Cohomologie des groupes

Niladri Singh et Ivan Marin

1er Juin 1994

1 Généralités

1.1 La catégorie des G-modules

On note G un groupe (multiplicatif) agissant sur un groupe abélien (additif) quelconque, de telle façon que

∀g ∈ G ∀x, y ∈ A g.(x + y) = g.x + g.y

Si Λ désigne l’algèbre ZZ[G] du groupe G sur ZZ, on peut munir A d’une structure de Λ-module unitaire a gauche en posant

(∑ n_{s}s).a = ∑ n_{s}(s.a)

Inversement, si A est muni d’une structure de Λ-module (unitaire a gauche), G opère sur A par (s, a) ↦ s.a. Cette opération préserve naturellement la loi de A, et on nomme cette structure un G-module. Si A et A’ sont deux G-modules, une application f : A → A′ est appelée G-homomorphisme, ou morphisme de G-modules, si c’est un homomorphisme de groupes abéliens, et si elle commute à la loi de G (ce qui revient a dire que c’est un homomorphisme de Λ-modules).

Ceci définit bien une catégorie, la catégorie des G-modules. Cette catégorie n’étant rien d’autre que celle des Λ-modules, on en déduit notamment qu’elle a suffisamment d’injectifs (cf Lang ch XX Th. 4.1 , ou, dans un cadre plus général, Grothendieck §1.10).

Remarquons enfin que l’action (g, x) ↦ g.x = x munit tout groupe abélien d’une structure de G-module. On appelle cette action l’action triviale, et la structure de G-module associée structure triviale.

1.2 Le foncteur A^{G}

Si A est un G-module, on note A^{G} le sous-groupe de A formé des éléments invariants sous l’action de G. Si f : A → B est un G-homomorphisme, f applique A^{G} dans B^{G}; on peut donc bien parler du foncteur A^{G} , de la catégorie des G-modules dans elle-même. Par abus, on ne distinguera souvent pas un morphisme f de sa restriction à A^{G} .

Proposition 1 Le foncteur A^{G} est additif et exact a gauche

L’additivité est claire. Soit une suite exacte 0 → A →^{i} B →^{f} C. Il s’agit de montrer que la suite 0 → A^{G} →^{i′} B^{G} →^{f′} C^{G} est alors exacte.

En effet :

– Keri = 0 ⇒ Keri′ = 0 car x ∈ Keri′ ⇒ x ∈ Keri ⇒ x = 0

– Imi ⊂ Kerf ⇒ Imi′ ⊂ Kerf et comme Imi′ ⊂ B^{G}, Imi′ ⊂ Kerf ∩ B^{G} = Kerf′

– Kerf ⊂ Imi ⇒ Kerf′ ⊂ Imi′

En effet, f′(x) = 0 ⇒ f(x) = 0 ⇒ ∃u ∈ A x = i(u) ; mais ∀g ∈ G x = g.x = g.i(u) = i(g.u) ⇒ u − g.u ∈ Keri = 0 ⇒ u = g.u et x = g′(u) • Par contre, ce foncteur n’est pas exact en général ; en effet, si y ∈ C^{G}, ∃x ∈ B tel que y = f(x), mais rien ne dit que x ∈ B^{G} en général. On peut toutefois remarquer la chose suivante :

Lemme 1 Soit G un groupe fini. Si y ∈ C^{G}, ∃u ∈ B^{G} / (♯G)y = f(u)

En effet, y ∈ C^{G} ⊂ C ⇒ ∃x ∈ B/y = f(x). Ainsi

∑_{g∈G} g.y = ∑_{g∈G} g.f(x) = ∑_{g∈G} f(g.x) = f(∑_{g∈G} g.x) = f(u)

avec u ∈ B^{G}. Comme d’autre part

∑_{g∈G} g.y = (♯G)y

on a bien la conclusion voulue •

Enfin, ce fonteur étant covariant exact à gauche, on peut définir ses foncteurs dérivés droits, pour combler le défaut d’exactitude à droite. Pour faciliter leur calcul, il est utile de remarquer la chose suivante :

Proposition 2 A^{G} s’identifie à Hom_{G}(ZZ,A), où ZZest muni de la structure triviale.

Le fait que A^{G} soit exact à gauche est alors un cas particulier de l’exactitude a gauche du foncteur Hom(X,.) dans une catégorie de modules (ou plus gééralement dans une catégorie abélienne. Voir à ce sujet Grothendieck). De plus, Hom etant un bifoncteur (cf. Lang ch XX §8), on peut au lieu de trouver pour chaque A une résolution injective, partir d’une résolution projective de ZZdans la catégorie des G-modules. En d’autres termes, si l’on définit Ext^{n}(X, .) comme le n^{me} foncteur dérivé à droite de Hom(X,.) (covariant, exact à gauche), et Ext_{n}(., X) le n^{me} foncteur dérivé à gauche de Hom(.,X), un théorème d’homologie générale dit alors

Ext^{n}(A, B) = Ext_{n}(A, B)

(ceci vient notamment du fait que le foncteur Ext^{n} est effaçable par les injectifs, i.e. que I injectif ⇒ Hom(I,.) exact et Ext^{n}(I,.) = 0 pour n ≥ 1. On renvoie encore à Lang, ch. XX §7, en particulier Th. 7.1).

1.3 Calcul des groupes de cohomologie

Il s’agit donc d’exhiber une résolution projective de ZZ. Pour cela, notons L_{i} le ZZ-module libre ayant pour base les systèmes (g_{0}, ..., g_{i}) de i+1 éléments de G, en faisant opérer G sur L_{i} par translations :

s.(g_{0}, ..., g_{i}) = (s.g_{0}, ..., s.g_{i})

Définissons un homomorphisme de G-modules d : L_{i} → L_{i−1} par la formule

d(g_{0}, ..., g_{i}) = ∑_{j=0}^{j=i}(−1)^{j}(g_{0}, ..., ĝ_{j}, ..., g_{i})

La suite

... → L_{n} → L_{n−1} → ... → L_{2} → L_{1} → L_{0} = G → ZZ → 0

forme alors un complexe de G-modules (d^{2} = 0 est clairement vérifié ). Il reste à montrer que c’est une suite exacte.

On va pour cela montrer que l’identité (en tant que morphisme de complexes) de (L_{n}) dans lui-même est homotope à 0, ce qui impliquera la nullité des groupes d’homologie associés, et par suite l’exactitude de la suite. Introduisons donc les G-morphismes h_{n} : L_{n} → L_{n+1} définis par

h_{n}(x_{0}, ..., x_{n}) = (1, x_{0}, ..., x_{n})

On vérifie alors aisément la relation dh + hd = id = id − 0, qui montre bien que tout cocycle est un cobord. Une fois exhibée cette résolution libre (donc projective) de ZZ, on en déduit, en transposant la formule définissant d, un cobord de K^{i} = Hom_{G}(L_{i}, A) dans K^{i+1}. Si l’on choisit les L_{i} de cette façon, les K^{i} s’identifient à des fonctions de G^{i} dans A vérifiant la condition dite ≪ de covariance ≫ suivante

f(s.g_{0}, ..., s.g_{i}) = s.f(g_{0}, ..., g_{i})

Remarquons alors qu’une telle fonction est entièrement déterminée par sa restriction aux systèmes de la forme (1, g_{1}, g_{1}g_{2}, ..., g_{1}...g_{i}). On peut ainsi considérer les éléments de K_{i} comme des ≪ cochaînes non homogènes ≫, qui sont des fonctions f(g_{1}, ..., g_{i}) de i arguments, à valeurs dans A, et où le cobord df est donné par la formule

df(g_{1}, ..., g_{i+1}) = g_{1}.f(g_{2}, ..., g_{i+1})+∑_{j=1}^{j=i}(−1)^{j}f(g_{1}, ..., g_{j}g_{j+1}, ..., g_{i+1})+(−1)^{i+1}f(g_{1}, ..., g_{i})

Sur les différents types de résolution, on pourra consulter Hilton-Stammbach, ch. VI.13. Remarquons au passage que les formules donnant le cobord sont évidemment identiques si G agit trivialement sur A.

1.3.1 Le groupe H^{1}(G,A)

La formule du cobord montre qu’un 1-cocycle (i.e. un élément de Z^{1}(G, A), vérifiant donc df = 0), est une application f de G dans A vérifiant l’identité

f(gg′) = g.f(g′) + f(g)

On dit que f est un homomorphisme croisé. Un homomorphisme croisé est un cobord (élément de B^{1}(G, A)) s’il existe a ∈ A tel que

∀g ∈ G f(g) = g.a − a

Lorsque G agit trivialement sur A, on a donc H^{1}(G,A) = Hom(G,A).

Revenons alors sur la suite exacte de G-modules

0 → A → B → C → 0

D’après les propriétés des foncteurs dérivés, on a la suite exacte

0 → A^{G} → B^{G} → C^{G} → H^{1}(G, A)

Voyons alors comment se traduit le Lemme 1 on niveau du H^{1}; Soit f un homomorphisme croisé. On a f(gg’) = g.f(g’) + f(g), d’où

∑_{g′∈G} f(g′) = ∑_{g′∈G} f(gg′) = ∑_{g′∈G}(g.f(g′) + f(g)) = g.( ∑_{g′∈G} f(g′)) + (♯G)f(g)

Ainsi, ∃u ∈ A tel que (♯G)f(g) = g.u − u. On a donc obtenu

Lemme 2 Soit G un groupe fini. Si f est un 1-cocycle, (♯G)f est un 1-cobord.

Ce résultat se géneralise d’ailleurs de la façon suivante (Serre [2] §1) :

Lemme 3 Soit G un groupe fini. Si f est un n-cocycle, (♯G)f est un n-cobord.

En effet, si f est un i-cocycle. on vérifie facilement que si l’on pose

g(x_{1}, ..., x_{i−1}) = ∑_{x_{i}∈G} f(x_{1}, ..., x_{i})

on obtient (♯G)f = (−1)^{i}dg •

Pour en finir avec le H^{1}, remarquons enfin que si un homomorphisme croisé est constant, il est nul.

1.3.2 Le groupe H^{2}(G, A)

Un 2-cocycle est une application f de G × G dans A vérifiant l’identité :

g.f(g′, g′′) − f(gg′, g′′) + f(g, g′g′′) − f(g, g′) = 0

On dit que c’est un \underline{système de facteurs}. De telles fonctions se rencontrent dans la classification des \underline{extensions de G par A}, i.e. des groupes E contenant A, avec A ◁ E, et E/A ≃ G. En effet, si s : G → E est une section (un “système de représentants”), s(g).s(g′) ≡ s(gg′) modulo A. Et donc il existe un élément f(g,g’) de A tel que l’on ait

s(g).s(g′) = f(g, g′).s(gg′)

La connaissance de f permet ainsi d’écrire la loi de composition de E. En exprimant l’associativité de la loi, on montre alors que f est un système de facteurs. De plus, changer s modifie f par un cobord. On en conclut que H^{2}(G, A) est l’ensemble des classes d’extensions de G par A (les opérations de G sur A étant fixées). Pour plus de détails, on pourra consulter Hilton-Stammbach, ch VI.6-10, ou Serre [2] §3, ou encore Cartan-Eilenberg ch. XIV §4. Nous ne nous étendrons pas plus sur le H^{2} dans cette exposé, les applications de la cohomologie des groupes considérées ne l’utilisant pas. Pour ce qui concerne les liens du H^{2} avec le groupe de Brauer en cohomologie galoisienne, on pourra consulter Serre [1] ch X §4-5.

1.4 Changement de groupe . Les morphismes Res et Inf

Soient G et G’ deux groupes, f : G → G′ un homomorphisme, et soit A un G-module. A est alors naturellement muni d’une structure de G’-module, par l’application :

(s′, a) ↦ f(s′).a s′ ∈ G′ a ∈ A

Il est clair que A^{G} est un sous-groupe de A^{G′}. Cela définit un morphisme du foncteur H^{0}(G, A) dans le foncteur H^{0}(G′, A). Comme les H^{q}(G′, a) forment un foncteur cohomologique (par rapport à A), la propriété universelle des foncteur dérivés montre que le morphisme ci-dessus se prolonge en un morphisme du foncteur cohomologique (ou delta-foncteur) (H^{q}(G, .)) dans le foncteur cohomologique (H^{q}(G′, .)) D’où en particulier pour tout q ≥ 0 et tout G-module A, un morphisme

f_{q}^{⋆} : H^{q}(G, A) → H^{q}(G′, A)

Plus généralement, si l’on considère un G’-module A’, et une application additive g : A → A′, on dira que f et g sont \underline{compatibles} lorsque

g(f(s′).a) = s′.g(a) ∀s′ ∈ G′ ∀a ∈ A

i.e. lorsque g est un G’-homomorphisme de A (considéré comme G’-module) dans A’.

L’application g définit donc un homomorphisme

H^{q}(G′, A) → H^{q}(G′, A′)

En le composant avec le précédent, on obtient un morphisme

(f, g)_{q}^{⋆} : H^{q}(G, A) → H^{q}(G′, A′)

qui est dit associé au couple (f,g).

1.4.1 L’homomorphisme de restriction

Si H est un sous-groupe de de G, on peut prendre pour f l’injection de H dans G. On obtient ainsi des homomorphismes dits de restriction, notés Res :

Res : H^{q}(G, A) → H^{q}(H, A)

1.4.2 L’homomorphisme d’inflation

Si H est distingué dans G, le groupe A^{H} est un G/H-module, et les homomorphismes G → G/H, A^{H} → A sont compatibles. On obtient ainsi des morphismes dits d’inflation

Inf : H^{q}(G/H, A^{H}) → H^{q}(G, A)

1.5 Une suite exacte

Nous signalons ici un résultat que nous n’utiliserons pas ensuite, mais qui fait comprendre les liens entre Res et Inf. Pour une démonstration, voir Serre [1] ch VII §6.

Proposition 3 La suite ci-dessous est exacte :

0 → H^{1}(G/H, A^{H}) →^{Inf} H^{1}(G, A) →^{Res} H^{1}(H, A).

Cette proposition se généralise de la façon suivante :

Proposition 4 Soit q un entier ≥ 1. Supposons que H^{i}(H, A) = 0 pour

1 ≤ i ≤ q − 1

La suite ci-dessous est alors exacte :

0 → H^{q}(G/H, A^{H}) →^{Inf} H^{q}(G, A) →^{Res} H^{q}(H, A).

Remarquons que pour i ≤ q − 1, Inf est alors un isomorphisme. En particulier, si H^{1}(H,A) = 0, le défaut d’exactitude est donné par H^{1}(G/H,A^{H}).

1.6 Sous-groupes d’indice fini

On suppose maintenant que H est un sous-groupe de G d’indice fini. On connait déjà des homomorphismes de restriction

H^{q}(G, A) →^{Res} H^{q}(H, A)

On va montrer que dans le cas des sous-groupes d’indice fini, on peut définir des homomorphismes en sens inverse, dits de corestriction

H^{q}(H, A) →^{Cor} H^{q}(G, A)

Le foncteur H^{q}(H, .) étant un delta-foncteur universel, il suffit d’exhiber un morphisme de H^{0}(H, A) = A^{H} dans H^{0}(G, A) = A^{G}. Or, si a ∈ A et si s ∈ G, l’élément s.a ne dépend que de sa classe à gauche modulo H. Comme par hypothèse G/H est fini, on peut former la somme

N_{G/H}(a) = ∑_{s∈G/H} s.a

que l’on appelle la norme de a. Comme N_{G/H}(a) ∈ A^{G}, on a bien défini un homomorphisme

N_{G/H} ↦ H^{0}(H, A) ↦ H^{0}(G, A)

Definition 1 Les morphismes de corestriction sont les morphismes de H^{q}(H, A) dans H^{q}(G, A) associés à N_{G/H}

Proposition 5 Si n = Card(G/H), on a Cor o Res = n

n.Id étant un morphisme de complexes de (H^{q}(G, A)) dans lui-même, il suffit de montrer qu’il coïncide avec Cor o Res pour l’indice zéro. Or, pour q = 0, cela signifie que si a ∈ A^{G} , on a N_{G/H} = n.a, ce qui est clair. Remarquons que si G est fini, on peut prendre H = { e } . On a alors Cor o Res = ♯G, ce qui permet de retrouver les lemmes 2 et 3, car H^{q}(H, A) = 0, d’où Cor o Res = 0 : si f est un n-cocycle, (♯G)f est un n-cobord.

1.7 Un premier résultat

Proposition 6 Si E est un K-espace vectoriel muni d’une structure de Gmodule, si carK ∧ ♯G = 1, on a H^{1}(G,E) = 0

Si f est un 1-cocycle, (♯G)^{−1}f l’est également, donc (♯G)(♯G)^{−1}f = f est un cobord, et H^{1}(G,E)= 0. En d’autres termes, en considérant le sous-groupe H réduit à l’élément neutre carK ∧ ♯G = 1 ⇒ Cor o Res est un automorphisme de H^{1}(G,E). Comme d’autre part pour un tel H Cor o Res = 0, on a bien H^{1}(G,E) = 0.

2 Représentation linéaire des groupes finis

Les liens entre la cohomologie des groupes et la representation linéaire des groupes finis apparaissent déjà à partir de la notion de G-module : Si ρ est une représentation de G dans un K-espace vectoriel V,

(g, x) ∈ G × V ↦ ρ(g)x

définit une structure de G-module sur V. On déduit alors immédiatement de la proposition 6

H^{1}(G, V) = 0

dès que carK ∧ ♯G = 1, ce que l’on supposera dorénavant dans cette partie. La cohomologie des groupes permet notamment de retrouver un résultat classique de représentation linéaire, le théorème de complète réductibilité :

Proposition 7 Soit G un groupe d’ordre n, et K un corps de caractéristique première avec n. Si (ρ, V) est une représentation de G sur le K-espace vectoriel V, et (ρ, V′) une sous-représentation, il existe W supplémentaire de V’ dans V tel que (ρ, W) soit également une sous-représentation.

V’ étant donné, on peut considérer le quotient de G-modules V” = V/V’. Dire que ce quotient s’identifie à une sous-représentation revient à dire que la suite exacte

0 → V′ → V → V′′ → 0

est scindée, ce qui revient encore à dire que la suite induite par le foncteur contravariant Hom_{G}(., V′) est exacte :

0 → Hom_{G}(V′′, V′) → Hom_{G}(V, V′) → Hom_{G}(V′, V′) → 0

Partons alors de la suite exacte courte d’applications linéaires

0 → Hom_{K}(V′′, V′) → Hom_{K}(V, V′) → Hom_{K}(V′, V′) → 0

On peut munir chacun de ces espaces vectoriels d’une structure de G-module issue de ρ par action diagonale, en utilisant la représentation induite par ρ (cf Serre [4] §1.3). Par exemple, si σ : V ↦ V′ est une application K-linéaire, on définit pour g dans G et v dans V

(gσ)v = gσ(g^{−1}v)

Ainsi, pour cette structure de G-module, la suite exacte d’applications linéaires devient une suite exacte de G-modules. En remarquant alors qu’une application linéaire σ : V ↦ V′ est un homomorphisme de G-module si et seulement si σ est un invariant du G-module Hom_{K}(V, V′), on obtient la suite exacte

0 → Hom_{G}(V′′, V′) → Hom_{G}(V, V′) → Hom_{G}(V′, V′) → H^{1}(G, Hom_{K}(V′′, V)) = 0

d’après la proposition 6, ce qui est bien le résultat voulu • Pour plus de détails, cf Serre [2] §2.

3 Cohomologie Galoisienne

On suppose connus quelques rudiments de théorie de Galois. Soit K une extension galoisienne finie k, on note G = Gal(K/k) son groupe de Galois. On peut alors considérer soit K comme G-module additif, soit K^{∗} comme G-module multiplicatif. L’intérêt d’introduire une cohomologie vient du fait que K^{G} = k et K^{∗}^{G} = k^{∗}

3.1 Le G-module (K,+)

Proposition 8 H^{1}(G,K) = 0

Si la caractéristique de k ne divise pas l’ordre de G, c’est en effet un cas particulier de la proposition 6. On trouvera une démonstration du cas général dans Lang ch VI §10, lemme 10.2

On a même le résultat plus fort suivant :

Proposition 9 Pour toute extension galoisienne K/k on a H^{q}(G, K) = 0 pour tout q ≥ 1.

Ce résultat est énoncé dans Serre [3] ch II §1.2, et repose sur le fait que le groupe de Galois d’une extension galoisienne est un groupe profini.

3.2 Le groupe multiplicatif - le théorème 90 de Hilbert

On appelle généralement “théorème 90 de Hilbert” la proposition suivante, ou son corollaire (qui est démontré et utilisé tel quel notamment dans Lang, ch VI §6)

Proposition 10 H^{1}(G, K^{∗}) = 0

Notons tout d’abord, que comme les éléments de G sont des automorphismes de corps, ils sont linéairement indépendants, d’après un résultat dû à Dedekind (cf. annexe).

Alors, si σ ↦ f(σ) est un 1-cocycle non nul,

∑_{σ∈G} f(σ)σ ≠ 0 ⇒ ∃c ∑_{σ∈G} f(σ)σ(c) = b ≠ 0

Alors, pour σ ∈ G

σ(b) = ∑_{τ∈G} σ(f(τ))στ(c) = ∑_{τ∈G} \frac{f(στ)}{f(σ)}στ(c)

car f est un 1-cocycle, d’où

σ(b) = f(σ)^{−1}b

et f est un cobord •

Corollaire 1 Si G est cyclique, engendré par un élément s, et si x ∈ K^{∗} est tel que

N_{K/k}(x) = ∏_{σ∈G} σ(x) = 1

alors ∃y ∈ K^{∗} tel que x = \frac{y}{s(y)}.

En effet, on peut alors définir un homomorphisme croisé f vérifiant f(s) = x par

f(s^{k}) = ∑_{i=0}^{i=k−1} s^{i}.x

Une telle formule définit bien un homomorphisme croisé, car si n = ♯G , f(s^{n}) = N_{K/k}(x) = 1 = f(0) et

f(s^{p}s^{q}) = f(s^{p+q}) = ∑_{i=0}^{p+q−1} s^{i}.x = ( ∑_{i=0}^{i=p−1} s^{i}.x)+(s^{p}. ∑_{i=0}^{i=q−1} s^{i}.x) = (s^{p}.f(s^{q}))+f(s^{p})

Comme H^{1}= 0,on en déduit que f est un cobord, d’où ∃z ∈ K^{∗} tel que x = f(s) = \frac{s(z)}{z}. Mais d’autre part, si s engendre G, il en est de même de s^{−1}, donc ∃z tel que x = \frac{s^{−1}(z)}{z} = \frac{y}{s(y}, avec y = s^{−1}(z) •

Ce résultat s’étend évidemment à une limite inductive d’extensions galoisiennes.

3.3 Une application du théorème 90 : la théorie de Kummer

Soit k un corps de caractéristique 0, et K sa clôture algébrique. Comme K est alors séparable, K est une extension galoisienne, limite inductive d’extensions galoisiennes de type fini, d’où, en notant G = Gal(K/k), H^{1}(G,K/k) = 0. Considérons alors l’application surjective de K^{∗}dans K^{∗}(x ↦ x^{n}). Son noyau est formé du G-module μ_{n} des racines n^{ime} de l’unité. On a la suite exacte

0 → μ_{n} → K^{∗} →^{x^{n}} K^{∗} → 0

La suite exacte de cohomologie donne alors

0 → μ_{n}^{G} → k^{∗} →^{x^{n}} k^{∗} → H^{1}(G, μ_{n}) → H^{1}(G, K^{∗}) = 0

Supposons maintenant que μ_{n} ⊂ k. Le G-module μ_{n} est alors ZZ/nZZmuni de l’action triviale, et H^{1}(G, μ_{n}) = Hom(G, ZZ/nZZ). De cette suite exacte, on tire donc que si k contient toutes les racines n^{me} de l’unité, on a l’isomorphisme

k^{∗}/k^{∗}^{n} ≃ Hom(G, ZZ/nZZ)

En particulier, Q contenant toutes les racines carrées de l’unité, on a

Q^{∗}/Q^{∗}^{2} ≃ Hom(Gal(Q̄ : Q), ZZ/2ZZ)

4 Annexe : indépendance linéaire des automorphismes de corps

Proposition 11 Si les σ_{i} sont des automorphismes distincts du corps k, ils sont linéairement indépendant (Dedekind).

Montrons par rćurrence sur n qu’il ne peut exister de λ_{1}, ..., λ_{n} tous non nuls tels que

∑_{i=1}^{n} λ_{i}σ_{i} = 0

On en déduira alors immédiatement que toute famille d’automorphismes est linéairement indépendante. HR1 découle de la surjectivité de σ_{1} HR(n-1) ⇒ HR(n) En effet, on a

∀x ∑_{i=1}^{n} λ_{i}σ_{i}(x) = 0

Ainsi que, les σ_{i} étant des morphismes de corps

∀x ∀y ∑_{i=1}^{n} λ_{i}σ_{i}(x)σ_{i}(y) = 0

En multipliant la première expression par σ_{n}(y), on obtient

∀x∀y ∑_{i=1}^{n} λ_{i}σ_{i}(x)σ_{n}(y) = 0

D’où, en soustrayant les deux dernières expressions

∀x∀y ∑_{i=1}^{n−1} λ_{i}σ_{i}(x)(σ_{i}(y) − σ_{n}(y)) = 0

Les σ_{i} étant distincts deux à deux, on peut choisir y vérifiant σ_{i}(y)−σ_{n}(y) ≠ 0. y étant ainsi choisi, on a une relation de dépendance linéaire en les (σ_{i}), pour i allant de 1 à n-1. D’après l’hypothèse de récurrence, on déduit

∀i ∈ [1, n − 1] λ_{i}(σ_{i}(y) − σ_{n}(y)) = 0

Ce qui, d’après le choix de y effectué, impliquerait λ_{1} = 0, contredisant l’hypothèse •

5 Bibliographie

Voici l’index des ouvrages cités dans cet exposé. “Ref” désigne la référence de l’ouvrage à la bibliothèque du DMI.

1. J.P. Serre Corps locaux, Hermann 3^{me} édition

2. J.P. Serre Applications algébriques de la cohomologie des groupes I, in Séminaire H.Cartan E.N.S. 1950/51, exposé 5. Ref : Sem CART 3C 3. J.P. Serre Cohomologie galoisienne, Ch II §1. Ref M 726 705 ou SM

SERR 1-06.

4. J.P. Serre Représentation linéaire des groupes finis. Ref SM SERR 1-09 5. P.J. Hilton et U.Stammbach, A Course in homological algebra, Springer-

Verlag. Ref : M 723 404

6. S. Lang, Algebra, 3^{me} édition

7. A. Grothendieck, Sur quelques points d’algèbre homologique, in Tohoku Math. Journal, 1957

8. H. Cartan et S. Eilenberg, Homological Algebra 1956