Théorème de Riemann-Roch pour les surfaces arithmétiques

H.Randriam

Février 1997

Si A est l’anneau des entiers d’un corps de nombres K on appelle surface arithmétique sur A un schéma X de dimension 2, régulier, projectif et plat sur specA et dont la fibre générique X_{K} est une courbe lisse et géométriquement irréductible. On construit sur X une théorie de l’intersection conduisant à des résultats analogues à ceux qu’on trouve pour une surface algébrique.

Il s’agit d’associer à deux diviseurs D et E sur X un nombre d’intersection (D.E) vérifiant de bonnes propriétés. L’une de ces propriétés étant la linéarité, on pourra supposer D et E irréductibles. Considérant alors D comme un sous-schéma fermé de X on devra avoir (D.E) = (E.D) = deg_{D} O_{X}(E)|_{D}, pour un deg_{D} convenablement défini.

Il existe sur X deux sortes de diviseurs. D’abord les diviseurs verticaux, dont l’image est un point fermé y de Y, et qui sont en gros des courbes projectives sur le corps fini k(y), et sur lesquelles on dispose d’une application degré par la théorie classique. Mais on trouve aussi les diviseurs horizontaux, dont l’image est tout Y. Un tel diviseur peut se voir comme l’adhérence dans X d’un point fermé de X_{K}. Par le théorème de Chevalley, on peut aussi l’identifier au spectre d’un anneau B fini sur A. Cette situation est l’objet de la section suivante.

1 Géométrie d’Arakélov en dimension 1

Soit B un ordre d’un corps de nombres. On veut définir une application degré sur les faisceaux inversibles sur Y = specB. Par commodité on pourra supposer que B est intégralement clos, le cas général s’en déduisant sans grande difficulté.

On se rend compte de l’inefficacité des constructions classiques en remarquant par exemple que ℤ étant principal, tout faisceau inversible sur specℤ est trivial. Ou encore, puisque Divℤ est le groupe libre formé sur l’ensemble des nombres premiers, Divℤ ≃ ℚ_{+}^{∗}, et tout diviseur est principal. Cette obstruction se généralise, on peut l’interpréter comme un défaut de complétude de l’objet, par analogie par exemple avec le cas géométrique d’une courbe affine, de type fini sur un corps, qu’on est amené à compléter en une courbe projective.

1.1 L’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions

Dans le cas géométrique, c’est-à-dire si C est un schéma intègre de dimension 1 projectif sur un corps k, D un diviseur effectif sur C, deg D est la somme des degrés locaux deg_{p} D = dim_{k}(O_{C,p}/s_{p}) où s est une équation locale de D. Si de plus O_{C,p} est régulier, c’est un anneau de valuation discrète, et deg_{p} D = dim_{k}(k(p)).v_{p}(s). Si maintenant f est une fonction méromorphe sur C, donc définit un diviseur principal, la complétude de C implique que deg(f) = ∑_{p} dim_{k}(k(p)).v_{p}(f) = 0.

Cette formule a un analogue si on remplace C par l’anneau B des entiers d’un corps de nombres F, la formule du produit: si f ∈ F, on a ∑_{𝔭} log N(𝔭).v_{𝔭}(f) − ∑_{v∈S_{∞}} ϵ_{v} log |f|_{v} = 0 où S_{∞} est l’ensemble des places à l’infini de B, c’est-à-dire les plongements de F dans ℂ modulo la conjugaison complexe, ϵ_{v} = 1 ou 2 selon que v est réelle ou complexe, |f|_{v} = |σ(f)| pour σ représentant v, ℝ et ℂ étant munis de la valeur absolue usuelle.

On complète alors Y = specB en lui rajoutant S_{∞}. On définit un diviseur (compactifié) comme une somme D = D_{f} + D_{∞} où D_{f} = ∑_{𝔭} m_{𝔭}.𝔭 est un diviseur de Weil usuel, et D_{∞} = ∑_{v∈S_{∞}} r_{v}.v, avec r_{v} ∈ ℝ. Son degré est ∑ m_{𝔭} log N(𝔭) + ∑ r_{v}. Un diviseur est principal s’il est de la forme ∑ v_{𝔭}(a).𝔭 − ∑ ϵ_{v} log |a|_{v}.v, pour a ∈ F; il est donc de degré nul. Tous ces ensembles sont munis naturellement de structures de groupe, et leur quotient définit le groupe Cl_{c}(Y) des classes de diviseurs complétés de Y.

On peut aussi considérer ce groupe de façon naturelle comme un quotient du groupe des idèles de F, mais nous n’adopterons pas ce point de vue.

Soit D = D_{f} + ∑_{v} r_{v}.v. Si s est une section globale de L = O_{Y} (D_{f}) ⊂ F on peut réécrire deg D = log #Γ(L/s.O_{Y}) − ∑_{v}(ϵ_{v} log |s|_{v} − r_{v}) = deg L. Cette définition s’étend naturellement au cas d’un faisceau inversible L quelconque, dès que les L⊗_{v} ℂ, qui sont des espaces vectoriels de dimension 1 sur ℂ, sont munis de métriques hermitiennes. Il est alors facile de voir qu’on a un isomorphisme de Cl_{c}(Y) sur le groupe de Picard compactifié Pic_{c}(Y), formé des classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur Y. La flèche dans un sens est celle qui à D associe O_{Y} (D_{f}) muni à l’infini de exp(−r_{v}/ϵ_{v}) fois les métriques triviales. Réciproquement, si L représente un élément de Pic_{c}(Y), on choisit s une section globale de L, on prend pour D_{f} le diviseur de s au sens usuel, et r_{v} = −ϵ_{v} log |s|_{v}; le diviseur ainsi obtenu ne dépend des choix faits qu’à un diviseur principal près.

L’avantage de cette construction est que Pic_{c}(Y) est encore bien défini même si B n’est plus intégralement clos. Dans ce cas la version suivante de la formule du produit reste valable: log[B : fB] − ∑_{v∈S_{∞}} ϵ_{v} log |f|_{v} = 0, où f ∈ F, et [B : fB] est l’indice (généralisé) de fB dans B. Cela permet encore de définir le degré sur Pic_{c}(Y).

1.2 Caractéristique d’Euler-Poincaré et théorème de Riemann-Roch

Une courbe C et un faisceau inversible L sur C étant donnés, un problème classique est de déterminer le nombre de sections globales de L. Une bonne approximation en est la caractéristique d’Euler-Poincaré χ(L), qui est en outre un invariant plus maniable. Une section s de L est globalement définie si sa valuation en tout point est positive. Cette notion se transpose naturellement au cas arithmétique en imposant en outre à s d’être de norme au plus 1 en toute place à l’infini.

Soit maintenant L un élément de Pic_{c}(Y). Pour v ∈ S_{∞} on notera L_{v} = L ⊗_{v} ℝ ou L ⊗_{v} ℂ selon que v est réelle ou complexe. Les métriques à l’infini de L permettent de définir une mesure de Haar sur chaque L_{v}, par exemple en imposant que la boule unité soit de mesure 2 dans le cas réel, 2π dans le cas complexe (et non pas π: ce facteur 2, tout comme les ϵ_{v}, tient son origine au fait qu’on ne considère que la moitié des plongements complexes). On obtient ainsi une mesure sur leur produit Γ(L)_{ℝ} = Γ(L) ⊗_{ℤ} ℝ = Π_{v}L_{v}, dans lequel Γ(L) est un réseau, et il est naturel d’étudier son covolume. Plus précisément on pose χ_{0}(L) = − log mes(Γ(L)_{ℝ}/Γ(L)) la caractéristique d’Euler-Poincaré absolue de L. Une application immédiate des définitions permet alors d’établir la formule de Riemann-Roch:

χ_{0}(L) = deg(L) + χ_{0}(O),

où O est le faisceau O_{Y} muni des métriques triviales.

Introduisons maintenant un formalisme un peu plus général. Si M est un groupe abélien de type fini, et que M_{ℝ} = M ⊗_{ℤ} ℝ est muni d’une mesure de Haar, on pose χ_{0}(M) = − log(mesM_{ℝ}/M)+log #M_{tors}. Remarquons que la donnée d’une mesure de Haar sur M_{ℝ} équivaut à celle d’une norme sur det M_{ℝ} = Λmax_{ℝ}M_{ℝ}. Dans le cas particulier où M est entièrement de torsion on a M_{ℝ} = 0, donc det M_{ℝ} = ℝ, et la donnée d’une telle mesure revient à celle d’un réel strictement positif. On notera 0 le groupe nul muni de la mesure triviale.

Une suite 0 → M^{0} → M^{1} → … → M^{n} → 0 sera dite exacte si elle est exacte dans la catégorie des groupes et si l’isomorphisme canonique ℝ = ⨂_{i}(det M i_{ℝ})^{⊗(−1)^{i}} induit la mesure triviale sur ℝ. Un petit calcul montre que χ_{0} est additive sur les suites exactes courtes.

Si M → N est une injection, le conoyau P sera le quotient usuel M/N au sens des groupes, muni de l’unique mesure rendant la suite (métrisée) 0 → M → N → P → 0 exacte.

Revenons à la formule de Riemann-Roch. La donnée d’une section s de Γ(L) induit une injection (non isométrique) s : O → L, dont le conoyau P est entièrement de torsion, et dont la mesure est donc donnée par un réel, plus précisément le produit des |s|_{v}^{ϵ_{v}}. On trouve alors facilement deg L = χ_{0}(P), et la formule de Riemann-Roch telle qu’elle a été énoncée est une traduction de l’additivité de χ_{0}.

1.3 Le cas relatif

Les définitions précédentes ne tiennent pas compte de l’anneau de base A qu’on s’était fixé au début. Rappelons que A est l’anneau des entiers d’un corps de nombres.

Pour tout A-module M muni d’une structure de groupe mesuré, posons χ(M) = χ_{0}(M) − rg_{A}(M)χ_{0}(A), où A est muni à l’infini des métriques triviales. Remarquons que χ est encore additive, χ(A) = 0 et que si K′ est une extension finie de K d’anneau d’entiers A′, on a χ′(M ⊗_{A} A′) = [K′ : K]χ(M).

Il peut être utile de calculer le terme χ_{0}(A) éliminé, ou plus généralement χ_{0}(B) pour tout anneau B fini sur ℤ, avec les métriques triviales.

Lemme 1 χ_{0}(B) = −(1/2)d_{B} = −(1/2) log D_{B} où D_{B} est le discriminant absolu de B.

Demonstration: Soit e_{1}, …, e_{n} est une base de B sur ℤ, on a D_{B} = | det_{i,j} Tr_{B/ℤ}(e_{i}e_{j})| = | det_{i,j} σ_{i}(e_{j})|^{2} où les σ_{i} parcourent tous les plongements de B dans ℂ. En ajoutant et retranchant des lignes, on peut séparer les plongements complexes en partie réelle et partie imaginaire, avec apparition d’un facteur 2^{r_{2}} (r_{2}=nombre de places complexes). Compte tenu des normalisations, c’est exactement le covolume de B dans B_{R}.

Pour B fini sur A on pose d_{B/A} = log D_{B/A} où D_{B/A} est le discriminant relatif de B sur A. La formule d’associativité du discriminant donne d_{B/A} = d_{B} − [B : A]d_{A} et alors on obtient une version relative du théorème de Riemann-Roch:

Théorème 1 Pour tout faisceau inversible hermitien L sur B on a χ(L) = deg L + χ(B), avec χ(B) = −(1/2)d_{B/A}.

2 Retour à la dimension 2

Soit maintenant X une surface arithmétique sur Y = specA, A l’anneau des entiers d’un corps de nombres K. On commence par compléter Y comme dans la partie précédente. Pour v ∈ S_{∞}, on considérera alors la surface de Riemann compacte X_{v} = X_{K} ⊗_{v} ℂ comme la fibre de X → Y au-dessus de v.

Si D = specB est un diviseur horizontal sur X, les points P_{v,i} induits par D sur les X_{v} s’identifient aux places à l’infini de B. Soit L un faisceau inversible sur X. L induit un faisceau inversible L_{v} sur les X_{v}. Pour calculer deg_{D} L|_{D}, on aura besoin de supposer que ce faisceau est métrisé, donc que la fibre de L_{v} en tout P_{v,i} est munie d’une métrique hermitienne. Cela conduit à la définition suivante:

Définition 1 Un faisceau inversible hermitien sur X est la donnée d’un faisceau inversible L sur X, et pour chaque v d’une métrique hermitienne sur L_{v} variant de façon C^{∞}.

2.1 Préliminaires

On donne ici quelques résultats classiques, de nature analytique, et qui seront utilisés par la suite. On pourra en trouver les démonstrations par exemple dans [Gr-H].

Soit V une variété analytique complexe compacte. La décomposition en parties holomorphe et antiholomorphe du fibré cotangent de V fournit une décomposition A^{n}(V) = ⨁_{p+q=n} A^{p,q}(V) des espaces de formes différentielles sur V suivant leur type. La différentielle d envoie A^{p,q} sur A^{p+1,q}⊕A^{p.q+1}. On note ∂ et ¯∂ les composées de d avec les projections sur les premier et deuxième facteurs. On a d = ∂+ ¯∂, et on définit d^{c} = (i/4π)(¯∂−∂) de telle sorte que dd^{c} = −d^{c}d = (i/2π)∂ ¯∂.

Une métrique hermitienne sur V est la donnée d’un produit hermitien sur son fibré tangent holomorphe. Une telle métrique s’écrit localement ds^{2} = ∑_{k,l} h_{k,l}dz_{k} ⊗ dz̄_{l}, avec h définie positive. Sa (1, 1)-forme associée est ω = −1/2.Im(ds^{2}) = (i/2) ∑_{k,l} h_{k,l}dz_{k} ∧ d̄z_{l}. Plus généralement, une telle forme sera dite positive. V sera dite kählerienne si ω est fermée. Toute surface de Riemann, toute variété analytique projective est kählerienne.

Soit L un faisceau inversible sur V. Si L est muni d’une métrique ∥.∥, U un ouvert de V et s une section (holomorphe) de L sur U ne s’annulant pas, la (1, 1)-forme sur U définie par K = −∂ ¯∂log ∥s∥^{2} ne dépend pas du choix de s. Par recollement on obtient une (1, 1)-forme globale, la courbure de (L, ∥.∥). On appelera c_{1}(∥.∥) = (i/2π)K la forme de Chern associée à la métrique ∥.∥ sur L. Deux métriques ayant même forme de Chern sont proportionnelles. La classe de cohomologie (de de Rham) de c_{1}(∥.∥) ne dépend pas du choix de la métrique ∥.∥. On la notera c_{1}(L), c’est la (première) classe de Chern de L.

Le théorème suivant est une conséquence de la théorie de Hodge:

Théorème 2 Si V est kählerienne, toute (1, 1)-forme de classe de cohomologie c_{1}(L) est la forme de Chern d’une métrique sur L.

Application: si S est une surface de Riemann compacte munie d’une forme volume ω, tout fibré inversible sur S admet une métrique dont la forme de Chern est un multiple de ω.

On dispose d’une autre caractérisation de c_{1}(L). Notons [L] la classe de L dans Pic(V) = H^{1}(V, O^{∗}). Alors

Théorème 3 Avec les notations précédentes on a

1. c_{1}(L) est l’image de [L] par l’application H^{1}(V, O_{V}^{∗}) → H^{2}(V, ℤ) induite en cohomologie de la suite exacte exponentielle 0 → ℤ → O_{V} → O_{V}^{∗} → 0.

2. Si L = O_{V} (D) pour D ∈ Div(V), c_{1}(L) est duale de la classe d’homologie de D.

Corollaire 1 Soit L un faisceau inversible muni d’une métrique hermitienne ∥.∥, et s une section méromorphe de L, D = div(s) son diviseur. Alors −dd^{c} log ∥s∥^{2} = c_{1}(∥.∥) − δ_{D} où δ_{D} est le courant de Dirac en D, le tout étant défini par dualité sur les formes de degré dimV − 2.

2.2 Intersection, métriques permises

On va maintenant voir comment le nombre d’intersection d’un diviseur horizontal et d’un faisceau inversible hermitien sur la surface arithmétique X peut s’étendre naturellement au cas de l’intersection de deux faisceaux, puis de deux diviseurs.

Soit D un diviseur horizontal irréductible. D est un sous-schéma fermé de X, et est affine, d’anneau B fini sur l’anneau de base A. On note j : specB → X l’immersion correspondante, et F = FracB. Pour toute v ∈ S_{∞} place à l’infini de A, soit D_{v} = (P_{v,i}) le diviseur sur X_{v} induit par D. Les P_{v,i} sont naturellement en bijection avec les places de B au-dessus de v. Si L est un faisceau inversible hermitien sur X on définit (D.L) = deg_{B} j^{∗}L. Sans perte de généralité on peut supposer que L possède une section globale l, de diviseur irréductible. Alors j^{∗}l est une section globale de j^{∗}L, et par définition du degré on a (D.L) = (D.L)_{fin} +(D.L)_{∞} avec (D.L)_{fin} = log #Γ(j^{∗}L/j^{∗}l) et (D.L)_{∞} = − ∑_{v,i} ϵ_{v} log ∥l∥_{v}(P_{v,i}) = − ∑_{v} ϵ_{v} log ∥l∥_{v}(D_{v}).

On remarque que (D.L)_{fin} est le nombre d’intersection défini classiquement, c’est-à-dire que si m désigne la section 1 de O_{X}(D) on a (D.L)_{fin} = ∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(l_{x}, m_{x})), après le choix en chaque x d’une trivialisation des faisceaux. Il est naturel de se demander comment se comporte l’expression de (D.L) si on choisit une autre section f ∈ Γ(X, O_{X}) de O_{X}(D).

Soit D′ le diviseur de l, et supposons-le horizontal, d’anneau B′ de corps de fractions F′. Le terme fini varie de ∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(l_{x}, f_{x})) = − ∑_{𝔭′∈specB′} |f|_{𝔭′}.

Par la formule du produit appliquée à F′ c’est égal à − ∑_{v} ϵ_{v} log |f|_{v}(D′_{v}). Le terme à l’infini, lui, varie de − ∑_{v} ϵ_{v} log ∥l∥_{v}((div(f))_{v}).

Mais: log |f|_{v}(D′_{v}) = ∫_{X_{v}} log |f|_{v}δ_{D′_{v}} = ∫_{X_{v}} log |f|_{v}c_{1}(L, ∥.∥)+∫_{X_{v}} log |f|_{v}dd^{c} log ∥l∥_{v}^{2}.

Et de la même façon: log ∥l∥_{v}((div(f))_{v}) = ∫_{X_{v}} log ∥l∥_{v}dd^{c}|f|^{2} = ∫_{X_{v}} log |f|_{v}dd^{c} log ∥l∥_{v}^{2}.

On trouve finalement que (D.L) vaut

∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(l_{x}, f.m_{x}))−∑_{v} ϵ_{v} log ∥l∥_{v}((D+(f))_{v})−∑_{v} ϵ_{v} ∫_{X_{v}} log |f|_{v}c_{1}(L, ∥.∥)

où m est la section 1 de O_{X}(D). On remarque que la dernière intégrale peut se réécrire ∫_{X_{v}} log ∥f.m∥_{v}c_{1}(L, ∥.∥) où on a muni chaque O_{X}(D)_{v} de n’importe quelle norme pour laquelle ∫_{X_{v}} log ∥m∥_{v}c_{1}(L, ∥.∥) = 0

On est alors amené à poser la

Définition 2 Soient L et M deux faisceaux inversibles hermitiens sur X, admettant des sections globales l et m. Le nombre d’intersection (L.M) est

(L.M) = ∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(l_{x}, m_{x})) + ∑_{v} ϵ_{v}(L.M)_{v}

où

(L.M)_{v} = − log ∥l∥_{L_{v}}(div(m)) − ∫_{X_{v}} log ∥m∥_{M_{v}}c_{1}(∥.∥_{L_{v}})

La valeur de cette expression est par construction indépendante du choix des sections. On vérifie de plus sans peine qu’elle est bilinéaire et symétrique en L et M.

On doit maintenant étendre cette définition à l’intersection de deux diviseurs.

On définit un diviseur (compactifié) sur X comme la somme d’un diviseur de Weil et d’une combinaison linéaire réelle de fibres à l’infini. On obtient ainsi le groupe Div_{c}(X).

Il faut alors associer à tout diviseur D = D_{f} + D_{∞} un faisceau inversible hermitien O(D). Ce faisceau sera bien sûr O_{X}(D_{f}), mais comment choisir les métriques? La bilinéarité de l’intersection impose que l’application qui a un diviseur D associe la forme de Chern de sa métrique doit être additive. Le moyen le plus simple d’y arriver est de se fixer une forme volume dμ_{v} de poids 1 sur chaque X_{v}, et d’imposer que les formes de Chern soient des multiples de dμ_{v}. On dira plus généralement qu’un faisceau inversible hermitien est admissible s’il vérifie cette condition.

Remarque: en intégrant sur X on voit que le coefficient de proportionnalité est deg_{X_{v}} D_{v} (qui ne dépend pas de v).

On ne considérera désormais que des faisceaux admissibles.

La forme de Chern détermine la métrique à une constante près, on doit alors la normaliser en imposant (comme on l’a remarqué précédemment) que ∫ log ∥s_{0}∥_{v}dμ_{v} = 0, si D = D_{f} n’a pas de composante à l’infini, et où s_{0} est la section 1 de O_{X}(D). On convient alors comme en dimension 1 que la présence d’un terme r_{v}.X_{v} multiplie la métrique ∥.∥_{v} par un facteur exp(−r_{v}/ϵ_{v}).

Un diviseur D sera dit principal si le faisceau hermitien O(D) est isomorphe au faisceau trivial. Alors la partie finie de cet isomorphisme sera donnée par la multiplication par une fonction méromorphe f. On pourra alors écrire D = (f) = (f)_{fini} + ∑_{v} r_{v}.X_{v}, et la condition pour qu’on ait une isométrie est que r_{v} = −ϵ_{v} ∫_{X_{v}} log |f|_{v}dμ_{v}.

Les métriques dμ_{v} étant fixées, on définit Cl_{c}(X) comme le quotient de Div_{c}(X) par les diviseurs principaux. Soit d’autre part Pic_{c}(x) le groupe des classes d’isométrie de faisceaux admissibles. On a alors construit un isomorphisme canonique de Cl_{c}(X) sur Pic_{c}(x).

Soit S une surface de Riemann compacte munie d’une forme volume dμ de poids 1, D = ∑_{k} n_{k}P_{k} un diviseur sur S, deg D = ∑_{k} n_{k}. Si P ∈ S on définit g_{P} l’unique fonction (“fonction de Green”) sur S vérifiant

1. dd^{c}g_{P} = dμ − δ_{P}

2. ∫_{S} g_{P} dμ = 0

Plus généralement soit g_{D} = ∑_{k} n_{k}g_{P_{k}}, on a dd^{c}g_{D} = deg(D)dμ − δ_{D} et ∫_{S} g_{D}dμ = 0. Enfin on vérifie que si g(P, Q) = g_{P} (Q) on a g_{P} (Q) = g_{Q}(P).

Si on pose G(P, Q) = exp(−(1/2)g(P, Q)), on peut définir une métrique sur O_{S}(P) par ∥1∥_{O_{S}(P)}(Q) = G(P, Q), et plus généralement une métrique sur O_{S×S}(Δ) par ∥1∥_{O(Δ)}(P, Q) = G(P, Q), où Δ est la diagonale de S × S.

On peut alors rendre un peu plus explicite le calcul du nombre d’intersection de deux diviseurs irréductibles.

Si D est une fibre à l’infini, et si E est vertical ou une fibre à l’infini, (D.E) = 0.

Si D est une fibre à l’infini et si E est horizontal, (D.E) = deg_{X_{K}} E|_{X_{K}} où X_{K} est la fibre générique de X → Y.

Si D et E sont finis, (D.E) = (D.E)_{fini} + (D.E)_{∞} avec:

(D.E)_{fini} = ∑_{x∈X} log #(O_{X,x}/(d_{x}, e_{x})) = ∑_{x∈X} m(D, E, x) log #k(x) pour d et e des équations locales de D et E en x et m(D, E, x) la multiplicité d’intersection usuelle, et

(D.E)_{∞} = \frac{1}{2} ∑_{v} ϵ_{v}g_{v}(D_{v}, E_{v}).

2.3 Formule d’adjonction

Soit ω_{X/Y} le faisceau canonique de X sur Y. La formule d’adjonction classique donne pour tout diviseur horizontal E l’identité ω_{X/Y} ⊗O_{X}(E)|_{E} = ω_{E/Y}, et il s’agit de calculer le degré sur E de ω_{E/Y}. Dans le cas géométrique (une surface sur un corps k algébriquement clos) on trouverait 2g(E) − 2.

Soit U l’ouvert de lissité de X → Y. Alors, sur U, ω_{X/Y} s’identifie au faisceau Ω_{X/Y}^{1} des différentielles de Kähler de X sur Y. Supposons pour simplifier que E soit à support dans U. On pose E = specB, avec B entier sur A. On considère la suite conormale 0 → O_{X}(−E)|_{E} → Ω_{X/Y}^{1} |_{E} → Ω_{E/Y}^{1} → 0.

Ω_{E/Y}^{1} = Ω_{B/A}^{1} est de torsion. En fait si localement B peut s’écrire B = A[α], α entier de polynôme minimal P, on a Ω_{B/A}^{1} ≃ B/P′(α). Mais P′(α) est aussi un générateur local de la différente de B sur A. On a donc #Ω_{B/A}^{1} = D_{B/A}, le discriminant de B sur A.

Si s est une section de O_{X}(−E)|_{E}, on notera aussi s la section induite dans Ω_{X/Y}^{1} |_{E}. Les calculs des degrés sur E de O_{X}(−E)|_{E} et Ω_{X/Y}^{1} |_{E} seront faits relativement à s. On peut alors séparer partie finie et partie infinie, et on trouve (ω_{X/Y} .E)_{fini} + (E.E)_{fini} = log #(Ω_{X/Y}^{1} |_{E}/s) − log #(O_{X}(−E)|_{E}/s) = log #Ω_{B/A}^{1} = d_{B/A} où d_{B/A} est le discriminant logarithmique.

Pour calculer le terme à l’infini, il faut que ω_{X/Y} soit métrisé. Fixons une place à l’infini v, et soit S la surface de Riemann X_{v}. (ω_{X/Y})_{v} s’identifie à Ω_{S/ℂ}^{1} = O_{S×S}(−Δ)|Δ, où Δ est la diagonale de S × S. Une forme volume dμ sur S étant fixée, les fonctions de Green définissent une métrique sur O_{S×S}(−Δ), par la formule ∥1∥(P, Q) = 1/G^{(dμ)}(P, Q), et il est naturel de munir Ω_{S/ℂ}^{1} de la métrique induite. Mais un problème se pose: le faisceau hermitien ainsi obtenu est-il toujours admissible?

On munit Γ(S, Ω_{S/ℂ}^{1}) du produit scalaire < ϕ, ψ >= (i/2) ∫_{S} ϕ ∧ ψ̄, et soit ω_{1}, …, ω_{g} une base orthonormale. Un petit calcul montre alors qu’on a sur S × S , là où c’est défini:

−dd^{c} log(\frac{1}{G^{(dμ)}} )^{2} = −dd^{c}g^{(dμ)} = −p_{1}^{∗}dμ−p_{2}^{∗}dμ+\frac{i}{2} ∑_{k=1}^{g}(p_{1}^{∗}ω_{k}∧p_{2}^{∗}ω̄_{k}+p_{1}^{∗}ω̄_{k}∧p_{2}^{∗}ω_{k}).

En tirant par Δ on voit donc que la forme de Chern de la métrique induite sur Ω_{S/ℂ}^{1} est 2g.dμ_{0} − 2dμ, où

dμ_{0} = \frac{i}{2g} ∑_{k=1}^{g} ω_{k} ∧ ω̄_{k}

(remarquer au passage que cette expression est indépendante du choix de la base orthonormale; on retrouve aussi deg_{S}(Ω_{S/ℂ}^{1}) = 2g − 2). On appellera dμ_{0} la forme volume naturelle de S.

Une condition nécéssaire et suffisante pour que le faisceau ω_{X/Y} muni des métriques induites soit admissible est alors que chaque X_{v} soit muni de sa forme volume naturelle. C’est ce que nous supposerons désormais.

On a une caractérisation plus fine de ces métriques admissibles. L’isomorphisme Ω_{S/ℂ}^{1} ≃ O_{S×S}(−Δ)|_{Δ} est canonique, envoyant df sur 1⊗f −f ⊗1. Si G est la fonction de Green sur S × S, et P ∈ S, on a par définition

∥df∥_{P} = lim_{z_{1},z_{2}→P} G(z_{1}, z_{2})|f(z_{2}) − f(z_{1})|

donc si f s’annule en P

∥df∥_{P} = lim_{z→P} G_{P} (z)|f(z)|.

Si on pose ω = df, et si h est une fonction ayant un pôle simple en P, hω ∈ Ω_{S/ℂ}^{1}(P) = Ω_{S/ℂ}^{1} ⊗ O_{S}(P), et on trouve

∥hω∥_{P} = lim_{P} \frac{|h|}{G_{P}} ∥ω∥_{P} = lim_{P} |hf| = |Res_{P} hω|.

Ainsi pour tout P l’application résidu Ω_{S/ℂ}^{1}(P)|_{P} ≃ ℂ est une isométrie.

On peut alors revenir au calcul de (ω_{X/Y} .E)_{∞}+(E.E)_{∞} = ∑_{v} ϵ_{v}((ω_{X/Y} .E)_{v}+ (E.E)_{v}). Fixons une place v, et soit E_{v} = ∑_{k} P_{v,k} la décomposition de E sur X_{v}. Alors on aura par définition (ω_{X/Y} .E)_{v}−(−E.E)_{v} = − ∑_{k} log ∥s∥_{v}^{(1)}(P_{v,k})+ ∑_{k} log ∥s∥_{v}^{(2)}(P_{v,k}).

Par construction la première norme provient de l’isomorphisme (ω_{X/Y})_{v} ≃ O(−Δ)|_{Δ}, donc induit pour tout k une isométrie de (ω_{X/Y})_{v}|_{P_{v,k}} sur O_{X_{v}}(−P_{v,k})|_{P_{v,k}}.

L’autre norme est celle de O_{X_{v}}(−E_{v}) = O_{X_{v}}(− ∑_{j} P_{v,j}).

On passe de O_{X_{v}}(−P_{v,k}) à O_{X_{v}}(− ∑_{j} P_{v,j}) en divisant les normes par Π_{j≠k}G_{P_{v,j}}(.). En prenant les log et en sommant sur les P_{v,k} on trouve

(ω_{X/Y} .E)_{∞} + (E.E)_{∞} = (1/2) ∑_{v} ϵ_{v} ∑_{j≠k} g(P_{v,j}, P_{v,k})

(rappelons que g = − log G^{2}).

Avec un peu plus de matériel on verrait que ce résultat reste valable pour un E horizontal quelconque, d’où le

Théorème 4 Soit ω_{X/Y} le faisceau canonique de X sur Y muni des métriques naturelles, alors pour tout diviseur horizontal E on a

(ω_{X/Y} .E) + (E.E) = d_{E/Y,fini} + d_{E/Y,∞}

où d_{E/Y,fini} est le discriminant logarithmique de E sur Y et où, si D_{v} = ∑_{k} P_{v,k} est la décomposition de D à l’infini, d_{E/Y,∞} = ∑_{v} ϵ_{v} ∑_{j<k} g(P_{v,j}, P_{v,k}).

3 Le théorème de Faltings-Riemann-Roch

Si X est une surface algébrique sur un corps algébriquement clos, ω_{X} son faisceau canonique, le théorème de Riemann-Roch donne pour tout diviseur D la formule χ(D) − χ(O_{X}) = 1/2.(D.D − ω_{X}). On souhaite l’étendre au cas où X est une surface arithmétique.

Si X n’est pas compactifiée, pour tout faisceau L sur X on dispose de H^{0}(X, L) et H^{1}(X, L), mais le H^{2} est nul car X est de dimension relative 1 sur Y qui est affine.

Après compactification de X et métrisation de L, il est naturel de poser χ(L) = χ(H^{0}(X, L)) − χ(H^{1}(X, L)) où comme précédemment on définit pour tout A-module M χ_{0}(M) = − log Vol(M_{ℝ}/M))+log #M_{tors} et χ(M) = χ_{0}(M) − rg_{A}(M). Bien sûr cela suppose qu’on ait un volume sur H0_{ℝ} et sur H1_{ℝ}, c’est-à-dire une métrique sur det H0_{ℝ} et sur det H1_{ℝ}, ou, plus précisément, comme seul compte le quotient des volumes, il suffit de définir une métrique sur (det H^{0})⊗(det H^{1})⊗−1_{ℝ}, ou encore pour chaque place v une métrique sur (det H^{0}) ⊗ (det H^{1})_{v}^{⊗−1}.

On remarque qu’alors χ est additive sur les suites exactes courtes de faisceaux inversibles hermitiens.

3.1 Le déterminant de la cohomologie

On fixe une place v, et soit S = X_{v} muni de sa forme volume naturelle. Si L est un faisceau inversible hermitien admissible sur S, on pose λ(L) = det(H^{0}(S, L)) ⊗ det(H^{1}(S, L))^{⊗−1}, qu’on veut métriser.

On impose aux métriques de vérifier les conditions suivantes:

1. si la métrique de L est multiplié par un facteur α > 0, la métrique de λ(L) est multipliée par α^{h_{0}−h_{1}}

2. pour tout P ∈ S la suite exacte 0 → L(−P) → L → L|_{P} → 0 induit une isométrie λ(L) = λ(L(−P)) ⊗ L|_{P}

3. par dualité de Serre, H^{1}(Ω_{S}) = ℂ canoniquement, donc λ(Ω_{S}) = det Γ(S, Ω_{S}), et on le munit de la métrique induite par le produit scalaire.

4. la métrique de λ(L) ne dépend que de la classe d’isométrie de L

Une telle métrique, si elle existe, est unique. En effet, après ajustement des métriques, on peut supposer L = O_{S}(D), puis en retranchant ou ajoutant des points, on se ramène au diviseur trivial.

Reste à montrer l’existence. Pour cela, il suffit de vérifier la dernière propriété, et cela sera fait dès qu’on aura pu montrer que si deux diviseurs D et D′ sont linéairement équivalents, on a une isométrie de λ(O_{S}(D)) sur λ(O_{S}(D′)). Quitte à retrancher ou enlever des points, on peut supposer que D et D′ sont de degré g − 1.

On peut trouver un entier r, puis un diviseur E de degré r + g − 1 tels que E − D et E − D′ soient effectifs. E étant fixé, on a une application ϕ : X^{r} → Pic_{g−1}(S) qui envoie (P_{1}, …, P_{r}) sur O(E − P_{1} − … − P_{r}). Il nous suffit alors de trouver un faisceau hermitien H sur Pic_{g−1}(S) tel que la fibre en tout point (P_{1}, …, P_{r}) de ϕ^{∗}H soit λ(O(E − P_{1} − … − P_{r})) muni de la métrique induite.

Posons J = Pic_{g−1}(S), et soit L le faisceau de Poincaré sur S × J, ν la projection S × J → J. Si F est un diviseur sur S de degré assez grand, on note aussi F le diviseur F × J sur S × J, et alors la suite exacte courte 0 → L → L(F) → L(F)|_{F} → 0 induit une suite exacte à 4 termes

0 → ν_{∗}L → ν_{∗}(L(F)) → ν_{∗}(L(F)|_{F}) → R^{1}ν_{∗}L → 0.

Les termes du milieu sont localement libres de rang deg F. D’un autre côté, si |D| est un point de J et qu’on regarde les faisceaux induits sur la fibre S × |D|, on obtient de la même façon une suite exacte

0 → H^{0}(S, O_{S}(D)) → ν_{∗}(L(F))|_{|D|} → ν_{∗}(L(F)|_{F})|_{|D|} → H^{1}(S, O_{S}(D)) → 0,

d’où un isomorphisme

λ(O_{S}(D)) ≃ (det(ν_{∗}(L(F))) ⊗ det(ν_{∗}(L(F)|_{F}))^{⊗−1})|_{|D|}.

Si β est l’application ν_{∗}(L(F)) → ν_{∗}(L(F)|_{F}), on a

det(ν_{∗}(L(F))) ⊗ det(ν_{∗}(L(F)|_{F}))^{⊗−1} ≃ O_{J}(−W),

où W est le diviseur des zéros de det β.

D’autre part soit Θ le diviseur sur J parmétrant les diviseurs ayant des sections globales. D’après ce qui précède, Θ et W ont même support. Une étude plus fine (voir par exemple [A-C-G-H]) montrerait qu’ils sont aussi irréductibles et réduits, donc égaux.

Le faisceau cherché est donc O_{J}(−Θ), la section 1 de O_{J}(−Θ) hors de Θ s’envoyant sur l’élément 1 de ℂ = λ(O_{S}(D)) si h^{0}(D) = h^{1}(D) = 0. Ce faisceau possède une métrique canonique, donnée par une fonction theta.

Si (P_{1}, …, P_{r}) est un point de X^{r}, on a une isométrie

λ(O_{S}(E − P_{1} − … − P_{r})) = λ(O_{S}(E − P_{1} − … − P_{r−1})) ⊗ O_{S}(E − P_{1} − … − P_{r−1})|_{P_{r}}^{⊗−1}

= … = λ(O_{S}(E)) ⊗ O_{S}(E)|_{P_{1}}^{⊗−1} ⊗ … ⊗ O_{S}(E − P_{1} − … − P_{r−1})|_{P_{r}}^{⊗−1}.

On en déduit que l’isomorphisme

λ(O_{S}(E − P_{1} − … − P_{r})) = λ(O_{S}(E)) ⊗ ⨂_{k=1}^{r} O_{S}(E)|_{P_{k}}^{⊗−1}

multiplie les métriques par un facteur Π_{j<k}G(P_{j}, P_{k}). Cela permet de calculer la courbure de la métrique, et on vérifie qu’elle coïncide avec celle induite de ϕ^{∗}O_{J}(−Θ), donc que les métriques sont proportionnelles.

On a prouvé l’existence et l’unicité des métriques, ce qui suffira pour la suite, mais il est aussi naturel de s’intéresser au coefficient de proportionnalité ainsi introduit.

Soient Q ∈ S fixé et P_{1} + … + P_{g} − Q un diviseur de degré g − 1. On note ∥θ(P_{1} + … + P_{g} − Q)∥ la norme en ce point de la section 1 de O_{J}(Θ). Si P_{1}, …, P_{g} sont suffisamment généraux, O(P_{1} + … + P_{g} − Q) a ses H^{0} et H^{1} nuls, donc la norme sur λ(O(P_{1} + … + P_{g} − Q)) = ℂ ne dépend pas du choix de la métrique. D’après ce qui précède, cette norme sera un multiple de 1/∥θ(P_{1} + … + P_{g} − Q)∥. On peut aussi la calculer d’une autre façon.

Si K est la classe canonique de S, on a ∥θ(P_{1} + … + P_{g} − Q)∥ = ∥θ(K + Q − P_{1} − … − P_{g})∥, et d’autre part O(K + Q − P_{1} − … − P_{g}) = Ω^{1}(Q − P_{1} − … − P_{g}). L’isomorphisme Γ(S, Ω^{1}(Q)) ≃ Γ(S, Ω^{1}) ≃ ⊕_{j=1}^{g}Ω^{1}|_{P_{j}} induit un isomorphisme λ(Ω^{1}(Q)) ≃ λ(Ω^{1}(Q − P_{1} − … − P_{g})) ⊗ ⨂_{i=1}^{g} Ω^{1}|_{P_{i}} qui multiplie les normes par Π_{j}G(Q, P_{j})/Π_{k<l}G(P_{k}, P_{l}).

D’autre part la suite exacte

0 → H^{0}(S, Ω^{1}) → H^{0}(S, Ω^{1}(Q)) → Ω^{1}(Q)|_{Q} → H^{1}(S, Ω^{1}) → 0

doit induire une isométrie de λ(Ω^{1}(Q)) sur λ(Ω^{1}) ⊗ Ω^{1}(Q)|_{Q}. Mais la norme sur λ(Ω^{1}) = det Γ(S, Ω^{1}) ⊗ H^{1}(S, Ω^{1})^{⊗−1} est donnée par le produit scalaire sur Γ(S, Ω^{1}) et par l’isomorphisme canonique H^{1}(S, Ω^{1}) = ℂ, alors que la composition Ω^{1}(Q)|_{Q} → H^{1}(S, Ω^{1}) = ℂ coïncide avec le résidu, dont on a vu que c’était une isométrie. Cela implique que λ(Ω^{1}(Q)) = det Γ(S, Ω^{1}) a la norme provenant du produit scalaire, c’est-à-dire ∥ω_{1} ∧ … ∧ ω_{g}∥ = 1 pour ω_{1} ∧ … ∧ ω_{g} une base orthonormale.

En combinant tout cela on arrive à une relation de proportionnalité

∥θ(P_{1} + … + P_{g} − Q)∥ = exp(−δ(S)/8).\frac{∥ det_{j,k} ω_{j}(P_{k})∥}{Π_{k<l}G(P_{k}, P_{l})}.Π_{j}G(Q, P_{j})

pour une certaine constante δ(S), qu’on calculera si S est une courbe elliptique.

3.2 Le théorème

X est à nouveau une surface arithmétique sur Y = specA, A l’anneau des entiers d’un corps de nombre.

Théorème 5 Pour tout faisceau inversible admissible L sur X, on a

χ(L) − χ(O_{X}) = \frac{1}{2}(L.L − ω_{X}),

où ω_{X} est le faisceau canonique de X sur Y, et où les métriques sur la cohomologie ainsi que la caractéristique d’Euler-Poincaré sont celles définies précédemment.

Demonstration: Il suffit de le montrer pour L = O_{X}(D). La formule est vraie pour D = 0. Les deux membres se comportant de la même façon si on rajoute des fibres à l’infini ou si on étend l’anneau de base, il suffit de montrer que la formule est vraie pour D si et seulement si elle l’est pour D + E, avec E une section Y → X ou une composante irréductible d’une fibre finie.

Dans tous les cas, l’additivité de χ donne χ(D+E) = χ(D)+χ((D+E)|_{E}) Si E est vertical, on a

χ((D + E)|_{E}) = log #H^{0}(E, (D + E)|_{E}) − log #H^{1}(E, (D + E)|_{E}). Si y est l’image deE dans y, cette dernière expression peut se réécrire log #N(y).(h^{0}(E, (D + E)|_{E}) − h^{1}(E, (D + E)|_{E})) = log #N(y).(deg_{E}((D + E)|_{E}) + 1 − g(E)) = (D + E.E) − (1/2)(E.E + ω_{X}) = (1/2)((D + E.D + E − ω_{X}) − (D.D − ω_{X})). On a utilisé successivement la définition de χ, le théorème de Riemann-Roch classique pour E, et la formule d’adjonction classique pour le genre de E.

Si maintenant E est une section de Y, χ((D + E)|_{E}) coïncide avec celui défini en dimension 1 (car le H^{1} est trivial). En appliquant successivement Riemann-Roch en dimension 1 et la formule d’adjonction d’Arakelov on trouve: χ((D + E)|_{E}) = deg_{E}((D + E)|_{E}) = (D.E) + (E.E) = (D.E) − (ω_{X}.E) = (1/2)((D + E.D + E − ω_{X}) − (D.D − ω_{X})).

Cela achève la démonstration du théorème.

4 Exemples et applications

4.1 Quelques conséquences du théorème de Riemann-Roch

Théorème 6 Soit L un faisceau inversible admissible sur X tel que deg_{X_{K}} L_{K} > 0 et (L.L) > 0. Alors il existe un entier n_{0} tel que pour tout entier n > n_{0}, L^{⊗n} est effectif.

Demonstration: il suffit de trouver pour tout n grand une fonction f ∈ Γ(X, L^{⊗n}) telle que pour toute v on ait ∫_{X_{v}} log ∥f∥_{v}dμ_{v} ≤ 0. Par la concavité du log, il suffit que ∫_{X_{v}} ∥f∥_{v}^{2}dμ_{v} ≤ 1. Soit B_{L^{⊗n}} ⊂ Γ(X, L^{⊗n})_{ℝ} l’ensemble des telles f, et D_{n} un domaine fondamental de Γ(X, L^{⊗n}), alors par Minkowski il suffit que 2^{h^{0}(L^{⊗n})}.vol(D_{n}) ≤ vol(B_{L^{⊗n}}). Mais χ(L^{⊗n}) = − log vol(D_{n}) − log #H^{1}(X, L^{⊗n}) d’où log vol(D_{n}) ≤ −χ(L^{⊗n}) ≤ −n^{2}/2.(L.L) + O(n). Le résultat découle alors du

Lemme 2 Pour tout ϵ > 0 il existe un d(ϵ) tel que si d > d(ϵ), tout faisceau admissible L avec deg_{X_{K}} L_{K} > d vérifie vol(B_{L}) ≥ exp(−ϵd^{2}).

Demonstration: Il suffit de démontrer le résultat pour chaque place v indépendamment. On pose S = X_{v}, r un entier suffisamment grand, et L un faisceau inversible métrisé de degré r + g − 1. Alors pour des points P_{1}, …, P_{r} généraux, L(−P_{1} − … − P_{r}) est sans sections, donc le volume sur λ(L(−P_{1} − … − P_{r}) est donné par un réel positif v(P_{1}, …, P_{r}), qui provient de la norme de 1 dans O_{J_{S}}(−Θ), donc est minoré.

On pose B_{L} = {f ∈ Γ(S, L) | ∫_{S} ∥f∥^{2} ≤ 1}. C’est la boule unité de Γ(S, L) pour le produit scalaire naturellement induit. Si f_{1}, …, f_{r} en est une base orthonormale, B_{L} est la boule inscrite dans le pavé (réel) construit sur les f_{i}. Compte tenu de l’expression du volume de la boule en dimension 2r on trouve que V (B_{L}) = \frac{π^{r}}{r!} ∥f_{1} ∧ … ∧ f_{r}∥^{2}.

Mais l’isométrie

λ(L) = λ(L(−P_{1} − … − P_{r})) ⊗ L(−P_{1} − … − P_{r−1})|_{P_{r}} ⊗ … ⊗ L|_{P_{1}}

implique que l’isomorphisme Γ(S, L) = ⨁_{j=1}^{r} L|_{P_{j}} multiplie les volumes par Π_{i<j}G(P_{i}, P_{j})^{2}/v(P_{1}, …, P_{r}), d’où finalement

V (B_{L}) = \frac{π^{r}}{r!} ∥f_{1} ∧ … ∧ f_{r}∥^{2} = \frac{π^{r}.v(P_{1}, …, P_{r})}{r!.Π_{i<j}G(P_{i}, P_{j})^{2}} ∥ det_{j,k} f_{j}(P_{k})∥^{2},

où det_{j,k} f_{j}(P_{k}) = ∑_{σ}(−1)^{|σ|}f_{σ(1)}(P_{1}) ⊗ … ⊗ f_{σ(r)}(P_{r}).

Comme les f_{i} forment une base orthonormée on a

∫_{S^{r}} ∥ det_{j,k} f_{j}(P_{k})∥^{2}dP_{1} … dP_{r} = ∑_{σ} ∫_{S^{r}} ∥f_{σ(1)}(P_{1})⊗…⊗f_{σ(r)}(P_{r})∥^{2}dP_{1} … dP_{r} = r!,

ce qui conduit à

\frac{1}{V (B_{L})} = π^{−r} ∫_{S^{r}} \frac{Π_{i<j}G(P_{i}, P_{j})^{2}}{v(P_{1}, …, P_{r})} dP_{1} … dP_{r} ≤ c. max_{S^{r}} Π_{i<j}G(P_{i}, P_{j})^{2},

pour une certaine constante c indépendante de r et de L, puis en prenant le logarithme:

− log V (B_{L}) ≤ max_{S^{r}}(− ∑_{1≤i<j≤r} g(P_{i}, P_{j})) + O(1)

et il suffit de majorer le terme de droite par ϵr^{2}.

On définit le Laplacien Δ par la formule dd^{c} = −Δdμ. Soient 0 < λ_{0} ≤ … ≤ λ_{n} ≤ … → ∞ son spectre (dans L^{2}(S × S)), chaque valeur propre répétée avec sa multiplicité, et ϕ_{0}, …, ϕ_{n}, … une base orthonormale propre associée. Alors pour toute fonction lisse f sur S d’intégrale nulle, et pour tout P, on a

∫_{S} g_{P} Δfdμ = ∫_{S}(−dd^{c}g_{P})f = f(P).

Appliquant ceci aux f = ϕ̄_{n}, puis par symétrie de g on voit que

g(P, Q) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} ϕ_{n}(P)\overline{ϕ_{n}(Q)},

comme distribution. Si K est lisse sur S × S on peut poser g̃ = K ∗ g ∗ K (convolution), et alors

−2 ∑_{1≤i<j≤r} g̃(P_{i}, P_{j}) = −2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} ∑_{1≤i<j≤r}(K ∗ ϕ_{n})(P_{i})\overline{(K ∗ ϕ_{n})(P_{j})}

= − ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} | ∑_{i} K ∗ ϕ_{n}(P_{i})|^{2} + ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} ∑_{i} |(K ∗ ϕ_{n})(P_{i})|^{2}
≤ \frac{1}{λ_{0}} ∑_{i} ∫_{S} |K(P_{i}, Q)|^{2}dμ(Q)
≤ \frac{r}{λ_{0}} max_{P ∈S} ∫_{S} |K(P, Q)|^{2}dμ(Q).

Ainsi on a une majoration en O(r) ⊂ O(ϵr^{2}) si on prend g̃ à la place de g. Il reste alors à voir que si K est une unité approchée (pour la convolution) suffisamment fine, g reste assez proche de g̃ pour que la majoration soit encore valable. C’est technique mais pas très difficile ni très instructif, cf [F].

4.2 Quelques formules dans le cas des courbes elliptiques

Soit X = ℂ/Λ une courbe elliptique sur ℂ, avec Λ = ℤ + ℤτ, τ = a + ib ∈ H (le demi-plan de Poincaré). SL_{2}(ℤ) agit sur H par

( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) .z = \frac{rz + s}{tz + u}.

Sur H on définit la fonction q par q(z) = e^{2iπz}. Une fonction f méromorphe sur H sera dite méromorphe à l’infini si elle peut s’écrire f = ∑_{n∈ℤ} a_{n}q^{n}. Elle sera dite holomorphe à l’infini (resp. nulle à l’infini) si a_{n} = 0 pour n < 0 (resp. n ≤ 0).

Définition 3 Soit k ∈ ℕ, on définit l’espace S_{2k} des formes modulaires paraboliques de poids 2k comme l’ensemble des fonctions f holomorphes sur H et nulles à l’infini qui vérifient f(γ.z) = (tz + u)^{2k}f(z) pour tous γ =

( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℤ) et z ∈ H.

Remarquons que SL_{2}(ℤ) étant engendré par ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ),

il suffit que f(z + 1) = f(z) (c’est immédiat avec le q−développement) et f(−1/z) = z^{2k}f(z).

On pose

η(τ) = e^{iπτ/12}Π_{n=1}^{∞}(1 − e^{2iπnτ})
Δ(τ) = η(τ)^{24}

On admettra le résultat suivant (voir [S]):

Théorème 7 S_{12} est de dimension 1 sur ℂ, et Δ en est une base.

Une conséquence en est que si

∥η∥(a + ib) = ^{4} \sqrt{b}.|η(a + ib)| et ∥Δ∥(τ) = ∥η∥(τ)^{24},

∥η∥ et ∥Δ∥ sont invariantes par SL(2, ℤ). Remarquons enfin que le coefficient a_{1} du q−développement de Δ est 1.

On pose ensuite, pour τ fixé comme précédemment

θ(τ, z) = ∑_{n∈ℤ} e^{iπn^{2}τ} e^{2iπnz}

∥θ∥(τ, z) = ^{4} \sqrt{b}.e^{−πy^{2}/b}.|θ(τ, z)|

où b = Imτ. Ce sont les fonctions theta usuelles de X, comme définies dans [Gr-H].

En voici quelques propriétés: θ(τ, z + 1) = θ(τ, z), θ(τ, z + τ) = e^{−2iπz−iπτ} θ(τ, z). En conséquence le diviseur des zéros de θ est invariant par translation par Λ, donc définit bien un diviseur Θ sur X. Un petit calcul de résidu montre alors que Θ est réduit à un point, simple. Une autre conséquence en est que ∥θ∥ ne dépend de z que modulo Λ, donc poser ∥1∥(z) = ∥θ∥(τ, z) définit bien une norme sur O_{X}(Θ). En fait cette norme est l’unique (à une constante près) telle que sa forme de Chern est invariante par translation. La constante de normalisation ^{4} \sqrt{b} a été introduite afin que ∥θ∥ varie agréablement quand SL_{2}(ℤ) agit sur τ, comme nous le verrons par la suite. C’est la norme qu’on a utilisée dans la définition des volumes sur le déterminant de la cohomologie.

Lemme 3 Θ est le point \frac{1+τ}{2} de X.

Demonstration:

θ(\frac{1 + τ}{2} ) = ∑_{n∈ℤ} e^{iπτn^{2}+iπn(1+τ)} = ∑_{n∈ℤ}(−1)^{n}e^{iπτn(n+1)} = 0

car cette expression change de signe si on fait le changement de variable n → −1 − n.

Proposition 1

θ(−\frac{1}{τ} , −\frac{z}{τ}) = \sqrt{−iτ}.e^{iπ \frac{z^{2}}{τ}} .θ(τ, z)

Demonstration: Posons f(s) = e^{iπτs^{2}+2iπsz}. Alors

f̂(u) = ∫_{ℝ} e^{iπτs^{2}+2iπs(z−u)}ds = ∫_{ℝ} e^{iπτ(s+ \frac{z−u}{τ})^{2}}e^{−iπτ( \frac{z−u}{τ})^{2}}ds = \frac{e^{− \frac{iπ}{τ} (z−u)^{2}}}{\sqrt{−iτ}} .

La convergence des objets suivants est assurée par le fait que f est à décroissance rapide. On définit d’abord F (s) = ∑_{n∈ℤ} f(s + n). Alors pour m ∈ ℤ on a F̂(m) = f̂(m), puis

θ(τ, z) = F (0) = ∑_{m∈ℤ} F̂(m) = ∑_{m∈ℤ} F̂(−m) = ∑_{m∈ℤ} \frac{e^{− \frac{iπ}{τ} (z+m)^{2}}}{\sqrt{−iτ}} = \frac{e^{− \frac{iπ}{τ} z^{2}}}{\sqrt{−iτ}} θ(−\frac{1}{τ} , −\frac{z}{τ}).

Lemme 4 e^{2iπτ} (θ(τ, 0)θ(τ, 1/2)θ(τ, τ/2))^{8} = 2^{8}Δ(τ)

e^{2iπτ} (\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1 + τ}{2} ))^{8} = (2π)^{8}Δ(τ).

Demonstration: On vérifie sans difficulté que ces fonctions admettent un q−développement, et qu’elle sont nulles à l’infini. De plus la valeur de leur coefficient a_{1} fournira les constantes 2^{8} et (2π)^{8}, dès qu’on aura prouvé que ce sont bien des formes modulaires de poids 12. Pour ce faire, il suffit de regarder ce qui se passe quand on change τ en −1/τ. Pour la première expression, c’est une conséquence triviale de la proposition qui précède.

Pour la deuxième, on a

\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1 + τ}{2} ) = ∑_{n∈ℤ} 2iπne^{iπτn^{2}+iπn(1+τ)}.

Posons f(x) = 2iπxe^{iπτx^{2}+iπx(1+τ)} et g(x) = e^{iπτx^{2}+iπx(1+τ)}, de telle sorte que f̂(u) = −\frac{d}{du} ĝ(u). Alors

ĝ(u) = ∫_{ℝ} e^{iπτx^{2}}e^{−2iπx(u− \frac{1+τ}{2} )}dx = \frac{1}{\sqrt{−iτ}} e^{− \frac{iπ}{τ} (u− \frac{1+τ}{2} )^{2}} et

f̂(u) = −\frac{2iπ}{τ\sqrt{−iτ}} (u−\frac{1 + τ}{2} )e^{− \frac{iπ}{τ} (u− \frac{1+τ}{2} )^{2}} = −\frac{2iπe^{− \frac{iπ}{τ} ( \frac{1+τ}{2} )^{2}}}{τ\sqrt{−iτ}} (u−\frac{1 + τ}{2} )e^{iπu}e^{− \frac{iπ}{τ} u(u−1)}.

On remarque que le changement de variable m → 1 − m implique

∑_{m∈ℤ} e^{iπm}e^{− \frac{iπ}{τ} m(m−1)} = 0,

d’où

\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1 + τ}{2} ) = ∑_{n∈ℤ} f(n) = ∑_{m∈ℤ} f̂(m) = −\frac{2iπe^{− \frac{iπ}{τ} ( \frac{1+τ}{2} )^{2}}}{τ\sqrt{−iτ}} ∑_{m∈ℤ}(m−\frac{1 + τ}{2} )e^{iπm}e^{− \frac{iπ}{τ} m(m−1)}

= −\frac{2iπe^{− \frac{iπ}{τ} ( \frac{1+τ}{2} )^{2}}}{τ\sqrt{−iτ}} ∑_{m∈ℤ}(m−1)e^{iπm}e^{− \frac{iπ}{τ} m(m−1)} = \frac{e^{− \frac{iπ}{τ} ( \frac{1+τ}{2} )^{2}}}{τ\sqrt{−iτ}} ∑_{m∈ℤ} 2iπme^{iπm}e^{− \frac{iπ}{τ} m(m+1)}

= \frac{e^{− \frac{iπ}{τ} ( \frac{1+τ}{2} )^{2}}}{τ\sqrt{−iτ}} \frac{∂θ}{∂z} (−τ^{−1}, \frac{1 − τ^{−1}}{2} )

donc si F (τ) = e^{2iπτ} (\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1+τ}{2} ))^{8} on trouve

F (−1/τ) = τ^{12}e^{− \frac{2iπ}{τ} + \frac{2iπ}{τ} (1+τ)^{2}}(\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1 + τ}{2} ))^{8} = τ^{12}F (τ),

ce qu’il fallait démontrer.

Alors

Théorème 8 Soit X = ℂ/Λ, Λ = ℤ + ℤτ, z une coordonnée sur ℂ.

1. Pour z_{1}, z_{2} ∈ ℂ,

G(z_{1}, z_{2}) = \frac{∥θ∥(τ, z_{1} − z_{2} + \frac{1+τ}{2} )}{∥η∥(τ)}.

2. La métrique sur Ω_{X}^{1} est donnée par

∥\frac{dz}{\sqrt{b}}∥^{−1} = 2π.∥η∥(τ)^{2}.

3. δ(X) = − log ∥Δ∥(τ) − 8 log(2π).

Demonstration: Avec comme auparavant τ = a + ib, dz/\sqrt{b} forme une base orthonormée de Ω^{1}, et δ(X) est définie par la relation

∥θ∥(τ, z + \frac{1 + τ}{2} ) = e^{−δ(X)/8}.∥\frac{dz}{\sqrt{b}}∥.G(0, z).

En prenant le logarithme, et en utilisant le lemme précédent et la bipériodicité de ∥θ∥ on trouve (g = − log G^{2}):

g(0, \frac{1}{2}) + g(0, \frac{τ}{2} ) + g(0, \frac{1 + τ}{2} )

= −\frac{3}{4}δ(X) + 6 log ∥\frac{dz}{\sqrt{b}}∥ − 2 log ∥θ∥(τ, 0) − 2 log ∥θ∥(τ, \frac{1}{2}) − 2 log ∥θ∥(τ, \frac{1 + τ}{2} )
= −\frac{3}{4}δ(X) + 6 log ∥\frac{dz}{\sqrt{b}}∥ − 2 log 2 − \frac{1}{4} log ∥Δ∥(τ)

On considère g comme noyau du laplacien −b/4π.(∂^{2}/∂x^{2} + ∂^{2}/∂y^{2}), dont on obtient le spectre par la théorie de Fourier. Il est formé des π/b.|n−mτ|^{2}, (n, m) ∈ ℤ^{2} − (0, 0), de fonction propre ϕ_{m,n}(x, y) = exp(2iπm.(x − ay/b) + 2iπn.(y/b)). Remarquons que ces fonctions prennent les valeurs (−1)^{m} (resp. (−1)^{n}, (−1)^{m+n}) en z = x + iy = \frac{1}{2} (resp. \frac{τ}{2}, \frac{1+τ}{2} ).

On a dans L^{2}

g(0, .) = ∑_{m=−∞}^{∞} ∑_{n=−∞}^{∞}′ \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} ϕ_{n,m}.

On cherche à calculer des valeurs ponctuelles de g(0, .). Cette fonction a une singularité logarithmique en 0 et est C^{∞} ailleurs. Pour tout y fixé, elle définit une fonction de x − ay/b dont le k−ième coefficient de Fourier est

∑_{(m,n)≠(0,0)} ∫_{0}^{1} \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} e^{2iπ(m−k)(x−ay/b)+2iπny/b}dx

et cette somme converge absolument, de limite ∑′_{n∈ℤ} \frac{b}{π|n−kτ|^{2}} e^{2iπny/b}.

En conséquence la valeur en z de la M−ième somme partielle de Fourier de g(0, z) vaut

∑_{k=−M}^{M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − kτ|^{2}} e^{2iπny/b}e^{2iπk(x−ay/b)} = ∑_{k=−M}^{M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − kτ|^{2}} ϕ_{k,n}(z)

et le théorème de convergence ponctuelle de Dirichlet conduit à

g(0, z) = lim_{M→∞} s_{M}g(0, z) = lim_{M→∞} ∑_{m=−M}^{M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} ϕ_{m,n}(z)

égalité valable pour tout z ≠ 0. On l’applique immédiatement à

g(0, \frac{1}{2}) + g(0, \frac{τ}{2} ) + g(0, \frac{1 + τ}{2} )

= lim_{M→∞} ∑_{m=−2M}^{2M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} ((−1)^{m} + (−1)^{n} + (−1)^{m+n})

= − lim_{M→∞} ∑_{m=−2M}^{2M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} (1 − \{ \begin{matrix}4 & si n et m pairs \\ 0 & sinon \end{matrix} )

= − lim_{M→∞}( ∑_{m=−2M}^{2M} ∑_{n∈ℤ}′ \frac{b}{π|n − mτ|^{2}} − ∑_{m′=−M}^{M} ∑_{n′∈ℤ}′ \frac{4b}{π|2n′ − 2m′τ|^{2}} )

= −2 lim_{M→∞} ∑_{m=M+1}^{2M} ∑_{n∈ℤ} \frac{b}{π|n − mτ|^{2}}

= −2 lim_{M→∞} ∑_{m=M+1}^{2M} \frac{b}{m^{2}} ∑_{n∈ℤ} \frac{1}{2π|n/m − τ|^{2}}

= −2 lim_{M→∞} ∑_{m=M+1}^{2M} \frac{b}{m} ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{π|x − τ|^{2}} = −2 lim_{M→∞} ∑_{m=M+1}^{2M} \frac{1}{m} = −2 log 2

d’où finalement δ(X)/8 − log ∥dz/\sqrt{b}∥ = − log ∥Δ∥(τ)/24 = − log ∥η∥(τ). D’autre part par le petit raisonnement sur les résidus on a

∥dz∥ = lim_{z→0} \frac{|z|}{G(0, z)} = e^{δ(X)/8}.∥\frac{dz}{\sqrt{b}}∥^{−1}. lim_{z→0} \frac{|z|}{∥θ∥(τ, z + \frac{1+τ}{2} )}

= (∥η∥(τ). ^{4} \sqrt{b}.e^{−πb/4}.\frac{∂θ}{∂z} (τ, \frac{1 + τ}{2} ))^{−1}
= (2π.∥η∥(τ)^{2}/\sqrt{b})^{−1}

(d’après le lemme) et cela permet de conclure la démonstration du théorème.

Bibliographie

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