REPRESENTATIONS PROJECTIVES

MOTIVATION PHYSIQUE. En mecanique quantique, l’état d’un système physique est décrit par un vecteur de norme 1 d’un espace de Hilbert complexe H. Cependant la correspondance n’est pas bijective puisque deux vecteurs proportionnels représentent le même état: même en fixant la norme à 1, il reste une phase (e^{iϕ}) arbitraire. Considérons alors une transformation que l’on peut effectuer sur le système, comme une rotation selon un axe donné. Mathématiquement, on voit facilement qu’il serait naturel de lui faire correspondre un opérateur linéaire unitaire sur l’espace H. Cependant, du fait du choix arbitraire de la phase, on montre que, comme pour les vecteurs, on ne peut lui associer qu’un opérateur “à une phase près”. Si l’on considère maintenant un groupe de transformations du système physique considéré, on est amené à la notion de représentation projective (unitaire):

DEFINITION. Soit G un groupe de Lie, H un espace de Hilbert. Une représentation projective de G dans H est la donnée d’un morphisme de groupes (autant de fois différentiable que nécessaire) de G dans P U (H), ensemble des classes d’équivalence (de la forme: e^{iϕ}U, U opérateur fixé) d’opérateurs unitaires de H.

Il est clair que l’on peut toujours supposer G connexe; ce sera le cas dorénavant.

CHOIX D’UN REPRESENTANT. L’objet ainsi défini n’est pas très agréable à manipuler, on préfèrerait manipuler des opérateurs plutôt que des classes d’équivalence d’opérateurs. C’est pourquoi, quand on a une représentation projective, on est amené à faire un choix de représentants g ↦ U_{g}. Il est clair que ce choix de représentants peut, au moins localement (i.e. sur un voisinage V de l’identité e de G), se faire de manière continue et même différentiable. Ce problème de local/global ne jouant un rôle que plus tard, on peut supposer U_{g} défini sur tout le groupe. Cependant g ↦ U_{g} ne constitue pas un morphisme de groupes: en effet, on peut seulement affirmer que

U_{g}U_{h} = ω (g, h) U_{gh}

où ω (g, h) ∈ U_{1}, ensemble des nombres complexes de module 1. La fonction ω : G×G → U_{1} (ou V ×V → U_{1}) n’est pas quelconque: elle vérifie une condition liée à l’associativité du produit de G.

U_{g} (U_{h}U_{k}) = ω (h, hk) ω (h, k) U_{ghk}
(U_{g}U_{h}) U_{k} = ω (g, h) ω (gh, k) U_{ghk}

soit finalement:

ω (h, hk) ω (h, k) = ω (g, h) ω (gh, k) ∀g, h, k ∈ G.  (∗)

Une fonction ω vérifiant (∗) est appelée facteur (local) de G. De plus, à partir d’un premier choix de représentants U_{g}, on peut en définir un nouveau U′_{g} par

U′_{g} = φ (g) U_{g}

où φ est une fonction différentiable à valeurs dans U_{1}. Deux tels choix sont dits équivalents. Les facteur locaux ω et ω′ associés vérifient la relation:

ω′ (g, h) = ω (g, h) φ (g) φ (h) φ (gh)^{−1} .

COCYCLES ET COBORDS. On voit donc que si l’on nomme E^{n} l’ensemble des fonctions différentiables de G^{n} (ou V^{n}) dans U_{1}, qui forme un groupe abélien pour le produit usuel, on peut définir deux sous-groupes de E^{2}: Z^{2}, noyau du morphisme d_{2} : E^{2} → E^{3} qui à ω associe

dω (g, h, k) = ω (h, hk) ω (h, k) ω (g, h)^{−1} ω (gh, k)^{−1}

et B^{2}, image du morphisme d_{1} : E^{1} → E^{2} qui à φ associe

ω (g, h) = φ (g) φ (h) φ (gh)^{−1} .

L’espace auquel on s’intéresse est le quotient H^{2} = Z^{2}/B^{2}. Ceci ressemble beaucoup à de la cohomologie, et effectivement on pourrait définir à ce niveau les espaces H^{n} dont H^{2} est un cas particulier. Cependant, on va plus simplement montrer que cette cohomologie peut se ramener a celle de De Rham.

LIEN AVEC DE RHAM. L’idée est de remplacer l’étude du groupe de Lie G par celui de son algèbre de Lie 𝔤, ce qui nous amènera à introduire des formes différentielles (invariantes) comme formes multilinéaires sur 𝔤.

Considérons donc un facteur local ω ∈ Z^{2}, et retraduisons tout d’abord (∗) sous une forme commode. Si l’on définit le groupe de Lie G_{ω} associé à ω par G_{ω} = G × U_{1} ensemblistement (et topologiquement) et

(g, u) · (h, v) = (gh, uv ω (g, h))

pour ce qui est de la loi de groupe (ce qui en fait une extension centrale de G), on voit que (∗) est équivalente à l’associativité de G_{ω}. A priori la loi de G_{ω} n’est définie que localement (sur V) mais ceci n’a pas d’importance puisque l’on va maintenant se ramener à son algèbre de Lie 𝔤_{ω}, qui ne dépend que de la structure locale de G_{ω}. En effet, on sait qu’à l’associativité d’un groupe de Lie est liée la relation de Jacobi sur son algèbre de Lie. Pour écrire celle de 𝔤_{ω}, on remarque d’abord que 𝔤_{ω} = 𝔤 ⊕ d’après la définition de G_{ω} et que son crochet de Lie doit se formuler comme:

[(x, α) , (y, β)]_{𝔤_{ω}} = ([x, y]_{𝔤} , Ξ(x, y))

où Ξ est une forme bilinéaire alternée qui ne dépend que de x et y (et non de α et β) car U_{1} constitue un sous-groupe commutatif de G_{ω}. Ξ dépend évidemment de ω à travers la loi de G_{ω}. La relation de Jacobi de 𝔤_{ω} se compose donc de 2 équations: l’une, qui n’est autre que la relation de Jacobi de 𝔤, et l’autre qui est:

Ξ (x, [y, z]) + Ξ (z, [x, y]) + Ξ (y, [z, x]) = 0 ∀x, y, z ∈ 𝔤.  (∗∗)

Pour interpréter cette formule, considérons Ξ non pas comme une forme bilinéaire alternée (sur 𝔤, espace tangent de G en e) mais comme une forme différentielle définie sur tout G par la condition d’être invariante à gauche (de même que les éléments de 𝔤 peuvent être considérés comme des champs de vecteurs invariants à gauche). A ce moment-là, si Ξ est une 2-forme invariante à gauche et x et y deux champs de vecteurs invariants à gauche, Ξ (x, y) est une fonction invariante à gauche, c’est à dire constante, donc égale à sa valeur en e. (∗∗) peut ainsi être considérée comme une relation vérifiée par la 2-forme Ξ en tout point de G. Or la différentielle extérieure de Ξ vaut:

dΞ (x, y, z) = Ξ (x, [y, z]) + Ξ (z, [x, y]) + Ξ (y, [z, x]) + x · Ξ (y, z) + y · Ξ (z, x) + z · Ξ (x, y)

oú · correspond à l’action usuelle des champs de vecteurs sur les fonctions (produit scalaire du champ par la différentielle de la fonction). En prenant x, y, z comme dans (∗∗) c’est à dire invariants à gauche, Ξ(x, y) et les 2 autres fonctions similaires sont des fonctions constantes donc de différentielle nulle, ce qui nous laisse

dΞ(x, y, z) = Ξ (x, [y, z]) + Ξ (z, [x, y]) + Ξ (y, [z, x]) .

(∗∗) se récrit donc: dΞ(x, y, z) = 0 pour tous champs invariants x, y, z, donc pour tous champs puisque dΞ(x, y, z) en un point 𝔤 de G ne dépend que des valeurs des champs x, y, z en 𝔤 (linéarité de la relation par rapport au module des fonctions sur G), soit finalement:

dΞ = 0.

On a donc ainsi défini une application de Z^{2} dans Z_{inv}^{2}(G) (2-formes fermées invariantes de G) qui à ω associe Ξ. Vérifions maintenant que B^{2} est bien envoyé sur les formes exactes. Soit ω ∈ B^{2}, ω(g, h) = φ(g)φ(h)φ(gh)^{−1}. On remarque alors que G_{ω} est isomorphe à G × U_{1}: en effet

\begin{matrix}Φ : G_{ω} & → G × U_{1} \\ (g, u) & ↦ (g, uφ (g)) \end{matrix}

est un isomorphisme de groupe de Lie. Sa dérivée en e est donc un isomorphisme d’algèbre de Lie de 𝔤_{ω} sur 𝔤 ⊕ que l’on calcule explicitement (sans difficulté):

\begin{matrix}Φ′_{e} : 𝔤_{ω} & → 𝔤 ⊕ \\ (x, α) & ↦ (x, αφ_{e} + dφ_{e} (x)) \end{matrix}

en posant φ_{e} = φ(e) et dφ_{e} = dφ(e). On en déduit le crochet de Lie sur 𝔤_{ω}:

\begin{aligned}[(x, α) , (y, β)]_{g_{ω}} & = Φ′_{e}^{−1} ([Φ′_{e} (x, α) , Φ′_{e} (y, β)]_{g⊕} ) \\ & = Φ′_{e}^{−1} ([x, y] , 0) \end{aligned}

Ξ est donc donnée par la condition:

Φ′_{e}^{−1} ([x, y] , 0) = ([x, y] , Ξ (x, y))

ce qui se résoud:

Ξ (x, y) = −φ_{e}^{−1}dφ_{e} ([x, y]]) .

Si l’on pose donc:

Λ = −φ_{e}^{−1}dφ_{e},

on voit que

\begin{aligned}Ξ (x, y) & = Λ ([x, y]) \\ & = dΛ (x, y) \end{aligned}

en considérant Λ comme une 1-forme invariante à gauche. Ceci veut dire: Ξ exacte.

Si l’on nomme H_{inv}^{p}(G) = Z_{inv}^{p}(G)/B_{inv}^{p}(G) les espaces de cohomologie des p-formes invariantes, on est ici ramené à l’étude de H_{inv}^{2}(G). Ce n’est pas tout à fait la cohomologie de de Rham habituelle, mais on a le résultat suivant:

PROPOSITION. Si G est compact, l’injection de Z_{inv}^{p}(G) dans Z^{p}(G) induit un isomorphisme entre H_{inv}^{p}(G) et H^{p}(G). Démonstration: il est clair que l’application passe au quotient puisque toute forme (invariante) qui est “exacte-invariante” c’est à dire différentielle d’une forme invariante est en particulier exacte. L’injectivité de l’application ainsi définie correspond à montrer la réciproque: si ω, p-forme invariante, est la différentielle de φ, (p − 1)-forme quelconque, est-elle encore différentielle d’une forme invariante ? Si G est compacte, on utilise la mesure de Haar (invariante) μ normalisée (μ(G) = 1) pour définir

ψ = ∫_{G} L_{g∗}φ dμ (g)

où L_{g} est la translation à gauche par l’élément g ∈ G. Cette opération de “moyennation” associe à φ une forme ψ qui est clairement invariante. Comme ω, déjà invariante, est stable par cette opération de moyennation, et que moyennation et différentiation commutent, on a:

ω = dψ,

d’où l’injectivité. La surjectivité s’obtient en remarquant que parmi les formes invariantes à gauche on trouve les formes bi-invariantes (à gauche et à droite) et que sur une variété compacte, celles-ci sont exactement les formes harmoniques. Dans chaque classe de cohomologie, il y a une forme harmonique (et même exactement une), ce qui conclut.

Autre remarque: les H_{inv}^{p} ne dépendent que de 𝔤 ! (la différentiation extérieure est donnée uniquement par les opérations d’addition et de crochet de l’algèbre de Lie). On est ainsi ramené à un problème algébrique, de formes multilinéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension finie.

Examinons maintenant de plus près ces espaces.

CALCUL DE H_{inv}^{p}. Commençons par les petites valeurs de p...

* p = 0: H_{inv}^{0}(G) = , ce sont les fonctions constantes.

* p = 1: H_{inv}^{1}(G) = (𝔤/ [𝔤, 𝔤])^{∗}, soit encore les formes linéaires définies sur 𝔤 et nulles sur [𝔤, 𝔤] = {[x, y] , x, y ∈ 𝔤}. C’est évident compte tenu de la définition de la différentielle d’une 1-forme.

* p quelconque, G abélien: le crochet de Lie est nul, donc d = 0, c’est à dire H_{inv}^{p}(G) = A^{p}(𝔤), espace des formes p-linéaires alternées sur 𝔤, qui est de dimension C_{n}^{p}. C’est la dimension maximale que puisse avoir H_{inv}^{p} d’après sa définition.

* p = 2, G semi-simple: H_{inv}^{2}(G) = 0. Nommons ad la représentation adjointe de 𝔤, c’est à dire:

\begin{matrix}ad_{x} : 𝔤 & → 𝔤 \\ y & ↦ [x, y] . \end{matrix}

ad est un morphisme d’algèbre de Lie de 𝔤 dans L(𝔤). On définit la forme de Killing:

B(x, y) = Tr (ad_{x}, ad_{y}) .

On rappelle que G est semi-simple si et seulement si la forme bilinéaire B sur 𝔤 est non dégénérée. Celle-ci fait alors office de “tenseur métrique”, c’est à dire qu’on peut “monter ou descendre les indices”. En d’autres termes, étant donnée la 2-forme Ξ, on peut lui associer l’endomorphisme Ξ̃ défini par:

B (Ξ̃(x), y) = Ξ(x, y).

De même à l’application bilinéaire crochet, on peut associer la forme trilinéaire alternée T:

T (x, y, z) = B (x, [y, z])

. On peut alors récrire la relation (∗∗) vérifiée par Ξ en termes de Ξ̃, en utilisant T; on obtient:

Ξ̃ ([x, y]) = [Ξ̃(x), y] − [Ξ̃(y), x] .  (∗∗∗)

Montrons maintenant que si Λ(x) = Tr (Ξ̃ ad_{x}), alors Ξ = dΛ:

dΛ(x, y) = Λ ([x, y])
= Tr (Ξ̃ (ad_{x}ad_{y} − ad_{y}ad_{x}))
= Tr ((Ξ̃ ad_{x} − ad_{x} Ξ̃) ad_{y})

par cyclicité de la trace. Mais d’après (∗∗∗),

Ξ̃ ad_{x} − ad_{x} Ξ̃ = ad_{Ξ̃(x)},

d’où

dΛ(x, y) = Tr (ad_{Ξ̃(x)}ad_{y})
= B (Ξ̃(x), y)
= Ξ(x, y).

REMONTEE. Supposons maintenant connu le H_{inv}^{2} de notre groupe G. Peut-on en déduire en retour toutes les représentations projectives de G? On va donc essayer de reconstruire à partir de Ξ, élément d’une classe de cohomologie, le facteur ω, puis la représentation elle-même.

Il est tout d’abord clair que Ξ permet de construire un facteur ω localement. En effet Ξ définit g_{ω} donc localement G_{ω} donc finalement ω. Cependant, le fait que ω ne soit défini que sur un voisinage V de e est gênant, car si l’on veut une représentation de G tout entier, il faudrait que ω soit défini globalement sur G.

Peut-on alors étendre ω à G? La réponse, dans le cas général, est non. La condition à imposer à G est qu’il soit simplement connexe; l’extension est alors possible. Ceci s’avère ne pas être un problème car on sait que quand on a un groupe connexe G, on peut considérer son revêtement universel (simplement connexe)

G^{∗}⟶^{p}G

oú p est un revêtement et un morphisme de groupes, de noyau N sous-groupe central de G^{∗}. On voit alors qu’à toute représentation projective ρ de G correspond une représentation projective ρ ∘ p de G^{∗}. On peut donc se contenter de déterminer les représentations projectives ρ^{∗} de G^{∗}, et trier ensuite celles qui se factorisent par p, c’est à dire qui vérifient N ⊂ Ker ρ^{∗}. On remarque en particulier que c’est toujours le cas des vraies représentations (irréductibles) de G^{∗}, car N, inclus dans le centre de G^{∗}, est envoyé d’après le lemme de Schur dans le centre de U(H), soit les e^{iϕ}Id_{H}, soit encore la classe de l’identité dans P U(H), ce qui veut dire que N est inclus dans le noyau de la représentation projective associée à cette vraie représentation.

On suppose donc maintenant G simplement connexe, ce qui nous a permis de définir le facteur ω globalement. Montrons donc pour finir que l’on peut construire explicitement une représentation projective dont un facteur soit ω. On choisit H = L^{2}(G) et à g ∈ G on associe l’opérateur U_{g} de U(H) défini par

U_{g}(φ) = ψ où ψ(h) = ω(g, h)φ(gh).

Ceci constitue un choix de représentants g ↦ U_{g} dont le facteur local est, comme on le vérifie en utilisant la relation (∗), ω.

CONCLUSION. Pour déterminer les représentations projectives d’un groupe de Lie connexe G, on commence par calculer le H_{inv}^{2} de son revêtement universel G^{∗}, ce qui nous donne ses représentations projectives. Dans les cas sympathiques (celui traité, G^{∗} semi-simple, mais aussi si G est compact), cette espace est nul et on a bijection entre représentations projectives de G et vraies représentations de G^{∗}. L’exemple de ce type qui apparaît en physique est celui du groupe des rotations dans l’espace à 3 dimensions G = SO(3), G^{∗} = SU(2) étant un revêtement à 2 feuillets. Il y a une représentation de SU(2) pour chaque dimension n; si n est pair c’est aussi une vraie représentation de SO(3), si n est impair ce n’est pas le cas, et c’est ce qui conduit en physique à l’existence de particules de spin demi-entier, aux propriétés inhabituelles vis-à-vis des rotations...