Vecteurs de Witt, théorème de structure de Cohen

H.Randriam

Janvier 1997

Si S est un système de représentants de 𝔽_{p} dans ℤ_{p}, c’est-à-dire une partie de ℤ_{p} telle que la composée S → ℤ_{p} → 𝔽_{p} soit bijective, tout élément x de ℤ_{p} admet une écriture unique de la forme x = ∑_{n≥0} s_{n}(x)p^{n}, avec s_{n}(x) ∈ S. Par exemple si S = {0, 1, …, p−1}, on retrouve le classique “développement de Hensel”. Ce dernier exemple semble cependant assez arbitraire, et on peut se demander s’il existe des systèmes de représentants plus naturels.

On remarque alors que les racines (p − 1)ièmes de l’unité forment un groupe μ_{p−1} ⊂ ℤ_{p}^{∗} naturellement isomorphe à 𝔽_{p}^{∗}. Si ω désigne le morphisme inverse, et si on convient que ω(0) = 0, on obtient le système de représentants souhaité, de telle sorte que tout élément de ℤ_{p} s’écrit de manière unique x = ∑_{n≥0} ω(a_{n}(x))p^{n}, avec a_{n}(x) ∈ 𝔽_{p} (développement de Teichmüller). Il est alors naturel de se demander comment l’addition et la multiplication de ℤ_{p} s’expriment sur ce développement.

D’autre part, on verra comment une généralisation de ce phénomène permet de montrer (en partie) le théorème de Cohen sur la structure des anneaux locaux complets.

1 Théorème de Cohen

Théorème 1 Soit A un anneau local noethérien intègre d’idéal maximal 𝔐, complet et séparé pour la topologie 𝔐-adique. On pose k = A/𝔐 et K = FracA. Alors

1. si cark = carK, il existe un n tel que A soit quotient de l’anneau de séries formelles k[[X_{1}, …, X_{n}]]

2. sinon, cark = p > 0 = carK, et il existe un anneau de valuation discrète complet W, d’uniformisante p et de corps résiduel k, ainsi qu’un entier n tels que A soit quotient de l’anneau de séries formelles W [[X_{1}, …, X_{n}]].

De plus, une condition nécessaire et suffisante pour qu’on soit dans le premier cas est que A contienne un corps.

On se contentera de démontrer le théorème dans le cas particulier “facile” où k est parfait, c’est-à-dire si cark = 0 ou si cark = p > 0 et l’élévation à la puissance p (Frobenius) est un isomorhisme de k.

Lemme 1 Soient S un système de représentants de k dans A, x_{1}, …, x_{n} des générateurs de 𝔐, alors tout élément a ∈ A s’écrit a = ∑_{α∈ℕ^{n}} s_{α}(a)x^{α}, avec s_{α}(a) ∈ S.

Demonstration: supposons a ∈ 𝔐^{j}, de telle sorte que a est combinaison linéaire des x^{α} pour |α| = j. Alors si on prend comme s_{α} les relevés dans S des réductions dans k des coefficients de cette combinaison linéaire, on a a − ∑_{|α|=j} s_{α}x^{α} ∈ 𝔐^{j+1}. Une récurrence facile permet de conclure.

Remarque: cette décomposition n’a aucune raison d’être unique. Il y a unicité si les relations exprimées dans la démonstration sont aussi des conditions nécessaires. C’est le cas si A est régulier et que les x_{i} en sont un système régulier de paramètres, ou plus simplement si A est un anneau de valuation discrète dont x est une uniformisante. C’est encore le cas si A est un p−anneau strict (voir plus loin).

Compte tenu de ce lemme, il suffira pour montrer le théorème de construire dans le premier cas un corps inclus dans A et isomorphe à k via la réduction modulo 𝔐, et dans le second cas de construire l’anneau W.

1.1 Si cark = 0

Dans ce cas on a aussi carK = 0, et ℤ ⊂ A, et même comme ℤ ∩ 𝔐 = 0, ℚ ⊂ A. Soit alors l le plus grand corps inclus dans A. La composée l → A → k est un morphisme de corps, donc une injection, soit l′ son image.

Supposons qu’il existe dans k un élément t′ transcendant sur l′ et soit t ∈ A relevant t′. Alors l[t] → l′[t′] ⊂ k est bien définie, injective, donc t est transcendant sur l et l[t] ∩ 𝔐 = 0, et on peut l’étendre en l(t) ⊂ A → k, contredisant la maximalité de l.

k est donc algébrique sur l′, donc séparable d’après les hypothèses. Le lemme de Hensel permet alors de relever k dans A, donc par maximalité l ≃ l′ = k. C’est précisément ce qu’on recherchait.

1.2 Si cark = p > 0

Introduisons un peu de terminologie

Définition 1 On appellera p−anneau d’anneau résiduel k un anneau A muni d’une filtration A = 𝔄_{0} ⊃ 𝔄_{1} ⊃ …, avec p ∈ 𝔄_{1}, 𝔄_{n}𝔄_{m} ⊂ 𝔄_{n+m}, R = A/𝔄_{1}, et pour laquelle A est séparé et complet. On dira de plus que A est strict si pour tout n 𝔄_{n} = p^{n}A ≠ 0. k (anneau de caractéristique p) sera dit parfait si son Frobenius est un automorphisme.

Proposition 1 Soit A un p−anneau d’anneau résiduel k parfait. Alors il existe un unique système de représentants ω : k → A qui soit multiplicatif, c’est-à-dire ∀λ, μ ∈ k, ω(λμ) = ω(λ)ω(μ). En particulier ω commute à l’élévation à la puissance p, et réciproquement les éléments de S = ω(k) sont caractérisés par la propriété d’avoir des racines p^{n}ièmes dans A (∀n). Si de plus A est de caractéristique p, ω est aussi additif.

Demonstration: tout repose sur le

Lemme 2 Si a et b sont des éléments de A tels que a = b mod 𝔄_{n} alors a^{p} = b^{p} mod 𝔄_{n+1}.

(c’est une conséquence de la formule du binôme et du fait que p𝔄_{n} ⊂ 𝔄_{1}𝔄_{n} ⊂ 𝔄_{n+1}).

Alors si λ ∈ R, et si a_{n} et b_{n} sont deux relèvements de la racine p^{n}−ième de λ dans R, une récurrence immédiate montre que a_{n}^{p^{n}} = b_{n}^{p^{n}} mod 𝔄_{n+1}. Donc ω(λ) = lim_{n} a_{n}^{p^{n}} est bien défini, indépendant des choix faits, et relève λ. Le reste de la proposition en découle trivialement.

On en déduit immédiatement le théorème dans le cas où K est aussi de caractéristique p, car alors S est le corps cherché.

Remarque: ce corps est unique. Si k n’est pas parfait, il y a encore existence (mais pas unicité), ce qui fait que le théorème reste valable.

2 Le cas d’inégale caractéristique

On va construire un p−anneau strict W (k) d’anneau résiduel k, et un morphisme de W (k) dans A commutant aux projections sur k. Le théorème en découlera alors immédiatement.

Théorème 2 Soit k un anneau parfait de caractéristique p, alors il existe un p−anneau strict W (k) d’anneau résiduel k.

On commence par ramener ce problème à l’étude d’un cas universel. Soient J un ensemble d’indices, X_{J} = (X_{j})_{j∈J} des indéterminées indexées par J, ℤ[X_{J}^{p^{−∞}}] la réunion sur n des ℤ[(X_{j}^{p^{−n}})_{j∈J}], et W_{J} le complété de cet anneau pour la filtration p−adique. W_{J} est un p−anneau strict d’anneau résiduel k_{J} = 𝔽_{p}[X_{J}^{p^{−∞}}] parfait. Si ω est le système de représentants multiplicatifs de k_{J} dans W_{J} on a clairement ω(X_{j}) = X_{j}.

On s’intéresse particulièrement au cas où J est la réunion de deux copies de ℕ. On note X_{0}, X_{1}, …, Y_{0}, Y_{1}, … les indéterminées correspondantes. On considère les deux éléments x = ∑_{n≥0} X_{n}p^{n} et y = ∑_{n≥0} Y_{n}p^{n} ∈ W_{J}. Comme W_{J} est strict, on peut définir des éléments S_{n} et P_{n} ∈ k_{J} comme les coefficients des développements (uniques) de x + y = ∑_{n≥0} ω(S_{n})p^{n} et xy = ∑_{n≥0} ω(P_{n})p^{n}.

Les S_{n} et P_{n} étant dans k_{J} = 𝔽_{p}[X_{J}^{p^{−∞}}], leur valeur est bien définie si on les évalue sur des arguments pris dans un anneau parfait de caractéristique p.

Proposition 2 Soient A un p−anneau d’anneau résiduel k parfait, ω : k → A son système de représentants multiplicatifs, et a = (a_{n})_{n≥0}, b = (b_{n})_{n≥0} deux suites d’éléments de k. Alors:

∑_{n≥0} ω(a_{n})p^{n} + ∑_{n≥0} ω(b_{n})p^{n} = ∑_{n≥0} ω(S_{n}(a, b))p^{n}

(∑_{n≥0} ω(a_{n})p^{n})(∑_{n≥0} ω(b_{n})p^{n}) = ∑_{n≥0} ω(P_{n}(a, b))p^{n}.

Demonstration: il existe un unique morphisme θ de W_{J} sur A envoyant (pour tout n) X_{n} sur ω(a_{n}) et Y_{n} sur ω(b_{n}), et θ commute aux représentants multiplicatifs car ces derniers sont caractérisés comme étant des puissances p^{∞}−ièmes. La première expression vaut alors θ(x) + θ(y) = θ(x + y) = ∑_{n} θ(ω(S_{n}))p^{n} = ∑_{n} ω(θ(S_{n}))p^{n}. Même résultat pour le produit.

Proposition 3 Soient A et A′ deux p−anneaux d’anneaux résiduels parfaits k et k′, et supposons A strict. Alors tout morphisme f de k dans k′ admet un unique relèvement en un morphisme de A dans A′.

Demonstration: si ω et ω′ sont les représentants multiplicatifs associés, le fait que A est strict implique que tout élément de A s’écrit de façon unique a = ∑_{n≥0} ω(a_{n})p^{n}, et nécessairement l’image de a sera ∑_{n≥0} ω′(f(a_{n}))p^{n}. Réciproquement, compte tenu de la proposition précédente, cela définit bien un homomorphisme.

Corollaire 1 Deux p−anneaux stricts ayant même anneau résiduel sont canoniquement isomorphes.

Proposition 4 Soit f : k → k′ un morphisme surjectif d’anneaux parfaits de caractéristique p. S’il existe un p−anneau strict A d’anneau résiduel k, il existe aussi un p−anneau strict A′ d’anneau résiduel k′.

Demonstration: soit N = ker f, et I ⊂ A l’idéal formé des a = ∑_{n} ω(a_{n})p^{n} tels que pour tout n, a_{n} ∈ N. Alors A′ = A/I convient.

Corollaire 2 Pour tout anneau parfait k de caractéristique p, il existe un unique p−anneau strict W (k) d’anneau résiduel k.

Demonstration: en effet, k est quotient d’un k_{J} pour J convenable.

3 Vecteurs de Witt

On se propose d’abord de calculer les p^{−∞}−polynômes S_{n} et P_{n} introduits précédemment. On se place donc dans la situation universelle A = W_{J}, k = k_{J}, où J = ℕ ⨿ ℕ, et on considère Φ ∈ ℤ[X, Y] un polynôme entier à deux variables (en pratique Φ(X, Y) = X + Y ou XY).

On va chercher des p^{−∞}−polynômes ψ̄_{i}(X_{J}, Y_{J}), à coefficients dans 𝔽_{p} tels que Φ(∑ X_{i}p^{i}, ∑ Y_{i}p^{i}) = ∑ ω(ψ̄_{i}(X_{j}, Y_{j}))p^{i}. On notera ψ_{i} un relèvement arbitraire de ψ̄_{i}, à coefficients dans ℤ. Les ψ_{i} sont donc a priori bien définis modulo p.

La stratégie utilisée sera la même que celle qui a permis de définir les représentants multiplicatifs: extraire une racine p−ième suffisamment élevée dans k, relever à A, élever à la même puissance p−ième dans A, de telle sorte qu’on ait un relèvement de l’objet de départ, mais bien défini modulo une puissance de p plus grande.

En pratique, fixons un entier n. Alors

Φ(∑_{i≥0} X_{i}p^{i}, ∑_{i≥0} Y_{i}p^{i}) = ∑_{i≥0} ω(ψ̄_{i}(X_{j}, Y_{j}))p^{i}

= ∑_{i≤n} ω(ψ̄_{i}(X_{j}, Y_{j})^{p^{i−n}})^{p^{n−i}}p^{i} mod p^{n+1}

= ∑_{i≤n} ω(ψ̄_{i}(X_{j}^{p^{i−n}}, Y_{j}^{p^{i−n}}))^{p^{n−i}}p^{i} mod p^{n+1}

= ∑_{i≤n} ψ_{i}(X_{j}^{p^{i−n}}, Y_{j}^{p^{i−n}})^{p^{n−i}}p^{i} mod p^{n+1}

Remarquons que tout cela est bien défini modulo p^{n+1}. De plus, comme seuls interviennent les termes en i ≤ n, on peut supposer que chaque ψ_{m} ne fait intervenir que les variables X_{0}, …, X_{m}, Y_{0}, …, Y_{m}.

Poursuivons. Pour symétriser un peu on remplace X_{i} par X_{i}^{p^{n−i}} et Y_{i} par Y_{i}^{p^{n−i}} (l’idée est que le terme de gauche doit rester bien défini modulo p^{n+1} si on considère que les X_{i} et Y_{i} sont définis seulement modulo p), et on trouve:

Φ(∑_{i≤n} X_{i}^{p^{n−i}}p^{i}, ∑_{i≤n} Y_{i}^{p^{n−i}}p^{i}) = ∑_{i≤n} ψ_{i}(X_{j}^{p^{i−j}}, Y_{j}^{p^{i−j}})^{p^{n−i}}p^{i} mod p^{n+1}

= ∑_{i≤n} ϕ_{i}(X_{j}, Y_{j})^{p^{n−i}}p^{i} mod p^{n+1}

où on a posé ϕ_{i}(X_{j}, Y_{j}) = ψ_{i}(X_{j}^{p^{i−j}}, Y_{j}^{p^{i−j}}), ceci pour éviter d’avoir à extraire des racines.

Inversement, définissons pour tout n le polynôme de Witt W_{n} ∈ ℤ[X_{0}, …, X_{n}] par W_{n}(X_{0}, …, X_{n}) = ∑_{0≤i≤n} X_{i}^{p^{n−i}}p^{i}. On a alors le:

Théorème 3 Pour tout Φ ∈ ℤ[X, Y], il existe une unique suite (f_{0}, …, f_{n}, …) d’éléments de ℤ[X_{0}, X_{1}, …, Y_{0}, Y_{1}, …] telle que pour tout n on ait

Φ(W_{n}(X.), W_{n}(Y.)) = W_{n}(f.).

De plus on aura dans W_{J}

Φ(∑_{i=0}^{∞} X_{i}^{p^{−i}}p^{i}, ∑_{i=0}^{∞} Y_{i}^{p^{−i}}p^{i}) = ∑_{i=0}^{∞} ω(f_{i})^{p^{−i}}p^{i}.

Demonstration: l’existence et l’unicité des f_{i} est claire dans l’anneau ℤ[X_{0}, X_{1}, …, Y_{0}, Y_{1}, …][1/p]. Mais les calculs faits précédemment montrent qu’il existe des ϕ_{i} à coefficients entiers, vérifiant, pour tout n, Φ(W_{n}(X.), W_{n}(Y.)) = W_{n}(ϕ.) mod p^{n+1}.

Une récurrence immédiate montre que chaque f_{i} diffère de ϕ_{i} d’un polynôme à coefficients entiers, donc est bien à coefficients entiers. On peut alors imposer ϕ_{i} = f_{i}, et on aboutit au dernier résultat en remontant les calculs.

On note s_{i} et p_{i} les polynômes f_{i} ainsi définis pour Φ(X, Y) = X + Y ou XY, respectivement.

Définition 2 Soit A un anneau commutatif. L’anneau W (A) des vecteurs de Witt à coefficients dans A est A^{ℕ} muni des lois de composition suivantes: si a = (a_{0}, a_{1}, …) et b = (b_{0}, b_{1}, …), alors

a + b = (s_{0}(a, b), s_{1}(a, b), …), ab = ((p_{0}(a, b), p_{1}(a, b), …).

Il faut justifier que W (A) vérifie bien les axiomes des anneaux. On remarque que si p est inversible dans A, les polynômes de Witt définissent une bijection W (A) → A^{ℕ}, qui envoie (a_{0}, a_{1}, …) sur (W_{0}(a), W_{1}(a), …), et que la structure d’anneau de W (A) est celle transportée de A^{N} via la bijection réciproque. La propriété est donc vraie si A est de la forme ℚ[T_{α}], donc aussi pour A de la forme ℤ[T_{α}], puis pour tout anneau.

Si a = (a_{0}, a_{1}, …) est un vecteur de Witt, ses composantes fantôme sont par définition les W_{n}(a).

Puisque les s_{i} et p_{i} ne font intervenir que les variables d’indice ≤ i, on peut définir l’anneau W_{n}(A) des vecteurs de Witt de longueur n en ne considérant que les suites (a_{0}, …, a_{n−1}), avec les lois de compositions similaires. On a W_{1}(A) = A, et les W_{n}(A) sont des quotients de W (A) dont W (A) est la limite projective.

On définit sur W (A) une application V, le décalage, par V (a_{0}, a_{1}, …) = (0, a_{0}, a_{1}, …). V est additive: il suffit de le vérifier sur les composantes fantômes, car alors ce sera vrai si p est inversible dans A, et le cas général en découle.

Par passage au quotient V définit des applications W_{n}(A) → W_{n+1}(A), et on a des suites exactes naturelles

0 → W_{n}(A) →^{V^{m}} W_{n+m}(A) → W_{m}(A) → 0.

Si x ∈ A on définit r(x) = (x, 0, 0, …) ∈ W (A). r est multiplicative, et si a = (a_{0}, a_{1}, …) ∈ W (A), on a

a = ∑_{n≥0} V^{n}(r(a_{n})).

Revenons maintenant au cas d’un anneau k de caractéristique p.

Théorème 4 Si k est parfait de caractéristique p, W (k) est un p−anneau strict d’anneau résiduel k.

Demonstration: si A est le p−anneau strict d’anneau résiduel k, l’application θ : W (k) → A qui envoie (a_{0}, a_{1}, …) sur ∑_{i≥0} ω(a_{i})^{p^{−i}}p^{i} est un morphisme d’anneaux, et elle est bijective.

Le théorème implique en particulier que W (𝔽_{p}) = ℤ_{p}, W_{n}(𝔽_{p}) = ℤ/p^{n}ℤ, et W (𝔽_{p^{n}}) est l’unique extension non ramifiée de degré n de ℤ_{p}.

Si k est de caractéristique p (mais pas parfait), le Frobenius a ↦ a^{p} de k s’étend en un homomorphisme F : (a_{0}, a_{1}, …) ↦ (a_{0}^{p}, a_{1}^{p}, …) de W (k), et on a V F = F V = p.

Il suffit de le montrer pour 𝔽_{p}[T_{α}^{p^{−∞}}] qui est parfait, ce qui se fait sans difficulté avec le dernier théorème.

Je n’ai pas eu le temps de traiter le point de vue des schémas en anneaux, ni non plus le schéma de Witt universel, l’exponentielle d’Artin-Hasse, etc.

Bibliographie

J.-P.Serre, Corps locaux, Hermann

D.Mumford, G.M.Bergman, Lectures on curves on an algebraic surface, Princeton University Press