ_{1} et γ_{2} deux courbes fermées appuyées sur un même tube de trajectoires de (1). Alors

∮_{γ_{1}} pdq − Hdt = ∮_{γ_{2}} pdq − Hdt.

pdq − Hdt s’appelle invariant de Poincaré-Cartan

7 Conséquences du théorème de l’invariant de Poincaré-Cartan

7.1 Changement de variables dans les équations canoniques

Si la forme ω = pdq − Hdt s’écrit, dans la carte (x_{1}, ⋯, x_{2n+1}) ω = X_{1}dx_{1} + ⋯ + X_{2n+1}dx_{2n+1}, alors sur la carte (x_{i}) les caractéristiques de ω définies par le flot (1) sont représentées par les caractéristiques de la forme ∑_{i} X_{i}dx_{i}.

Corollaire 7.1.1 Soit (P_{1}, ·, P_{n}, Q_{1}, ·, Q_{n}, T) un systeme de coordonnées locales sur l’espace des phases élargi (p, q, t) et K(P, Q, T), S(P, Q, T) des fonctions telles que pdq − Hdt = P dQ − KdT + dS.(formes sur l’espace des phases élargi). Alors les trajectoires du flot (1) sont les courbes intégrales des équations canoniques (2):

\frac{dP}{dT} = −\frac{∂K}{∂Q} , \frac{dQ}{dT} = \frac{∂K}{∂P} .

Démonstration: d(dS) = O donc dS n’a pas d’effet sur les caractéristiques. Donc les images des trajectoires de (1) sont les caractéristiques de P dQ − KdT. En vertu du théoreme 1, les caractéristiques de cette forme sont les courbes intégrales de (2).

7.2 Abaissement de l’ordre par l’intégrale d’énergie:

Supposons que H(p, q) ne dépende pas du temps. Alors les équations canoniques (1) admettent pour intégrale premiere H.

Supposons que h = H(p, q) est résoluble en p_{1}:p_{1} = K(P, Q, T) où P = (p_{2}, ⋯, p_{n}) Q = (q_{2}, ⋯, q_{n}) T = −q_{1}. Il vient pdq − Hdt = P dQ − KdT − d(Hdt) + tdH. Soit alors γ une courbe intégrale de (1), située sur la surface de dimension 2n H(p, q) = h. Alors γ est une caractéristique de pdq − Hdt. Projettons R^{2n+1} = (p, q, t) sur l’espace des phases (p,q). La surface H=h se projette sur une sous-variété M:H(p,q)=h de R^{2n}, et γ sur \underline{γ} ∈ M. Les grandeurs P Q T sont des coordonnées locales sur M. \underline{γ} est une caractéristique de pdq = P dQ − Hdt, car d(Ht) n’influe pas, et dH=0 sur M.

7.3 Principe de moindre action dans un espaces de phases

Soit dans un espace de phase élargi (p,q,t) la courbe intégrale γ des équations canoniques (1) joignant (p_{0}, q_{0}, t) à (p_{1}, q_{1}, t).

Théorème 7.3.1 L’intégrale ∫ pdq − Hdt admet γ pour extrémale relativement aux variations de γ qui laissent les extrémités de cette courbe sur les sous-espaces (t = t_{0}, q = q_{0}) et (t = t_{1}, q = q_{1}) de dimension n.

Démonstration:

δ ∫_{γ}(pq̇ − H) dt = ∫_{γ} (q̇δp + pδq̇ − \frac{∂H}{∂p} δp − \frac{∂H}{∂q} δq)) dt

= pdq|_{0}^{1} + ∫_{γ} ((q̇ − \frac{∂H}{∂p})δp − (ṗ + \frac{∂H}{∂q})δq) dt = 0

7.4 Principe de moindre action sous la forme de Maupertuis-Euler-Lagrange-Jacobi.

Supposons que H ne dépende pas du temps. Alors H est une intégrale premiere des équations de Hamilton (1). La projection de H sur (p,q) est de dimension 2n-1 de R^{2n}. Les trajectoires de (1) issues de M restent dans M et sont les caractéristiques de pdq = P dQ − KdT où K,P,Q,T ont été définis auparavant. Alors en applicant le theoreme 7.3.1 appliqué à P,Q,T les courbes de (1) sont les extrémales du principe variationnel correspondant à cette forme. On a donc le

Théorème 7.4.1 Si H ne dépend pas du temps, alors les trajectoires de phase des équations canoniques (1) sur M : H(p,q)=h sont extrémales de l’intégrale ∫ pdq dans la classe des courbes situées sur M et joignant les sous-espaces q = q_{0} et q = q_{1}.

Projettons une extrémale de M sur l’espace des q. Cette courbe joint q_{0} et q_{1}.

Réciproquement, soit γ une courbe sur l’espace des q passant par ces deux points. Soit τ un parametre sur γ avec a ≤ τ ≤ b et γ(a) = q_{0}, γ(b) = q_{1}. On définit donc une vitesse q̇ = \frac{dγ(τ)}{dτ} et l’impulsion correspondante p = \frac{∂L}{∂q̇}. On peut choisir τ tel que H(p, q) = h, et en appliquant le théoreme précédent à la courbe γ̃ = (p, q) on obtient le

Corollaire 7.4.2 Parmi les courbes q = γ(τ) passant par deux extrémités q_{0} et q_{1} et paramétrisées de telle sorte que H(\frac{∂L}{∂q̇}, q) = h,la trajectoire des équations de la dynamique (1) est celle qui rend extrémale l’intégrale de l’ “action réduite”:

∫_{γ} pdq = ∫_{γ} \frac{∂L}{∂q̇}(τ)q̇(τ) dτ

.

C’est le Principe de Moindre action de Maupertuis.

Remarquons que le principe définit la trajectoire mais pas le temps; il faudrait pour cela utiliser la constante d’énergie.

Pour un mouvement d’inertie, le principe devient:

Théorème 7.4.3 Un point matériel assujetti à se deplacer sur une variété riemanienne différentiable se déplace sur une géodésique.

Démonstration: Ici

H = L = T = \frac{1}{2} (\frac{ds}{dτ} )^{2}

et

\frac{∂L}{∂q̇}q̇ = 2T = (\frac{ds}{dτ} )^{2}

Pour que H=h il faut donc que

dτ = \frac{ds}{\sqrt{2h}}.

Il reste alors de l’intégrale :

∫_{γ} \frac{∂L}{∂q̇}(τ)q̇(τ) dτ = ∫_{γ} \sqrt{2h} ds = \sqrt{2h} ∫_{γ} ds

et donc les extrémales sont les géodésiques de la variété.

S’il existe une énergie potentielle U, alors il suffit de changer la métrique:

Théorème 7.4.4 Dans un domaine de l’espace de configuration où U(q) < h, définissons une nouvelle métrique par

dρ = \sqrt{h − U(q)} ds.

Alors les trajectoires d’énergie cinétique T = \frac{1}{2} (\frac{ds}{dτ} )^{2}, dénergie potentielle U(q) et de hamiltonien H = T + U = h sont les géodésiques de la variété pour la métrique dρ.

Démonstration:

L = T − U, H = T + U, \frac{∂L}{∂q̇}q̇ = 2T = (\frac{ds}{dτ} )^{2} = 2(h − U).

Donc pour que H = h, il faut

dτ = \frac{ds}{\sqrt{2(h − U)}}.

L’intégrale a alors pour résidu

∫_{γ} \frac{∂L}{∂q̇}q̇ dτ = ∫_{γ} \sqrt{2(h − U)} ds = \sqrt{2} ∫_{γ} dρ.

D’apres le principe de Maupertuis les trajectoires sont des géodésiques de dρ.

Exemple: Soit un bipendule plan. Son espace de configuration est le tore T_{2} = S_{1} × S_{1}. En ayant défini une métrique riemanienne, de toutes les courbes fermées qui entourent le tore m fois suivant un parallèlle et n fois suivant un méridien il en existe une qui est plus courte.Cette courbe est une géodésique fermée. Quels que soient donc m, n, le pendule double admet un mouvement périodique tel qu’une masse effectue n révolutions et l’autre n pendant le même intervalle de temps.

Sommaire

1 Système et classe des formes différentielles. 2 1.1 Classe des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Formes locales des différentielles de degré 1 et 2. . . . . . . . 3

2 Variétés symplectiques et systèmes hamiltoniens. 3 2.1 Variétés et formes symplectiques. . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Systèmes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Systèmes mécaniques. 6 3.1 Quelques notions sur le calcul différentiel vertical. . . . . . . . 6 3.2 Définition des systèmes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Cas des systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Eléments de calcul des variations 12 4.1 Fonctionelle attachée a une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Probleme d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Transformation de la condition pour l’extremum . . . . . . . 13 4.4 Extremums pour des courbes assujetties a rester sur une variété 14

5 Dynamique de Newton et principe de moindre action de Hamilton 14

6 Invariant intégral de Poincaré-Cartan 15 6.1 Lemme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.2 Equations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3 Théoreme de l’invariant de Poincaré-Cartan . . . . . . . . . . 17

7 Conséquences du théorème de l’invariant de Poincaré-Cartan 17 7.1 Changement de variables dans les équations canoniques … 17 7.2 Abaissement de l’ordre par l’intégrale d’énergie: . . . . . . . . 17 7.3 Principe de moindre action dans un espaces de phases …. 18 7.4 Principe de moindre action sous la forme de Maupertuis-

Euler-Lagrange-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Références

[1] C. Godbillon Géometrie différentielle et mécanique analytique. Herman collection Méthodes

[2] V.I. Arnold Méthodes mathématiques de la mécanique classique. Mir [3] H. Cartan Formes différentielles. Herman collection Méthodes

[4] M. Gelfand & S.V Fomin Calculus of variations. Prentice-Hall