Solutions de viscosité

Mathieu Dutour et Vincent Masselin

29 mai 1995

Il s’agit ici d’équations aux dérivées partielles non linéaires et d’une nouvelle notion de solution généralisée qui remplace celle des espaces de Sobolev et des distributions qui sont plutôt linéaires.

1 Définition et notation

On note | . | la norme euclidienne dans R^{N}.

On note S_{N}(R) l’espace vectoriel des matrices symétriques N × N munit de l’ordre partiel :

M_{2} ≤ M_{1} ⇔ ∀p ∈ R^{N}, (M_{2}p, p) ≤ (M_{1}p, p)

Durant cet exposé on va s’intéresser aux équations aux dérivées partielles du type suivant:

(E) H(x, u, Du, D^{2}u) = 0 dans Ω

où Ω est un ouvert de R^{N}, H : Ω × R × R^{N} × S_{N}(R) → R est une fonction continue vérifiant la condition d’ellipticité suivante:

H(x, u, p, M_{1}) ≤ H(x, u, p, M_{2}) si M_{2} ≤ M_{1}

Avant d’introduire la notion de solutions de viscosité, nous allons tout d’abord énoncer un principe du maximun:

Théorème 1 u ∈ C^{2}(Ω) est solution de (E) si et seulement si ∀Φ ∈ C^{2}(Ω), si x ∈ Ω est un point de maximun local de u − Φ, on a

H(x, u(x), DΦ(x), D^{2}Φ(x)) ≤ 0

et

∀Φ ∈ C^{2}(Ω), si x ∈ Ω est un point de minimun local de u − Φ, on a

H(x, u(x), DΦ(x), D^{2}Φ(x)) ≥ 0

preuve:

Si les deux conditions sont vérifiées, en prenant u = Φ, on montre que u est solution de (E).

Réciproquement si u est solution de (E) et si x est un point de maximun local de u − Φ avec Φ ∈ C^{2}(Ω), alors:

Du(x) = DΦ(x)
D^{2}u(x) ≤ D^{2}Φ(x)

donc, d’après la condition d’ellipticité, H(x, u(x), DΦ(x), D^{2}Φ(x)) ≤ 0. On procède de même pour la seconde assertion.

Ce résultat conduit à la définition des solutions de viscosité:

Définition. Soit u ∈ C(Ω).

1)u est sous-solution de viscosité de (E) si

∀ Φ ∈ C^{2}(Ω), si x ∈ Ω est un point de maximun local de u − Φ, alors

H(x, u(x), DΦ(x), D^{2}Φ(x)) ≤ 0

2)u est sur-solution de viscosité de(E) si

∀ Φ ∈ C^{2}(Ω), si x ∈ Ω est un point de minimun local de u − Φ, alors

H(x, u(x), DΦ(x), D^{2}Φ(x)) ≥ 0

3)u est solution de viscosité de (E) si u est à la fois sur- et sous-solution de viscosité de (E). Remarque : si u ∈ C^{2}(Ω) est une solution classique de (E), alors u en est une solution de viscosité.

2 stabilité

Tout au long de ce paragraphe par convergence dans C(Ω) nous penserons à la convergence uniforme sur tout compact de Ω.

Un des întérêts des solutions de viscosité est leur stabilité par passage à la limite. Pour le montrer commençons par un lemme:

lemme 1 Soit (v_{n})_{n} une suite de fonctions continues sur un ouvert Ω qui converge dans C(Ω) vers v. Si x_{0} est un point de maximun loacal strict de v, alors il existe n_{0} ∈ N, il existe (x_{n})_{n≥n_{0}} suite de points de Ω convergente vers x_{0} telle que pour tout n ≥ n_{0}, x_{n} soit un point de maximun local de v_{n}.

preuve: Soit r > 0 tel que B_{f}(x_{0}, r) ⊂ Ω et ∀x ∈ B(x_{0}, r), x ≠ x_{0}, v(x) < v(x_{0})

Soit η < r

α = v(x_{0}) − sup_{x∈S(x_{0},η)}v(x)

∃n_{η} tel que ∀n ≥ n_{η} sup_{x∈B̄(x_{0},η)}|v_{n}(x) − v(x)| ≤ \frac{α}{3} alors pour tout n ≥ n_{η}, v_{n} a un

point de maximun local dans B(x_{0}, η) pour η = \frac{r}{2}, on obtient n_{1} et (x_{n}^{1})_{n≥n_{1}} suite d’eléments de B(x_{0}, \frac{r}{2}) telle que x_{n}^{1} soit un maximun de v_{n}.

de même et par récurrence ∀k, ∃n_{k} > n_{k−1} et (x_{n}^{k})_{n≥n_{k}} suite de B(x_{0}, \frac{r}{k+1}), x_{n} étant un point de maximun local de v_{n}.

alors, la suite définit par x_{n} = x_{n}^{k} si n_{k} ≤ n < n_{k+1} permet de conclure.

Théorème 2 Si pour tout n > 0, u_{n} ∈ C(Ω) est une sous-solution (resp. une sur-solution) de

H_{n}(x, u_{n}, Du_{n}, D^{2}u_{n}) = 0 dans Ω

où H_{n} est une suite de fonctins continues satisfaisant la condition d’ellipticité. Si (u_{n})_{n} converge vers u dans C(Ω) et si (H_{n})_{n} converge vers H dans C(Ω×R×R^{N} × S_{N}(R)) alors u est une sous-solution (resp. sur-solution) de

H(x, u, Du, D^{2}u) = 0 dans Ω

preuve:

On fait la démonstration dans le cas des sous-solutions, l’autre cas étant identique. Soit Φ ∈ C^{2}(Ω) et x_{0} un point de maximun local de u − Φ On pose f(x) = |x − x_{0}|^{4}, v = u − (Φ + f), v_{n} = u_{n} − (Φ + f) x_{0} est un point de maximun local strict v donc, d’après le lemme, il existe (x_{n})_{n} suite convergente vers x_{0} telle que x_{n} soit un point de maximun local de v_{n} x_{n} est un point de maximun de u_{n} − (Φ + f) donc

H_{n}(x_{n}, u_{n}(x_{n}), DΦ(x_{n}) + Df(x_{n}), D^{2}Φ(x_{n}) + D^{2}f(x_{n})) ≤ 0

et Φ et f sont C^{2} donc, pour i = 1, 2

D^{i}Φ(x_{n}) + D^{i}f(x_{n}) ⟶ D^{i}Φ(x_{0}) + D^{i}f(x_{0}) = D^{i}Φ(x_{0})

de plus, (u_{n}) converge uniformément vers u au voisinage de x_{0} donc u_{n}(x_{n}) ⟶ u(x_{0}) pour les mêmes raisons on a:

H_{n}(x_{n}, u_{n}(x_{n}), DΦ(x_{n}) + Df(x_{n}), D^{2}Φ(x_{n}) + D^{2}f(x_{n}))
⟶ H(x_{0}, u(x_{0}), DΦ(x_{0}), D^{2}Φ(x_{0}))

d’où

H(x_{0}, u(x_{0}), DΦ(x_{0}), D^{2}Φ(x_{0})) ≤ 0

ce qui prouve le résultat voulu.

3 un résultat d’unicité

Dans cette partie, nous allons montrer un résultat d’unicité pour l’équation d’évolution dans un ouvert borné:

Théorème 3 Soit Ω un ouvert borné de R^{N}, T > 0 et (E) l’équation ∂_{t}u + H(x, t, Du) dans Ω×]0, T [ où H est une fonction continue sur Ω×]0, T] telle qu’il existe m : R → R^{+} tendant vers 0 en 0 et vérifiant:

∀x, y ∈ Ω, ∀t, s ∈]0, T], ∀p ∈ R^{N}, |H(x, t, p)−H(y, s, p)| ≤ m((|x−y|+|t−s|)(1+p))

Si u (resp.v) ∈ C(Ω̄ × [0, T]) sont sous-(resp. sur-)solution de (E) et si u ≤ v sur ∂Ω × [0, T]UΩ̄ × {0} alors u ≤ v sur Ω̄ × [0, T].

On remarque que l’on impose pas de conditions sur tout le bord de Ω × [0, T] ce qui est logique dans le cas d’une équation d’évolution. Pour régler le problème qui apparait sur Ω × {T } il nous faut le lemme suivant:

lemme 2 si u ∈ C(Ω̄ × [0, T]) est sous-solution (resp. sur-solution ) de (E) dans Ω×]0, T [, alors u est sous-solution (resp. sur-solution) de (E) dans Ω×]0, T] (les points du bord sont traités comme les points intérieurs).

la preuve de ce lemme est similaire a celle du lemme de la partie sur la stabilité: on approche un point de maximun de Ω × {T } par des points intérieurs. preuve du théorème:

Soit α > 0

On pose u_{α}(x, t) = u(x, t) − αt, M^{α} = max_{Ω̄×[0,T]}(u_{α} − v)

On suppose M > 0; alors pour α assez petit, M^{α} > 0

On pose f_{n}(x, y, t, s) = u_{α}(x, t) − v(y, s) − n^{2}(|x − y|^{2} + (t − s)^{2})

soit M_{n} = max f_{n} = f_{n}(x_{n}, y_{n}, t_{n}, s_{n})

lemme 3

lim_{n→∞}M_{n} = M^{α}

lim_{n→∞}n^{2}(|x_{n} − y_{n}|^{2} + (t − s)^{2}) = 0

lim_{n→∞}(u_{α}(x_{n}, t_{n}) − v(y_{n}, s_{n}) = M^{α}

(x_{n}, t_{n}), (y_{n}, s_{n}) ∈ Ω×]0, T] pour n assez grand.

Admettons ceci pour l’instant et poursuivons la preuve: On prend n assez grand pour que la dernière condition soit réalisée. Alors (x_{n}, t_{n}) est un point de maximun local de

(x, t) ↦ u_{α}(x, t) − [v(y_{n}, s_{n}) + n^{2}(|x − y_{n}|^{2} + (t − s_{n})^{2})

et u_{α} est sous-solution de α + ∂_{t}u + H(x, t, Du) donc

α + 2n^{2}(t_{n} − s_{n}) + H(x_{n}, t_{n}, 2n^{2}(x_{n} − y_{n})) ≤ 0

de même en utilisant que v est sur-solution de (E), on obtient:

2n^{2}(t_{n} − s_{n}) + H(y_{n}, s_{n}, 2n^{2}(x_{n} − y_{n})) ≥ 0

En soustrayant ces deux inégalités, il vient:

α + H(x_{n}, t_{n}, 2n^{2}(x_{n} − y_{n})) − H(y_{n}, s_{n}, 2n^{2}(x_{n} − y_{n})) ≤ 0

et, d’après l’hypothèse faite sur H:

α − m(n(|x_{n} − y_{n}| + |t_{n} − s_{n}|)(\frac{1}{n} + n|x_{n} − y_{n}|))

en faisant tendre n vers +∞ on conclut que α ≤ 0 ce qui est absurde et permet de dire que M ≤ 0, d’où le résultat.

Passons maintenant à la démonstration du lemme:

On peut tout d’abord remarquer qu’il suffit de le montrer pour u, v ne dépendant que de x et pour α = 0.

Par définition de M_{n}, ∀x ∈ Ω̄, u(x) − v(x) ≤ u(x_{n}) − v(y_{n}) − n^{2}|x_{n} − y_{n}|^{2} = M_{n} donc M ≤ M_{n}.

Soit R ≥ max(∥ u ∥_{∞}, ∥ u ∥_{∞})

d’après ce qui précède, n^{2}|x_{n} − y_{n}|^{2} ≤ 2R

on pose m_{v}(t) = sup_{|x−y|≤t}|v(x) − v(y)|

v est uniformément continue (car continue sur le compact Ω̄ ) donc lim_{t→0} m_{v}(t) = 0 On a:

M ≤ M_{n} = u(x_{n}) − v(y_{n}) − n^{2}|x_{n} − y_{n}|^{2} ≤ u(x_{n}) − v(x_{n}) + m_{v}(|x_{n} − y_{n}|)

≤ M + m_{v}(|x_{n} − y_{n}|)

or |x_{n} − y_{n}| ≤ \frac{\sqrt{2R}}{n} et m_{v} est croissante donc

M ≤ M_{n} ≤ M + m_{v}(\frac{\sqrt{2R}}{n})

d’où le premier résultat du lemme.

De plus, M_{n} ≤ u(x_{n})−v(y_{n}) ≤ M +m_{v}(\frac{\sqrt{2R}}{n}) d’où le deuxième point du lemme. Enfin si x_{n} ∈ Ω, alors u(x_{n}) − v(y_{n}) ≤ u(x_{n}) − v(x_{n}) + m_{v}(|x_{n} − y_{n}|) ≤ m_{v}(\frac{\sqrt{2R}}{n}

car u ≤ v sur ∂Ω

Or u(x_{n}) − v(y_{n}) converge vers M > 0 donc on a une absurdité pour n assez grand; le raisonnement est identique pour y_{n}.

4 propagation de flamme

soit l’équation de Hamilton-Jacobi

\{ \begin{matrix}∂_{t}u + H(Du) = 0 dans R^{N} ∗ [0, ∞] \\ u(x, 0) = u_{0} dans R^{N} \end{matrix}  (1)

L’équation eikonale correspond a H(p)=± p A cette équation au dérivées partielle dite d’Hamilton Jacobi correspond un ensemble d’équation differentielles ordinaires, les equations de Hamilton:

\{ \begin{matrix}ẋ = ∂_{y}H(p(t), x(t)) avec x(0) = x_{0} \\ ṗ = −∂_{x}H avec p(0) = Du_{0}(x_{0}) \end{matrix}  (2)

La correspondance étant assurée par l’égalité u(x(t),t)=u(x(0),0) Mais dans l’affaire si on a des conditions initiales C^{∞} , on est assuré de garder cette classe sur des temps petits, mais a terme on peut voir des singularités apparaitre due a la collision de front d’onde. La continuité des fronts est gardée mais pas leur classe. Nous verrons que les solutions de viscosité permettent de traiter la question globalement. Précisons que, quand deux fronts se rencontrent, ils peuvent très bien disparaitre(cela peut se produire si une onde spherique converge vers son centre, quand elle a atteint le centre, elle disparait.)

5 résolution par les solutions de viscosité

Nous supposons d’abord que H est convexe, on considere la fonction cojuguée de Fenchel de H:

L(ẋ) = sup_{p}(ẋ|p) − H(p) = H^{∗}(ẋ)  (3)

on definit u par

u(x, t) = inf_{ξ(t)=x}\{ u_{0}(ξ(0)) + ∫_{0}^{t} H^{∗}(ξ̇(s) ds \} = inf_{y∈R^{N}}(u_{0}(y) + tH^{∗}(\frac{x − y}{t})) (4)

c’est la formule d’Oleinik-Lax qui donne l’unique solution de viscositée de (1). Sous reserve que H soit convexe.

on note S_{H}(t)u_{0} l’unique solution de viscosité de (1). S_{H} est le semi groupe associé á H. Si H ne depend que de |p|, on a S_{−H}(t)u_{0} = −S_{H}(−u_{0}) Donc la formule d’Oleinik-Lax s’applique aux Hamiltoniens concaves et donc en particulier au hamiltonien H(p)=-|p| de l’équation eikonale. Pour l’équation eikonale, la formule d’Oleinik-Lax donne

u(x, t) = sup_{|y−x|≤t}(u_{0}(y))  (5)

nous prouvons la formule d’oleinik Lax dans le cas particulier suivant Nous allons montrer que la fonction u(x, t) = sup_{|y−x|≤t}u_{0}(x) où u_{0} est une fonction

continue sur R^{N} est solution de viscosité de ∂_{t}u − |Du| = 0 dans R^{N}×]0, +∞[. On pose pour cela S(t)u_{0}(x) = sup_{|y−x|≤t}u_{0}(y); il est immédiat que S(t + s) = S(t)oS(s)

On montre que u est sous-solution et on montrerait de même que u est sursolution:

Soit donc v ∈ C^{2}(R^{N}×]0, +∞[) et (x, t) un point de maximun local de u − v. Si 0 < h < t, alors u(x, t) = S(t)u_{0}(x) = S(h)S(t − h)u_{0}(x) = S(h)u(., t − h)(x)

donc u(x, t) = sup_{|y−x|≤h}u(y, t − h)

or (x, t) est un point de maximun local de u − v donc, pour h assez petit:

|y − x| ≤ h ⇒ u(y, t − h) − v(y, t − h) ≤ u(x, t) − v(x, t)

Alors u(x, t) ≤ sup_{|y−x|≤h}(v(y, t − h) + u(x, t) − v(x, t))

donc v(x, t) ≤ sup_{|y−x|≤h}v(y, t − h)

par un développement de Taylor de v à l’ordre 1 on obtient:

0 ≤ sup_{|y−x|≤h}(−∂_{t}v(x, t)h + (Dv(x, t), y − x) + o(|y − x|) + o(h))

or dans cette inégalité, o(|y − x|) ≤ o(h) donc

∂_{t}v(x, t) ≤ sup_{|y−x|≤h}(Dv(x, t), \frac{y − x}{h}) + o(1)

or, ce dernier supremun vaut |Dv| donc, en faisant tendre h vers 0

∂_{t}v − |Dv| ≤ 0

ce qui montre que u est sous-solution.

Cette formule a une signification physique, elle correspond au principe de Huygens Fresnel qui affirme que les points d’un front d’onde réemette comme source secondaire

6 Contrôle optimal

soit l’équation différentielle ordinaire

{ ẏ_{x}(t) = b(y_{x}(t), v(t)0 pour t > 0, y_{x}(0) = x ∈ R^{N}  (6)

b est continue de R^{N} ∗ V dans R^{N}, V est un espace métrique compact, l’espace des contrôles et v(.) le contrôle, est une fonction mesurable de ]0,∞[ à valeurs dans V.

|b(x, v) − b(y, v)| ≤ C|y − x| , |b(x, v)| ≤ C

par l’hypothèse précédente on a l’existence et l’unicité d’une solution. La trajectoire y_{x} depend de x et de v(.) on definit alors le coût de la solution:

J(x, v(.)) = ∫_{0}^{+∞}f(y_{x}(t), v(t))e^{−λt} dt  (7)

f est continue de R^{N} ∗ V dans R

|f(x, v) − f(y, v)| ≤ C|y − x| , |f(x, v)| ≤ C

Le but est de minimiser J en agissant sur le contrôle et d’essayer de calculer quand il existe le contrôle optimal. pour cela on introduit la fonction valeur:

u(x) = inf_{v(.)∈L^{∞}((0,∞),V)} J(x, V (.))  (8)

Si u est une solution régulière alors on prouve que u est solution de l’equation de Bellman:

sup_{v∈V}{ −b(x, v).Du + λu − f(x, v) } = 0 dans R^{N}  (9)

Si l’on poursuit dans la même voie en supposant que ce sup est atteint en un seul v ∈ V et que la dependance de ce v en x est reguliere alors on prouve que v est le contrôle optimal qui minimise J. Mais tout cela reste faut en pratique, et la fonction valeur n’aura pas la classe suffisante pour que cela soit valable.

7 preuve des résultats précédents

les solutions de viscositées on s’en serait douté permettent de résoudre la question en prouvant que le u précédent est solution de viscosité de l’équation de Bellman

un résultat qui est à la base de la preuve que la fonction valeur est solution de l’équation de Bellman est le principe de la programmation dynamique.

Théorème 4 Sous les hypothèses précédentes et λ > 0 la fonction valeur u vérifie

u(x) = inf_{v(.)}[ ∫_{0}^{T} f(y_{x}(t), v(t))e^{−λt}dt + u(y_{x}(T))e^{−λT} ] pour tout T > 0.

ce principe est facile a établir et se prouve comme l’on pense en faisant des changement de variable u=t-T.

ensuite il faut prouver que la fonction est uniformement continue ce qui est contenu dans le résultat technique suivant: soit

λ_{0} = sup ; \begin{matrix}v ∈ V \\ x ≠ x′ \end{matrix} \frac{(b(x, v) − b(x′, v), x − x′)}{|x − x′|^{2}}

lemme 4 Sous les hypothèses précédentes et λ > 0 on a:

u ∈ W^{1,∞}(R^{N}) si λ > λ_{0}

u ∈ C^{0,α}(R^{N}) ⋂ L^{∞}(R^{N}) pour tout 0 < α < 1 si λ = λ_{0}

u ∈ C^{0,α}(R^{N}) ⋂ L^{∞}(R^{N}) avec α = \frac{λ}{λ_{0}} si λ < λ_{0}

Maintenant passons à la preuve que u est solution de l’équation de Bellman

Théorème 5 sous les hypotheses pécédentes et λ > 0 la fonction valeur u du probleme de contrôle est l’unique solution dans BUC(R^{N}) de l’équation de Bellman:

H(x, u, Du) = 0 dans R^{N}

où

H(x, u, p) = sup_{v∈V}{ −b(x, v).p + λu − f(x, v) }

Commencons par prouver que u est sous solution. Soit ϕ ∈ C^{1}(R^{N}). Si x est un point de maximum local de u-ϕ, on peut supposer, sans perte de généralité, que u(x) = ϕ(x). il existe donc r > 0 tel que

∀y ∈ B(x, r), u(y) ≤ ϕ(y)

On utilise le principe de la programmation dynamique avec un contrôle constant v(t)=v∈ V; il en résulte l’inégalité:

u(x) ≤ ∫_{0}^{T} f(y_{x}(t), v)e^{−λt}dt + u(y_{x}(T))e^{−λT}  (10)

Or b étant borne y_{x}(T) appartient à B(x,r) si T est assez petit donc l’équation précédente implique

ϕ ≤ ∫_{0}^{T} f(y_{x}(t), v)e^{−λt}dt + ϕ(y_{x}(T)e^{−λT}

que l’on réécrit sous la forme:

ϕ(x) − ϕ(y_{x}(T))e^{−λT} ≤ ∫_{0}^{T} f(y_{x}(t), v)e^{−λt}dt

En divisant par T et en faisant tendre T vers 0, on obtient:

−\frac{d}{dT} (ϕ(y_{x}(T))e^{−λT})|_{T =0} ≤ f(x, v)

donc

−b(x, v)Dϕ(x) + λϕ(x) ≤ f(x, v).

Cette inégalité étant vraie pour tout v ∈ V et comme u(x)=ϕ(x), la premiere propriété est prouvèe. Montrons maintenant que u est sursolution. soit ϕ ∈ C^{1}(R^{N}) et soit x un point de minimum local de u-ϕ. On suppose toujours que u(x)=ϕ(x); il existe donc r¿0 tel que

∀y ∈ B(x, r), u(y) ≥ ϕ(y)

de la meme maniere qu’avant on obtient

ϕ(x) ≥ inf_{v(.)}[ ∫_{0}^{T} f(y_{x}(t), v(t))e^{−λt}dt + ϕ(y_{x}(T))e^{−λT} ]

on remarque alors que:

ϕ(y_{x}(T))e^{−λT} = ϕ(x) + ∫_{0}^{T}[ b(y_{x}(t), v(t)).Dϕ(y_{x}(t)) − λϕ(y_{x}(t)) ]e^{−λt}dt

ce qui est une égalité de base entre une fonction et l’intégrale de sa dérivée. ceci permet de réécrire l’inégalité précédente sous le forme:

0 ≥ inf_{v(.)}[ ∫_{0}^{T}[ b(y_{x}(t), v(t)).Dϕ(y_{x}(t)) − λϕ(y_{x}(t)) + f(y_{x}(t), v(t)) ]e^{−λt}dt ]

Mais cette égalité implique

0 ≥ inf_{v(.)}[ ∫_{0}^{T} inf_{v∈V} [ b(y_{x}(t), v(t)).Dϕ(y_{x}(t)) − λϕ(y_{x}(t)) + f(y_{x}(t), v(t)) ]e^{−λt}dt ]

soit encore

0 ≥ inf_{v(.)}[ ∫_{0}^{T} −H(y_{x}(t), ϕ(y_{x}(t)), Dϕ(y_{x}(t)))e^{−λt}dt ]

Notons tout d’abord que l’integrande depend de v(.) à travers la trajectoire y_{x}. Mais comme b est borné uniformément par rapport á v, |y_{x}(t) − x| ≤ Ct pour une certaine constante C > 0. La continuité de H, ϕetDϕ implique alors que

H(y_{x}(t), ϕ(y_{x}(t)), Dϕ(y_{x}(t))) = H(x, ϕ(x), Dϕ(x)) + o(1)

oú le o(1) est uniforme par rapport au contrôle v(.). On utilise cette propriété dans l’équation précédente et on conclut en divisant par T et en faisant tendre T vers 0.

8 conclusion

Avec les solution de viscosité nous avons donc donné un sens mathématique au pricipe de Huygens Fresnel. Nous avons aussi donné des théoreme pour le contrôle optimal. Ce qui surprend dans cette notion, c’est qu’elle est à peu près totalement non linéaire. Une des limitations des solutions de viscosité telles que nous l’avons présenté est qu’elles s’applique uniquement a des équation du premier ordre. pour le second ordre, il y a actuellement des recheches. Ensuite il existe une généralisation à des solutions discontinues qui permet d’affaiblir les hypothèses... Le bouquin qui permet de s’initier facilement á ces notions et dont une bonne part de cet exposé est tiré est: Solutions de viscosité des équations de Hamilton Jacobi de Guy Barles aux éditions Springer Verlag.