Ce texte est la rédaction de l’exposé que j’ai fait lors de ma soutenance de magistère, le 17 octobre 1997. Il s’agit d’une présentation de mon domaine de recherche, la géométrie d’Arakelov, accessible aux non-spécialistes.

Dans une première partie, on explique l’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions, qui constitue en quelque sorte la géométrie d’Arakelov en dimension absolue 1 (ou en dimension relative 0). Suivant [Sz], on montre comment les notions ainsi introduites permettent une formulation agréable de certains théorèmes classiques de théorie algébrique des nombres.

Dans une deuxième partie, on présente brièvement une généralisation de ces constructions d’abord à la dimension 2 (dimension relative 1) suivant [Ar] et [Fa], puis on esquisse les problèmes posés par la géométrie d’Arakelov en dimension supérieure. Le lecteur désireux d’en savoir plus pourra consulter [SoABK] ou [BoGS].

La dernière partie est consacrée à mon sujet de thèse : Hauteurs des sousschémas, géométrie d’Arakelov du schéma de Hilbert.

1 L’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions

Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme non nul de degré d. Par le théorème de d’Alembert, P a d racines (avec multiplicités) sur ℂ. En prenant 1/z comme coordonnée au voisinage de l’infini dans ℙ^{1}(ℂ) = ℂ ∪ {∞}, P a aussi un pôle d’ordre d en l’infini.

Plus généralement, si S est une surface de Riemann compacte et f une fonction méromorphe non nulle sur S, et si en tout point x de S on désigne par v_{x}(f) la valuation de f en x, c’est-à-dire le plus grand entier n ∈ ℤ tel que pour toute coordonnée locale z au voisinage de x, z^{−n}f(z) soit holomorphe en x, alors par le théorème des résidus on a:

∑_{x∈S} v_{x}(f) = ∫_{∂S} \frac{df}{f} = 0.

Si maintenant m ∈ ℤ est un entier, et si P désigne l’ensemble des nombres premiers, on a

|m| = ∏_{p∈P} p^{v_{p}(m)},

soit, en posant v_{∞}(m) = − log |m|,

v_{∞}(m) + ∑_{p∈P} v_{p}(m) log p = 0.

On rappelle que la géométrie algébrique permet d’associer à tout anneau A un espace topologique annelé (plus précisément un schéma) Spec A, dont l’ensemble sous-jacent est l’ensemble des idéaux premiers de A, et les fonctions “régulières” sur Spec A sont justement les éléments de A. Dans le cas qu’on vient de considérer, l’ensemble des points fermés de Spec ℤ n’est autre que P, et on vient de voir qu’en rajoutant à Spec ℤ un point à l’infini muni de structures métriques (ou, plus précisément, hermitiennes), on obtenait un objet sur lequel des identités semblables à celles obtenues pour les surfaces de Riemann compactes restent valables.

Cette analogie est un cas particulier de l’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions, découverte par l’école allemande avec Hensel, Hasse, puis précisée par Weil, et qui est le point de départ de la géométrie d’Arakelov.

1.1 Corps de fonctions

Soit C une courbe algébrique projective irréductible sur un corps k. Le groupe Div(C) des diviseurs de Weil sur C est le groupe abélien libre sur l’ensemble des points fermés de C. Si f ∈ K(C)^{×} est une fonction méromorphe sur C, son diviseur associé est div(f) = ∑_{𝔭∈C} v_{𝔭}(f).[𝔭]. Un diviseur provenant d’une telle f sera dit principal. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe Pr(C) de Div(C), dont le groupe quotient Cl(C) est par définition le groupe des classes de diviseurs sur C. On montre que Cl(C) est naturellement isomorphe au groupe Pic(C) des classes d’isomorphisme de fibrés en droites sur C, via l’application qui à un fibré en droites L associe la classe [Z_{s}] du diviseur d’une section méromorphe non nulle s de L.

On définit sur Div(C) une forme linéaire degré par deg[𝔭] = dim_{k} k(𝔭). On montre que pour toute f ∈ K(C), on a deg div(f) = 0, de telle sorte que l’application degré passe au quotient et définit ainsi une forme linéaire deg : Pic(C) → ℤ.

Rappelons enfin qu’on définit la caractéristique d’Euler-Poincaré d’un élément L de Pic(C) par la formule χ(C, L) = dim_{k} H^{0}(C, L) − dim_{k} H^{1}(C, L). On a alors les lemmes classiques suivants :

1. Riemann-Roch : χ(C, L) = deg L + χ(C, O_{C})

2. si deg(L) < 0, H^{0}(C, L) = 0

3. si deg(L) ≤ 0 et H^{0}(C, L) ≠ 0, L ≃ O_{C}

4. si deg(L) > −χ(C, O_{C}), H^{0}(C, L) ≠ 0.

1.2 Compactification du spectre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres

Soit O_{K} l’anneau des entiers d’un corps de nombres K. O_{K} est un anneau de Dedekind, et X = Spec O_{K} est un schéma intègre normal de dimension 1, fini sur Spec ℤ. On souhaiterait faire sur X des constructions analogues à celles du paragraphe précédent. Même si l’on peut toujours définir “naïvement” les groupes Div(X), Cl(X) et Pic(X), on n’obtient pas d’application degré non triviale. Heuristiquement, il est tentant de considérer que cela vient de la perte de l’hypothèse de projectivité. Pour y remédier, il va nous falloir “compléter” judicieusement X.

Soient r_{1} le nombre de plongements réels de K dans ℂ et 2r_{2} le nombre de ses plongements complexes. Soit Φ l’ensemble formé des r_{1} plongements réels et du choix d’un élément de chacune des r_{2} paires de plongements complexes conjugués. Si f ∈ K et σ ∈ Φ, on pose |f|_{σ} = |σ(f)| et ϵ_{σ} = 1 si σ est réel, 2 si σ est complexe. On peut alors énoncer la formule du produit :

∏_{𝔭∈Spec O_{K}}(N𝔭)^{v_{𝔭}(f)} = ∏_{σ∈Φ} |f|_{σ}^{ϵ_{σ}}.

En prenant le logarithme, on trouve une formule semblable à celle qui disait que, dans le cas géométrique, le diviseur d’une fonction méromorphe est de degré nul.

On définit alors 𝔛 comme l’union disjointe de X et de Φ. Le groupe des diviseurs compactifiés sur 𝔛 est D̂iv(𝔛) = Div(X) ⊕ ⨁_{σ∈Φ} ℝ[σ]. Le groupe P̂r(𝔛) est le sous-groupe de D̂iv(𝔛) formé des éléments de la forme

d̂iv(f) = div(f) − ∑_{σ∈Φ} log |f|_{σ}[σ]

où f ∈ K^{×}. Ĉl(𝔛) = D̂iv(𝔛)/P̂r(𝔛) est le groupe des classes de diviseurs compactifiés sur 𝔛.

Un faisceau inversible hermitien L̂ = (L, ∥.∥_{σ}) est la donnée d’un fibré en droites L sur X et pour tout σ ∈ Φ d’une norme hermitienne ∥.∥_{σ} sur L ⊗_{σ} ℂ (qui est un espace vectoriel de dimension 1 sur ℂ). Les classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur 𝔛 forment un groupe pour le produit tensoriel, le groupe de Picard compactifié P̂ic(𝔛).

Rappelons que, O_{K} étant un anneau de Dedekind, on a un isomorphisme naturel entre Div(X) et le groupe des idéaux fractionnaires de K, ainsi qu’entre Cl(X), Pic(X), et le groupe des classes d’idéaux de O_{K}. Ce dernier isomorphisme se généralise au cas compactifié comme suit : Ĉl(𝔛) et P̂ic(𝔛) sont naturellement isomorphes par l’application qui à la classe d’un diviseur compactifié D̂ = ∑ n_{𝔭}[𝔭] + ∑ λ_{σ}[σ] associe la classe d’isométrie du fibré en droites O(D) ≃ ∏ 𝔭^{−n_{𝔭}} muni des métriques vérifiant ∥1∥_{σ} = e^{−λ_{σ}}, où 1 est la section méromorphe canonique de O(D). L’isomorphisme réciproque peut se décrire ainsi : si L̂ ∈ P̂ic(𝔛) et s est une section méromorphe de L, s : O_{K} → L induit š: Ľ → O_{K}, et l’image de š est un idéal 𝔄_{s} de O_{K}; on associe alors à L̂ la classe du diviseur compactifié d̂iv(s) = 𝔄_{s} − ∑_{σ} log ∥s∥_{σ}[σ]. L’élément neutre de P̂ic(𝔛) est Ô, la classe du fibré en droites trivial O_{K} muni des métriques ∥1∥_{σ} = 1.

Si D̂ = ∑ n_{𝔭}[𝔭] + ∑ λ_{σ}[σ] est un diviseur compactifié, on définit son degré

d̂egD̂ = ∑ n_{𝔭} log N𝔭 + ∑ ϵ_{σ}λ_{σ}.

Par la formule du produit, d̂eg s’annule sur P̂r(𝔛), donc passe au quotient Ĉl(𝔛) ≃ P̂ic(𝔛). On vérifie alors sans peine qu’avec les notations précédentes on a :

d̂egL̂ = log \frac{N𝔄_{s}}{∏ ∥s∥_{σ}^{ϵ_{σ}}} .

H^{0}(L̂) sera, comme dans le cas géométrique, l’espace des sections de L̂ régulières en tout point, i.e. ayant en toute place une valuation positive, soit encore

H^{0}(L̂) = {s ∈ Γ(X, L) | ∀σ ∈ Φ ∥s∥_{σ} ≤ 1}.

On définit maintenant une caractéristique d’Euler-Poincaré pour les faisceaux inversibles hermitiens. Pour σ ∈ Φ, on pose K_{σ} = ℝ si σ est réel, ℂ sinon. La norme ∥.∥_{σ} sur Γ(L) ⊗_{σ} K_{σ} induit une mesure de Haar naturelle sur cet espace (la boule unité étant de volume 2 ou π selon que σ est réel ou complexe), de telle sorte que Γ(L) ⊗_{ℤ} ℝ ≃ ⨁_{σ∈Φ} Γ(L) ⊗_{σ} K_{σ} est muni de la mesure de Haar produit des précédentes, et contient Γ(L) comme réseau. On pose alors

χ̂(L̂) = − log vol(Γ(L) ⊗_{ℤ} ℝ/Γ(L)).

On retrouve alors des lemmes analogues à ceux du premier paragraphe : si L̂ est un élément de P̂ic(𝔛), on a

Lemme 1 (Riemann-Roch) χ̂(L̂) = d̂eg(L̂) + χ̂(Ô)

Lemme 2 si d̂eg(L̂) < 0, H^{0}(L̂) = 0

Lemme 3 si d̂eg(L̂) ≤ 0 et H^{0}(L̂) ≠ 0, L̂ ≃ Ô

Lemme 4 (Minkowski) si d̂eg(L̂) ≥ −χ̂(Ô) + r_{2} log(4/π), H^{0}(L̂) ≠ 0 Demonstration : Soit s ∈ Γ(L), de telle sorte que s induit un plongement s : Γ(O) → Γ(L). Ce plongement fait de Γ(O) un sous-réseau de Γ(L) d’indice N𝔄_{s} et divise les volumes par ∏ ∥s∥_{σ}^{ϵ_{σ}}, d’où le premier lemme puisque d̂egL̂ = log(N𝔄_{s}/ ∏ ∥s∥_{σ}^{ϵ_{σ}}).

Pour les deux lemmes suivants, on suppose qu’il existe s non nulle dans H^{0}(L̂). Alors log N𝔄_{s} ≥ 0 et ∀σ log ∥s∥_{σ}^{ϵ_{σ}} ≤ 0, donc d̂egL̂ ≥ 0, avec égalité si et seulement si tout est nul, auquel cas s induit une isométrie Ô ≃ L̂.

Enfin, le produit des boules unités dans ⨁_{σ∈Φ} Γ(L)⊗_{σ} K_{σ} est un compact convexe symétrique de volume 2^{r_{1}}π^{r_{2}}, donc par le théorème de Minkowski, si 2^{n}covol(Γ(L)) ≤ 2^{r_{1}}π^{r_{2}}, on a bien H^{0}(L̂) ≠ 0, ce qui prouve le quatrième lemme.

1.3 Quelques résultats classiques de théorie algébrique des nombres

On aura besoin dans ce qui suit d’une autre expression de χ̂(Ô). Soit x_{1}, ..., x_{n} une base de O_{K} sur ℤ. Alors, si σ_{ℝ} désigne les éléments réels de Φ et σ_{ℂ} les éléments complexes, on a

χ̂(Ô) = − log covol(Γ(O)) = − log |det ( \begin{matrix}σ_{ℝ}(x_{1}) & … & σ_{ℝ}(x_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ Re σ_{ℂ}(x_{1}) & … & Re σ_{ℂ}(x_{n}) \\ Im σ_{ℂ}(x_{1}) & … & Im σ_{ℂ}(x_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \end{matrix} )|

= − log 2^{−r_{2}} |det ( \begin{matrix}σ_{ℝ}(x_{1}) & … & σ_{ℝ}(x_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ σ_{ℂ}(x_{1}) & … & σ_{ℂ}(x_{n}) \\ \overline{σ_{ℂ}}(x_{1}) & … & \overline{σ_{ℂ}}(x_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \end{matrix} )|

= r_{2} log 2 − \frac{1}{2} log D

où D = D_{K/ℚ} = | det_{i,j} Tr(x_{i}x_{j})| = | det_{i,j}(σ_{i}(x_{j}))|^{2} pour (σ_{i})_{i=1...n} décrivant les n plongements de K dans ℂ, est le discriminant de K sur ℚ.

Le lemme 4 peut donc se reformuler ainsi:

Lemme 4’ si d̂eg(L̂) ≥ C_{M} = \frac{1}{2} log D − r_{2} log(π/2), H^{0}(L̂) ≠ 0.

En combinant les lemmes 2 à 4, on est maintenant en mesure de démontrer les théorèmes qui suivent.

Théorème 1 (Hermite-Minkowski) Si K ≠ ℚ, D ≥ 2 (ainsi, tout revêtement fini non trivial de Spec ℤ est ramifié: on dit que Spec ℤ est simplement connexe).

Demonstration : Pour toute famille de réels (a) = (a_{σ})_{σ∈Φ}, on définit le fibré en droites hermitien Ô_{(a)} = (O, ∥1∥_{σ} = e^{−a_{σ}}), de telle sorte que d̂eg(Ô_{(a)}) = ∑_{σ} ϵ_{σ}a_{σ}. Pour un bon choix de (a), Ô_{(a)} vérifie les hypothèses du lemme 4’. Le lemme 2 implique alors que \frac{1}{2} log D − r_{2} log(2/π) ≥ 0, donc D ≥ (π/2)^{r_{2}}. Si r_{2} > 0, c’est fini. Sinon, supposons r_{2} = 0 et D = 1. Alors par le lemme 4’, tout L̂ de degré 0 a un H^{0} non nul, donc est isométrique à Ô par le lemme 3. On a Ô_{(a)} ≃ Ô si et seulement si ∃u ∈ O_{K}^{×} ∀σ a_{σ} = |u|_{σ}. O_{K}^{×} étant dénombrable, on peut trouver une famille (a) avec ∑_{σ} ϵ_{σ}a_{σ} = 0 mais qui ne vérifie pas cette dernière condition, d’où la contradiction.

Théorème 2 Cl(O_{K}) est fini.

Demonstration : Soit ℑ ∈ Cl(O_{K}) (la classe d’)un idéal. On métrise ℑ de telle sorte que d̂eg(ℑ̂) = C_{M} = \frac{1}{2} log D − r_{2} log(2/π). Par le lemme 4, il existe s non nul dans H^{0}(ℑ̂), et alors log N𝔄_{s} = C_{M} + ∑ log ∥s∥_{σ}^{ϵ_{σ}} ≤ C_{M}. Mais O_{K} n’a qu’un nombre fini d’idéaux de norme bornée par e^{C_{M}} (car ce sont des sous-réseaux d’indice au plus e^{C_{M}}), et ℑ^{−1} ≃ 𝔄_{s} est isomorphe à l’un d’entre eux.

Théorème 3 (Dirichlet, théorème des unités) si μ est le groupe des racines de l’unité dans K, O_{K}^{×}/μ est un ℤ−module libre de rang r_{1} + r_{2} − 1.

Demonstration : Le plongement (log |.|_{σ})_{σ∈Φ} : O^{×}/μ → ℝ^{Φ} a pour image un sous-groupe discret de l’hyperplan H d’équation ∑ ϵ_{σ}x_{σ} = 0. Il s’agit de montrer que ce sous-groupe est en fait un réseau de H, ou encore que le quotient est compact. Avec les notations précédentes, l’ensemble {O_{(a)} | ∑ ϵ_{σ}a_{σ} = C_{M}} est un espace affine sous H, et H/ log |O^{×}/μ| est compact si et seulement si de toute suite (a)_{n} dans H on peut extraire une sous-suite convergente modulo log |O^{×}/μ|. Par le lemme 4, les H^{0}(O_{(a)}) sont non nuls, donc on peut trouver s_{(a)} ∈ H^{0}(O_{(a)}) non nul, et 𝔄_{s_{(a)}} est un idéal principal non trivial de norme N𝔄_{s_{(a)}} ≤ e^{C_{M}}. Il n’existe qu’un nombre fini de tels idéaux, donc quitte à extraire une sous-suite des (a)_{n}, on peut supposer qu’ils sont tous égaux à un même 𝔄. Alors pour tout n on a 𝔄 = s_{(a)_{n}}O = s_{(a)_{0}}O, donc il existe u_{n} ∈ O^{×}, s_{(a)_{n}} = u_{n}s_{(a)_{0}}. Alors pour tout σ on a ∥s_{(a)_{n}}∥_{σ} ≤ 1 donc |u_{n}|_{σ}a_{σ,n} ≤ 1/|s_{(a)_{0}}|_{σ}, et on peut extraire de la suite des (|u_{n}|(a)_{n})_{n∈ℕ} une sous-suite convergente. La sous-suite correspondante des ((a)_{n})_{n∈ℕ} converge alors bien modulo log |O^{×}|.

Théorème 4 (Hermite) L’ensemble des corps de nombres de degré n et de discriminant D donnés est fini.

Demonstration : On choisit σ_{0} ∈ Φ, et alors si O est muni des métriques ∥1∥_{σ_{0}}^{ϵ_{σ_{0}}} = 2^{−n}D^{−1} et ∥1∥_{σ}^{ϵ_{σ}} = 2 (σ ≠ σ_{0}) on a d̂eg(O, ∥.∥) ≥ 1/2. log D. Alors H^{0}(O, ∥.∥) ≠ 0, donc il existe s ∈ O_{K}, 1 ≤ |σ_{0}(s)|^{ϵ_{σ_{0}}} ≤ 2^{n}D et |σ(s)|^{ϵ_{σ}} ≤ 1/2 (pour σ ≠ σ_{0}). Un tel s est primitif, car si s provenait d’un sous-corps strict L de K, on trouverait un plongement τ_{0} de L dans ℂ tel que |τ_{0}(s)| ≥ 1, et τ_{0} se relèverait en plusieurs σ de K dans ℂ avec |σ(s)| = |τ_{0}(s)|, ce qui est impossible. Ainsi K = ℚ(s). Mais tous les |σ(s)| sont bornés par des constantes ne dépendant que de n et de D, et il en est de même des coefficients du polynôme minimal de s sur ℤ, qui varie donc dans un ensemble fini.

2 Passage à la dimension 2 (et plus)

On veut maintenant généraliser les résultats précédents en dimension supérieure.

Une des grandes réussites de la géométrie algébrique classique a été la construction d’une théorie de l’intersection sur une variété projective sur un corps k.

En arithmétique, on est amené à travailler sur des variétés projectives sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres. Disposer d’une bonne théorie de l’intersection sur ces variétés doit permettre de résoudre de nombreux problèmes de théorie des nombres. On va voir comment, en compactifiant ces objets et en les munissant de structures hermitiennes à l’infini, il est possible de construire une telle théorie.

2.1 Surfaces arithmétiques

Le premier cas à étudier après la dimension relative 0 est celui de la dimension relative 1. Soit K un corps de nombres, d’anneau des entiers O_{K}. Une surface arithmétique est un schéma régulier intègre de dimension (absolue) 2, projectif et plat sur Spec O_{K}, et dont la fibre générique X_{K} (qui est une courbe projective sur K) est lisse et géométriquement intègre.

De même qu’on compactifie Spec O_{K} en lui rajoutant un ensemble Φ de places à l’infini de K, on compactifie une surface arithmétique X en lui rajoutant, au-dessus de tout σ ∈ Φ, la fibre à l’infini X_{σ} = X ⊗_{σ} ℂ qui est une surface de Riemann compacte connexe. On notera 𝔛 l’espace réunion de X et des X_{σ}.

2.2 Théorie de l’intersection sur les surfaces arithmétiques

Soit 𝔛 = (X, X_{σ}) une surface arithmétique de morphisme structural π : 𝔛 → Spec^{}O_{K}. On trouve sur X deux types de diviseurs: les diviseurs verticaux, qui sont des composantes de fibres, et les diviseurs horizontaux, qui sont plats sur la base Spec O_{K}. Remarquons que, schématiquement, un diviseur horizontal est projectif et quasi-fini sur Spec O_{K}, donc fini (par un théorème de Chevalley, qu’on peut voir maintenant comme un corollaire du “Main theorem” de Zariski), donc s’identifie au spectre d’un ordre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres fini sur K. On a alors aussi sur 𝔛 deux types de “diviseurs compactifiés”: les diviseurs verticaux, qui sont des composantes de fibres éventuellement à l’infini, et les diviseurs horizontaux, qui sont la fermeture dans 𝔛 des diviseurs horizontaux sur X.

Si i : D → 𝔛 est un diviseur vertical, D est une courbe projective sur k(x) où x = π(D). Soit maintenant L un fibré en droites sur X. Pour tout σ ∈ Φ, L_{σ} = L⊗_{σ} ℂ est un fibré en droites sur X_{σ}. On peut définir le nombre d’intersection < L.D > par la formule classique

< L.D >= c_{x} deg_{D} i^{∗}L,

où deg est le degré classique sur une courbe projective sur un corps, et où c_{x} est un coefficient dépendant du point image de D par π, en pratique c_{x} = log #k(x) si x est fini, et c_{x} = ϵ_{σ} si x = σ est un point à l’infini.

Supposons maintenant qu’on ait un diviseur horizontal sur 𝔛, et notons i : D → X le diviseur horizontal sur X dont il est la fermeture, avec D ≃ Spec B où B est un ordre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres, fini sur O_{K}. Soit ν : Spec B̃ → Spec B sa normalisation. En tensorisant par ℂ, D induit un diviseur D_{σ} sur chaque X_{σ}, qui s’identifie canoniquement aux plongements de B (ou de B̃) dans ℂ relevant σ. Pour pouvoir relever L au compactifié de D, il nous suffira de supposer que les fibres de L_{σ} en les D_{σ} sont munies de métriques hermitiennes ∥.∥_{σ}, d’où la

Définition 1 Un fibré en droites hermitien L̂ sur 𝔛 est la donnée d’un fibré en droites L sur X et, pour tout σ, d’une métrique hermitienne ∥.∥_{σ} sur L_{σ} variant de façon C^{∞}. Les classes d’isométrie de fibrés en droites hermitiens forment un groupe P̂ic(𝔛) pour le produit tensoriel, le groupe de Picard compactifié de 𝔛.

On peut alors poser

< L̂.D >= d̂egD̃(i ∘ ν)^{∗}L̂.

X étant régulière, on a un isomorphisme entre Pic(X) et le groupe Cl(X) des classes d’équivalence rationnelle de diviseurs de Weil sur X. On veut généraliser cet isomorphisme au cas compactifié, définir des groupes D̂iv(𝔛) et Ĉl(𝔛), et obtenir ainsi des nombres d’intersection < L̂, M̂ > ou < C, D > pour deux fibrés en droites hermitiens ou pour deux diviseurs compactifiés.

Dans la première partie, on a défini d̂egD̃(i ∘ ν)^{∗}L̂ comme somme d’une terme fini et d’un terme à l’infini, dépendant du choix d’une section globale l de L_{|D}. Plus précisément, si l est une section méromorphe de L dont la restriction à L_{|D} en est une section globale régulière non identiquement nulle sur chaque composante de D, et si m est la section canonique 1 de M = O_{X}(D), on a

< L̂.D >=< L̂.D >_{fini} + ∑_{σ∈Φ} ϵ_{σ} < L̂.D >_{σ}

où

< L̂.D >_{fini}= log #(Γ(L_{|D̃})/lOD̃) = ∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(l_{x}, m_{x}))

peut se voir comme le nombre d’intersection des pseudo-diviseurs classiques (L̂, l) et (M̂, m), et

< L̂.D >_{σ} = − log ∥l∥_{L_{σ}}(D_{σ})
= − log ∥l∥_{L_{σ}}(div(m)_{σ}) − ∫_{X_{σ}} log ∥m∥_{M_{σ}}c_{1}(∥.∥_{L_{σ}})

dès qu’on suppose M muni de métriques telles que ∫_{X_{σ}} log ∥m∥_{M_{σ}}c_{1}(∥.∥_{L_{σ}}) = 0. L’intérêt d’avoir fait apparaître ce dernier terme est que la valeur de l’expression < L̂.D > ainsi calculée est maintenant indépendante du choix de la section m de M.

Ainsi, ces formules définissent un nombre d’intersection < L̂, M̂ > pour deux fibrés en droites hermitiens quelconques. Si l et m sont des sections méromorphes de L et M dont les diviseurs n’ont pas de composante commune,

< L̂, M̂ >=< L̂.M̂ >_{fini} + ∑_{σ∈Φ} ϵ_{σ} < L̂.M̂ >_{σ}

avec

< L̂.M̂ >_{fini}= ∑_{x∈X} log #k(x).i_{x}(div(l), div(m))

où i_{x} désigne la multiplicité d’intersection locale classique de deux diviseurs (i_{x}(D, E) = lg(O_{X,x}/(f_{x}, g_{x})) si D et E sont définis localement par les équations f et g), et

< L̂.M̂ >_{σ}= − log ∥l∥_{L_{σ}}(div(m)_{σ}) − ∫_{X_{σ}} log ∥m∥_{M_{σ}}c_{1}(∥.∥_{L_{σ}}).

On vérifie sans peine que < ., . > est un accouplement bilinéaire symétrique de P̂ic(𝔛) dans ℝ.

On veut maintenant généraliser cet accouplement au cas de deux diviseurs. Un diviseur compactifié sur 𝔛 est la somme d’un diviseur de Weil D_{fini} sur X et d’une combinaison linéaire réelle de fibres à l’infini ∑_{σ∈Φ} λ_{σ}X_{σ}. Il nous suffira de trouver un moyen d’associer linéairement à un tel diviseur compactifié un fibré en droites hermitien. Le fibré en droites sous-jacent sera O_{X}(D_{fini}). Le choix des métriques sera déterminé par la condition de dépendance linéaire de leur forme de Chern par rapport au diviseur. En pratique, on suppose désormais que chaque X_{σ} est muni d’une mesure de probabilité dμ_{σ}, et on impose à la forme de Chern de la métrique d’être un multiple de dμ_{σ}. Cette condition définit la métrique ∥.∥_{σ} à une constante multiplicative près, qu’on détermine par la condition λ_{σ} = − ∫_{X_{σ}} log ∥m∥_{σ}dμ_{σ}, où m est la section canonique 1 de O_{X}(D_{fini}).

Plus généralement, une métrique ∥.∥_{σ} sur un fibré en droites L_{σ} sera dite admissible si c_{1}(∥.∥_{σ}) = deg L_{σ}dμ_{σ}.

Un diviseur compactifié sera dit principal s’il s’écrit

div(f) − ∑_{σ∈Φ} ∫_{X_{σ}} |f|_{σ}dμ_{σ}

pour f non nulle dans K(X). Les diviseurs compactifiés principaux forment un sous groupe P̂r(𝔛) de D̂iv(𝔛), dont le quotient est le groupe Ĉl(𝔛) des classes de diviseurs compactifiés sur 𝔛.

Théorème 5 L’application D̂iv(𝔛) → P̂ic(𝔛) définie précédemment passe au quotient, et induit un isomorphisme de Ĉl(𝔛) sur le sous-groupe de P̂ic(𝔛) formé des classes d’isométrie de fibrés en droites munis de métriques admissibles.

Soit P ∈ X_{σ}. Dire que O_{X_{σ}} est muni d’une métrique admissible normalisée ∥.∥ signifie que, si pour Q ∈ X_{σ} on note g_{P} (Q) = − log ∥1∥^{2}(Q), on a

dd^{c}g_{P} = dμ_{σ} − δ_{P}
∫_{X_{σ}} g_{P} dμ_{σ} = 0.

Une telle fonction g est appelée fonction de Green.

On vérifie que ces conditions imposent l’identité g_{P} (Q) = g_{Q}(P), ce qui permet de retrouver la symétrie de la forme d’intersection.

Si maintenant D = D_{fini} + ∑_{σ∈Φ} λ_{σ}X_{σ} est un diviseur compactifié sur 𝔛, et si ∑ n_{i}P_{i} est la trace de D_{fini} sur X_{σ}, la métrique sur O_{X}(D)_{σ} sera donnée par

∥1∥_{σ}(Q) = e^{−λ_{σ}− \frac{1}{2} ∑ n_{i}g_{P_{i}}(Q)}.

2.3 Formule d’adjonction et théorème de Riemann-Roch

La plupart des théorèmes classiques de la théorie des intersections sur une surface algébrique projective ont un analogue pour les surfaces arithmétiques. On se propose ici d’énoncer la formule d’adjonction et le théorème de Riemann-Roch dans le cas arakelovien.

Soit K = ω_{X/Spec O_{K}} le fibré canonique sur X. A l’infini on a (ω_{X/Spec O_{K}})_{σ} = Ω_{X_{σ}/ℂ}^{1} = O_{X_{σ}×X_{σ}}(−Δ)_{|Δ}, où Δ est la diagonale de X_{σ} × X_{σ}. Les fonctions de Green fournissent une métrique naturelle sur O_{X_{σ}×X_{σ}}(−Δ), par la formule ∥1∥^{2}(P, Q) = e^{g(P,Q)}, et cela définit une métrique ∥.∥_{σ} sur (ω_{X/Spec O_{K}})_{σ}. Si (ω_{k})_{k=1...g} est une base orthonormale de Ω_{X_{σ}/ℂ}^{1} pour le produit scalaire (ϕ, ψ) = (i/2) ∫_{X_{σ}} ϕ ∧ ψ̄, et si on pose dμ_{0,σ} = ∑_{k=1}^{g} ω_{k} ∧ ω̄_{k}, on vérifie que la forme de Chern de ∥.∥_{σ} est 2gdμ_{0,σ} − 2dμ_{σ} (voir [Ar] ou [La] II.2). Cette métrique est donc admissible si et seulement si dμ_{σ} = dμ_{0,σ}, ce qu’on supposera par la suite.

Sous ces hypothèses, on a la formule d’adjonction (voir [Ar], [La] IV, ou mon mémoire de DEA): soit A = O_{K} et E = Spec B un diviseur horizontal sur 𝔛, alors

< E.(E + K) >= d_{B/A}^{}= − log D_{B/A} + (1/2) ∑_{σ} ϵ_{σ}g(E_{σ}, E_{σ}).

Pour énoncer le théorème de Riemann-Roch, il nous faut disposer d’une caractéristique d’Euler-Poincaré. Si L̂ est un ℤ−module métrisé, on définit

χ̂(L̂) = − log \frac{vol(L ⊗_{ℤ} ℝ)}{#L_{tors}}.

Pour L̂ ∈ P̂ic𝔛, on veut alors définir

χ̂(L̂) = χ̂(H^{0}(L)) − χ̂(H^{1}(L)).

Une telle expression ne dépend en fait que du choix d’une métrique sur les det(H^{0}(L)) ⊗ det(H^{1}(L))_{σ}^{⊗−1}. Quand le diviseur fini D varie, les det(H^{0}(O(D)_{σ})) ⊗ det(H^{1}(O(D)_{σ}))^{⊗−1} s’identifient aux fibres d’un fibré en droites sur Jac_{X_{σ}} = J_{σ}, naturellement isomorphe au fibré O_{J_{σ}}(−Θ) (cette construction est esquissée dans [Fa]; pour plus de précisions, voir [La] VI ou mon mémoire de DEA). Ce fibré est muni canoniquement d’une métrique donnée par une fonction θ, c’est cette métrique que l’on choisit. On a alors le

Théorème 6 (Riemann-Roch) χ̂(L̂) − χ̂(Ô) = \frac{1}{2} < L̂.L̂ − ω̂_{X} > .

2.4 En dimension supérieure

On note 𝔛 la donnée d’un schéma X régulier, projectif et plat sur Spec O_{K}, de dimension relative n − 1, tel que X(ℂ) est lisse et muni d’une structure kählerienne. On dispose sur 𝔛 de groupes de Chow arithmétiques ĈH^{.}(𝔛), quotients des groupes Ẑ^{.}(𝔛) des cycles arithmétiques sur X. Ẑ^{p}(𝔛) est engendré par les couples (Z, g_{Z}) où Z est un cycle classique de codimension p sur X, et où g_{Z} est un courant de Green pour le cycle induit par Z sur X(ℂ), i.e. g_{Z} ∈ D^{p−1,p−1}(X(ℂ)) et il existe une forme lisse ω_{Z} de type (p, p) telle que

dd^{c}g_{Z} + δ_{Z} = ω_{Z}.

On dispose d’une forme d’intersection

ĈH^{p}(𝔛) × ĈH^{q}(𝔛) → ĈH^{p+q}(𝔛).

Deux difficultés se présentent: pour définir cette forme d’intersection, il faut d’abord disposer d’une bonne théorie des intersections sur une variété sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres ; ensuite, à l’infini, on voit apparaître un produit de distributions, qu’il s’agit de définir correctement.

On dispose en outre d’une théorie des classes caractéristiques, qui à tout fibré vectoriel hermitien (E, h) sur 𝔛 associe ĉh(E, h) ∈ ∑_{p} ĈH^{p}(𝔛)_{ℚ}, et en particulier d’une première classe de Chern arithmétique

ĉ_{1} : P̂ic(𝔛) → ĈH^{1}(𝔛).

Tout cela permet, suivant Faltings, de définir une théorie des hauteurs généralisant celle de Weil, Northcott... Si π est la projection 𝔛 → Spec^{}A, on dispose d’une application image directe π_{∗} : ĈH^{n}(𝔛) → ĈH^{1}(Spec^{}A), ainsi que de l’application degré sur Spec^{}A définie dans la première section. Si maintenant \overline{L} est un fibré ample hermitien, Z un cycle arithmétique de codimension p, on pose

h\overline{L}(Z) = d̂egπ_{∗}(ĉ_{1}(\overline{L})^{n−p}.Z).

Exemple : soient X = ℙn_{ℤ}, Z la fermeture du point (a_{0} : …: a_{n}) de X(ℚ), et L = O_{X}(1) muni de la métrique de Fubini-Study: si s = λ_{0}X_{0} + … + λ_{n}X_{n} ∈ Γ(L),

∥s∥_{F S}^{2} = \frac{(∑_{i=0}^{n} λ_{i}a_{i})^{2}}{∑_{i=0}^{n} a_{i}^{2}} .

On a alors

h_{F S}(a) = log \frac{\sqrt{a_{0}^{2} + … + a_{n}^{2}}}{pgcd(a_{0}, …, a_{n})}.

3 Hauteurs des sous-schémas

On commence par rappeler une simplification de la preuve par Hermite de la transcendance de e, telle qu’on peut la trouver dans [Ba].

Supposons e algébrique, c’est-à-dire vérifiant une équation

q_{0} + q_{1}e + … + q_{n}e^{n} = 0,

pour des entiers n > 0, q_{0} ≠ 0, q_{1}, …, q_{n}. Si p est un nombre premier fixé, on pose

f(x) = x^{p−1}(x − 1)^{p} … (x − n)^{p},
I(t) = ∫_{0}^{t} e^{t−u}f(u)du,
J = q_{0}I(0) + q_{1}I(1) + … + q_{n}I(n).

Par intégrations par parties successives, et en utilisant l’équation vérifiée par e, on trouve

J = − ∑_{j=0}^{m} ∑_{k=0}^{n} q_{k}f^{(j)}(k)

pour m = (n + 1)p − 1.

On dispose alors pour J de deux estimations, la première de nature arithmétique, la seconde de nature analytique.

Si p est assez grand, on voit que J est un multiple de (p − 1)! mais pas de p!, donc |J| ≥ (p − 1)!.

D’autre part, en majorant directement f par sa valeur absolue dans la définition de I, on trouve que |J| ≤ c^{p} pour une constante c indépendante de p.

Si p est assez grand, ces deux estimations sont contradictoires, et l’hypothèse que e est algébrique était absurde.

La plupart des preuves d’approximation diophantienne reposent sur le même principe : construction et estimation aux places finies et infinies de fonctions auxiliaires — c’est-à-dire de sections de fibrés inversibles de la forme L^{⊗n} sur une variété arithmétique 𝔛 — s’annulant, ainsi que certains de leurs jets, en des points donnés. De telles conditions d’annulation définissent des sous-schémas qui par construction même sont en général non réduits. La géométrie d’Arakelov telle qu’on l’a exposée précédemment fournit une théorie des hauteurs pour les cycles. Disposer d’une théorie des hauteurs schématiques, prenant en compte ce caractère non réduit, devrait améliorer la compréhension géométrique des techniques utilisées dans ce domaine.

Soient π : X → S un morphisme projectif de schémas (dans le cas qui nous intéresse, S = Spec O_{K} et X est une variété arithmétique projective sur S), L un faisceau inversible sur X et ample relativement à π, et Σ un sous-schéma de X, plat sur S, de polynôme de Hilbert P. Pour n entier assez grand, le faisceau cohérent π_{∗}L_{|Σ}^{⊗n} sur S est localement libre, et le morphisme “de restriction” π_{∗}L^{⊗n} → π_{∗}L_{|Σ}^{⊗n} est surjectif, donc définit une section sur S de la grassmannienne G_{P(n)}(π_{∗}L^{⊗n}) qui paramétrise les quotients de π_{∗}L^{⊗n} localement libres de rang P (n). Au moyen de cette construction, le schéma de Hilbert H = Hilb_{X/S}^{P} de X sur S pour P se plonge dans cette grassmannienne : ses sections sur S correspondent exactement aux quotients de rang P (n) de π_{∗}L^{⊗n} qui proviennent d’un tel sous-schéma Σ.

H est alors muni d’un fibré en droites ample naturel M_{n}, qui est la restriction du fibré en droites O(1) sur G_{P(n)}(π_{∗}L^{⊗n}), et donc dépend de L et de n. Les fibres de M_{n} en tout point s’obtiennent à l’aide de quotients et d’opérations tensorielles sur L. Plus précisément, si i : S → H est une section correspondant à un sous schéma Σ de X, on a

i^{∗}M_{n} = det π_{∗}L_{|Σ}^{⊗n}.

Si maintenant \overline{L} = (L, ∥.∥_{σ}) est métrisé, les quotients et les puissances tensorielles ou extérieures de L héritent naturellement de structures hermitiennes construites à partir de celles de L. On en déduit en particulier des métriques hermitiennes sur M_{n}, et on peut alors définir la n−ième hauteur schématique de Σ relativement à L comme la hauteur du point représentant Σ dans Hilb_{X/S}^{P} relativement à M_{n} muni de ces métriques.

Explicitement, si Σ est un sous-schéma de X, plat sur S, de polynôme de Hilbert P, on a

h_{\overline{L},n}^{Hilb}(Σ) = d̂eg(Λ^{P (n)}π_{∗}L_{|Σ}^{⊗n}).

Cette définition est simple, mais de nombreux problèmes apparaissent rapidement. Le plus important est celui de la dépendance en L et en n. Par exemple, il est raisonnable d’espérer qu’à L fixé, et quand n tend vers l’infini, la hauteur schématique de Σ s’écrira comme la somme d’un terme principal proportionnel à la hauteur du cycle associé et de termes secondaires qui seront des invariants arakeloviens plus subtils. En particulier, le fait que le calcul de cette hauteur fasse appel à des objets quotient d’objets obtenus globalement sur X laisse présager que la façon dont Σ se plonge dans X va jouer un rôle important. Ainsi, ces invariants secondaires devraient refléter divers phénomènes, comme des interactions des composantes de Σ avec ellesmêmes ou avec d’autres composantes, ou encore avec leurs cones tangents, etc.

Bibliographie

[Ar] S.Arakelov : Intersection theory of divisors on an arithmetic surface, Math. USSR Izv. 8 (1974)

[Ba] A.Baker : Transcendental number theory, Cambridge Math. Lib., Cambridge Univ. Press (1975)

[BoGS] J.-B.Bost, H.Gillet, C.Soulé : Heights of projective varieties and positive Green forms, Journ. AMS vol.7 n.4 (1994)

[Fa] G.Faltings : Calculus on arithmetic surfaces, Ann. of Math. 119 (1984)

[La] S.Lang : Introduction to Arakelov Theory, Springer Verlag (1988)

[SoABK] C.Soulé, D.Abramovich, J.-F.Burnol, J.Kramer : Lectures on Arakelov Geometry, Cambridge Stud. Adv. Math. 33, Cambridge Univ. Press (1992)

[Sz] L.Szpiro : Degrés, intersections, hauteurs, Astérisque 127 (1985).