Introduction

La question I.1 est assez vague dans la mesure où les candidats ne savaient pas s’il suffisait de citer le cours ou s’il fallait faire une démonstration complète. Pour faciliter cette démonstration on résoudra d’abord les questions II.1 à II.3, et on prouvera au passage le théorème de Fejer.

Dans la suite on utilisera plusieurs fois le fait que (e_{n})_{n∈ℤ} est une famille libre orthonormée de (E, (,)), donc que pour toute famille (c_{n})_{n∈ℤ} de complexes presque tous nuls, on a:

∥ ∑_{n∈ℤ} c_{n}e_{n}∥_{2}^{2} = ∑_{n∈ℤ} |c_{n}|^{2}

Parties I et II

On résoud d’abord les questions II.1 à II.3, puis on continue dans l’ordre du sujet.

II.1

Soit K = E_{N} ∩ \overline{B_{2}(f, ∥f∥_{2})}. K est compact car fermé borné dans E_{N} et on a nécessairement g ∈ K. Alors h ↦ ∥h − f∥_{2} est continue sur K donc y atteint son minimum en un certain g.

Montrons que g est unique : soient g_{1} et g_{2} deux éléments de E_{N} distincts tels que ∥g_{1} − f∥_{2} = ∥g_{2} − f∥_{2} = d soit minimum. Alors si g′ = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{2}) ∈ E_{N} on a ∥f − g′∥_{2}^{2} = \frac{1}{2}∥f − g_{1}∥_{2}^{2} + \frac{1}{2}∥f − g_{2}∥_{2}^{2} − \frac{1}{4}∥g_{1} − g_{2}∥_{2}^{2} < d, ce qui est absurde.

II.2

∥P_{N}f − P_{N}f∥_{2} = 0 est minimal donc pour tout f, P_{N}f = P_{N}P_{N}f. Montrons que P_{N} est un projecteur orthogonal. Soient h ∈ E_{N} et ϵ > 0. Alors en développant l’inégalité ∥f − P_{N}f∥_{2}^{2} ≤ ∥(f − P_{N}f) + ϵh∥_{2}^{2} on trouve 0 ≤ 2ϵℜ(f − P_{N}f, h) + ϵ^{2}∥h∥_{2}^{2}, soit ℜ(f − P_{N}f, h) ≥ −\frac{ϵ}{2}∥h∥_{2}^{2} qui tend vers 0 quand ϵ tend vers 0. Le même raisonnement appliqué à −h, ih et −ih prouve que (f − P_{N}f, f) = 0. On en déduit alors que ∥P_{N}f∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∥P_{N}f − f∥_{2}^{2}.

II.3.a

(e_{n})_{−N≤n≤N} est une base orthonormée de E_{N} donc P_{N}f = ∑_{n=−N}^{N}(e_{n}, f)e_{n}, soit pour tout x ∈ ℝ,

\begin{matrix}(P_{N}f)(x) = ∑_{n=−N}^{N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)e^{−int}dt.e^{inx} \\ = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t) ∑_{n=−N}^{N} e^{in(x−t)}dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)D_{N}(x − t)dt \end{matrix}

.

II.3.b

En effectuant le changement de variable y = x − t on trouve P_{N}f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{x−π}^{x+π} f(x − y)D_{N}(y)dy. On conclut en utilisant la 2π−périodicité de f et de D_{N}.

I.1

Posons F_{N}f(x) = \frac{1}{N+1} ∑_{n=0}^{N} P_{n}f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x − t)K_{N}(t)dt où

K_{N}(t) = \frac{1}{N+1} ∑_{n=0}^{N} D_{n}(t) = \frac{1}{N+1} \frac{sin^{2}(N+1) \frac{x}{2}}{sin^{2} \frac{x}{2}} .

Alors \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} K_{N}(u)du = \frac{1}{N+1} ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} D_{n}(u)du = 1, et pour a fixé, 0 < a < π, on a pour tout t, a ≤ |t| ≤ π: 0 ≤ K_{N}(t) ≤ \frac{1}{N+1} \frac{1}{sin^{2} \frac{a}{2}} ≤ \frac{1}{N+1} \frac{π^{2}}{a^{2}} .

f étant uniformément continue on en déduit pour tout ϵ > 0 l’existence d’un η > 0 puis d’un N ∈ ℕ tels que :

\begin{matrix}∀x_{0} ∈ ℝ ∀x ∈]x_{0} − η, x_{0} + η[, |f(x) − f(x_{0})| ≤ \frac{ϵ}{2} \\ ∀n ≥ N ∀t, η ≤ |t| ≤ π ⇒ 0 ≤ K_{n}(t) ≤ \frac{ϵ}{4∥f∥_{∞}} \end{matrix}

d’où ∀x_{0} ∈ ℝ ∀n ≥ N, |f(x_{0}) − F_{n}f(x_{0})| = |\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}(f(x_{0}) − f(x_{0} − t))K_{n}(t)dt|

≤ \frac{1}{2π} ∫_{|t|≤η} |f(x_{0}) − f(x_{0} − t)|K_{n}(t)dt + \frac{1}{2π} ∫_{η≤|t|≤π} 2∥f∥_{∞}K_{n}(t)dt ≤ ϵ

i.e. F_{n}f tend vers f pour ∥.∥_{∞} (théorème de Fejer), donc aussi pour ∥.∥_{2}, soit

∑_{n=−N}^{N}(1 − \frac{|n|}{N + 1})^{2}|f_{n}|^{2} = ∥F_{N}f∥_{2}^{2} ⟶^{N→∞} ∥f∥_{2}^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f|^{2}

.

On a de plus trivialement ∥F_{N}f∥_{2}^{2} ≤ ∥P_{N}f∥_{2}^{2}, et pour tout N et tout ϵ > 0 on a :

∥F_{N′}f∥_{2}^{2} ≥ (1 − \frac{N}{N′ + 1})^{2} ∑_{n=−N}^{N} |f_{n}|^{2} ≥ (1 − ϵ)^{2}∥P_{N}f∥_{2}^{2}

dès que N′ ≥ \frac{N}{ϵ}.

On en déduit ∥P_{N}f∥_{2}^{2} ⟶^{N→∞} ∥f∥_{2}^{2}, ce qui est le résultat demandé (théorème de Bessel-Parseval).

I.2

Pour N et p entiers supérieurs ou égaux à 1 on a ∥S_{N+p} −S_{N}∥_{∞} ≤ |u_{N+p}|+ |u_{−N−p}| + ⋯ + |u_{N+1}| + |u_{−N−1}|. Mais u est une S.A.C. donc |u| est de Cauchy car convergente. On en déduit que S est de Cauchy, donc converge puisque (E, ∥.∥_{∞}) est complet.

La convergence étant uniforme, on peut passer à la limite sous le signe somme et on trouve : (e_{n}, u) = lim_{N→∞}(e_{n}, S_{N}) = u_{n}.

I.3

ℑ (\frac{u(x) − u(0)}{x}) = −\frac{sin x}{x} + ∑_{n=2}^{N} \frac{sin nx}{n(n − 1)x} + ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{sin nx}{n(n − 1)x}

\frac{sin x}{x} est strictement décroissante positive et majorée par 1 sur [0, \frac{π}{2} ], d’où pour x = \frac{1}{N}:

ℑ (\frac{u(\frac{1}{N}) − u(0)}{\frac{1}{N}}) ≥ −1+\frac{sin 1}{1} ∑_{n=2}^{N} \frac{1}{n − 1}−N ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{1}{n(n − 1)} = −2+sin 1. ∑_{n=2}^{N} \frac{1}{n − 1} ⟶^{N→∞} ∞

donc \frac{u(x)−u(0)}{x} n’admet pas de limite quand x tend vers 0.

I.4

Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1. Alors

∥Σ_{n+p} − Σ_{n}∥_{2}^{2} = ∑_{i=n+1}^{n+p} \frac{1}{i^{2}} < ∑_{i=n+1}^{n+p} \frac{1}{i(i − 1)} < \frac{1}{n}

donc (Σ) est de Cauchy pour ∥.∥_{2}

I.5

Dans ce cas on a (e_{n}, σ − Σ_{N}) ≤ ∥e_{n}∥_{2}.∥σ − Σ_{N}∥_{2} ⟶^{N→∞} 0 donc (e_{n}, σ) = \frac{1}{n}

si n ≥ 1 et 0 sinon.

Posons v(x) = (e^{ix} − 1)σ(x). Alors

(e_{n}, v) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}(e^{i(−n+1)t}−e^{−int})σ(t)dt = (e_{n−1}, σ)−(e_{n}, σ) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n(n−1)} si n ≥ 2 \\ −1 si n = 1 \\ 0 sinon. \end{matrix}

d’où ∥u − v∥_{2}^{2} = ∑_{n∈ℤ} |(e_{n}, u) − (e_{n}, v)|^{2} = 0, i.e. u = v.

I.6

Mais alors |\frac{u(x)−u(0)}{x}| = |\frac{e^{ix}−1}{x}.σ(x) − 0| ≤ |\frac{e^{ix}−1}{x}|.∥σ∥_{∞} ⟶^{x→0} 0, donc u est

dérivable en 0, ce qui contredit I.3.

Ainsi σ n’existe pas, (Σ) est de Cauchy mais ne converge pas, donc (E, ∥.∥_{2}) n’est pas complet.

II.4

Pour f ∈ E, 1 = ∥f∥_{∞} ≥ ∥f∥_{2}, et x ∈ ℝ on a : |P_{N}f(x)| = |(f̄(x − .), D_{N}(.))| ≤ ∥f∥_{2}.∥D_{N}∥_{2} ≤ ∥D_{N}∥_{2} = \sqrt{2N + 1}.

II.5

Trivialement 0 ≤ |y| − \frac{y^{2}}{\sqrt{ϵ+y^{2}}} . De plus

|y|−\frac{y^{2}}{\sqrt{ϵ + y^{2}}} = \frac{|y|}{\sqrt{ϵ + y^{2}}} (\sqrt{ϵ + y^{2}}−|y|) = \frac{|y|}{\sqrt{ϵ + y^{2}}} \frac{(\sqrt{ϵ + y^{2}})^{2} − y^{2}}{\sqrt{ϵ + y^{2}} + |y|} ≤ \frac{|y|}{|y|} \frac{ϵ}{\sqrt{ϵ}} = \sqrt{ϵ}.

De plus

P_{N}ψ_{N}^{ϵ}(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} ψ_{N}^{ϵ}(−u)D_{N}(u)du = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{D_{N}^{2}(u)}{\sqrt{ϵ + D_{N}^{2}(u)}}du ≥ 0.

Mais comme ∥ψ_{n}^{ϵ}∥_{∞} ≤ 1,

α_{N} ≥ P_{N}ψ_{N}^{ϵ}(0) = L_{N} + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}(\frac{D_{N}^{2}(u)}{\sqrt{ϵ + D_{N}^{2}(u)}} − |D_{N}(u)|)du ≥ L_{N} − \sqrt{ϵ}.

On conclut en faisant tendre ϵ vers 0.

II.6

La méthode la plus efficace consiste à faire un dessin puis à traduire en formules ce que l’on y voit. Soient ϵ > 0 et η > 0 tels que | sin \frac{x}{2} − \frac{x}{2}| ≤ ϵ|\frac{x}{2}| dès que |x| ≤ η. Soit N ≥ 1 tel que \frac{2N+1}{π}η > 1. Soit

Ñ = ⌊ \frac{\frac{2N+1}{π}η − 1}{2}⌋.

Ñ est le plus grand entier vérifiant \frac{π}{2N+1}(1 + 2Ñ) ≤ η. On en déduit que \frac{π}{2N+1}(1 + 2Ñ + 2) > η d’où \frac{π}{2N+1}(1 + 2Ñ) ≥ \frac{1}{3} \frac{π}{2N+1}(3 + 2Ñ) > \frac{η}{3} .

Alors

L_{N} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |D_{N}(t)|dt = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} \frac{|sin(N + \frac{1}{2})t|}{sin \frac{t}{2}}dt = L_{N,1} + L_{N,2} + L_{N,3}

où l’on a posé :

L_{N,1} = \frac{1}{π} ∫0^{\frac{π}{2N+1}} |D_{N}(t)|dt

L_{N,2} = \frac{1}{π} ∫ \frac{π}{2N+1} (1+2Ñ)_{\frac{π}{2N+1}} |D_{N}(t)|dt

L_{N,3} = \frac{1}{π} ∫_{\frac{π}{2N+1} (1+2Ñ)}^{π} |D_{N}(t)|dt

On a les majorations suivantes :

L_{N,1} ≤ \frac{1}{2N + 1}∥D_{N}∥_{∞} ≤ \frac{1}{2N + 1} ∑_{n=−N}^{N} ∥e_{n}∥_{∞} = 1

L_{N,3} ≤ \frac{1}{π} ∫ π_{\frac{η}{3}} \frac{|sin(N + \frac{1}{2})t|}{sin \frac{t}{2}}dt ≤ \frac{1}{π} ∫ π_{\frac{η}{3}} \frac{1}{sin \frac{t}{2}} dt.

Ces deux termes sont donc des O(1). Cherchons un équivalent de L_{N,2} :

L_{N,2} = \frac{1}{π} ∑_{n=1}^{Ñ} ∫_{\frac{π}{2N+1} (2n−1)}^{\frac{π}{2N+1} (2n+1)} \frac{|sin(N + \frac{1}{2})t|}{sin \frac{t}{2}}dt

t ↦ sin \frac{t}{2} étant décroissante sur l’intervalle considéré on a pour tout n ≤ Ñ :

\frac{2}{(N + \frac{1}{2}) sin \frac{π}{2N+1}(n + \frac{1}{2})} = \frac{1}{sin \frac{π}{2N+1}(n + \frac{1}{2})} ∫_{\frac{π}{2N+1} (2n−1)}^{\frac{π}{2N+1} (2n+1)} |sin(N + \frac{1}{2})t|dt

≤ ∫_{\frac{π}{2N+1} (2n−1)}^{\frac{π}{2N+1} (2n+1)} \frac{|sin(N + \frac{1}{2})t|}{sin \frac{t}{2}}dt

≤ \frac{1}{sin \frac{π}{2N+1}(n − \frac{1}{2})} ∫_{\frac{π}{2N+1} (2n−1)}^{\frac{π}{2N+1} (2n+1)} |sin(N + \frac{1}{2})t|dt = \frac{2}{(N + \frac{1}{2}) sin \frac{π}{2N+1}(n − \frac{1}{2})}

d’où

\frac{4}{π} \frac{1}{1 + ϵ} \frac{1}{n + \frac{1}{2}} ≤ ∫_{\frac{π}{2N+1} (2n−1)}^{\frac{π}{2N+1} (2n+1)} |D_{N}(t)|dt ≤ \frac{4}{π} \frac{1}{1 − ϵ} \frac{1}{n − \frac{1}{2}}

\frac{4}{π^{2}} \frac{1}{1 + ϵ} ∑_{n=1}^{Ñ} \frac{1}{n + \frac{1}{2}} ≤ L_{N,2} ≤ \frac{4}{π^{2}} \frac{1}{1 − ϵ} ∑_{n=1}^{Ñ} \frac{1}{n − \frac{1}{2}} .

On conclut en comparant avec une intégrale :

∑_{n=1}^{Ñ} \frac{1}{n + \frac{1}{2}} ≥ ∫_{1}^{Ñ+1} \frac{dt}{t + \frac{1}{2}} = log(Ñ+\frac{3}{2})−log \frac{3}{2} ≥ log N+log \frac{η}{π} +log(1+\frac{1}{2N})−log \frac{3}{2}

∑_{n=1}^{Ñ} \frac{1}{n − \frac{1}{2}} ≤ \frac{1}{2}+∫ Ñ ; 1 \frac{dt}{t − \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}+log(Ñ−\frac{1}{2})−log \frac{1}{2} ≤ log N+\frac{1}{2}+log \frac{η}{π} +log(1+\frac{1}{2N})−log \frac{1}{2}

donc si N est assez grand

\frac{4}{π^{2}} \frac{log N}{(1 + ϵ)^{2}} ≤ Ł_{N,2} ≤ \frac{4}{π^{2}} \frac{log N}{(1 − ϵ)^{2}} .

Comme ceci est vrai pour tout ϵ, on en déduit que L_{N,2} est équivalent à \frac{4}{π^{2}} log N, et il en est de même de L_{N}.

II.7

En II.2 on a montré que P_{N} était de norme 1 pour ∥.∥_{2}. De II.5 et II.6 on déduit que P_{N} n’est pas continu pour ∥.∥_{∞}.

Partie III

Lemme: soit (a_{n})_{n∈ℤ} une suite de complexes vérifiant ∑_{n∈ℤ} |a_{n}|^{2} < ∞. Alors (a_{n})_{n∈ℤ} est une S.A.C. Si de plus on pose a = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e_{n}, alors a ∈ H_{1} et P_{N}a tend uniformément vers a quand N tend vers l’infini.

Preuve: pour u et v dans ℝ on a (u − v)^{2} = u^{2} + v^{2} − 2uv ≥ 0 d’où uv ≤ \frac{1}{2}(u^{2} + v^{2}). Posant u = \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}} et v = \sqrt{1 + n^{2}}|a_{n}| on trouve |a_{n}| ≤ \frac{1}{2}(\frac{1}{1+n^{2}} + (1 + n^{2})|f_{n}|^{2}), ce qui montre que (a_{n})_{n∈ℤ} est une S.A.C. La série définissant a est donc normalement convergente. La suite du lemme en découle trivialement.

III.1

f ∈ E et f′ ∈ E donc |f_{n}|^{2} et |f′_{n}|^{2} sont des S.A.C. Une intégration par parties donne

f′_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int}f′(t)dt = \frac{in}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int}f(t)dt = inf_{n}

et alors ∥f∥_{1}^{2} = ∑_{n∈ℤ} |f_{n}|^{2} + ∑_{n∈ℤ} n^{2}|f_{n}|^{2} = ∥f∥_{2}^{2} + ∥f′∥_{2}^{2}. La réciproque est fausse: soit u la fonction introduite en I.3. (1 + n^{2})|u_{n}|^{2} = \frac{1+n^{2}}{n^{2}(n−1)^{2}} ∼^{n→∞} \frac{1}{n^{2}} donc u ∈ H_{1}. Or on a montré que u n’était pas dérivable en 0.

III.2

On prendra garde de ne pas confondre E_{1} et l’espace engendré par e_{−1}, e_{0} et e_{1}.

La question précédente montre déjà que E_{1} ⊂ H_{1}. Soit f ∈ H_{1}. Alors P_{N}f ∈ E_{1} et ∥f − P_{N}f∥_{1}^{2} = ∑_{|n|>N}(1 + n^{2})|f_{n}|^{2} tend vers 0 quand N tend vers l’infini puisque c’est le reste d’une série convergente. Cela prouve la densité de E_{1} dans H_{1}.

III.3

(N + 1)^{2}∥P_{N}f − f∥_{2}^{2} = ∑_{|n|≥N+1}(N + 1)^{2}|f_{n}|^{2} ≤ ∑_{|n|≥N+1}(1 + n^{2})|f_{n}|^{2} ≤ ∥f∥_{1}^{2}

C.Q.F.D.

III.4

Remarquons d’abord que d’après notre lemme, si f ∈ H_{1} alors P_{N}f converge vers f pour ∥.∥_{∞}. D’après III.2, il y a aussi convergence pour ∥.∥_{1}, et la convergence pour ∥.∥_{2} est triviale. Il suffit donc de démontrer l’existence de K_{1} pour f ∈ E_{1}. On utilisera le fait que pour g ∈ E_{1} et x, y ∈ [−π, π],

|g^{2}(x)−g^{2}(y)| = 2| ∫_{y}^{x} g(t)g′(t)dt| ≤ 2(∫_{x}^{y} |g(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} (∫_{x}^{y} |g′(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} ≤ 4π∥g∥_{2}∥g′∥_{2}

(on a appliqué le théroème de Cauchy-Schwarz). Soit donc f ∈ E_{1}. |f|^{2} atteint ses bornes sur le compact [−π, π]. Soient donc x et y dans [−π, π] tels que |f(x)|^{2} = max_{[−π,π]} |f|^{2} = ∥f∥_{∞}^{2} et |f(y)|^{2} = min_{[−π,π]} |f|^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2}. Alors

∥f∥_{∞}^{4} = |(f^{2}(x) − f^{2}(y)) + f^{2}(y)|^{2} ≤ 2(|f^{2}(x) − f^{2}(y)|^{2} + |f(y)|^{4})

≤ 2(16π^{2}∥f∥_{2}^{2}∥f′∥_{2}^{2} + ∥f∥_{2}^{4}) ≤ 32π^{2}∥f∥_{2}^{2}.(∥f∥_{2}^{2} + ∥f′∥_{2}^{2}) ≤ K_{1}^{4}.∥f∥_{2}^{2}.∥f∥_{1}^{2}

avec par exemple K_{1} = 2π.

III.5

En appliquant les deux questions précédentes on trouve

∥P_{N}f − f∥_{∞} ≤ K_{1}.∥P_{N}f − f∥2^{\frac{1}{2}} .∥P_{N}f − f∥1^{\frac{1}{2}}

≤ K_{1}.\frac{1}{\sqrt{N + 1}}∥f∥1^{\frac{1}{2}} .∥P_{N}f − f∥1^{\frac{1}{2}} ≤ \frac{K_{1}}{\sqrt{N + 1}}∥f∥_{1}.

Ainsi pour f dans H_{1} P_{N}f converge uniformément vers f. En outre cette convergence se fait au moins en \frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Partie IV

IV.1

∥f∥_{2}^{2} = ∑_{n∈ℤ} |f_{n}|^{2} ≤ ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})|f_{n}|^{2} = ∥f∥_{1}^{2}

C.Q.F.D.

IV.2

∥λf∥_{1} = |λ|∥f∥_{1}. Si f ≠ 0 alors ∥f∥_{1} ≥ ∥f∥_{2} > 0. Enfin

∥f + g∥_{1}^{2} = ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})|f_{n} + g_{n}|^{2} ≤ ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})(|f_{n}| + |g_{n}|)^{2}

= ∥f∥_{1}^{2} + ∥g∥_{1}^{2} + 2 ∑_{n∈ℤ}((1 + n^{2})^{\frac{1}{2}} |f_{n}|)((1 + n^{2})^{\frac{1}{2}} |g_{n}|) ≤ (∥f∥_{1} + ∥g∥_{1})^{2}

(par Cauchy-Schwarz) donc ∥.∥_{1} est bien une norme sur H_{1}.

Soit (f^{(k)})_{k∈ℕ} ∈ H_{1}^{ℕ} une suite de Cauchy pour ∥.∥_{1}.

∀ϵ > 0 ∃p ∈ ℕ ∀q ∈ ℕ, ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})|f_{n}^{(p+q)} − f_{n}^{(p)}|^{2} ≤ ϵ

Pour n ∈ ℤ fixé, |f_{n}^{(p+q)} − f_{n}^{(p)}| ≤ ∥f^{(p+q)} − f^{(q)}∥_{1} donc (f_{n}^{(k)})_{k∈ℕ} est de Cauchy donc admet une limite f_{n} ∈ ℂ. Alors

∀N ∈ ℕ, ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|f_{n} − f_{n}^{(p)}|^{2} = lim_{q→∞} ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|f_{n}^{(p+q)} − f_{n}^{(p)}|^{2} ≤ ϵ

et ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|f_{n}|^{2} ≤ (∥f^{(p)}∥_{1} + \sqrt{ϵ})^{2}. En faisant tendre N vers l’infini on

trouve que f^{(p)} ⟶^{p→∞} f = ∑_{n∈ℤ} f_{n}e_{n} ∈ H_{1} pour ∥.∥_{1}.

IV.3

∥f∥_{∞} ≤ K_{1}∥f∥2^{\frac{1}{2}} ∥f∥1^{\frac{1}{2}} ≤ K_{1}∥f∥_{1}

C.Q.F.D.

IV.4.a

∥g^{p}∥_{1}^{2} = ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})|g_{n}^{p}|^{2} ≤ 1 donc ∀n ∀p, |g_{n}^{p}| ≤ 1. Soit χ une bijection de ℕ sur ℤ (par ex. χ(2k) = k, χ(2k + 1) = −k − 1). (g_{χ(0)}^{p})_{p∈ℕ} est une suite à valeurs dans un compact de ℂ, on en extrait (g_{χ(0)}^{ϕ_{0}(p)})_{p∈ℕ}

convergente. Supposons construites ϕ_{0}, …, ϕ_{k−1}. Alors (g_{χ(k)}^{ϕ_{0}∘...∘ϕ_{k−1}(p)})_{p∈ℕ} est

une suite à valeurs dans un compact de ℂ, on en extrait (g_{χ(k)}^{ϕ_{0}∘...∘ϕ_{k−1}∘ϕ_{k}(p)})_{p∈ℕ} convergente. Posons pour tout p, ψ(p) = ϕ_{0} ∘ … ∘ ϕ_{p}(p).

Alors dès que p ≥ k, (g_{χ(k)}^{ψ(p)})_{p∈ℕ} est extraite de (g_{χ(k)}^{ϕ_{0}∘...∘ϕ_{k}(p)})_{p∈ℕ} donc converge.

IV.4.b et c

Fixons N et p ∈ ℕ tels que ∀n, |n| ≤ N ⇒ |g_{n}^{p} − l_{n}|^{2} ≤ \frac{ϵ}{(1+2N)(1+n^{2})}. Alors

\frac{1}{2} ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|l_{n}|^{2} ≤ ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|g_{n}^{p}|^{2} + ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})|g_{n}^{p} − l_{n}|^{2}

≤ ∑_{n∈ℤ}(1 + n^{2})|g_{n}^{p}|^{2} + ∑_{|n|≤N}(1 + n^{2})\frac{ϵ}{(1 + 2N)(1 + n^{2})} = 1 + ϵ

Donc (1 + n^{2})|l_{n}|^{2} est une S.A.C., et d’après notre lemme l = ∑_{n∈ℤ} l_{n}e_{n} ∈ H_{1}, et S_{N} tend vers l pour ∥.∥_{∞}.

IV.4.d

Posons g^{p} = \frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}} e_{p}. Alors g_{n}^{p} = 0 dès que p > n, donc quel que soit le

choix de ψ on aura l_{n} = 0, et l = 0. Mais pour tout p, ∥g^{p} − l∥_{1} = ∥g_{p}∥_{1} = 1 ne tend pas vers 0.

Remarquons que ce résultat était prévisible: H_{1} étant de dimension infinie, sa boule unité n’est pas compacte pour ∥.∥_{1}.

Partie V

V.1

Le terme (j, k) du produit des deux matrices vaut \frac{1}{2N+1} ∑_{l=0}^{2N} e^{2iπ(j−k) \frac{l}{2N+1}} qui vaut 1 si j = k (et plus généralement si j ≡ k (mod 2N + 1)), sinon il vaut

\frac{1}{2N + 1} \frac{1 − e^{2iπ(j−k) \frac{2N+1}{2N+1}}}{1 − e^{2iπ(j−k) \frac{1}{2N+1}}} = 0

(on utilisera plusieurs fois ce résultat par la suite).

V.2.a

C_{N}f = ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e_{n} e_{N}C_{N}f(t) = ∑_{n=−N}^{N} c_{n}e_{n+N}(t) = ∑_{n=0}^{2N} c_{n−N}e^{int} est un polynôme de degré ≤ 2N en e^{it}. Une CNS est que ∀j ∈ 𝔽_{2N+1} ∑_{n=0}^{2N} c_{n−N}e^{inx_{j}} = f(x_{j})e^{iNx_{j}}.

L’existence vient du fait que la fonction

t ↦ ∑_{j∈𝔽_{2N+1}} f(x_{j})e^{iNx_{j}} ∏_{k∈𝔽_{2N+1},k≠j} \frac{e^{it} − e^{ix_{k}}}{e^{ix_{j}} − e^{ix_{k}}}

(polynôme d’interpolation de Lagrange) vérifie la condition. Supposons maintenant connues deux solutions. En les soustreyant, on obtient un polynôme de degré au plus 2N en e^{it} ayant au moins 2N + 1 racines. Ce polynôme est donc nul, ce qui prouve l’unicité.

V.2.b

D’après la question précédente on a

C_{N}f(t) = ∑_{j∈𝔽_{2N+1}} f(x_{j}) ∏_{k∈𝔽_{2N+1},k≠j} \frac{e^{it} − e^{ix_{k}}}{e^{ix_{j}} − e^{ix_{k}}} .

Cette expression est clairement linéaire en f.

V.2.c

Pour tout j on a e_{2N+1}(x_{j}) = 1 = e_{0}(x_{j}) donc C_{N}e_{2N+1} = e_{0}. Mais alors P_{N}e_{2N+1} = 0, ce qui prouve que C_{N} ≠ P_{N}.

V.3.a

En effet, si l = l′ + (2N + 1)λ, alors ∀k e^{−ilx_{k}} = e^{−2iπ \frac{lk}{2N+1}} = e^{−2iπ \frac{l′k}{2N+1}} e^{−2iπλk} = e^{−il′x_{k}}.

V.3.b

Cette expression définit bien un élément de E_{N}. De plus on a pour tout j ∈ 𝔽_{2N+1}:

∑_{k=−N}^{N} ϕǩe_{k}(x_{j}) = \frac{1}{2N + 1} ∑_{k∈𝔽_{2N+1}} ∑_{l∈𝔽_{2N+1}} e^{ik(x_{j}−x_{l})}f(x_{l}) = ∑_{l∈𝔽_{2N+1}} δ_{jl}f(x_{l}) = f(x_{j})

C.Q.F.D.

V.4

Il suffit de le montrer pour (e_{−2N}, …, e_{0}, …, e_{2N}) base de E_{2N}. C’est vrai pour e_{0}: 1 = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e_{0} = \frac{1}{2N+1} ∑_{j=−N}^{N} e_{0}(x_{j}). Si maintenant 1 ≤ |k| ≤ 2N, alors \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e_{k} = 0. Mais alors ∑_{j=−N}^{N} e_{k}(x_{j}) = ∑_{j∈𝔽_{2N+1}} e^{2iπ \frac{kj}{2N+1}} = 0 puisque k ≢ 0 (mod 2N + 1).

V.5.a

Il suffit de le montrer sur la base (e_{−N}, …, e_{0}, …, e_{N}) de E_{N}.

[e_{m}, e_{n}] = \frac{1}{2N + 1} ∑_{j∈𝔽_{2N+1}} e^{i(n−m)x_{j}} = δ_{mn} = (e_{m}, e_{n})

V.5.b

C’est une conséquence triviale du fait que ∀j (f − C_{N}f)(x_{j}) = 0.

V.5.c

En fait l’expression du V.5.a ne dépend que de la classe de n − m modulo 2N + 1. D’où

[e_{m}, e_{n}] = \{ \begin{matrix}1 si m ≡ n (mod 2N + 1) \\ 0 sinon. \end{matrix}

V.6

f ∈ H_{1} donc (f_{n})_{n∈ℤ} est une S.A.C., et (f_{l+(2N+1)k})_{k∈ℤ} est une S.A.C. car extraite d’une S.A.C. La série f(x_{j}) = ∑_{n∈ℤ} f_{n}e_{n}(x_{j}) est absolument convergente, on peut la sommer par paquets :

f(x_{j}) = ∑_{l=−N}^{N} ∑_{k∈ℤ} f_{l+(2N+1)k}e_{l+(2N+1)k}(x_{j})

Mais pour tout k, e_{l+(2N+1)k}(x_{j}) = e_{l}(x_{j}), d’où

f(x_{j}) = ∑_{l=−N}^{N} C_{N,l}(f)e_{l}(x_{j}) = C_{N}f(x_{j}).

V.7.a

P_{N}f ∈ E_{N} ⇒ C_{N}P_{N}f = P_{N}f, donc g_{N} − C_{N}g_{N} = f − P_{N}f − C_{N}f + C_{N}P_{N}f = f − C_{N}f.

V.7.b

g_{N} = f − P_{N}f ∈ E_{N}^{⊥}, C_{N}g_{N} ∈ E_{N} donc ∥f − C_{N}f∥_{2}^{2} = ∥g_{N} − C_{N}g_{N}∥_{2}^{2} = ∥g_{N}∥_{2}^{2} + ∥C_{N}g_{N}∥_{2}^{2}. On a d’abord la majoration ∥g_{N}∥_{2}^{2} = ∥f − P_{N}f∥_{2}^{2} ≤ \frac{1}{(N+1)^{2}} ∥f∥_{1}^{2} par III.3.

De plus on peut écrire ∥C_{N}g_{N}∥_{2}^{2} = ∑_{l=−N}^{N} |C_{N,l}(g_{N})|^{2}, avec C_{N,l}(g_{N}) = ∑_{k∈ℤ^{∗}} f_{l+(2N+1)k} (puisque g_{N} = ∑_{|n|>N} f_{n}e_{n}). Par Cauchy-Schwarz on a

|C_{N,l}(g_{N})|^{2} = | ∑_{k∈ℤ^{∗}} \frac{1}{k} .kf_{l+(2N+1)k}|^{2} ≤ ( ∑_{k∈ℤ^{∗}} \frac{1}{k^{2}} )( ∑_{k∈ℤ^{∗}} k^{2}|f_{l+(2N+1)k}|^{2})

(N+1)^{2}|C_{N,l}(g_{N})|^{2} ≤ \frac{π^{2}}{3} ∑_{k∈ℤ^{∗}} k^{2}(N+1)^{2}|f_{l+(2N+1)k}|^{2} ≤ \frac{π^{2}}{3} ∑_{k∈ℤ^{∗}}(1+(l+(2N+1)k)^{2})|f_{l+(2N+1)k}|^{2}

(N+1)^{2}∥C_{N}g_{N}∥_{2}^{2} ≤ \frac{π^{2}}{3} ∑_{l=−N}^{N} ∑_{k∈ℤ^{∗}}(1+(l+(2N+1)k)^{2})|f_{l+(2N+1)k}|^{2} = \frac{π^{2}}{3} ∥g_{N}∥_{1}^{2} ≤ \frac{π^{2}}{3} ∥f∥_{1}^{2}

d’où

∥f − C_{N}f∥_{2} ≤ \frac{\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{3}}}{N + 1} ∥f∥_{1}.

V.8

P_{N} demande des calculs d’intégrales. Il est donc plus compliqué que C_{N} qui ne demande que des sommes discrètes.

Partie VI

VI.1

Il faut multiplier chaque ω^{kl} par un z_{k}, soit M^{2} multiplications. Ensuite il faut faire M − 1 additions sur chacune des M lignes, donc S_{M} = 2M^{2} − M.

VI.2

La formule s’obtient en coupant la somme en deux suivant la parité de k. Pour tout l posons

x_{l} = ∑_{k_{1}∈𝔽_{M_{1}}}(ω^{2})^{k_{1}l}z_{2k_{1}} et y_{l} = ∑_{k_{2}∈𝔽_{M_{1}}}(ω^{2})^{k_{2}l}z_{2k_{2}−1}

d’où ẑ_{l} = x_{l}+ω^{−l}y_{l}. Pour 0 ≤ l < M_{1}, (x_{l}) s’obtient en appliquant T F D(ω^{2}, M_{1}) au vecteur formé des coordonnées de z d’indice pair. On obtient de même (y_{l}) avec les indices impairs.

Supposons maintenant M_{1} ≤ l < M. On a ω^{2M_{1}} = 1 donc ω^{2kl} = ω^{2k(l−M_{1})} ce qui implique x_{l} = x_{l−M_{1}} et y_{l} = y_{l−M_{1}}, et il n’est donc pas nécessaire de les recalculer. Finalement on voit qu’on n’a utilisé que deux T F D(ω^{2}, M_{1}).

VI.3

Dans la question précédente on effectue deux T F D d’ordre 2^{n−1}, puis 2^{n} multiplications par ω^{−l}, et enfin 2^{n} additions, d’où Σ_{n} ≤ 2Σ_{n−1} + 2^{n+1}.

On conclut par une récurrence: Σ_{0} = 0, et si Σ_{n−1} ≤ (n − 1)2^{n}, alors Σ_{n} ≤ 2(n − 1)2^{n} + 2^{n+1} = n2^{n+1}.

C.Q.F.D.

VI.4

Voici les résultats en secondes et les rapports avec deux chiffres significatifs:

\begin{matrix}n & 20 & 25 & 30 \\ S_{M} & 2, 2.10^{4} & 2, 3.10^{7} & 2, 3.10^{10} \\ Σ_{n} & 0, 42 & 17 & 644 \\ \frac{S_{M}}{Σ_{n}} & 5, 2.10^{4} & 1, 3.10^{6} & 3, 6.10^{7} \end{matrix}

Le calcul de la TFD pour n = 30 avec l’algorithme naïf prendrait plus de sept siècles.

VI.5

La méthode est analogue à celle du VI.2. Répartissons les (z_{i}) en Q vecteurs de taille P selon la classe de i modulo Q. Pour 0 ≤ l < M et 0 ≤ j < Q on pose

x_{l}^{j} = ∑_{k∈𝔽_{P}} (ω^{Q})^{kl}z_{kQ+j}.

On remarque que pour tout l, si l = hP + l′ avec 0 ≤ l′ < P, alors x_{l}^{j} = x_{l′}^{j} et on trouve

ẑ_{l} = ẑ_{hP +l′} = ∑_{j∈𝔽_{Q}} ω^{lj}x_{l}^{j} = ∑_{j∈𝔽_{Q}}(ω^{P})^{hj}.ω^{l′j}x_{l′}^{j}.

Ainsi donc les (x_{l′}^{j}) s’obtiennent par T F D(ω^{Q}, P) sur les vecteurs (z_{kQ+j}), et les (ẑ_{l}) s’obtiennent par T F D(ω^{P} , Q) sur les vecteurs (ω^{l′j}x_{l′}^{j}).

On a donc fait Q TFD d’ordre P, P Q = M multiplications par ω^{l′j}, et P TFD d’ordre Q. Si σ_{M} est le nombre d’opérations nécessaires pour une TFD d’ordre M on trouve σ_{M} ≤ M + P σ_{Q} + Qσ_{P}. En majorant σ_{Q} par 2Q^{2} − Q et σ_{P} par 2P^{2} − P on obtient σ_{M} ≤ P Q(2P + 2Q − 1) ≤ 2M(P + Q).

VI.6

Si N est bien choisi on peut supposer que P et Q sont de l’ordre de \sqrt{M} avec M = 2N + 1. On a donc gagné au moins un facteur \sqrt{M} par rapport à la méthode naïve. En fait si M n’a que des petits diviseurs (par exemple si M est une puissance de 3) on peut par la même méthode accélérer les calculs des TFD d’ordre P et Q, etc., et on obtient comme en VI.3 un algorithme en N log N.

Insistons sur le fait que l’efficacité de cet algorithme dépend de la décomposition en facteurs premiers de M.

On peut aussi vouloir utiliser directement la borne du VI.3. C’est a priori impossible car M = 2N + 1 est impair donc n’est pas en général une puissance de 2. Néanmoins il est toujours possible d’effectuer une TFD d’ordre pair. Il suffit pour cela de considérer non pas la projection sur l’espace engendré par E_{−N}, …, E_{N} mais sur l’espace engendré par E_{−N+1}, …, E_{N}. Le lecteur se convaincra facilement qu’une estimation de la vitesse de convergence du type de V.7.b existe encore.